海南省三亚华侨学校（南新校区）2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含答案解析

2020-2021高二下开学数学测试
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
在空间四边形OABC中，OA+AB?CB等于(????)
A. OA B. AB C. OC D. AC
已知向量a=(1,?2,1)，a?b=(?1,2,?1)，则向量b=(??? )
A. (2,?4,2) B. (?2,4,?2) C. (?2,0,?2) D. (2,1,?3)
直线
过点，倾斜角为，则直线的方程为
A． B．
C． D．
圆x+12+y2=4的圆心坐标和半径分别是(????)
A. (1,0)，2 B. (?1,0)，2 C. (1,0)，4 D. (?1,0)，4

设是椭圆 上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为
A． B． C． D．
已知双曲线x2a2?y2=1(a>0)的离心率是5，则a=(????)
A. 6 B. 4 C. 2 D. 12
数列{an}中，an+1=an1+3an，a1=2，则a4为(????)
A. 87 B. 85 C. 165 D. 219
已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20.则该数列的前9项和为(??? )
A. 50 B. 70 C. 80 D. 90
二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）
下列命题是真命题的有(????)．
A. 直线l的方向向量为a=(1,?1,2)，直线m的方向向量为b=2,1,?12，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为a=(0,1,?1)，平面α的法向量为n=(1,?1,?1)，则l⊥α
C. 平面α，β的法向量分别为n1→=(0,1,3)，n2→=(1,0,2)，则
D. 平面α经过三点A(1,0,?1)，B(0,1,0)，C(?1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
直线l过点P(1,2)且与直线x+ay?3=0平行，若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，则实数a的值可以是(? ? )
A. 0 B. 34 C. 43 D. ?43
关于圆锥曲线的四个命题正确的是(????)
A. 设A，B为两个定点，k为与非零常数，若PA?PB=k，则动点P的轨迹是双曲线
B. 方程2x2?5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C. 双曲线x225?y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点
D. 以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切
已知数列an的首项为4，且满足2n+1an?nan+1=0n∈N*，则(? ? )
A. ann为等差数列 B. an为递增数列
C. an的前n项和Sn=n?12n+1+4 D. an2n+1的前n项和Tn=n2+n2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知直线l，m的方向向量分别是a=(1,1，0)，b=(?1,t，2)，若l⊥m，则实数t的值是______ ．
已知直线l：x+y+2=0交圆C：x2+y2+2x+4y+4=0于A，B两点，则|AB|=________．
已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则__________．
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn=______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知等差数列{an}中，公差d=2，a2=3，求：
(1)a3、a5的值；???
(2)该数列的前5项和S5．
如图所示四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC//AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．
(1)求证：BF//平面ACE；
(2)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．
已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y?10=0相切，直线l过点M1,2．
(1)求圆C1的标准方程；
(2)若直线l被圆C1所截得的弦长为23，求直线l的方程．
(1)求焦点在?x轴上，虚轴长为12，离心率为?54的双曲线的标准方程；
(2)求经过点P(?2,?4)的抛物线的标准方程．
已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为22，且与抛物线y2=4x有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
3933825632460(2)若点H的坐标为(2,0)，点A，B是椭圆E上的两点(点A，B，H不共线)，且∠OHA=∠OHB，证明直线AB过定点，并求△ABH面积的取值范围．
在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn=2n+1?2．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设cn=2an+log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
2020-2021高二下开学数学测试
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
在空间四边形OABC中，OA+AB?CB等于(????)
A. OA B. AB C. OC D. AC
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，本题是向量的基础题．
由题意，根据向量的加法、减法法则，把OA+AB?CB进行化简即可得到答案，即可选出正确选项．
【解答】
解：根据向量的加法、减法法则，得
OA+AB?CB
=OB?CB
=OB+BC
=OC．
故选C．
已知向量a=(1,?2,1)，a?b=(?1,2,?1)，则向量b=(??? )
A. (2,?4,2) B. (?2,4,?2) C. (?2,0,?2) D. (2,1,?3)
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的加减运算以及坐标表示，属于基础题．
根据b=a?a?b，即可求解．
【解答】
解：b=a?a?b=(1,?2,1)?(?1,2,?1)=(2,?4,2)．
故选A．
【答案】D
圆x+12+y2=4的圆心坐标和半径分别是(????)
A. (1,0)，2 B. (?1,0)，2 C. (1,0)，4 D. (?1,0)，4
【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
根据圆的标准方程x?a2+y?b2=r2(r>0)中圆心为(a,b)，半径为r，直接写出结果即可．
【解答】
解：根据圆的标准方程x+12+y2=4，
得圆心坐标为(?1,0)，半径为2．
故选B．
椭圆x216+y225=1的焦点坐标为(????)
A. (±3,0) B. (0,±3) C. (±9,0) D. (0,±9)
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程，注意要先由标准方程分析出焦点的位置．根据题意，由椭圆的标准方程可得C的焦点在y轴上，且a=5，b=4，进而计算可得c的值，由焦点坐标公式以及长轴的定义计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，x216+y225=1的焦点在y轴上，且a=5，b=4，故可得c=a2?b2=3，
故选B．
【答案】C
数列{an}中，an+1=an1+3an，a1=2，则a4为(????)
A. 87 B. 85 C. 165 D. 219
【答案】D
【解析】
【分析】
本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题的关键是根据已知构造出新的等差数列．
由题意得数列{1an}是等差数列，即可得解．
【解答】
解：由题意可得，1an+1=?1+3anan=1an+3．
即1an+1?1an=3，
∵1a1=12，
∴数列{1an}是以12为首项，以3为公差的等差数列．
∴1an=12+3(n?1)，∴a4=219，
故选D．
已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20.则该数列的前9项和为(??? )
A. 50 B. 70 C. 80 D. 90
【答案】B
【解析】由等比数列的性质得S3，S6?S3，S9?S6也成等比数列，由S3=40，S6?S3=20，知公比为12，故S9?S6=10，S9=70．
二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）
下列命题是真命题的有(????)．
A. 直线l的方向向量为a=(1,?1,2)，直线m的方向向量为b=2,1,?12，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为a=(0,1,?1)，平面α的法向量为n=(1,?1,?1)，则l⊥α
C. 平面α，β的法向量分别为n1→=(0,1,3)，n2→=(1,0,2)，则
D. 平面α经过三点A(1,0,?1)，B(0,1,0)，C(?1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查利用平面的法向量判断线面关系、面面关系，属于基础题．
①根据直线l、m的方向向量a与b垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量a与平面α的法向量n垂直，不能得出l⊥α；③根据平面α、β的法向量n1与n2不共线，不能得出α//β；④求出向量AB与BC的坐标表示，再利用平面α的法向量n，列出方程组求出u+t的值．
【解答】
解：∵a=1,?1,2，b=2,1,?12，
∴a·b=1×2?1×1+2×?12=0，
∴a⊥b，
∴直线l与m垂直，A正确；
a=0,1,?1，n=1,?1,?1，
∴a·n=0×1+1×?1+?1×?1=0，
∴a⊥n，
∴l//α或l?α，B错误；
∵n1=(0,1,3)，n2=(1,0,2)，
∴n1,n2不共线，所以α与β不平行，故C错误；
∵点A(1,0，?1)，B(0,1，0)，C(?1,2，0)，
∴AB=?1,1,1,BC=?1,1,0，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，
∴n·AB=0n·BC=0，即?1+u+t=0?1+u=0，则u+t=1，D正确．
故选AD．
直线l过点P(1,2)且与直线x+ay?3=0平行，若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，则实数a的值可以是(? ? )
A. 0 B. 34 C. 43 D. ?43
【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆得位置关系，先由两直线平行求出直线l得方程，再求出弦心距为1，用点到直线得距离公式可求解a．
【解答】
解：由已知可得直线l的斜率为?1a，
所以直线l的方程为x+ay?2a?1=0，圆x2+y2=4的圆心(0,0)，半径为2，
直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，半弦长为3，则弦心距为1，
圆心到直线的距离d=?2a?1a2+1=1，解得a=0或a=?43，
故选AD．
关于圆锥曲线的四个命题正确的是(????)
A. 设A，B为两个定点，k为与非零常数，若PA?PB=k，则动点P的轨迹是双曲线
B. 方程2x2?5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C. 双曲线x225?y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点
D. 以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查圆锥曲线的几何性质，解决本题的关键是掌握好圆锥曲线的几何性质即可，属于中档题．
根据椭圆，双曲线，抛物线的性质求解即可．
【解答】
解：A不正确，若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线，
B正确，方程2x2?5x+2=0的两根分别为12和2，12和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率，
C正确，双曲线x225?y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±34,0)，
D正确；不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px(p>0)，即抛物线位于y轴的右侧，以x轴为对称轴，
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d.而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|，
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=|PF|+|QF|2，由抛物线的定义可得：|PF|+|QF|2=|PQ|2=半径，
所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线相切，
故答案为BCD．
已知数列an的首项为4，且满足2n+1an?nan+1=0n∈N*，则(? ? )
A. ann为等差数列 B. an为递增数列
C. an的前n项和Sn=n?12n+1+4 D. an2n+1的前n项和Tn=n2+n2
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系和函数特征，等比数列的判定、通项公式以及求和公式，等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题．
由题意可得2ann?an+1n+1=0，即ann为等比数列，可得an=n·2n+1，利用an=n·2n+1逐项求解判断即可．
【解答】
解：由2(n+1)an?nan+1=0，两边都除以n(n+1)，
可得2ann?an+1n+1=0，即an+1n+1=2×ann，
所以ann为等比数列，首项为4，公比为2，故A错误；
所以ann=4×2n?1=2n+1，解得an=n·2n+1，
所以{an}为递增数列，故B正确；
{an}的前n项和Sn=1×22+2×23+3×24+?+n?1×2n+n×2n+1,①
2Sn=1×23+2×24+3×25+?+n?1×2n+1+n×2,②??n+2
①?②得?Sn=1×22+23+24+?+2n+1?n×2n+2
=4×1?2n1?2?n×2n+2=1?n·2n+2?4??,
所以Sn=n?1·2n+2+4,故C错误；
由an=n·2n+1可得an2n+1=n，
所以an2n+1的前n项和Tn=1+nn2=n2+n2，故D正确；
故选BD．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知直线l，m的方向向量分别是a=(1,1，0)，b=(?1,t，2)，若l⊥m，则实数t的值是______ ．
【答案】1
【解析】解：∵直线l，m的方向向量分别是a=(1,1，0)，b=(?1,t，2)，且l⊥m，
∴a?b=?1+t=0，
解得t=1．
故答案为：1．
由直线l与直线m垂直，得直线l，m的方向向量数量积为0，由此能求出结果．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．
已知直线l：x+y+2=0交圆C：x2+y2+2x+4y+4=0于A，B两点，则|AB|=________．
【答案】2
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离，题目基础．
求出点C(?1,?2)到直线l：x+y+2=0的距离d=22，故可得|AB|=2r2?d2=2．
【解答】
解：圆C：x2+y2+2x+4y+4=0的圆心坐标为C(?1,?2)，半径r=1，
点C(?1,?2)到直线l：x+y+2=0的距离d=|1×(?1)+1×(?2)+2|12+12=22，
所以直线l被圆C截得线段AB的长|AB|=2r2?d2=212?222=2．
故答案为2．

已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn=______．
【答案】14(3n+1?2n?3)?(n∈N*)
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系，数列的求和方法：分组求和，同时考查构造等比数列求数列通项公式的方法，考查分析和运算能力，属于中档题．
可设an+1+t=3(an+t)，求得t=12，运用等比数列的通项公式，可得数列{an}的通项，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．
【解答】
解：由a1=1，an+1=3an+1，
可设an+1+t=3(an+t)，
即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=12，
则an+1+12=3(an+12)，
可得数列{an+12}是首项为32，公比为3的等比数列，
即有an+12=32·3n?1，
即an=32·3n?1?12，
可得数列{an}的前n项和
Sn=32(1+3+32+…+3n?1)?12n
=32×1?3n1?3?12n
=14(3n+1?2n?3)(n∈N*).
故答案为14(3n+1?2n?3)?(n∈N*).
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知等差数列{an}中，公差d=2，a2=3，求：
(1)a3、a5的值；???
(2)该数列的前5项和S5．
【答案】解：(1)∵等差数列{an}中，公差d=2，a2=3，
∴a3=a2+d=3+2=5，
∴a5=a2+3d=3+3×2=9；
(2)∵a2=a1+d，即3=a1+2，
∴a1=1，
∵{an}是等差数列，
∴S5=(a1+a5)×52=(1+9)×52=25．
【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于基础题．熟练掌握等差数列的通项公式及求和公式是解决此题的关键．
(1)根据等差数列定义和通项公式即可求解；
(2)求出a1=1，根据等差数列的求和公式Sn=(a1+an)n2可得．
如图所示四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC//AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．
(1)求证：BF//平面ACE；
(2)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．
【答案】(1)解：连接DF，BD，设DF∩CE=G，AC∩BD=Q，连接QG．
因为E,F是中点，所以G是△PCD的重心，所以DG=2GF，
因为AD//BC，且AD=2BC，所以DQ=2QB，
所以BF//QG，
又因为平面QG?ACE，BF?ACE，
所以BF//平面ACE；
(2)由已知条件得AC=DC=22，AD=4，
所以AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD，
因为PA⊥底面ABCD，所以，
又∵PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，
所以∠DPC是直线PD与平面PAC所成的角，
因为PD=25，所以sin∠DPC=DCPD=105，
直线PD与平面PAC所成的角的正弦值105．
解法2：如图，建立直角坐标系，则
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2)，
所以E(0,2,1),F(1,1,1)，
(1)因为AC=(2,2,0),AE=(0,2,1)，
由2x+2y=02y+z=0，解得平面ACE的一个法向量是m=(1,?1,2)，
因为BF=?1,1,1，所以BF?m=?1?1+2=0，
又因为BF?平面ACE，所以BF//平面ACE；
(2)因为AP=(0,0,2),AC=(2,2,0)，
?? 由z=0x+y=0得平面PAC的一个法向量是m=(1,?1,0)，
而PD=(0,4,?2)，
由sin?θ=|PD?n|PD|?|n||=105，
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值是105．
【解析】此题主要考查线面平行的证明，线面角的求法，涉及线面垂直的判定定理，和空间向量方法，属中档题．
解法一：
(1)利用对应线段成比例，证明BF//OH，从而证明线面平行平行；
(2)由线面垂直的判断，得出线面角，在直角三角形中求出线面角的正弦值．
解法二：建立空间直角坐标系，
(1)求得平面ACE的一个法向量坐标，证明此法向量与直线BF的方向向量垂直，从而证得；
(2)求得平面PAC的一个法向量坐标，利用与直线PD的方向向量的夹角的余弦值求得．
已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y?10=0相切，直线l过点M1,2．
(1)求圆C1的标准方程；
(2)若直线l被圆C1所截得的弦长为23，求直线l的方程．
【答案】解：(1)圆心(0,0)到直线3x+4y?10=0的距离d=|?10|32+42=2，
所以圆C1的半径为2，
所以x2+y2=4；?
(2)当直线斜率不存在时，x=1，直线l被圆C1所截得的弦长为23，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线l:y?2=k(x?1)，
由(|k?2|k2+1)2+(3)2=4，解得：k=34，
故l的方程是y?2=34x?1，即3x?4y+5=0，
综上所述，直线l的方程为3x?4y+5=0或x=1．
【解析】本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，是基础题．
(1)先得出圆心(0,0)到直线3x+4y?10=0的距离，即为半径，即可得出圆C1的标准方程；
(2)分直线斜率不存在和存在时，当斜率存在时由勾股定理求出斜率即可得到答案．
(1)求焦点在?x轴上，虚轴长为12，离心率为?54的双曲线的标准方程；
(2)求经过点P(?2,?4)的抛物线的标准方程．
【答案】(1)解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为x2a2?y2b2=1．
由题意，得2b=12ca=54c2=a2+b2解得a=8，c=10.∴b=6．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为x264?y236=1；.
(2)解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：y2=?2px或x2=?2py
在第一种情形下，求得抛物线方程为：y2=?8x；
在第二种情形下，求得抛物线方程为：x2=?y
【解析】(1)利用已知条件列出方程组求解a，b然后求解双曲线方程即可．
(2)设出抛物线方程，利用点在曲线上，化简求解即可．
本题考查双曲线方程以及抛物线方程的求法，双曲线以及抛物线的简单性质的应用．考查计算能力．


设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．
解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为y=或．
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为
．①
将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．
综上，∠ABM=∠ABN．
在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn=2n+1?2．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设cn=2an+log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，则a2=a1+d，a5=a1+4d，
∵a1，a2，a5成等比数列，
∴a22=a1·a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
整理得d2=2a1d，解得d=0(舍去)或d=2a1=2，
∴an=a1+(n?1)d=2n?1；
当n=1时，b1=2，
当n≥2时，bn=Sn?Sn?1=2n+1?2?(2n?2)=2n+1?2n=2×2n?2n=2n，
∴数列{bn}的通项公式为bn=2n(n∈N*);
(2)由(1)得，cn=22n?1+n，
Tn=(2+1)+(23+2)+(25+3)+?+(22n?1+n)
=(2+23+25+?+22n?1)+(1+2+3+?+n)
=2(1?4n)1?4+n(1+n)2
=22n+1?23+n2+n2．
【解析】【试题解析】
本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式的运用，数列的递推式的运用，以及数列的求和，属于中档题．
(1)由已知条件利用a1，a2，a5成等比数列，即可求得数列{an}的公差，进而得到数列{an}的通项公式；由等比数列数列{bn}的前n项和Sn=2n+1?2，得到b1=2，bn=Sn?Sn?1，进而得到数列{bn}的通项公式；
(2)由(1)得到cn=22n?1+n，分组转化求和，再根据等比数列和等差数列的求和公式即可求出{cn}的前n项和．