第三章
导数及其应用
3．1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3．1.2 导数的概念
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解导数概念的实际背景．2.会求函数在某一点附近的平均变化率．3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
利用数学抽象提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第49页
[基础认识]
知识点一 函数的平均变化率
丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题，那么，变化率和导数是怎样定义呢？
(1)气球膨胀率
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3?r(V)＝.
当空气容量V从0增加到1
L时，气球半径增加了
r(1)－r(0)≈0.62(dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
类似地，当空气容量V从1
L增加到2
L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16
(dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.16
(dm/L)．
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：
(2)高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
h(t)＝－4.9
t2＋6.5
t＋10.
如果我们用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么：求0≤t≤0.5和1≤t≤2这段时间内的.
提示：在0≤t≤0.5这段时间里，
＝＝4.05
(m/s)；
在1≤t≤2这段时间里，
＝＝－8.2
(m/s)．
知识梳理 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为.
思考：观察函数y＝f(x)的图象(如图)，平均变化率
＝表示什么？
提示：过曲线上两点的割线的斜率．
知识点二 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
在高台跳水运动中，计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
(1)运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
提示：(1)运动员在这段时间里不是静止的．
(2)平均速度不能反映他在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态．
把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度
h(t)＝－4.9
t2＋6.5
t＋10，
求从2
s到(2＋Δt)s这段时间内平均速度
＝＝－13.1－4.9
Δt.
我们发现，当Δt趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值－13.1.
从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度就无限趋近于t＝2时的瞬时速度．因此，运动员在t＝2时的瞬时速度是－13.1
m/s.
为了表述方便，我们用
li
＝－13.1
表示“当t＝2，Δt趋近于0时，平均速度趋近于确定值－13.1”．
知识梳理 瞬时变化率
把式子：li
＝li
叫做函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
注：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值，它刻画函数在某一点处变化的快慢．
知识点三 导数的概念
知识梳理 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：li
＝li
，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li
＝li
.
[自我检测]
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．3
答案：B
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
答案：A
3．设函数f(x)在点x0附近有意义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
答案：C
授课提示：对应学生用书第51页
探究一 求函数的平均变化率
[教材P75例1改编]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算从2
h到6
h时，原油温度的平均变化率．
解析：Δy＝f(6)－f(2)＝62－7×6＋15－22＋7×2－15＝4，
Δx＝6－2＝4，
∴＝＝1，
∴从2
h到6
h原油温度的平均变化率为1.
[例1] 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率；
(3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义．
[解析] (1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.
当x1＝4且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，
所以平均变化率＝＝21.
(2)当x1＝4且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均变化率＝＝19.2.
(3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．
方法技巧 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪探究 1.求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
解析：函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
探究二 物体运动的瞬时速度
[教材P79习题3.1A组2题]在高台跳水运动中，t
s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝1
s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解析：＝＝－4.9
Δt－3.3，
所以h′(1)＝－3.3.
这说明运动员在t＝1
s附近以每秒3.3
m的速度下降．
[例2] 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则物体在t＝1
s时的瞬时速度为________m/s.
[解析] ∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴
＝
(3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1
s时的瞬时速度为3
m/s.
[答案] 3
方法技巧 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度．
延伸探究 (1)若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
(2)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s?
解析：(1)求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴li
＝li
(1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1
m/s.
(2)设物体在t0时刻的瞬时速度为9
m/s，
＝
＝(2t0＋1)＋Δt，
li
＝li
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4
s时的瞬时速度为9
m/s.
跟踪探究 2.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，则常数a＝________.
解析：质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝
＝4a＋aΔt，
∴li
＝4a＝8，即a＝2.
答案：2
探究三 求函数在某一点处的导数
[例3] (1)求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
[解析] ∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)
＝3(Δx)2＋4Δx，
∴＝＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝li
＝li
(3Δx＋4)＝4.
(2)已知函数y＝ax－在x＝1处的导数为2，求a的值．
[解析] ∵Δy＝a(1＋Δx)－－＝aΔx＋，
∴＝＝a＋，
∴li
＝li
＝a＋1＝2，
从而a＝1.
方法技巧 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差，二比，三极限．
跟踪探究 3.求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝li
＝li
＝.
4．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
解析：∵f′(x0)＝li
＝li
＝li
(6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
授课提示：对应学生用书第52页
[课后小结]
(1)本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义．
(2)本节课需要重点掌握的规律方法：
①平均变化率的求法；
②瞬时速度的求法；
③利用定义求函数在某一点处的导数的方法．
(3)本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错．
注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式.
PAGE3.1.3 导数的几何意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2.会求简单函数的导函数．3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程.
利用数学抽象发展逻辑推理提高数学运算
授课提示：对应学生用书第53页
[基础认识]
知识点一 导数的几何意义
导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况．那么，导数f′(x0)的几何意义是什么呢？
如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
割线PPn的斜率是kn＝.
当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝
＝f′(x0)．
知识梳理 (1)导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝
.
(2)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
知识点二 导函数的概念
知识梳理 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝
.
[自我检测]
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
答案：C
2．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．
答案：4x＋y＋1＝0
授课提示：对应学生用书第54页
探究一 导数几何意义的应用
[阅读教材P77例2]如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．
题型：导数几何意义的应用．
方法步骤：①分别观察得出h(t)在t0，t1，t2处的导数，即切线的斜率的大小．
②导数是刻画函数的变化快慢情况的量．
③得出t0处h(t)几乎没有升降．
又∵h′(t1)
∴h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
[例1] 如图表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
[解析] 用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．
(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；
(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．
由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；
(4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率
k＝f′(2)＝
＝
＝
＝
(－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.
方法技巧 函数y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在P处的切线的斜率的大小．
跟踪探究
1．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0答案：B
探究二 求曲线在某点处的切线方程
[教材P110复习参考题A组1题]已知点P和点Q是曲线y＝x2－2x－3上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求：
(1)割线PQ的斜率；
(2)点P处的切线方程．
解析：(1)由题可知P(1，－4)，Q(4,5)，
∴kPQ＝＝3.
∴割线PQ的斜率为3.
(2)点P处切线的斜率k＝y′|x＝1＝
＝Δx＝0，
当x＝1时y＝－4，
∴P处切线方程为y＝－4.
[例2] 求曲线y＝在点处的切线方程．
[解析] 因为y′|x＝2＝
＝
＝－，所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤
―→
―→
―→
跟踪探究 2.曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
解析：k＝
＝
(Δx＋4)＝4，
∴曲线在P处的切线方程为y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3，
令x＝0得y＝－3,
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
答案：－3
3．若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．
解析：∵y＝x3＋3ax.
∴y′＝
＝
＝
[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.
设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得
解得
∴a＝1－.
探究三 求曲线过某点的切线
[例3] 已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．
[解析] y′＝
＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x.
由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
方法技巧 求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
(1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程．
(2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．
跟踪探究 4.求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
解析：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由
y′|x＝x0＝
＝－，
得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
由点(2,0)在直线上，得xy0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，
所求直线方程为x＋y－2＝0.
授课提示：对应学生用书第55页
[课后小结]
(1)导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(2)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
[素养培优]
切线问题中忽视切点的位置致误
求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
易错分析 求过一点P的曲线的切线方程，该点P不一定是切点，易把P点当作切点求解致误．考查数学抽象及逻辑推理的数学素养．
自我纠正 设P(x0，y0)为切点，
f′(x0)＝
＝
＝3x－2，
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－＝，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
PAGE3．2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
应用数学抽象提高数学运算
授课提示：对应学生用书第56页
[基础认识]
知识点一 几个常用函数的导数
导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y＝f(x)，如何求它的导数呢？
下列函数的导数是什么？
(1)f(x)＝c；(2)f(x)＝x；(3)f(x)＝x2；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝.
提示：由导数的定义得
(1)f′(x)＝
＝
＝0＝0；
(2)f′(x)＝
＝
＝1；
(3)f′(x)＝
＝
＝
(Δx＋2x)＝2x；
(4)f′(x)＝
＝
＝
＝－；
(5)f′(x)＝
＝
＝
＝
＝.
知识梳理 几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
知识点二 基本初等函数的导数公式
知识梳理 为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表.
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
[自我检测]
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；(2)g(x)＝cos；(3)h(x)＝3x.
答案：
(2)g(x)＝cos
＝，∴g′(x)＝0；
(3)h′(x)＝3xln
3.
授课提示：对应学生用书第57页
探究一 利用导数公式求函数的导数
[阅读教材P83例1]假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)＝p0(1＋5%)t，
其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
题型：基本初等函数的导数．
方法步骤：①根据导数的几何意义，上涨速度就是导数．
②利用导数公式表求出p′(t)．
③再求出p′(10)就是第10个年头的上涨速度．
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝10x；(2)y＝lg
x；
(4)y＝；(5)y＝2－1.
[解析] (1)y′＝(10x)′＝10xln
10.
(2)y′＝(lg
x)′＝.
.
(5)∵y＝2－1
＝sin2＋2sin
cos
＋cos2－1
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
方法技巧 1.若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
2．若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
跟踪探究 1.(1)y＝x；(2)y＝x；
(3)y＝lg
5；(4)y＝3lg；(5)y＝2cos2－1.
解析：(1)y′＝′＝xln
＝－＝－e－x.
(2)y′＝′＝xln＝
＝－10－xln
10.
(3)∵y＝lg
5是常数函数，
∴y′＝(lg
5)′＝0.
(4)∵y＝3
lg＝lg
x，
∴y′＝(lg
x)′＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
探究二 利用导数公式求曲线的切线方程
[教材P82探究改编]求曲线y＝在(1,1)处的切线方程．
解析：∵y＝＝x－1，
∴y′＝－x－2＝－，
∴y′|x＝1＝－1，
∴曲线y＝在(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
[例2] (1)求过曲线y＝sin
x上点P且与在这点处的切线垂直的直线方程．
[解析] ∵y＝sin
x，∴y′＝cos
x，
曲线在点P处的切线斜率是：
y′|x＝＝cos
＝.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
(2)设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解析：如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小．
设与直线y＝x平行的直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)．
因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1)．
所以点P到直线y＝x的最小距离为＝.
方法技巧 解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导公式求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪探究 2.已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解析：设切点P的坐标为(x0，x)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式得5－x＝2x0(3－x0)，
即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，
∴x0＝1或x0＝5.
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．
∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
授课提示：对应学生用书第58页
[课后小结]
(1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
(2)有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos
x，所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．
[素养培优]
1．未能区分好变量与常量而致错
求f(x)＝cos
a的导数．
易错分析 很容易忽视a是常数．
自我纠正 f′(x)＝(cos
a)′＝0.
2．没有意识到切点也在曲线上致误
过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________．
易错分析 设切点P(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝ex0，
从而ex0＝，
∴y0＝x0ex0，
所以切点坐标为(x0，x0ex0)．
该解法没有意识到切点也在曲线上致误．
考查逻辑推理及数学运算的学科素养．
自我纠正 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝ex0，
则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，
由于原点在切线上，
则－ex0＝ex0(－x0)?x0＝1，y0＝ex0＝e，
即切点为(1，e)．
答案 (1，e)
PAGE3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
提升逻辑推理及数学运算
授课提示：对应学生用书第59页
[基础认识]
知识点一 函数和、差的导数
若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？
提示：设f(x)，g(x)是可导的．
Δy＝h(x＋Δx)－h(x)
＝f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)－f(x)－g(x)
＝[f(x＋Δx)－f(x)]＋[g(x＋Δx)－g(x)]＝Δf＋Δg
∴＝＋＝＋
∴li
＝lim
＝
＋
＝f′(x)＋g′(x)
即h′(x)＝[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
同理可证I′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
知识梳理 和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
特别提醒：两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
知识点二 函数积、商的导数
知识梳理 (1)函数积的导数
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)．
(2)函数商的导数
′＝(g(x)≠0)．
(3)常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即[cf(x)]′＝cf′(x)．
[自我检测]
1．函数y＝(＋1)(－1)的导数等于( )
A．1
B．－
C.
D．－
答案：A
2．已知f(x)＝exln
x，则f′(x)＝( )
A.
B．ex＋
C.
D.＋ln
x
答案：C
授课提示：对应学生用书第59页
探究一 利用导数四则运算法则求导
[阅读教材P84例2]根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y＝x3－2x＋3的导数．
题型：运用导数的运算法则求导．
方法步骤：①由基本函数的导数公式知(x3)′＝3x2，x′＝1,3′＝0.
②由导数的运算法则得y′＝3x2－2.
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sin
cos
；
(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.
[解析] (1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－sin
x，∴y′＝x′－(sin
x)′＝1－cos
x.
(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
方法技巧 利用导数运算法则求解的策略
(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪探究 1.求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝xsin
x＋；
(3)y＝＋；(4)y＝lg
x－.
解析：(1)y′＝′
＝＝
＝－.
(2)y′＝(xsin
x)′＋()′＝sin
x＋xcos
x＋.
(3)∵y＝＋＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
(4)y′＝′＝(lg
x)′－′＝＋.
探究二 导数运算法则的综合应用
[阅读教材P84例3]日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
(1)90%； (2)98%.
题型：导数的应用．
方法步骤：①利用商的求导法则求出C′(x)．
②再将90,98分别代入C′(x)即得到所求．
[例2] (1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
[解析] y′＝
＝，
当x＝时，y′＝＝1，
直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
由题意－＝－1，所以a＝1.
[答案] 1
(2)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系．
[解析] 由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，
即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，
得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，
得f(e)方法技巧 1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪探究 2.设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
解析：因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
答案：4
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln
x，则f′(1)等于( )
A．－3
B．2e
C.
D.
解析：f′(x)＝2exf′(1)＋
∴f′(1)＝2ef′(1)＋3
∴f′(1)＝，故选D.
答案：D
授课提示：对应学生用书第60页
[课后小结]
求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．
[素养培优]
1．未能区分好变量与常量而致错
求f(x)＝ax＋cos
a的导数(其中a为常数)．
易错分析 本题错在忽视变量ax与常量cos
a的不同，常量的导数应为0.考查数学运算的学科素养．
自我纠正 f′(x)＝axln
a.
2．导数的四则运算记忆不准确致误
求下列函数的导数
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2cos
x.
易错分析 求导时没能准确地运用商和积的运算法则致误．考查数学运算的学科素养．
自我纠正 (1)f′(x)
＝
＝＝－.
(2)f′(x)＝(x2)′cos
x＋x2(cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x.
PAGE1.3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解导数与函数单调性的关系．2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
利用数学抽象提升逻辑推理及数学运算
授课提示：对应学生用书第61页
[基础认识]
知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系
函数的单调性是怎么定义的？判断单调性的方法有哪些？
提示：如果函数f(x)在定义域内的某区间D上是增函数或减函数，那么就说该函数在区间D上具有单调性．
判断单调性的方法有定义法和图象法．
观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：对于(1)y＝x在R上是增函数，而y′＝1>0；
对于(2)y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，而y′＝2x，当x<0时，y′<0；当x>0时y′>0；
对于(3)y＝x3在R上是增函数，而y′＝3x2>0(x≠0)；
对于(4)y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，而y′＝－<0.
知识梳理 函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
知识点二 函数的变化快慢与导数的关系
通过函数图象，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢．结合图象，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
观察下图，函数f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？
提示：根据导数的几何意义，知f(x)在(0，a)内的导数绝对值大于f(x)在(a，＋∞)内的导数的绝对值．
知识梳理 函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．
[自我检测]
1.函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是( )
A．f(x)在(－3,1)上单调递增
B．f(x)在(1,3)上单调递减
C．f(x)在(2,4)上单调递减
D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增
答案：C
2．函数f(x)＝sin
x－x在R上是________(填“增函数”或“减函数”)．
答案：减函数
授课提示：对应学生用书第62页
探究一 函数与导函数图象间的关系
[阅读教材P91例1]已知导函数f′(x)的下列信息：
当10；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．
题型：函数的图象与其导数正负的关系．
方法步骤：①由f′(x)>0得出f(x)在该区间上是增函数．
由f′(x)<0得出f(x)在该区间上是减函数，f(x)＝0时为临界点．
②由函数在某区间上的增减性作出f(x)的图象．
[例1] (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
[解析] (1)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．
[答案] (1)D (2)D
方法技巧 研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
跟踪探究 1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是( )
解析：因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f′(x)<0.
答案：D
2．函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y＝f(x)的递增区间为________；递减区间为________．
解析：由f′(x)的图象可知，
当x∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f′(x)<0.
故函数f(x)的增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)．
答案：(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞) (－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)
探究二 利用导数判断(或证明)函数的单调性
[阅读教材P91例2]题型：判断函数的单调性(求单调区间)．
方法步骤：①求定义域．
②求导f′(x)．
③解不等式f′(x)>0得出f(x)的增区间，解不等式f′(x)<0得出f(x)的减区间．
[例2] (1)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
[证明] 由于f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
(2)求下列函数的单调区间：
①f(x)＝x3－2x2＋x；
②f(x)＝3x2－2ln
x.
[解析] ①函数的定义域为R，
∵f(x)＝x3－2x2＋x，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)>0，
解得x>1或x<.
因此f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)．
令f′(x)<0，解得因此f(x)的单调递减区间是.
②函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－，
又x>0，∴x>；
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或0又x>0，∴0∴f(x)的单调递增区间为；
单调递减区间为.
方法技巧 1.利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)得出结论．
2．利用导数求函数单调区间的步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
注意事项：
①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．
②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
跟踪探究 3.函数f(x)＝x3－x2－3x＋2的单调增区间是________．
解析：x∈R，f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)
由f′(x)>0得x<－1或x>3
∴f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)
答案：(－∞，－1)，(3，＋∞)
4．证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．
证明：f′(x)＝，
又x∈，
则cos
x<0，∴xcos
x－sin
x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．
探究三 与参数有关的函数单调性问题
[例3] 已知函数f(x)＝x3－ax－1.讨论f(x)的单调区间．
[解析] ∵x∈R，∴f′(x)＝3x2－a.
(1)当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±.
当x>或x<－时，f′(x)>0；
当－因此f(x)在，上为增函数，f(x)在上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数．
当a>0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
方法技巧 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
延伸探究 (1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，
所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，
所以a≤0.
即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．
解析：(2)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，
即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．
解析：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．
因为－1所以3x2<3，
所以a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围．
解析：由例题可知，f(x)的单调递减区间为，∴＝1，即a＝3.
(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解析：∵f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0<<1，
即0故a的取值范围为(0,3)．
方法技巧 1.已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围：
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路：
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪探究 5.(1)若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
(2)试求函数f(x)＝kx－ln
x的单调区间．
解析：(1)∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．
即k－≥0在(1，＋∞)上恒成立
∴k≥在(1，＋∞)上恒成立．
∴k≥1.
(2)f(x)＝kx－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
答案：(1)[1，＋∞) (2)见解析
授课提示：对应学生用书第64页
[课后小结]
(1)导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数f′(x)；
③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．
(3)已知函数的单调性求参数范围，转化为不等式恒成立问题解决．
[素养培优]
1．忽视函数的定义域致错
求函数f(x)＝x－ln
x的单调区间．
易错分析 由f′(x)>0和f′(x)<0得出不等式的解集即为f(x)的增区间和减区间．忽视函数的定义域致错，考查逻辑推理和数学运算．
自我纠正 x>0，f′(x)＝，
由f′(x)>0得x>1，
由f′(x)<0得0∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，
单调减区间为(0,1)．
2．考虑问题不全面致误
若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
易错分析 由f(x)在R上是单调函数得f′(x)>0在R上恒成立，或f′(x)<0在R上恒成立，这种转化不全面，应该f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立，考查逻辑推理的学科素养．
自我纠正 f′(x)＝3x2＋2x＋m.
因为f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．
因为二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
因此Δ＝4－12m≤0，故m≥.
当m＝时，使f′(x)＝0的点只有一个x＝－，也符合题意．
故实数m的取值范围是.
PAGE3．3.2 函数的极值与导数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2.掌握函数极值的判定及求法．3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
利用直观想象提升逻辑推理及数学运算
授课提示：对应学生用书第65页
[基础认识]
知识点一 极值点与极值的概念
(1)观察函数f(x)＝x3－2x的图象．
f′(－)的值是多少？在x＝－左、右两侧的f′(x)有什么变化？
f′()的值是多少，在x＝左、右两侧的f′(x)又有什么变化？
提示：f′(－)＝0，在x＝－的左侧f′(x)>0，在x＝－的右侧f′(x)<0；f′()＝0，在x＝的左侧f′(x)<0，在x＝的右侧f′(x)>0.
(2)如图，函数f(x)在a，b点的函数值与它附近的函数值有什么关系？
y＝f(x)在a，b点的导数值是多少？在a，b附近，y＝f(x)的导数的符号是什么？
提示：可以发现，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
知识梳理 极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
知识梳理 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是________．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是________．
提示：(1)极大值 (2)极小值
[自我检测]
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案：C
2．已知函数f(x)＝x＋，则f(x)( )
A．有极大值2，极小值－2
B．有极大值－2，极小值2
C．无极大值，但有极小值－2
D．有极大值2，无极小值
答案：B
授课提示：对应学生用书第66页
探究一 极值与极值点的判断与求解
[教材P98习题3.3A组4题]如图是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处：
(1)导函数y＝f′(x)有极大值？
(2)导函数y＝f′(x)有极小值？
(3)函数y＝f(x)有极大值？
(4)函数y＝f(x)有极小值？
解析：(1)点x2处f′(x)有极大值．
(2)点x1、x4处f′(x)有极小值．
(3)点x3处f(x)有极大值．
(4)点x5处f(x)有极小值．
[例1] (1)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
[解析] 由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.
[答案] C
(2)求下列函数的极值：
①f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
②f(x)＝x2－2ln
x.
[解析] ①函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值21
?
极小值－6
?
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
②函数f(x)＝x2－2ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
解方程＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值1
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．
方法技巧 1.通过导函数值的正负确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪探究 1．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( )
①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③
B．②③
C．③④
D．①③④
解析：由f′(x)的图象知，－3－10；f′(2)＝0；2故f(x)在(－3，－1)和(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数，f(－1)是极小值，f(2)是极大值，所以②③正确，故选B.
答案：B
2．判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由．
(1)y＝x3＋4；(2)y＝(x>0)．
解析：(1)f′(x)＝x2.
令f′(x)＝0，解得x＝0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
＋
f(x)
单调递增
无极值
单调递增
由表可知该函数无极值．
(2)y′＝＝，令y′＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的极小值为f(1)＝e.
探究二 利用函数极值确定参数的值
[教材P110复习参考题A组7题]已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值．
解析：∵f(x)＝x3－2cx2＋c2x，
∴f′(x)＝3x2－4cx＋c2.
∴f′(2)＝0，即3×4－8c＋c2＝0，得c＝2，或c＝6.
但c＝2时，f(2)是极小值，不合题意，舍去，所以c＝6.
[例2] (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
[解析] (1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴
即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，
此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，
∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
[答案] (1)2 9 (2)(－∞，1)
方法技巧 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪探究 3.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
解析：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，
得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
探究三 函数极值的综合应用
[例3] 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[解析] 因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示．
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
方法技巧 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
延伸探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”，结果如何？改为“一个交点”呢？
解析：由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
跟踪探究 4.已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解析：由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8
＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
－m
?
－16－m
?
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∵由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得
解得－16即m的取值范围为.
授课提示：对应学生用书第68页
[课后小结]
(1)在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
(2)函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
(3)利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
[素养培优]
1．误把导函数的零点当作函数的极值点
求函数f(x)＝x4－x3的极值，并说明是极小值还是极大值．
易错分析 本题易错将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．考查逻辑推理及数学运算．
自我纠正 f′(x)＝4x3－3x2，令f′(x)＝0,
即4x3－3x2＝0时，得x1＝0，x2＝.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)
?
不是极值点
?
极小值
?
由上表可知函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间上还是减函数，所以x＝0不是函数的极值点，而函数f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以函数f(x)在x＝处取得极小值，极小值为－.
2．误把切点当作函数的极值点
已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x－2，求f(x)的解析式．
易错分析 本题错在将切点当做极值点，得到f′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．考查逻辑推理及数学运算的学科素养．
自我纠正 f′(1)表示函数f(x)的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f′(1)＝1，再联立f(0)＝1，f(1)＝－1便可得到正确答案：a＝，b＝－，c＝1，因此f(x)＝x4－x2＋1.
PAGE3.3.3 函数的最大(小)值与导数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2.会求某闭区间上函数的最值.
利用直观抽象提升数学运算和逻辑推理
授课提示：对应学生用书第68页
[基础认识]
知识点一 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是f(x)的极大(小)值点，那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(或更小)的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如何求函数的最值呢？
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
(1)观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
提示：(1)极大值为f(x1)，f(x3)，
极小值为f(x2)，f(x4)．
(2)存在，f(x)min＝f(a)，
f(x)max＝f(x3)．
(3)不一定，也可能是区间端点的函数值．
知识梳理 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
知识点二 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
知识梳理 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)求函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点三 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．求函数f(x)的极大(小)值，最大(小)值在什么位置取到？
提示：显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．
[自我检测]
1．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．1＋
B．1
C．e－1
D．e＋1
答案：C
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案：D
授课提示：对应学生用书第69页
探究一 求函数的最值
[阅读教材P97例5]求函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的最大值与最小值．
题型：利用导数求函数的最值．
方法步骤：①先求导．
②求函数在(0,3)上的极值．
③将函数的极值和端点处的函数值比较，得出最大值与最小值．
[例1] 求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；
(2)f(x)＝x2－(x<0)．
[解析] (1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
?
极小值
?
极大值
?
－18
所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极点，
且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为
f(－)＝0，f(3)＝－18.
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝2x＋.
令f′(x)＝0得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,0)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
方法技巧 1.求函数的最值，显然求极值是关键的一步．若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得：
(1)求出导数为零的点．
(2)比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
2．若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．
跟踪探究 1.求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
解析：(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
(2,4)
4
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－37
?
极大值3
?
极小值－5
?
35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37，
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)min＝－12；
x＝1时，f(x)max＝2；
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
探究二 含参数的函数的最值问题
[例2] 已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
[解析] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)<0，得x<－1或x>3，
故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．
因为在[－1,3]上f′(x)>0，
所以f(x)在[－1,2]上单调递增，
所以f(－1)是f(x)的最小值，且f(－1)＝a－5，
所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
于是有22＋a＝20，解得a＝－2.
所以f(－1)＝－2－5＝－7，
即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
[例3] 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解析] (1)由f(x)＝(x－k)ex，
得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
－ek－1
?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
方法技巧 求解含参数函数的最大值和最小值的步骤
(1)求函数的导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f′(x)＝0的根是否在区间[a，b]内；
(3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求出函数的最大值、最小值．
跟踪探究 2.设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)，求f(x)在[0，＋∞)内的最小值．
解析：f′(x)＝aex－，令f′(x)＝0，得x＝－ln
a.
当x>－ln
a时，f′(x)>0；当x<－ln
a时，f′(x)<0.
当0a>0，所以f(x)在(0，－ln
a)上单调递减，在(－ln
a，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln
a)＝2＋b；
当a≥1时，－ln
a≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.
探究三 函数最值的应用
[教材P99习题3.3B组1(4)题]证明不等式ln
x0)．
证明：令f(x)＝ln
x－x(x>0)，
g(x)＝x－ex(x>0)，
∵f′(x)＝－1＝，
g′(x)＝1－ex，
令f′(x)＝0，g′(x)＝0，
得x＝1，x＝0，
∴当00，
x>1时f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)≤f(1)＝－1<0，∴ln
x当x>0时g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)是减函数，
∴g(x)∴x综上，x>0时，ln
x[例4] 已知f(x)＝xln
x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln
x＋1，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)min＝f＝－.
(2)2xln
x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln
x＋x＋，
设h(x)＝2ln
x＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝，
①x∈(0,1)，h′(x)<0，h(x)单调递减；
②x∈(1，＋∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增；
所以h(x)min＝h(1)＝4，
对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．
方法技巧 1.利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式转化成f(x)>0(或<0)的形式；
(2)利用导数求出函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)；
(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．
2．不等式恒成立求参数问题的求解策略
对于根据不等式恒成立求参数的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min，即可求出参数m的取值范围．
跟踪探究 3.设f(x)＝x－－2ln
x.
求证：当x≥1时，f(x)≥0恒成立．
证明：∵f(x)＝x－－2ln
x的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1＋－＝＝≥0，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln
1＝0对于x∈[1，＋∞)恒成立．
4．设函数f(x)＝xex－x＋2.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)∵a＝1，
∴f(x)＝xex－x＋2＝xex－x2－x＋2，
∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，
∴当－1当x<－1或x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)≥x2－x＋2，得x≥0，
当x＝0时，显然成立；
当x>0时，即≥恒成立．
记g(x)＝，则g′(x)＝，
当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)是增函数．
∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴≤e，得a≤2e－2.
即a的取值范围是(－∞，2e－2]．
授课提示：对应学生用书第70页
[课后小结]
(1)求函数的最值时，应注意以下几点：
①函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
②闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
③函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
(2)求含参数的函数最值，可分类讨论求解．
(3)“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
[素养培优]
1．把极值当做最值致误
已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最值．
易错分析 没有比较端点函数值与极值的大小，错误地认为极值就是最值．
考查逻辑推理及数学运算的学科素养．
自我纠正 (1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，
所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，
因为在x＝－2和x＝处取得极值，
所以解得a＝－2，b＝－4.
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
因为f(－4)＝－11，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，
所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.
2．忽视定义域致误
求函数g(x)＝ex－2ax－b在[0,1]上的最小值．
易错分析 由g′(x)＝ex－2a＝0得x＝ln(2a)
所以g(x)在(－∞，ln(2a))上是减函数，在(ln(2a)，＋∞)上是增函数，从而g(x)的最小值为g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b，忽视了定义域[0,1]致误，考查数学运算及逻辑推理的学科素养．
自我纠正 g′(x)＝ex－2a，x∈[0,1]，∴ex∈[1，e]，
所以(1)a≤时2a≤1，∴g′(x)≥0，
∴g(x)在[0,1]上是增函数，∴g(x)min＝g(0)＝1－b.
(2)若∴当0当ln(2a)0，
所以g(x)在[0，ln(2a)]上是减函数，在[ln(2a)，1]上是增函数，
g(x)min＝g[ln(2a)]＝2a－2aln(2a)－b.
(3)若a≥则2a≥e，∴g′(x)≤0，
所以g(x)在[0,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
PAGE3.4 生活中的优化问题举例
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解导数在解决实际问题中的作用．2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
利用数据分析提升数学建模及逻辑推理
授课提示：对应学生用书第71页
[基础认识]
知识点 生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．
某厂家计划用一种材料生产一种盛500
mL溶液的圆柱形易拉罐．
(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？
(2)如何制作使用材料才能最省？
提示：(1)计算出圆柱的表面积即可．
(2)要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋(x>0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．
知识梳理 (1)利用导数解决生活中优化问题的基本思路
(2)解决优化问题的基本步骤
①分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
②求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
③比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；
④依据实际问题的意义给出答案．
[自我检测]
1．已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋36x＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．11万件
B．9万件 C．7万件 D．6万件
答案：D
2．用长为18
m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )
A．2
m3
B．3
m3
C．4
m3
D．5
m3
答案：B
授课提示：对应学生用书第72页
探究一 几何中的最值问题
[阅读教材P101例1]学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128
dm2，上、下两边各空2
dm，左、右两边各空1
dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
题型：几何中的最值问题．
方法步骤：①设出版心的高为x，
得出版心的宽为.
②建立目标函数S＝f(x)．
③利用导数求出函数的最小值．
[例1] 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x
cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解析] (1)由题意知包装盒的底面边长为x
cm，
高为(30－x)cm,0所以包装盒侧面积为
S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×2＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x
＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20
cm，高为10
cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
方法技巧 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪探究 1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100
m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
解析：(1)BM＝AOsin
θ＝100sin
θ，
AB＝MO＋AOcos
θ＝100＋100cos
θ，θ∈(0，π)．
则S＝MB·AB＝×100sin
θ×(100＋100cos
θ)
＝5
000(sin
θ＋sin
θcos
θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5
000(2cos2θ＋cos
θ－1)
＝5
000(2cos
θ－1)(cos
θ＋1)．
令S′＝0，
得cos
θ＝或cos
θ＝－1(舍去)，
此时θ＝.
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
θ
S′
＋
0
－
S
?
极大值
?
所以，当θ＝时，S取得最大值Smax＝3
750m2，此时AB＝150
m，即点A到北京路一边l的距离为150
m.
探究二 实际生活中的最值问题
[教材P104习题3.4A组6题]已知某商品生产成本C与产量q的函数关系为C＝100＋4q，单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？
解析：利润L＝pq－C＝q－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100(0∴L′＝－q＋21.令L′＝0，得q＝84.
当q∈(0,84)时，L′>0；当q∈(84,200)时，L′<0.
∴当产量q为84时，利润L最大．
产量为84时，利润L最大．
[例2] 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[解析] (1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．
由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.
若记一个星期的商品销售利润为f(x)，
则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0,21]．
(2)对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2，12)
12
(12，21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9
072
?
极小值
?
极大值
?
0
∴x＝12时，f(x)取得极大值．
∵f(0)＝9
072，f(12)＝11
664，
∴定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大．
方法技巧 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
跟踪探究 2.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当00；当2授课提示：对应学生用书第73页
[课后小结]
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：
(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；
(2)与实际问题相联系；
(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
[素养培优]
解决实际优化问题时忽略定义域
甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)，固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域．
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
易错分析 解决实际应用问题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件．若忽视这些限制条件或隐含条件导致最值错误．考查数据分析及数学运算．
自我纠正 (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
y＝a·＋bv2·＝s，
故所求函数及其定义域为y＝s，v(0，c]．
(2)由题意知s，a，b，v均为正数．
由y′＝s＝0，得v＝，v∈(0，c]．
①若≤c，则v＝是极值点，
即当v＝时，全程运输成本y最小．
②若>c因为v∈(0，c]，此时y′<0，则函数在(0，c]上为减函数，所以当v＝c时，y最小．
综上所述，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度v＝；当>c时，行驶速度v＝c.
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