(共40张PPT)
第十一章
立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
新课程标准
素养风向标
1.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
2.了解空间图形的不同表示形式.
1.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图,会画出某些建筑物或零件的直观图.(数学抽象)
2.掌握直观图与原图形之间的转换,并能根据直观图求解原图形的相关问题.(直观想象)
基础预习初探
空间几何体在生活中很常见,你知道这些几何体是如何画出来的吗?
观察下面的图形,回答有关问题:
(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化?
提示:由直角变成锐角或钝角.
(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察,你能发现什么?
提示:从位置关系看:图1中平行的线段,在图2中保持平行.
从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.
【概念生成】
1.几何体的定义
如果只考虑一个物体占有的空间_____和_____,而不考虑其他因素,则这个空
间部分通常可抽象为一个几何体.
2.直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内,使得既富有立体感,又
能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.
形状
大小
3.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x′轴和y′轴,使得
它们正方向的夹角为_____(或135°).
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与______平行(或重合)的线段,
且长度_____.
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与______平行(或重合)的线段,且长
度为原来长度的_____.
(3)连接有关线段,擦去作图过程中的_______.
45°
x′轴
不变
y′轴
一半
辅助线
核心互动探究
探究点一 画平面图形的直观图
【典例1】按如图所示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
【思维导引】按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.
【解析】画法:
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴
上取O′E′=
OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上取
G′A′=
GA,H′D′=
HD.
(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
【类题通法】
直观图的画法
1.画水平放置的平面多边形的直观图,关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或在与轴平行的线段上;另一类是不在轴上,且不在与轴平行的线段上,遇到这类顶点一般要过此点作与轴平行的线段,将其转化到与轴平行的线段上.
2.注意直观图中的“变”与“不变”.在用平面图形表示其直观图时,“不变”的有:
(1)平行关系不变;
(2)点的共线性不变;
(3)线的共点性不变.
“变”的有:(1)角的大小有变化;
(2)垂直关系有变化;
(3)某些线段的长度有变化.
提醒:同一个图形选取的坐标系不同,得到的直观图可能不同.
【定向训练】
如图所示,在△ABC中,BC边上的高为AD,试用斜二测画法画出其直观图.
【解析】(1)先在三角形ABC中建立如图①所示的直角坐标系
xOy,再建立如图②所示的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.
(2)在坐标系x′O′y′中,在x′轴上截取O′B′=OB,O′C′=OC;在y′轴上截
取O′A′,使O′A′=
OA.
(3)连接A′B′,C′A′,擦去辅助线得到△A′B′C′,即为△ABC的直观图.
探究点二 画空间几何体的直观图
【典例2】画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【思维导引】画轴→画底面→画顶点→成图.
【解析】画法:(1)画轴:
画O′x′轴、O′y′轴、O′z′轴,∠x′O′y′=45°(或135°),
∠x′O′z′
=90°,如图①.
(2)画底面:以O′为中心,在x′O′y′平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点:在O′z′轴上截取O′P,使O′P的长度是原四棱锥的高.
(4)成图:顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②.
【类题通法】
空间图形的直观图的画法
1.画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为:“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变”.
【定向训练】
用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
【解析】(1)画轴:画x′轴、y′轴、z′轴,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°.
(2)画底面:在面x′O′y′内,画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱:过A,B,C,D,E,F分别作z′轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′,FF′都等于侧棱长.
(4)成图:顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,F′各点,并加以整理就得到正六棱柱的直观图,如图所示.
【补偿训练】
画出长为1.6
cm,宽为1.4
cm,高为1.6
cm的长方体的直观图.
【解析】(1)画出x轴、y轴、z轴三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图所示.
(2)在x轴上取OA=1.6
cm,在y轴上取OC=0.7
cm,过点A作AB∥OC,过点C作CB∥OA,则四边形OABC为下底面.
(3)在z轴上取OO′=1.6
cm,过点O′作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系x′O′y′,重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.
(4)连接AA′,BB′,CC′,OO′,
即得到长方体OABC-O′A′B′C′的直观图.
探究点三 直观图的还原和计算问题
【典例3】如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法下的直观图,C′A′=2,B′D′∥y′轴,且B′D′=1.5.
(1)画出△ABC;
(2)求△ABC的面积.
【思维导引】解答本题的关键是点B位置的还原.
【解析】(1)步骤:①画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O′A′,即CA=C′A′;
②在x轴上取OD=O′D′,过点D作DB∥y轴,并使DB=2D′B′.③连接AB,BC,即得到△ABC,如图.
(2)因为B′D′∥y′轴,所以BD⊥AC.
又B′D′=1.5,且A′C′=2,
所以BD=3,AC=2.
所以S△ABC=
BD·AC=3.
【类题通法】
1.直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
2.直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′=
S或S=
2
S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原
图形面积.
【定向训练】
如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥
C1D1,A1B1=
C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形的形状,并求出原图形的面
积.
【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形.
由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,
直角腰的长度AD=2,
所以面积为S=
×2=5.
【补偿训练】
如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6
cm,C′D′=2
cm,则原图形的形状是________.?
【解析】如图所示,在原图形OABC中,应有OD=2O′D′
=2×2
=4
(cm),
CD=C′D′=2(cm),
所以OC=
=6(cm),
所以OA=OC,故四边形OABC是菱形.
答案:菱形
【课堂小结】
课堂素养达标
1.有下列叙述:
①相等的角,在直观图中仍相等;
②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;
③若两条线段互相平行,则在直观图中对应的线段仍互相平行;
④若两条线段互相垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.
其中正确的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.从原图到直观图只能保证平行的线段仍互相平行,故只有③正确.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A′等于
( )
A.45°
B.135°
C.90°
D.45°或135°
【解析】选D.因为∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90°.在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.
3.如图所示,为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为________.?
【解析】
画出直观图,BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为
.
答案:
4.如图所示的直观图△A′O′B′,其平面图形的面积为________.?
【解析】由直观图可知其对应的平面图形AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=4,
所以S△AOB=
OA·OB=6.
答案:6(共35张PPT)
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
新课程标准
素养风向标
1.通过对长方体的认识,了解构成几何体的基本元素和它们之间的关系.
2.掌握点、线、面之间的位置关系.
3.理解异面直线的定义,会画两条异面直线.
1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.(直观想象)
2.了解轨迹和图形的关系.(数学抽象)
3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.(逻辑推理)
4.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面之间的位置关系.(直观想象)
基础预习初探
1.在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分,如果我们只考虑一个物体占空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体,那么构成几何体的基本元素有哪些?这些元素之间有怎样的关系?
2.空间几何体在生活中很常见,你知道这些几何体是如何画出来的吗?
继续探究:(1)直线平行移动一定形成平面吗?
提示:不一定,还可能形成曲面.
(2)观察如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′,回答下面问题.
①直线D′C与平面DCC′D′有多少个公共点?
提示:直线D′C与平面DCC′D′有无数个公共点.
②直线D′C与平面BCC′B′有多少个公共点?
提示:直线D′C与平面BCC′B′有一个公共点.
③直线D′C与平面ABB′A′有多少个公共点?
提示:直线D′C与平面ABB′A′没有公共点.
【概念生成】
1.构成空间几何体的基本元素
___、___、___是构成空间几何体的基本元素.
2.点、直线、平面位置关系的符号表示
一般用集合符号“∈”“∩”“?”等描述点、直线、平面之间的位置关系.
若A是点,l,m是直线,α,β是平面,则有:
点
线
面
图形语言
文字语言
符号语言
点A在直线l上
____
点A在直线l外
___
点A在平面α内
______
点A在平面α外
_____
A∈l
A?l
A∈α
A?α
图形语言
文字语言
符号语言
直线l在平面α内
_____
直线l在平面α外
____
直线l,m相交于点A
______
l?α
l?α
l∩m=A
图形语言
文字语言
符号语言
直线l与平面α
相交于点A
_______
平面α,β相交于直线l
________
l∩α=A
α∩β=l
3.空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线:空间中的两条直线可以既不平行,也不_____,此时称这两条直线
异面.
(2)空间中直线与直线有_____、_____与_____三种位置关系.
相交
相交
平行
异面
4.空间中直线与平面的位置关系
位置
关系
直线a在平面
α内
直线a与平面
α相交
直线a与平面
α平行
公共点
个数
_______
____
____
符号
语言
描述
______
________
______
图形
语言
描述
无数个
1个
0个
a?α
a∩α=A
a∥α
直线与平面相交或平行的情况统称为_____________.
5.空间中平面与平面的位置关系
位置关系
图形语言描述
符号语言描述
公共直线
两平面
平行
_______
无
两平面
相交
_________
_______________
直线在平面外
α∥β
α∩β=a
有一条公共直线
6.直线与平面垂直的定义
一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内_________过点A的直
线m,都有l⊥m,则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线,α是直线l的
一个垂面),记作l⊥α,其中点A称为垂足.
7.空间中的距离
(1)点到平面的距离
由长方体可以看出,给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以
作平面α的一条_____.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的射影(也称为投
影),线段___为平面α的垂线段,AB的长为点A到这个平面的距离.
任意一条
垂线
AB
(2)直线到平面的距离
当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面
的距离.
(3)两平行平面间的距离
当平面与平面_____时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两个
平行平面之间的距离.
平行
核心互动探究
探究点一 几何体的基本元素
【典例1】试指出下图中各几何体的基本元素.
【思维导引】联想实物从点、线、面三个角度进行观察.
【解析】(1)中几何体有6个顶点,12条棱和8个面.
(2)中几何体有12个顶点,18条棱和8个面.
(3)中几何体有6个顶点,10条棱和6个面.
(4)中几何体有2条曲线,3个面(2个平面和1个曲面).
【类题通法】
构成空间几何体的基本元素的特性
点是最基本的元素,只有位置,没有大小;直线没有粗细,向两方无限延伸;平面没有厚度,向周围无限延展.要熟记这三种基本元素的特点.在现实生活中要多观察几何体,以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识.
【定向训练】
如图所示,该几何体是某同学课桌的大致轮廓,请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面,并将它们列举出来.
【解析】面可以列举如下:
平面A1A2B2B1,平面A1A2D2D1,平面C1C2D2D1,
平面B1B2C2C1,平面A1B1C1D1,平面A2B2C2D2.
线可以列举如下:直线AA1,直线BB1,直线CC1,直线DD1,直线A2B2,直线C2D2等;
点可以列举如下:点A,点A1,点B,点B1,点C,点C1,点D,点D1,点A2,点B2,点C2,点D2.
它们共同组成了课桌这个几何体.
【补偿训练】
指出所给两个几何图形的面、顶点、棱,并指出它们分别由几个面围成,各有多少条棱?多少个顶点?
【解析】(1)中,面SAB、面SBC、面SCD、面SAD、面ABCD,共5个,棱SA、SB、SC、SD、AB、BC、CD、DA,共8条,顶点S、A、B、C、D,共5个.
(2)中,面ABCD、面A1B1C1D1、面ABB1A1、面BCC1B1、面CDD1C1、面DAA1D1,共6个,棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1、A1A、B1B、C1C、D1D,共12条,顶点A1、B1、C1、D1、A、B、C、D,共8个.
探究点二 三种语言的转化
【典例2】(1)用符号语言表示下面的语句.
平面ABD与平面BDC交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC;
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述α∩β=l,A∈l,AB?α,AC?β.
【思维导引】根据点、线、面位置关系的符号表示判断.
【解析】(1)用符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.
(2)用文字语言叙述为:点A在平面α与平面β的交线l上,直线AB,AC分别在平面α、β内.
【类题通法】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
(3)转化时要注意符号的使用,“∈”或“?”反映的是点与线,点与面的关系,而“?”或“?”反映的是直线与平面的关系.
【定向训练】
平面α与平面β平行,且a?α,有下列四种说法:
①a与β内的所有直线都平行;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任意一条直线都不垂直;④a与β无公共点.其中正确说法的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.如图,在长方体中,平面ABCD∥平面A′B′C′D′,A′D′?平面A′B′C′D′,AB?平面ABCD,A′D′与AB不平行,且A′D′与AB垂直,所以①③错误.
探究点三 直线与平面、平面与平面的位置关系
【典例3】如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个?
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个?
(3)与平面BC′垂直的平面有哪几个?
(4)与棱AB异面的棱有哪些?
(5)与平面A′B′BA平行的平面有哪些?
【思维导引】细心观察图形,找出与直线B′C′和平面BC′平行、垂直的平面,与棱AB异面的棱,与平面A′B′BA平行的平面.
【解析】(1)与直线B′C′平行的平面有:平面AD′,平面AC.
(2)与平面BC′平行的平面有:平面AD′.
(3)与平面BC′垂直的平面有:平面AB′,平面A′C′,
平面CD′,平面AC.
(4)如题图,长方体ABCD-A′B′C′D′中,与AB异面的棱有A′D′,B′C′,CC′,DD′四条.
(5)与平面A′B′BA平行的平面有CDD′C′一个.
【类题通法】
判断线面位置关系的方法
1.解决此类问题的关键在于识图,根据图形识别直线与平面平行、垂直,平面与平面平行、垂直.
2.长方体和正方体是立体几何中的重要几何体,对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系.
【定向训练】
直线a在平面γ外,则
( )
A.a∥γ
B.a与γ至少有一个公共点
C.a∩γ=A
D.a与γ至多有一个公共点
【解析】选D.直线a在平面γ外,包括两种情况,一种是平行,另一种是相交.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.下列关于长方体的叙述不正确的是
( )
A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B.长方体中相对的面都相互平行
C.长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D.两底面之间的棱互相平行且等长
【解析】选A.将一个矩形沿不与面垂直的方向平移时不能形成长方体.
2.如图所示,下列符号表示错误的是
( )
A.l∈α
B.P?l
C.l?α
D.P∈α
【解析】选A.观察图知:P?l,P∈α,l?α.A错.
3.看图填空:
(1)平面AB1∩平面A1C1=________;?
(2)平面A1C1CA∩平面AC=________.?
答案:(1)A1B1 (2)AC(共34张PPT)
11.1.3 多面体与棱柱
新课程标准
素养风向标
1.了解多面体的概念及特征.
2.理解棱柱概念及结构特征.
1.了解多面体的定义及其分类.(数学抽象)
2.理解棱柱的定义和结构特征.(直观想
象)
基础预习初探
1.观察下列空间几何体:
以上几何体有什么共同特征?
提示:这些物体都是由若干个平面多边形围成的,这些物体统称为多面体.
2.观察下面的多面体:
它们有什么共同特点?
提示:它们的共同特点是:(1)上、下两个底面是平行的且全等;(2)侧棱长都相等,侧面是平行四边形.
【概念生成】
1.多面体的有关概念:
(1)定义:
一般地,由若干个___________所围成的封闭几何体称为多面体.
(2)各部分名称:
①面:围成多面体的各个多边形;
②棱:相邻两个面的_______;
③顶点:棱与棱的公共点.
平面多边形
公共边
④面对角线:一个多面体中连接_________________的线段,如果不是多面体的
棱,就称其为多面体的面对角线.
⑤体对角线:连接_______________________的线段称为多面体的体对角线.
⑥截面:一个几何体和一平面相交所得的_________(包含它的内部),称为这个
几何体的一个截面.
同一面上两个顶点
不在同一面上的两个顶点
平面图形
2.棱柱
(1)定义:有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱.
(2)有关概念:
①底面:_________________;
②侧面:_________;
③侧棱:_________________;
④顶点:_____________________.
⑤高:过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段
(或它的长度)称为棱柱的高.
两个互相平行的面
其他各面
两个侧面的公共边
侧面与底面的公共顶点
(3)棱柱的表示法.
用底面上的顶点来表示.如:如图所示的棱柱可以表示为棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,也可表示为棱柱AD1等.
(4)棱柱的分类.
按底面的_____分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱……
棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.
①斜棱柱:侧棱_______于底面的棱柱.
②直棱柱:侧棱_____于底面的棱柱.
③正棱柱:底面是正多边形的_______.
形状
不垂直
垂直
直棱柱
④平行六面体:底面是___________的棱柱,即平行六面体的六个面都是平行四
边形.
⑤长方体:底面是矩形的_____________.
⑥正方体:棱长都相等的_______.
平行四边形
直平行六面体
长方体
核心互动探究
探究点一 对多面体的识别和判断
【典例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的
几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示.
【思维导引】观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题
【解析】(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,且是四棱柱.
因为平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,且其余各面都是平行四边形,且顶点都在这两个面上.
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且顶点都在这两个面上,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与平面DCND1,其余各面都是四边形,并且顶点都在这两个面上,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.
【类题通法】
正确判断几何体类型的方法
要正确判断几何体的类型,就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征.对于有些四棱柱,互相平行的平面不只是两个,所以对于底面来说并不固定.棱柱的概念中两个面互相平行,指的是两个底面互相平行.但由于棱柱的放置方式不同,两个底面的位置就不一样,但无论如何放置,都应该满足棱柱的定义.
提醒:判断棱柱的关键是看该几何体是否满足棱柱的概念,特别是看其是否存在两个互相平行的面.
【定向训练】
下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是
( )
【解析】选D.A,B,C中底面图形的边数与侧面的个数不一致,故不能围成棱柱.
【补偿训练】
有两个面互相平行,其余各面均为平行四边形的几何体一定是棱柱.这种说法是否正确?如果正确,说明理由;若不正确,举出反例.
【解析】这种说法不正确.如图所示的几何体,它由两个等底的四棱柱组合而成,它有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,但相邻的两个侧面的公共边并不都平行.因此该几何体不是棱柱.
探究点二 几种常见四棱柱的关系
【典例2】下列说法正确的是
( )
A.棱柱的面中,至少有两个互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中各条棱长都相等
D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【思维导引】依据棱柱的相关概念判断.
【解析】选A.由棱柱的定义知,棱柱的底面平行,故A正确;正方体相对的两个面平行,但其也可以是侧面,故B错误;棱柱的侧棱相等,但是各条棱不一定都相等,故C错误;棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误.
【类题通法】
几种常见四棱柱的关系
【定向训练】
一个棱柱是正四棱柱的条件是
( )
A.底面是正方形,有两个面是矩形的四棱柱
B.底面是正方形,两个侧面垂直于底面的四棱柱
C.底面是菱形,且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D.底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
【解析】选D.选项A,B中,两个面为相对侧面时,四棱柱不一定是直四棱柱,C中底面不是正方形,故排除选项A,B,C.
探究点三 棱柱中的有关计算
【典例3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4.M为AA1的中点,P是BC上一点,
且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为
,设这条最短路线与CC1的
交点为N.求点P的位置.
【思维导引】把三棱柱的侧面展开后放在平面上,通过列方程来求出点P到点C
的距离,即确定了点P的位置.
【解析】把该三棱柱的侧面展开后如图所示.
设CP=x,则AP=3+x.
根据已知可得方程22+(3+x)2=29.解得x=2(负值舍去).
则点P为BC的三等分点,且靠近点B.
【类题通法】
立体图形的展开问题
解决空间几何体表面上两点间的最短路线问题,一般都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线段长,这体现了数学中的转化思想.
【定向训练】
如图,在直三棱柱ABB1-DCC1中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,DC上有一动点P,则△APC1周长的最小值是________.?
【解析】把△DCC1展到四边形ABCD所在的平面上,如图所示,
连接AC1,则PA+PC1≥AC1=
=5,
又在直三棱柱ABB1-DCC1中,
AC1=
所以△APC1的周长的最小值为5+
.
答案:5+
【补偿训练】
现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,
交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=
=64.
所以AB=8.所以直四棱柱的侧面积为4×8×5=160.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.在棱柱中,下列说法正确的是
( )
A.只有两个面平行
B.所有的棱都相等
C.所有的面都是平行四边形
D.两底面平行,且各侧棱也平行
【解析】选D.长方体也是棱柱,以长方体为例,可知A,B不正确,棱柱的两底面可以是三角形,五边形等,故C不正确.
2.下列三种说法中,正确的个数为
( )
①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱;
②底面是正多边形的棱柱是正棱柱;
③棱柱的侧面都是平行四边形.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.由直棱柱的定义,知①正确;由正棱柱的定义,知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故②错误;由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形,故③正确.
3.六面体的体对角线的条数为________.?
【解析】以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,如图,其中体对角线为A1C,D1B,AC1,B1D,共4条.
答案:4
4.一个棱柱至少有________个面;面数最少的棱柱有________个顶点,有________条棱.?
【解析】面数最少的棱柱是三棱柱,有5个面,6个顶点,9条棱.
答案:5 6 9(共39张PPT)
11.1.4 棱锥与棱台
新课程标准
素养风向标
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
1.知道空间几何体的概念及其含义,了解空间几何体的分类及其相关概念.(教学抽象)
2.了解棱锥、棱台的定义,知道他们的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(直观想象)
基础预习初探
1.日常生活中,你见过下面形状的几何体吗?它们都是什么几何体?
提示:①②③是棱锥,④⑤是棱台.
2.一个棱锥至少有几个面?一个N棱锥分别有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多少个顶点?
提示:一个棱锥至少有4个面,一个N棱锥有一个底面,N个侧面,N条侧棱,1个顶点.
继续探究:
(1)观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
提示:①区别:该多面体有两个面相互平行而棱锥没有.
②联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为棱台.
(2)如何判断一个多面体是棱台?
提示:要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行,其次把侧棱延长后看是否相交于一点,这两条都满足的几何体才是棱台.
【概念生成】
1.棱锥
(1)棱锥的有关概念.
如果一个多面体有一个面是_______,且其余各面都是_______________________,
则称这个多面体为棱锥.
多边形
有一个公共顶点的三角形
棱锥中,有公共顶点的各三角形称为棱锥的_____;各侧面的公共顶点称为棱锥
的_____;相邻两侧面的公共边称为棱锥的_____;是多边形的那个面称为棱锥
的_____;过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度)称为棱
锥的高.
侧面
顶点
侧棱
底面
(2)棱锥的表示法.
用顶点与底面各顶点的字母来表示.如上面的棱锥可表示为:
棱锥S-ABCD或棱锥S-AC.
(3)棱锥的分类.
按底面的_____分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥……
形状
(4)正棱锥的概念.
如果棱锥的底面是_________,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,则
称这个棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面都全等,___________________,这些等腰
三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的_____.
正多边形
而且都是等腰三角形
斜高
2.棱台
(1)棱台的有关概念.
一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得_____与_____间的多面体称
为棱台.原棱锥的底面与截面分别称为棱台的_______与_______;其余各面称
为棱台的_____;相邻两侧面的公共边称为棱台的_____;同棱柱一样,过棱台一个
底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为
棱台的高.
截面
底面
下底面
上底面
侧面
侧棱
(2)棱台的表示法.
可用上底面与下底面的顶点表示.如上面的棱台可表示为:
棱台ABCD-A′B′C′D′或棱台AC′.
(3)棱台的分类.
按底面的_____分为:三棱台、四棱台、五棱台……
(4)正棱台的概念.
由_______截得的棱台称为正棱台.正棱台侧面都全等,且都是_________,这些
等腰梯形的高也都相等,称为棱台的_____.
形状
正棱锥
等腰梯形
斜高
核心互动探究
探究点一 棱锥的概念及结构特征
【典例1】判断下列说法是否正确?为什么?
(1)棱锥的所有面可以全部是三角形.
(2)三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点,任何一个面都可作为棱锥的底面.
(3)一个棱锥至少有四个面.
(4)如果四棱锥的底面是正方形,那么其四条侧棱都相等.
(5)棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台.
(6)正棱锥的侧面全是正三角形.
【思维导引】按照棱锥、正棱锥的定义及结构特征分析判断.
【解析】(1)正确.三棱锥的所有面都是三角形.
(2)正确.三棱锥中每个顶点均可作为顶点,每个面均可作为棱锥的底面.
(3)正确.所有棱锥中,三棱锥面数最少,有四个面.
(4)不正确.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,也可以不相等.
(5)不正确.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一个棱锥和一个棱台.
(6)不正确.正棱锥的侧面一定是等腰三角形,但不一定是正三角形.
【类题通法】
判断棱锥有关命题真假的常用方法
(1)棱锥的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状、侧棱、棱之间的关系等.
(2)判断时要充分发挥空间想象能力,要善于借助常见的模型进行判断分析,并会列举恰当的反例.
【定向训练】
根据如图所示的几何体的表面展开图,画出立体图形.
【解析】该立体图形是以四边形ABCD为底面,P为顶点的四棱锥,其立体图形如图所示.
探究点二 棱台的概念及其结构特征
【典例2】在下列几何体中,是台体的是
( )
A.①②
B.①③
C.③
D.②③
【思维导引】根据棱台的定义进行判断.
【解析】选C.①中各侧棱的延长线不能交于一点,不是台体;②中虽然侧棱延长后能交于一点,但上底面不平行于下底面,不是台体;③中各侧棱延长后交于一点且两底面互相平行,是棱台.
【类题通法】
判断几何体是否是棱台的方法
在判断一个几何体是不是棱台时,一定要根据棱台的定义,看其是否满足两个条件:一是观察其各侧棱延长后能否交于一点;二是观察其两个底面是否平行.
【定向训练】
下列描述中,是棱台的性质的是________.(填序号)?
①两底面平行;②侧面都是梯形;③侧棱都相等,且平行;④侧棱延长后都交于一点;⑤底面不可能为三角形.
【解析】棱台是由棱锥截得的,截面与底面平行,①正确;棱台的侧面都是梯形,②正确;③错误;棱台侧棱延长后必交于一点,④正确;由三棱锥截得的棱台为三棱台,其底面是三角形,⑤错误.
答案:①②④
探究点三 棱锥、棱台的计算问题
【典例3】正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2
,求正三棱锥的高.
【思维导引】正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解.
【解析】作出正三棱锥如图,
SO为其高,连接AO,作OD⊥AB于点D,则点D为AB的中点.在Rt△ADO中,AD=
,
∠OAD=30°,故AO=
在Rt△SAO中,SA=2
,AO=
,
故SO=
=3,其高为3.
【延伸探究】
1.将本例中“侧棱长为2
”,改为“斜高为2
”,则结论如何?
【解析】作出正三棱锥如图,SO为其高.
连接AO,作OD⊥AB于点D,连接SD.
在Rt△SDO中,SD=2
,DO=
故SO=
2.将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”,如何解答?
【解析】如图正四棱锥S-ABCD中,SO为高,连接OC.
则△SOC是直角三角形,由题意BC=3,则OC=
,
又因为SC=2
,则SO=
.故其高为
.
【类题通法】
1.正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高PO,底面为正方形,作PE⊥CD于点E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面中心,作O1E1⊥B1C1于点E1,OE⊥BC于点E,则E1E为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1.
【定向训练】
已知正四棱锥的底面边长是4
cm,侧棱长是2
cm,求它的高与斜高的长.
【解析】如图,设正四棱锥S-ABCD的高为SO,
过点O作OE⊥BC于E,则E为BC中点,连接SE.
所以SO⊥OB,SO⊥OE.
因为BC=4,所以BE=OE=2
cm,所以OB=2
cm.
在Rt△SOB中,
SO=
=2(cm),
在Rt△SOE中,SE=
(cm).
所以此正四棱锥的高为2
cm,斜高为2
cm.
【补偿训练】
已知正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的上、下底面边长分别为2、8,侧棱长等于9,求这个棱台的高和斜高.
【解析】如图,设两底面中心为O1,O,AB,A1B1的中点分别为G,G1,则O1A1AO,O1G1GO为直角梯形.
在正六边形ABCDEF中,
OA=AB=8,OG=
在正六边形A1B1C1D1E1F1中,
O1A1=A1B1=2,O1G1=
所以在直角梯形O1A1AO中,
OO1=
在直角梯形O1G1GO中,
GG1=
即棱台的高为3
,斜高为6
.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.下面的棱锥有6个面的是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
【解析】选C.三棱锥有4个面;四棱锥有5个面;五棱锥有6个面;六棱锥有7个面.
2.如图所示的几何体中,棱台的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.①②③都不是棱台,因为①和③都不是由棱锥所截得的,故①③都不是棱台,虽然②是由棱锥所截得的,但截面不和底面平行,故不是棱台,只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分才是棱台.
3.对有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体,以下说法正确的是
( )
A.棱柱
B.棱锥
C.棱台
D.一定不是棱柱、棱锥
【解析】选D.有两个面互相平行,故此多面体一定不是棱锥,其余各面都是梯形,所以也不是棱柱,棱柱的侧面都是平行四边形.
4.如图所示,在棱锥A-BCD中,截面EFG平行于底面,且AE∶AB=1∶3,已知△BCD的周长是18,则△EFG的周长为________.?
【解析】由已知得EF∥BD,FG∥CD,EG∥BC,
所以△EFG∽△BDC,所以
又因为
所以
所以△EFG的周长=18×
=6.
答案:6(共39张PPT)
11.1.5 旋 转 体
基础预习初探
观察下列实物图,你能说明由该实物图抽象出的几何体与多面体有何不同吗?
提示:多面体有棱有侧面,抽象出的几何体没有棱,侧面是一个曲面.
继续探究:
观察下面的几何体,回答下列问题
(1)它们有什么共同点?
提示:它们都可以看成是由一个平面图形旋转而生成的.
(2)它们分别由什么样的平面图形旋转而成的?
提示:(1)是由矩形绕其中一边所在直线旋转而成.(2)是由直角三角形绕其中一直角边所在直线旋转而成.(3)是由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转而成.(4)是由半圆绕直径所在直线旋转而成.
【概念生成】
1.圆柱的结构特征
定义
以矩形的_____所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面
所围成的几何体叫做圆柱
图示
及相
关概
念
轴:_______叫圆柱的轴
底面:_________的边旋转而成的圆面
侧面:_________的边旋转而成的曲面
母线:无论旋转到什么位置,___________
的边
柱体:_____________________
一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
不垂直于轴
圆柱和棱柱统称为柱体
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的___________所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转
一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥
图示
及相
关概
念
轴:_______叫圆锥的轴
底面:_________的一边旋转而成的圆面
侧面:三角形的_____旋转而成的曲面
母线:无论旋转到什么位置,___________的边
锥体:_____________________
一条直角边
旋转轴
垂直于轴
斜边
不垂直于轴
棱锥和圆锥统称为锥体
3.圆台的结构特征
定义
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴、将直角梯形旋转
一周形成的曲面所围成的几何体
图示
及相
关概
念
轴:_______叫圆台的轴
底面:梯形上、下底边旋转而成的圆面
侧面:不垂直于底边的腰旋转而成的曲线
母线:不垂直于底边的腰
台体:棱台和圆台统称为台体
旋转轴
4.旋转体的概念
类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体.
5.球的结构特征
定义
以半圆的_____所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周所形成的
旋转体叫做球体,简称球
图示
及相
关概
念
球心:形成球面的半圆的圆心
半径:连接球面上一点和球心的线段
直径:连接球面上两点且通过球心的线段
直径
6.球的表面积
球的表面积公式:S=_____(R为球的半径).
4πR2
核心互动探究
探究点一 旋转体的概念与结构特征
【典例1】1.下列命题中正确的有
( )
①圆台的所有平行于底面的截面都是圆;②圆台是直角梯形绕其一边旋转一周而成的;③在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线一定是圆台的母线;④圆台可看成是平行于底面的平面截圆锥得到的
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体是否一定是圆锥?
【思维导引】1.根据圆台的有关概念判断.
2.概念辨析题要紧扣定义,抓准差别进行判断,定义中要求以直角三角形的一条直角边所在直线为轴.
【解析】1.选B.由圆台特点知①④正确;对于②,当这一边是梯形中的一条底边和斜腰时,形成的不是圆台;由圆台的母线延长后交于一点知③错.
2.不一定,当绕其直角边旋转时形成圆锥,当绕其斜边旋转时形成同底的两个圆锥.
【类题通法】
判断旋转体形状的关键
(1)判断旋转体类型的关键是轴的确定,看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.
(2)处理旋转体识图问题时,要抓住圆柱和圆锥定义中的关键点:①矩形或直角三角形绕轴旋转形成,其特征是轴所在直线必须与底面垂直;②矩形或直角三角形旋转到任何位置时其形状不能发生变化.
【定向训练】
下列命题中正确的是
( )
A.直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
【解析】选C.选项A错误,应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥;若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.B错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则是错误的.D错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线.
【补偿训练】
一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得的几何体是圆锥吗?如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形?
【解析】如图①②旋转一周围成的几何体是圆锥,如图③旋转一周所得的几何体是两个圆锥的组合体;如图④旋转180°是两个半圆锥的组合体.
探究点二 旋转体的结构特征及计算
【典例2】一个圆台的母线长为12
cm,两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2,求圆台的高.
【思维导引】作出圆台的轴截面,是一个等腰梯形.
【解析】圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所示.
由已知可得O1A=2
cm,OB=5
cm.
又由题意知,腰长为12
cm,
所以高AM=
【延伸探究】若本例题条件不变,将圆台还原为圆锥后,求圆锥的母线长.
【解析】如图所示,延长BA,OO1,CD,交于点S,
设截得此圆台的圆锥的母线长为l,
则由△SAO1∽△SBO,可得
解得l=20
cm,即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
【类题通法】
旋转体截面问题的解题方法
1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形的性质,构设相关几何变量的方程组,解方程组求得相关几何量是解决旋转体问题的常用方法.
2.圆台(棱台)问题常常要还台为锥解决.
【定向训练】
一个圆锥的高为2,母线与轴的夹角为30°,求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积.
【解析】设圆锥的底面圆直径为AB,SO为高,SA为母线,如图所示,则∠ASO=30°.在Rt△SAO中,
AO=SO·tan
30°=2×
而S△ASB=
SO·2AO=SO·AO=2×
所以圆锥的母线长为
,它的轴截面面积为
.
【补偿训练】
将如图所示的直角梯形ABCD绕腰AD所在直线旋转一周得到一个圆台,求截得此圆台的圆锥的高及母线长.
【解析】由题意易知,截得圆台的圆锥的轴截面右半部分如图,
因为∠ECD=∠CBA=45°,所以ED=CD=1,
所以圆锥的高AE=3,则AB=3,
所以母线长BE=3
.
探究点三 球的结构特征及计算
【典例3】半径是13
cm的球面上有A,B,C三点,并且AB=BC=CA=12
cm,试求球心到经过这三点的截面的距离.
【思维导引】解决有关球的计算问题,大都可以归结到球半径,截面圆半径以及球心与截面的圆心为端点的线段所组成的直角三角形中处理.
【解析】设截面圆的圆心为O1,球的球心为O,连接OO1,则OO1为球心到截面的距
离,而O1是正三角形ABC的外心,于是O1A=
×12=4
(cm).在直角△OO1A中,
由勾股定理,得OO1=
=11(cm),所以球心到经过A,B,C
三点的截面的距离为11
cm.
【类题通法】
解答与球有关的问题要特别注意抓住:
①球的截面的性质R2=r2+
;
②球心角、圆心角、圆周角及其关系;
③垂径定理.
【定向训练】
(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为
的等边三角形,且其顶点都在
球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选C.设△ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,圆O1的半径为r,球O的半径
为R,△ABC的边长为a,则S△ABC=
,可得a=3,于是r=
,由题知,球O
的表面积为16π,则R=2,由R2=r2+d2易得d=1,即O到平面ABC的距离为1.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.如图将图A,B,C,D所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到如图E所示的几何体的是哪一个图中的三角形
( )
【解析】选B.图E所示的几何体是由两个同底的圆锥叠放在一起形成的组合体,而直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周会得到圆锥,图B旋转后符合图E,A,C,D旋转后均不符合.
2.下列命题中,真命题的个数是
( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个;
②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面;
③圆台的两个底面可以不平行.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时,其面积不是最大的;③圆台的两个底面一定平行,故①③错误.
3.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定
是
( )
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱、圆锥、球的组合体
【解析】选C.只有球体被任意一个平面所截,截面是圆面.
4.过球面上两点,可作球的大圆的个数
( )
A.有且只有一个
B.1个或无数个
C.无数个
D.不存在这种大圆
【解析】选B.当球面上两点的连线过球心时,过这两点的平面可得无数个大圆,当两点的连线不过球心时,球心与这两点不共线,则可确定一个平面截球可得唯一一个大圆.(共32张PPT)
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
基础预习初探
1.两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)的体积有何关系?
2.等底等高的锥体的体积有何关系?
继续探究:
(1)正方体、长方体、圆柱的体积与这些几何体的哪些量有关?
提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关.
(2)如果一个锥体的底面积和高与一个柱体的底面积和高都相等,那么这个锥体的体积与柱体的体积有什么关系?
提示:底面积和高相同的锥体与柱体的体积关系为:
V锥体=
V柱体.
【概念生成】
1.祖暅原理
(1)“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果
被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积_______,那么这两个几
何体的体积一定_____”.
(2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积_____.
总相等
相等
相等
2.柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r′和r分别表示上、下底面圆的半径,R表示球的半径.
核心互动探究
探究点一 柱体、锥体、台体的体积
【典例1】如图所示三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.
【思维导引】AB∶A1B1=1∶2→S△ABC∶
=1∶4→
【解析】设棱台的高为h,S△ABC=S,
则
=4S.
所以
S△ABC·h=
Sh,
又V台=
h(S+4S+2S)=
Sh,
所以
所以三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积比为1∶2∶4.
【类题通法】求常见几何体体积的方法及注意的问题
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.
③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
【定向训练】
若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为
( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,所以r=2R.
故V柱∶V锥=πR2h∶
πr2h=
.
探究点二 等体积法的应用
【典例2】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求三棱锥A-DED1的体积.
【思维导引】将求三棱锥A-DED1的体积转化为求三棱锥E-DD1A的体积.
【解析】
【延伸探究】若本例题条件不变,求点A到平面A1BD的距离d.
【解析】在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=1,A1B=BD=A1D=
,
因为
所以
所以d=
.
【类题通法】
几何体体积的计算方法
(1)利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积.
(2)利用等体积法可求点到平面的距离.
【定向训练】
如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为________.?
【解析】三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1
的高为
,底面积为
,故其体积为
答案:
探究点三 求球的体积
【典例3】过球面上三点A,B,C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=3
cm,求球的体积和表面积.
【思维导引】解决本题要充分利用已知条件,尤其是球半径,截面圆半径和球心距构成的直角三角形.
【解析】如图,设过A,B,C三点的截面为圆O′,连接OO′,AO,AO′.
因为AB=BC=CA=3
cm,
所以O′为正三角形ABC的中心,
所以AO′=
AB=
cm.
设OA=R,则OO′=
R,
因为OO′⊥截面ABC,所以OO′⊥AO′,
所以AO′=
R=
cm,
所以R=2
cm,所以V球=
πR3=
π
cm3,
S球=4πR2=16π
cm2,即球的体积为
π
cm3,表面积为16π
cm2.
【类题通法】
求球的体积的方法
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据,球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
【定向训练】
如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8
cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm,如果不计容器厚度,则球的体积为
( )
【解析】选A.作出该球轴的截面如图所示,依题意BE=2,AE=CE=4,
设DE=x,故AD=2+x,
因为AD2=AE2+DE2,
即(2+x)2=42+x2解得x=3,
故该球的半径AD=5,
所以V=
πR3=
(cm3).
【补偿训练】
若球的体积与其表面积数值相等,则球的大圆(过球心的圆)面积等于( )
A.π
B.3π
C.6π
D.9π
【解析】选D.由题意得:
πR3=4πR2,所以R=3,则球的大圆面积等于9π.
【课堂小结】
柱、锥、台体与球体的体积公式之间的关系
课堂素养达标
1.若一个球的表面积为4π,则这个球的体积是
( )
【解析】选B.设球的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,于是
V=
πR3=
.
2.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,则该组合体的表面积是________,体积是________.?
【解析】该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,
该组合体的体积V=
πr3+πr2l=
π×13+π×12×3=
答案:10π
3.将两个棱长为10
cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5
cm的正四棱柱,
则该四棱柱的高为
( )
A.8
cm
B.80
cm
C.40
cm
D.
cm
【解析】选B.设正四棱柱的高为h
cm,
依题意得5×5×h=2×103,解得h=80(cm).
4.若一个球的直径是12
cm,则它的体积为________
cm3.?
【解析】由题意,知球的半径R=6
cm,
故其体积V=
πR3=
×π×63=288π(cm3).
答案:288π(共31张PPT)
11.2 平面的基本事实与推论
基础预习初探
1.直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?
2.观察图中的三脚架,你能得出什么结论?
继续探究:
(1)三点确定一个平面吗?
提示:当三点在一条直线上时,不能确定一个平面,当三点不在同一条直线上时,确定一个平面.
(2)直线和平面都是由点组成的,联系集合的观点,点和直线、平面的位置关系,如何用符号来表示?直线和平面呢?
提示:点和直线、平面的位置关系可用数学符号“∈”或“?”表示,直线和平面的位置关系,可用数学符号
“?”或“?”表示.
【概念生成】
平面的基本事实及推论
基本
事实
内容
图形
符号
基本
事实1
经过_______________
的3个点,有且只有
一个平面
A,B,C三点不共线
?存在唯一的平
面α使A,B,C∈α
不在一条直线上
基本
事实2
如果一条直线上的
_______在一个平面
内,那么这条直线
在这个平面内
A∈l,B∈l,且
____________?
l?α
基本
事实3
如果两个不重合的
平面有一个公共点,
那么它们有且只有一
条_________________
____________?
α∩β=l,且
P∈l
两个点
过该点的公共直线
A∈α,B∈α
P∈α,P∈β
推论1 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面(图①).
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).
核心互动探究
探究点一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【典例1】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B?α;
(2)l?α,m?α,m∩α=A,A?l;
(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.
【思维导引】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”“?”“?”“?”“∩”的意义,在此基础上,由符号表示已知语句,写出相应的点、线、面的位置关系,画出图形.
【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上;
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.
【类题通法】
文字语言、图形语言、符号语言的应用
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示.
3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
【定向训练】
如图所示,用符号语言可表示为
( )
A.α∩β=l
B.α∥β,l∈α
C.l∥β,l?α
D.α∥β,l?α
【解析】选D.显然题干图中α∥β,且l?α.
探究点二 点、线共面问题
【典例2】已知四条直线两两相交,且不共点,求证:这四条直线在同一平面内.
【思维导引】四条直线两两相交且不共点,可能有两种情况:一是有三条直线共点;二是任意三条直线都不共点.
【解析】已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:a,b,c,d四线共面.
证明:(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,因为O?d,
所以经过d与点O有且只有一个平面α.
因为A,B,C分别是d与a,b,c的交点,
所以A,B,C三点在平面α内.由基本事实2知a,b,c都在平面α内,故a,b,c,d共面;
(2)若a,b,c,d无三线共点,如图所示,
因为a∩b=A,所以经过a,b有且仅有一个平面α,所以B,C∈α.由基本事实2知c?α.
同理,d?α,从而有a,b,c,d共面.
综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.
【类题通法】
证明多线共面的两种方法
1.方法一:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.
2.方法二:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
【定向训练】
一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.
【证明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面.
证明:方法一:因为a∥b,所以a,b确定一个平面α,
因为A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,故l?α.
又因为a∥c,所以a,c确定一个平面β.
同理可证l?β,所以α∩β=a且α∩β=l.
因为过两条相交直线a,l有且只有一个平面,
故α与β重合,即直线a,b,c,l共面.
方法二:由方法一得a,b,l共面α,也就是说b在a,l确定的平面α内.同理可证c在a,l确定的平面α内.因为过a和l只能确定一个平面,所以a,b,c,l共面.
探究点三 交线问题
【典例3】如图,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线:
(1)过点G及AC;
(2)过三点E,F,D1.
【思维导引】找两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.
【解析】(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①.
(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②.
【类题通法】
画截面图形的方法
画截面截得正方体的截面图形,关键是利用好三个基本事实,找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口.
【定向训练】
如图,在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l:
(1)画出交线l;
(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长.
【解析】(1)如图,延长DM,D1A1,交于点Q,则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.
连接QN,则直线QN就是交线l;
(2)因为M是AA1的中点,MA1∥DD1,
所以A1是QD1的中点.
又A1P∥D1N,所以A1P=
D1N.
因为N是D1C1的中点,所以A1P=
D1C1=
,
所以PB1=A1B1-A1P=
a.
【补偿训练】
在平面α外,△ABC三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】方法一:因为AB∩α=P,
所以P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.所以P,Q,R三点共线.
方法二:因为AP∩AR=A,
所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α=P,AC∩α=R,
所以平面APR∩平面α=PR.
因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.
因为Q∈BC,所以Q∈平面APR,又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,
用符号语言可表示为
( )
A.A∈α,a?α,A?a
B.A∈α,a∈α,A?a
C.A?α,a?α,A?a
D.A∈α,a?α,A?a
【解析】选A.点与线、面的关系用∈、?;线与面的关系用?、?.B选项中,“a∈α”错误;C选项中“A?α”错误;D选项中“A?a”错误.
2.若两个不重合的平面有公共点,则公共点有
( )
A.1个
B.2个
C.1个或无数个
D.无数个且在同一条直线上
【解析】选D.利用基本事实3可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.
3.如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,
那么
( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α=M
D.l∩α=N
【解析】选A.因为M∈a,N∈b,a,b?α,所以M,N∈α,根据基本事实2可知l?α.
4.由4条平行直线最多可以确定
( )
A.2个平面
B.4个平面
C.5个平面
D.6个平面
【解析】选D.本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定的平面最多,只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多,从而得到结果.由确定平面的条件知,由4条平行直线最多可以确定6个平面.
