(共36张PPT)
第九章
解
三
角
形
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正
弦
定
理
新课程标准
素养风向标
1.通过对任意三角形的边长与角度关系的探索掌握正弦定理.
2.能解决一些简单的三角形度量问题.
1.通过直角三角形的边角关系推广到斜三角形的边角关系.(数学抽象)
2.通过三角形的面积公式计算得到正弦定
理.(数学建模)
3.利用正弦定理计算三角形的边和角或者证明.(数学运算)
基础预习初探
1.回顾直角三角形中的边与角的关系:
是否为定值?
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有
=2R(定值).
2.在锐角或钝角三角形中边与角的关系:
是否为定值?
提示:如图,锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以
=CD=2R,
同理
=2R,
=2R.
得
=2R(定值).
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
3.运用三角形的面积公式如何证明正弦定理?
提示:由三角形的面积公式,得S△ABC=
absin
C=
bcsin
A=
acsin
B,
等式都除以
abc,得
所以
【概念生成】
1.正弦定理
在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即
=2R(R为三角形外接圆的半径)
2.正弦定理的变形公式
由正弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
(1)a=
________;(边化角公式)?
b=
________;?
c=
________.?
2Rsin
A
2Rsin
B
2Rsin
C
(2)sin
A=____;(角化边公式)
sin
B=____;
sin
C=____.
3.解三角形
一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三
角形的若干元素求其他元素一般称为_________.
解三角形
核心互动探究
探究点一 利用正弦定理解三角形
【典例1】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,a=4
,b=4,
则B=
( )
A.30°或150°
B.150°
C.30°
D.60°
2.已知△ABC中,c=6
cm,A=45°,C=30°,解三角形.
【思维导引】1.由正弦定理求得sin
B=
,根据a>b,由三角形中大边对大角
可得B<60°,即可求得B.
2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.
【解析】1.选C.因为A=60°,a=4
,b=4,
由正弦定理
,得sin
B=
因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.
2.由三角形内角和定理,得B=180°-(A+C)=105°,
sin
105°=sin
75°=sin(30°+45°)
=sin
30°cos
45°+cos
30°sin
45°=
根据正弦定理
得a=
(cm),
b=
(cm).
【类题通法】
利用正弦定理解三角形的注意事项
1.如果已知三角形的两角和一边(即ASA或AAS)解三角形,那么通常运用正弦定理计算.
2.注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.
提醒:注意已知三角形两边和一边的对角即AAS解三角形,三角形可能有0个解或1个解或两个解.解决此类问题通常运用数形结合法.
已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图
形
关系式
①a=bsin
A
②a≥b
bsin
A
aA
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
【定向训练】
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=
,A=30°,若B为锐角,
则A∶B∶C=
( )
A.1∶1∶3
B.1∶2∶3
C.1∶3∶2
D.1∶4∶1
【解析】选B.因为a=1,b=
,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理得sin
B=
,则B=60°,所以C=90°,则A∶B∶C=1∶2∶3.
2.已知△ABC中,a=2
,c=2
,A=45°,解三角形.
【解析】因为a=2
,c=2
,A=45°,
所以由正弦定理
得sin
C=
又0°当C=60°时,B=75°,sin75°=
b=
当C=120°时,B=15°,sin15°=
,
b=
探究点二 利用正弦定理判断三角形的形状
【典例2】1.若
,则△ABC是
( )
A.等腰直角三角形
B.有一内角是30°的直角三角形
C.
等边三角形
D.
有一内角是30°的等腰三角形
2.在△ABC中,已知
,则△ABC的形状是________三角形.?
【思维导引】1.由正弦定理可得tan
B=tan
C=1,从而判断△ABC的形状.
2.切化弦后,利用正弦定理判断.
【解析】1.选A.在△ABC中,
,
则由正弦定理可得
,即tan
B=tan
C=1,
所以B=C=45°,A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.
2.由正弦定理得
,即cos
A=cos
B,
故A=B,所以△ABC为等腰三角形.
答案:等腰
【类题通法】
判断三角形形状的常用方法及步骤
(1)方法:化边为角或化角为边.
(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理化边为角或化角为边,
第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.
【定向训练】
在△ABC中,如果lg
a-lg
c=lg
sin
B=-lg
,且B为锐角,试判断此三角形的
形状.
【解题指南】由lg
sin
B=-lg
,可得sin
B=
,求得B=45°.
再由lg
a-lg
c=-lg
可得
,可由正弦定理求角.
【解析】因为lg
sin
B=-lg
,
所以sin
B=
,
又因为B是锐角,所以B=45°.
因为lga-lgc=-lg
,
所以
,
由正弦定理得
,
得2sin(135°-C)=
sin
C,
即2(sin
135°cos
C-cos
135°sin
C)=
sin
C,
所以cos
C=0,所以C=90°,所以A=B=45°,
所以△ABC是等腰直角三角形.
探究点三 计算三角形的面积
【典例3】已知△ABC中,sin
Ccos
A=
,cos
Csin
A=-
.
(1)求sin
A的值.
(2)设AC=
,求△ABC的面积.
【思维导引】(1)由条件联立方程组,消去C得sin
A.
或求得sin(C-A)与sin(C+A)再计算sin
A.
(2)由正弦定理求BC,再计算S△=
absin
C.
【解析】(1)方法一:在△ABC中sin
Ccos
A=
,cos
Csin
A=-
.
得cos
C=-
,所以C为钝角,A为锐角.
所以
,得
两边平方得
整理,得
=0,所以sin2A=
,
又sin
A>0,所以sin
A=
.
方法二:在△ABC中,sin
Ccos
A=
,cos
Csin
A=-
.所以sin
Ccos
A-
cos
Csin
A=1,sin
Ccos
A+cos
Csin
A=
,
即sin(C-A)=1,sin(C+A)=sin
B=
,
所以C-A=
,且C+A=π-B,所以A=
所以sin
A=
所以sin2A=
,又sin
A>0,
所以sin
A=
.
(2)由题知sin
B=sin(A+C)=sin
Ccos
A+cos
Csin
A=
cos
B=
由正弦定理
,得BC=
又sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B=
所以S△ABC=
AC·BC·sin
C=
【类题通法】
求三角形面积的方法
(1)如果已知三角形的两边和夹角(SAS),直接代入三角形的面积公式计算.
(2)如果已知三角形的两角和一边(ASA、AAS),利用正弦定理计算边长,转化为SAS计算三角形的面积.
【定向训练】
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2
,a>b,C=
,tan
A·
tan
B=6.
(1)求a,b的值.
(2)计算△ABC的面积.
【解题指南】已知条件已给出tan
A·tan
B=6,利用两角和的正切公式可得
tan
A+tan
B,从而可得tan
A、tan
B的值,进而求得sin
A,sin
B的值,再利用
正弦定理可求得a,b及三角形的面积.
【解析】(1)由C=
,tan
A·tan
B=6,
得tan
A+tan
B=tan(A+B)·(1-tan
A·tan
B)
=-tan
C(1-6)=-tan
×(-5)=5.
又tan
A>0,tan
B>0,则A,B皆为锐角,又a>b,
则tan
A>tan
B,得tan
A=3,tan
B=2.
所以sin
A=
,sin
B=
由正弦定理得a=
(2)由(1)得S△ABC=
absin
C=
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=tan
B=
,cos
A=
.
(1)求sin
C的值.
(2)求△ABC的面积.
【解题指南】(1)由B=
,cos
A=
,
求sin
C=sin(
-A).
(2)由正弦定理求a,再计算S△=
absin
C.
【解析】(1)因为A,B,C为△ABC的内角,且tan
B=
,得B=
,且cos
A=
,
所以C=
-A,sin
A=
,
所以sin
C=
(2)由(1)知sin
A=
,sin
C=
,
又因为b=tan
B=
,所以在△ABC中,由正弦定理,
得a=
.所以△ABC的面积S=
absin
C=
【课堂小结】
课堂素养达标
1.在△ABC中,a=
b,A=120°,则角B的大小为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选A.由正弦定理
得
sin
B=
,因为A=120°,得B=30°.
2.在△ABC中,a=bsin
A,则△ABC一定是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.在△ABC中,a=bsin
A,由正弦定理,得
=b=
,则sin
B=1,
即角B为直角,故△ABC是直角三角形.
3.在△ABC中,A=60°,a=
,b=2,那么满足条件的△ABC
( )
A.有一个解
B.有两个解
C.无解
D.不能确定
【解析】选A.因为b=2,a=
,所以b一解.
4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos
A=
,cos
B=
,b=3,则
c=________.?
【解析】由已知条件可得sin
A=
,sin
B=
,
而sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B=
,
根据正弦定理
,得c=
.
答案:(共40张PPT)
9.1.2 余
弦
定
理
基础预习初探
1.回顾勾股定理及其逆定理:
(1)在Rt△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的关系是________.?
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度数为________.?
提示:(1)c2=a2+b2 (2)90°
2.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a=3,b=4,C=60°,如何计算c的值?
提示:方法一:如图,作AH⊥CB,垂足为H,在Rt△AHC中,AC=4,C=60°,∠CAH=30°,
得CH=2,HB=1,AH=2
,由勾股定理,得c=AB=
.
方法二:在△ABC中,
所以
,得
=
cos
60°
=9+16-2×3×4×
=13,所以c=
.
方法三:在△ABC中,a=3,b=4,C=60°,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos
C
=9+16-2×3×4×
=13,所以c=
.
【概念生成】
1.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们夹角
的余弦的积的____.即
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=a2+c2-2accosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
平方的和
2倍
2.变形公式
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
cos
A=
;
cos
B=
;
cos
C=
.
核心互动探究
探究点一 利用余弦定理计算边长
【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b=
,C=
,则c=
( )
A.1
B.2
C.3
D.
2.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________,∠ADB=________.?
【思维导引】1.利用余弦定理计算.
2.利用三角形内角和定理以及余弦定理计算.
【解析】1.选D.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos
C=4+3-2×2×
cos
=13,
所以c=
.
2.由△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,
且A+B+C=π,可得B=
.
AB=1,BC=4,则BD=2,由余弦定理,
得AD=
在△ABD中,因为AB2+AD2
=BD2,
所以∠BAD=
,∠ADB=
.
答案:
【类题通法】
利用余弦定理计算的注意事项
1.如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.
2.注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.
【定向训练】
1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos
,BC=1,AC=5,则AB=
( )
A.4
B.
C.
D.2
【解析】选A.cos
C=2cos2
-1=2×
-1=-
,
在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos
C,
得AB2=25+1-2×5×1×
=32,所以AB=4
.
2.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2
x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数.
(2)求AB的长.
【解题指南】(1)根据诱导公式可求角C的度数.
(2)用余弦定理可求得AB的长.
【解析】(1)由2cos(A+B)=1,得cos
C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-
.
且0°(2)因为a,b是方程x2-2
x+2=0的两根,所以a+b=2
,ab=2,所以
AB2=a2+b2-2abcos120°=(a+b)2-ab=10,得AB=
.
探究点二 利用余弦定理计算角
【典例2】1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值
为
( )
2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin
B-
sin
C)2=sin2A-sin
Bsin
C.
(1)求A.
(2)若
a+b=2c,求sin
C.
【思维导引】1.设等腰三角形的底边和腰,利用余弦定理计算.
2.(1)利用正弦定理得到b2+c2-a2=bc,利用余弦定理求cosA再计算A.
(2)利用正弦定理将三边的等式转化为三角函数关系式,利用整体角代换法
及和差角的正弦公式计算sin
C=
【解析】1.选D.设等腰三角形ABC的底边长为a,腰为b,则周长为a+2b,
依题意得a+2b=5a,所以b=2a,那么等腰三角形的顶角A的余弦值为
cos
A=
2.(1)由(sin
B-sin
C)2=sin2A-sin
Bsin
C
得sin2B+sin2C-sin2A=sin
Bsin
C,
故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos
A=
因为0°(2)由(1)知B=120°-C,由
a+b=2c及正弦定理得
sin
A+sin(120°－C)
=2sin
C,即
cos
C+
sin
C=2sin
C,
可得
sin
C-cos
C=
,即
所以cos(C+60°)=-
.
由于0°,
故sin
C=sin(C+60°－60°)
=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin
60°=
【类题通法】
由余弦定理求角的方法技巧
1.如果已知三角形的三边(即SSS)解三角形,那么通常运用余弦定理的变形
公式计算.
2.由余弦定理的变形公式cos
C=
,容易得到下列常用的结论:
C=90°?c2=a2+b2,C<90°?c290°?c2>a2+b2.
提醒:若C是三角形的最大的角,则C≥60°,若C是三角形的最小的角,
则C≤60°.
【定向训练】
1.已知三角形的三边满足条件
=1,则A=
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【解析】选C.由题得a2-b2-c2+2bc=bc,所以b2+c2-a2=bc,所以2bccos
A=bc,
所以cos
A=
,因为0.
2.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin
Bsin
C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin
Bsin
C,
所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cos
A=
因为A∈(0,π),所以A=
(2)由(1)知A=
,又BC=3,所以由余弦定理得:
BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos
A=AC2+AB2+AC·AB=9,
即(AC+AB)2-AC·AB=9.
因为AC·AB≤
(当且仅当AC=AB时取等号),
所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-
解得:AC+AB≤2
(当且仅当AC=AB时取等号),所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3+2
,所以△ABC周长的最大值为3+2
.
【补偿训练】
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长.
(2)求sin
2C的值.
【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可知,
BC2
=
AC2
+
AB2-2AC·AB·cos
A
,
即BC2=32+22-2×3×2×cos
60°,解得BC=
.
(2)由正弦定理可知,
即
,解得sin
C=
,由余弦定理可得,
cos
C=
所以sin
2C=2sin
Ccos
C=
2×
探究点三 由余弦定理判断三角形的形状
【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状
为
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上均有可能
【思维导引】利用a3+b3=c3得到
=1,且c为最大的边,通过不等式的性
质转化为
>1,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.
【解析】选A.依题意知c边最大.因为a3+b3=c3,
所以
=1,所以0<
<1,0<
<1,
所以
所以
>1,
即a2+b2-c2>0,cos
C=
>0,
所以0,所以△ABC为锐角三角形.
【类题通法】
判断三角形形状的方法技巧
判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形:
(1)一个方向是转化为角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理进行边化角.
(2)另一个方向是转化为边,走代数变形之路,通常是正弦定理、余弦定理结合使用.
【定向训练】
1.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=2bcos
C,则△ABC的形状
为
( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰或直角三角形
【解题指南】利用余弦定理的变形公式转化为三边关系判断.也可以用正弦定理,转化为三角形的内角的三角函数关系判断.
【解析】选A.方法一:在△ABC中,a=2bcos
C,
由正弦定理得2Rsin
A=4Rsin
Bcos
C,
又sin
A=sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C,
得sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=0,
所以sin(B-C)=0,得B-C=0,B=C,所以b=c,
即△ABC为等腰三角形.
方法二:在△ABC中,由余弦定理得cos
C=
所以a=2bcos
C=2b·
,得a2=a2+b2-c2,
所以b=c,△ABC的形状为等腰三角形.
2.(1)已知在△ABC中,
,试判断三角形的形状.
(2)已知在△ABC中,
,试判断三角形的形状.
【解析】(1)方法一:利用正弦定理将边转化为角.
因为
,所以bcos
A=acos
B,又b=2Rsin
B,
a=2Rsin
A,所以2Rsin
Bcos
A=2Rsin
Acos
B,
所以sin
Acos
B-cos
Asin
B=0,所以sin(A-B)=0.
因为0所以A-B=0,即A=B,故三角形是等腰三角形.
方法二:利用余弦定理将角化为边.
因为由题意得bcos
A=acos
B,
所以b·
所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,
所以a2=b2,所以a=b.故此三角形是等腰三角形.
(2)方法一:由已知
及正弦定理得
所以sin2A=sin2B.
所以2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=
,
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法二:由已知
,得bcos
B=acos
A,
所以
所以b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),
所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
所以a=b或a2+b2=c2?C=90°.
故此三角形是等腰三角形或直角三角形.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.在△ABC中,
三边长a,b,c的对角分别为A,B,C,已知a=2,b=3,cos
C=
,
则c的值为
( )
A.2
B.3
C.
D.
【解析】选B.因为c2=a2+b2-2abcos
C=22+32-2×2×3×
=9,所以c=3.
2.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值
( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不确定
【解析】选C.cos
B=
所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.
3.已知三角形的三边长度分别为6,3
,3
,则三角形的最大内角的度数
为
( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
【解析】选C.因为三角形的三边长度6,3
,3
中,3
是最大的边,
则三角形的最大内角θ满足cos
θ=
所以θ=135°.
4.在△ABC中,A=60°,最大边和最小边是方程x2-9x+8=0的两个正实数根,
则边BC=________.?
【解析】因为A=60°,所以最大边和最小边所夹的角为A,AB,AC为x2-9x+8=0
的两个正实数根,
则AB+AC=9,AB×AC=8,所以BC2=AB2+AC2-2×AC×AB×cos
A=
(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cos
A)=92-2×8×
=57.所以BC=
.
答案:(共47张PPT)
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
核心互动探究
探究点一 测量不可到达的两点之间的距离
【典例1】1.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120
m,则河的宽度为________.?
2.如图,设A,B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60
m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.
【思维导引】1.过点C作CD⊥AB,求CD即可.
2.在三角形中由正弦定理计算距离.
【解析】1.在△ABC中,过点C作CD⊥AB,因为AB=120
m,
∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=75°,
所以AC=AB=120
m,则河的宽度为CD=ACsin
30°=60
m.
答案:60
m
2.∠ABC=180°-75°-45°=60°,
所以由正弦定理得,
所以AB=
(m).
即A,B两点间的距离为20
m.
【类题通法】
求距离问题时应注意的两点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【定向训练】
1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时
气球的高是60
m,则河流的宽度BC等于( )
A.30(
+1)m
B.120(
-1)m
C.180(
-1)m
D.240(
-1)m
【解题指南】记A点正下方为O,在△AOB与△AOC中,根据题中数据,分别求出OB,OC,则BC=OC-OB.
也可以先求出AB,再利用正弦定理计算BC.
【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60
m,
∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由
=tan75°=tan(45°+30°)
=
得到OB=
=60(2-
)(m),
在Rt△AOC中,由
=tan30°=
得到OC=
=60
(m),
所以河流的宽度BC=OC-OB=60
-60(2-
)=120(
-1)m.
方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60
m,∠ABO=75°,
∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
,
所以AB=
m,在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理得
,
所以BC=
=120(
-1)m.
2.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1
km.试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D间的距离(计算结果用根号表示).
【解题指南】先求∠ADC与∠BCD,进而可发现CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.
【解析】在△ADC中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1
km,
又因为∠BCD=180°-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,即B,D间的距离与另外B,A两点间的距离相等.
在△ABC中,
即AB=
km,
因此BD=
km,故B,D间的距离为
km.
探究点二 航行中的距离问题
【典例2】如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,求A,B两处岛屿间的距离.
【思维导引】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,接着在△ABD中由余弦定理求得AB.
【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,
所以∠CAD=45°,
由正弦定理可得:
解得AD=
(海里).
在Rt△DCB中,∠BDC=45°,
所以BD=
CD=40
(海里).
在△ABD中,由余弦定理可得:
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB
=800+3
200-2×20
×40
×
=2
400,
解得AB=20
(海里).
答:A,B两处岛屿间的距离为20
海里.
【类题通法】
航行问题的解题技巧
(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.
(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.
【定向训练】
一艘海轮从A出发,沿北偏东80°的方向航行6
n
mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东20°的方向航行6
n
mile后到达海岛C.如果直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
【解题指南】要求航行方向及航行距离,只要在△ABC中求出∠BAC以及AC即可.
【解析】在△ABC中,AB=BC=6
n
mile,
∠ABC=180°-80°+20°=120°,
所以∠BAC=∠BCA=30°,
由余弦定理得AC=
又∠BAC=30°,所以80°-∠BAC=50°.
答:此船应该沿北偏东50°的方向航行,需要航行6
n
mile.
【补偿训练】
如图所示,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C
31
km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20
km后到达D处,测得C,D两处的距离为21
km,这时此车距离A城多少千米?
【解析】在△BCD中,BC=31
km,
BD=20
km,CD=21
km,
由余弦定理得cos∠BDC=
所以cos∠ADC=
,
所以sin∠ADC=
在△ACD中,由条件知CD=21
km,
∠BAC=20°+40°=60°,
所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=
由正弦定理得
所以AD=
=15(km).
故这时此车距离A城15
km.
探究点三 高度、角度问题
【典例3】1.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600
m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.?
2.如图,已知两条公路AB,AC的交汇点A处有一学校,现拟在两条公路之间的区
域内建一工厂P,在两公路旁M,N(异于点A)处设两个销售点,且满足∠A=∠PMN=75°,MN=(
+
)千米,PM=2
千米,设∠AMN=θ.
(1)试用θ表示AM,并写出θ的范围;
(2)当θ为多大时,工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最
远).(注:sin
75°=
)
【思维导引】1.将空间几何问题转化为平面几何问题,解三角形.
2.(1)利用正弦定理解决;
(2)由余弦定理转化为求三角函数的最小值.
【解析】1.如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600
m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,
在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,
由
得BC=
=300
(m).
在Rt△BCD中,CD=BC·tan
∠CBD=300
×
=100
(m).
答案:100
2.(1)因为∠AMN=θ,在△AMN中,
由正弦定理得
因为MN=
,所以AM=4sin(75°+θ)(0°<θ<105°).
(2)连接AP,在△APM中,AM=4sin(75°+θ),
所以由余弦定理得AP2=AM2+MP2-2AM·MPcos∠AMP
=16sin2(75°+θ)+12-16
·sin(75°+θ)cos(75°+θ)
=8[1-cos(2θ+150°)]-8
sin(2θ+150°)+12
=20-8[
sin(2θ+150°)+cos(2θ+150°)]
=20-16sin(2θ+180°)
=20+16sin2θ(0°<θ<105°),
当且仅当2θ=90°,即θ=45°时,AP2取得最大值36,即AP取得最大值6.
所以当θ=45°时,工厂产生的噪声对学校的影响最小.
【类题通法】
计算高度的注意事项
(1)解决有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是关键.
(2)在实际问题中,当研究空间与平面(地面)的问题时,通常画两个图形,一个
空间图形,一个平面图形,把空间问题转化为平面问题,明确三角形中的边长和
角度,确定应用正弦定理或余弦定理计算.
提醒:
【定向训练】
1.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到
B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ=
( )
A.a米
B.
米
C.
a米
D.
a米
【解题指南】设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,
∠PAB=α-β=15°,∠BPA=
=γ-α=30°,
由正弦定理可求PB,根据PQ=PC+CQ=PB·sin
γ+asin
β可得结果.
【解析】选C.设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,
在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,
∠BPA=
=γ-α=30°,
由正弦定理得
,所以PB=
a.
所以PQ=PC+CQ=PB·sin
γ+asin
β
=
a×sin
60°+asin
15°=
a(米).
2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.
【解题指南】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.
【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/时,
如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.
由余弦定理得:
BO2=AO2+AB2-2AO·ABcos
A.
所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos
(90°-30°),
即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0①当0000+1
600(v2-900)
=1
600(v2-675),令Δ=0,
即1
600(v2-675)=0,
则v=15
,
1°当0时,两船不会相遇;
2°当15
≤v<30时,
当
时,
令x=
则x∈[0,15),
当且仅当x=0,即v=15
时,等号成立;
当
时,同理可得
;
所以当15
≤v<30时,t>
;
②当v=30时,可求得t=
;
综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是
,
此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:
小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/时,此时小艇能以最短的时
间与轮船相遇.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得
∠ACB=30°,则A,B间的距离应为
( )
A.6米
B.4
米
C.6
米
D.12
米
【解析】选B.在△ABC中,A=90°,
∠ACB=30°,
由tan
30°=
,得AB=ACtan30°=4
(米).
2.在某次测量中,A在B的北偏东55°,则B在A的
( )
A.北偏西35°
B.北偏东55°
C.北偏东35°
D.南偏西55°
【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出示意图,如图所示.α=55°,
则β=α=55°,所以B在A的南偏西55°.
3.如图,要测出山上信号发射塔BC的高,从山脚A测得AC=30
m,塔顶B的仰角为45°,塔底C的仰角为15°,则信号发射塔BC的高为
( )
A.15
m
B.15
m
C.30
m
D.30
m
【解析】选B.由题意可知,AC=30
m,∠BAD=45°,∠CAD=15°,得∠B=45°,
∠BAC=30°,由正弦定理可知,
解得BC=15
m.
4.一轮船向正北方向航行,某时刻在A处测得灯塔M在正西方向且相距20
海
里,另一灯塔N在北偏东30°方向,继续航行20海里至B处时,测得灯塔N在南偏
东60°方向,则两灯塔之间的距离是________海里.?
【解析】由已知得AM=20
海里,AB=20海里,∠BAN=30°,∠ABN=60°,
所以∠ANB=90°,AN=20×
=10
(海里).而∠MAN=120°,故
MN2=1
200+300-2×20
×10
×
,所以MN=10
海里.
答案:10