第一章
常用逻辑用语
1．1 命题及其关系
1.1.1 命题
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解命题的概念．2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．3.能判断一些简单命题的真假.
利用数学抽象发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第1页
[基础认识]
知识点一 命题的概念
初中学习的什么叫做命题？
提示：一般地，对某一件事情做出判断的语句(陈述句)，叫做命题．
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断这些语句的真假吗？
(1)2＋4＝7；
(2)垂直于同一条直线的两个不同平面平行；
(3)6能被2整除；
(4)全等三角形面积相等．
提示：这些语句都是陈述句，并且可以判断真假．
其中语句(2)(3)(4)判断为真，语句(1)判断为假．
知识梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
思考 陈述句一定是命题吗？
提示：不一定．
知识点二 命题的结构
命题的构成是什么？
提示：条件与结论．
观察命题：
(1)若整数a是素数，则a是奇数；
(2)若两个三角形全等，则它们的面积相等．
上述命题的形式是怎样的？
提示：这两个命题都是“若p，则q”的形式．
知识梳理 (1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
[自我检测]
1．下列语句不是命题的个数为( )
①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0
B．1 C．2 D．3
答案：B
2．下列命题为真命题的是( )
A．互余的两个角不相等
B．相等的两个角是同位角
C．若a2＝b2，则|a|＝|b|
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
答案：C
3．把命题“三角形的内角和等于180°”写成“若p，则q”的形式为________．
答案：若一个平面图形是三角形，则它的内角和等于180°
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 命题的概念
[阅读教材P2－3例1及解答]判断下列语句中哪些是命题：
(1)空集是任何集合的子集；
(2)若整数a是素数，则a是奇数；
(3)指数函数是增函数吗？
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；
(5)＝2；
(6)x>15.
题型：判断一个语句是不是命题．
方法步骤：①根据命题的定义：语句必须满足两个条件：陈述句且能判断真假．
②(3)不是陈述句，(6)不能判断真假，其余均是陈述句且能判断真假．
因此(3)(6)不是命题，(1)(2)(4)(5)是命题．
[例1] (1)下列语句中，命题的个数为( )
①空集是任何非空集合的真子集．②起立！③垂直于同一个平面的两条直线必平行吗？④偶数是自然数．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ②是祈使句，③是疑问句，所以②③都不是命题，①④是命题．故选B.
[答案] B
(2)“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
[解析] “红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
[答案] A
方法技巧 判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：
(1)一般来说，命题必须是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
跟踪探究 1.判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)三角形的三个内角的和等于360°；
(2)a＋b＝4；
(3)2016年奥运会的举办城市是巴西的里约热内卢；
(4)这是一棵大树；
(5)你是高二的学生吗？
(6)求证：是无理数；
(7)并非所有的人都喜欢数学；
(8)x2＋1>0.
解析：(1)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题；
(2)由于变量a，b的值不确定，无法判断其真假，因此不是命题；
(3)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题；
(4)“大树”的标准不确定，无法判断其真假，因此不是命题；
(5)这是疑问句，不是命题；
(6)这是祈使句，不是命题；
(7)可以判断为真，人群中有的人喜欢数学，也存在着不喜欢数学的人，因此是命题；
(8)虽然变量x的值不确定，但可以判断其真假，因此是命题．
2．给出下列语句：①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3200不是大数；④sin
x>－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学；⑦函数y＝x2是奇函数．其中是命题的是________．
解析：①②⑦均是陈述句且能判断真假，故是命题；③④是陈述句，但不能判断真假，故不是命题；⑤是疑问句，故不是命题；⑥是祈使句，故不是命题，故答案为①②⑦.
答案：①②⑦
探究二 命题真假的判断
[教材P4练习2题]判断下列命题的真假：
(1)能被6整除的整数一定能被3整除；
(2)若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；
(3)二次函数的图象是一条抛物线；
(4)两个内角等于45°的三角形是等腰直角三角形．
解析：(1)真命题；(2)假命题，四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形；(3)真命题；(4)真命题．
[例2] 判断下列命题是真命题还是假命题：
(1)＋＝；
(2)log2x2＝2log2x；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；
(4)直线x＋y＝0的倾斜角是；
(5)若α＝，则sin
α＝；
(6)若x∈A，则x∈A∩B.
[解析] (1)真命题．由向量加法的三角形法则知＋＝.
(2)是假命题，如当x＝－1时，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)无意义．
(3)是真命题，若m>1，
则Δ＝4－4m<0.
(4)是假命题，直线x＋y＝0的倾斜角是.
(5)是真命题．
(6)是假命题，如当A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，但1?A∩B.
方法技巧 判断命题真假常用的方法
(1)直接法
数学中的定义、公理、公式、定理等都是真命题，它们是判断一个命题是否为真命题的依据．
(2)举反例法
通过构造反例来否定一个命题的正确性，是判断一个命题为假命题的常用方法．
跟踪探究 3.(1)给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin
x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
解析：①③④是真命题；②是假命题，例a＝，b＝－，则a＋b＝0是有理数．
答案：①③④
(2)下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，多边形的外角和为360°，与边数无关，故①是假命题．
对于②，若a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0或a⊥b，故②是假命题．
对于③，Δ＝4＋4a2>0，故③是真命题．
对于④，若f(x)＝x2－2x－3，x∈(－2,4)的零点为－1和3，但f(－2)·f(4)>0，故④是假命题，故选C.
答案：C
探究三 命题的结构形式
[阅读教材P3例3及解答]将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2)负数的立方是负数；
(3)对顶角相等．
题型：分析命题的条件和结论．
方法步骤：①对“若p，则q”的命题中，“p”是命题的条件，“q”是命题的结论．
②若命题的表述不是“若p，则q”形式，要先将命题改写为“若p则q”的形式，再确定条件p和结论q：
[例3] 将下列命题写成“若p，则q”的形式．
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
[解析] (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．
(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．
方法技巧 1.要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．
2．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法是：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可判断“若p，则q”是真；而判定“若p，则q”是假，则只需要举出一个反例即可．
跟踪探究 4.把下列命题改写成“若p，则q”的形式：
(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
(2)斜率相等的两条直线平行；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(4)钝角的余弦值是负数．
解析：(1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．
(4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数.
授课提示：对应学生用书第3页
[课后小结]
(1)判断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否判断真假．
(2)判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断．
(3)准确判断命题的条件与结论的关键是把命题改写为“若p，则q”形式．
[素养培优]
1．对命题的概念把握不清致误
给出下列语句：①直角三角形也可能是等边三角形；②若x∈R，则－x2>0；③|x－y|＝x－y；④与0非常非常接近的数．其中是命题的是________．
易错分析 直角三角形不可能是等边三角形，故①是命题且是假命题；若x∈R，则必有－x2≤0，－x2>0不成立，故②是命题且是假命题．不能误认为假命题不是命题，而将①②错误地判断为不是命题．考查数学抽象及逻辑推理的学科素养．
自我纠正 ①是陈述语句，且能够判断真假，是命题，并且是假命题；②虽然变量x的值没确定，但可以判断真假，所以是命题，并且是假命题；|x－y|＝x－y不一
定成立，故③不是命题；④“非常”没有一个确定的标准，无法判断真假，故④不是命题．因此答案是①②.
答案：①②
2．改写命题时，写错大前提致误
已知c>0，当a>b时，ac>bc.把该命题改写成“若p，则q”的形式．
易错分析 “已知c>0”是大前提，条件应是“a>b”错误地把“c>0，当a>b时”当成条件．
自我纠正 已知c>0，若a>b，则ac>bc.
PAGE1．1.2 四种命题
1．1.3 四种命题间的相互关系
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解命题的四种形式，会写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．2.理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性关系．3.能够利用命题的等价性解决有关问题.
利用数学抽象提高逻辑推理
授课提示：对应学生用书第4页
[基础认识]
知识点一 四种命题
请将命题“正弦函数是周期函数”改写成“若p，则q”的形式．
提示：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
观察下面四个命题：
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
命题(1)与其他三个命题的条件与结论之间有什么关系？
提示：命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，命题(3)的条件和结论分别是命题(1)的条件的否定和结论的否定．
命题(4)的条件和结论分别是命题(1)的结论的否定和条件的否定．
知识梳理 四种命题的定义如下表所示
名称
阐释
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．
互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.
知识点二 四种命题的相互关系
设：命题(1)“若p，则q”是原命题，那么：
命题(2)“若q，则p”是原命题的逆命题，
命题(3)“若綈p，则綈q”是原命题的否命题，
命题(4)“若綈q，则綈p”是原命题的逆否命题．
你能发现它们之间有什么关系吗？
1．根据定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？
提示：命题(1)是命题(2)的逆命题．
命题(3)是命题(2)的逆否命题．
命题(4)是命题(2)的否命题．
2．如果把命题(3)称为原命题呢？
提示：命题(1)是命题(3)的否命题．
命题(2)是命题(3)的逆否命题．
命题(4)是命题(3)的逆命题．
知识梳理 四种命题间的关系
知识点三 四种命题的真假性关系
原命题，逆命题，否命题，逆否命题的真假有什么联系？
原命题(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
逆命题(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
否命题(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
逆否命题(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
判断以上四个命题的真假．
提示：原命题(1)是真命题，它的逆命题(2)是假命题，它的否命题(3)也是假命题，而它的逆否命题(4)是真命题．
知识梳理 四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[自我检测]
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
2．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题是____________________．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
授课提示：对应学生用书第5页
探究一 四种命题及其关系
[教材P6练习(3)]写出命题“奇函数的图象关于原点对称”的逆命题、否命题、逆否命题．
解析：逆命题：“若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数”．
否命题：“若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象不关于原点对称”．
逆否命题：“若一个函数的图象不关于原点对称，则这个函数不是奇函数”．
[例1] 写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题：
(1)若sin
α＝，则tan
α＝；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当1
(4)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
[解析] (1)逆命题：若tan
α＝，则sin
α＝.
否命题：若sin
α≠，则tan
α≠.
逆否命题：若tan
α≠，则sin
α≠.
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
(3)逆命题：若x2－3x＋2<0，则1否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0.
逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.
(4)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.
否命题：若ab≠0，则a≠0，且b≠0.
逆否命题：若a≠0，且b≠0，则ab≠0.
方法技巧 1.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式，并写出条件和结论的否定：
(1)“换位”得到“若q，则p”为逆命题；
(2)“换质”(分别否定)得到“若綈p，则綈q”为否命题；
(3)“换位”又“换质”得到“若綈q，则綈p”为逆否命题．
2．要特别注意对一些常见形式的否定的写法，例如“都是”的否定为“不都是”，“a，b中至少一个为零”的否定为“a，b都不为零”．
跟踪探究 1.命题“若α＝，则tan
α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠
，则tan
α≠1
B．若α＝，则tan
α≠1
C．若tan
α≠1，则α≠
D．若tan
α≠1，则α＝
解析：逆否命题需将原命题的条件和结论交换后并分别否定，所以逆否命题为：若tan
α≠1，则α≠.
答案：C
2．命题“若x>2
018，则x>0”的否命题是( )
A．若x>2
018，则x≤0
B．若x≤0，则x≤2
018
C．若x≤2
018，则x≤0
D．若x>0，则x>2
018
解析：否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：若x≤2
018，则x≤0.
答案：C
探究二 四种命题的真假判断
[教材P8习题1.1A组2题]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
(1)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
(2)若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．
解析：(1)逆命题：“若两个整数a与b的和a＋b是偶数，则a，b都是偶数”，假命题．
否命题：“若两个整数a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”，假命题．
逆否命题：“若两个整数a与b的和a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”，真命题．
(2)逆命题：“若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m>0”，假命题．
否命题：“若m≤0，则方程x2＋x－m＝0无实数根”，假命题．
逆否命题：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”，真命题．
[例2] 判断下列各个命题的真假：
(1)“对顶角相等”的逆命题；
(2)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题．
[解析] (1)法一：“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等，则它们是对顶角”，是假命题．
法二：“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角，则它们不相等”，显然是假命题，而逆命题和否命题等价，故“对顶角相等”的逆命题是假命题．
(2)法一：“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角形的两个锐角不互为余角，则这个三角形不是直角三角形”，是真命题．
法二：由于命题“直角三角形的两锐角互为余角”是真命题，而原命题与逆否命题等价，因此“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题是真命题．
方法技巧 判断一个命题的真假通常有以下两种方法
(1)分清该命题的条件与结论，直接对该命题的真假进行判断；
(2)不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价，特别是当命题本身不容易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．
跟踪探究 3.下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x2＋x－2≠0，则x≠1”的逆命题
D．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
解析：A中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误；B中命题的否命题是“若x≤1，则x2≤1”，当x＝－2时不成立；C中命题的逆命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故错误；D中命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，无论y是正数、负数、零都成立．
答案：D
探究三 等价命题的应用
[阅读教材P8例4及解答]证明：若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
题型：利用互为逆否命题的真假性相同，判断命题的真假．
方法步骤：①假设x，y中至少一个不为0，得到x2＋y2≠0.
②这就证得原命题的逆否命题为真命题．从而原命题为真命题．
[例3] 求证：当a2＋b2＝c2时，a，b，c不可能都是奇数．
[证明] 构造命题p：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．
该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.下面证明该逆否命题是真命题．
由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
方法技巧 由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当不容易直接证明一个命题是真命题时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立．
跟踪探究 4.证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明：命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，
显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证．
授课提示：对应学生用书第6页
[课后小结]
(1)四种命题
首先找清原命题的条件和结论，然后：
①交换原命题的条件和结论，得到逆命题；
②同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；
③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．
(2)四种命题的真假判断
原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明)．
[素养培优]
1．不能正确否定命题的条件或结论致误
写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题．
易错分析 对结论的否定不正确．
“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，
而不是“x，y全不为0”，考查逻辑推理的数学素养．
自我纠正 “若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”．
2．判断命题真假时因基础知识掌握不牢致误
命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
易错分析 a，b，c三个数成等差数列，则a＋c＝2b，反之也成立．
对这一知识点掌握不牢致误，考查数学应用能力．
自我纠正 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．故选D.
答案：D
PAGE1．2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1．2.2 充要条件
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解充分、必要、充要条件的意义．2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性．3.掌握证明充要条件的一般方法.
利用数学抽象提高逻辑推理
授课提示：对应学生用书第7页
[基础认识]
知识点 充分条件、必要条件与充要条件
对于“若p，则q”形式的命题，有的命题是真命题，有的命题是假命题，那么命题的条件和结论有什么关系呢？
判断下列两个命题的真假：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)若ab＝0，则a＝0.
提示：命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．
也就是对于命题(1)，由条件x>a2＋b2可以推出结论x>2ab.
对于命题(2)，由条件ab＝0推不出结论a＝0.
知识梳理 (1)充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”
是真命题
“若p，则q”
是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
(2)充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
[自我检测]
1．下列各条件中，p是q的充要条件的是( )
A．p：a＝b，q：＝
B．p：xy>0，q：>0
C．p：直线ax＋y－1＝0与x＋ay＋2＝0平行，q：a＝1
D．p：m>0，q：关于x的方程x2＋2x＋m＝0没有实数根
答案：B
2．用“充分条件”和“必要条件”填空：
(1)若p：x＝－3，q：x2＝9，则p是q的________，q是p的________．
(2)若p：θ＝，q：cos
θ＝0，则p是q的________，q是p的________．
(3)若p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等，则p是q的____________，q是p的__________．
答案：(1)充分条件 必要条件 (2)充分条件 必要条件 (3)必要条件 充分条件
授课提示：对应学生用书第8页
探究一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
[阅读教材P9－11例1、例2、例3]题型：充分条件、必要条件及充要条件的判断．
方法步骤：①利用“若p，则q”为真命题或由p?q时，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②利用“若p，则q”是假命题或pq，则p是q的不充分条件，q是p的不必要条件．
③利用“若p，则q”的逆命题是真命题或q?p，则q是p的充分条件，p是q的必要条件．
④“若p，则q”为真命题，它的逆命题也为真命题或p?q，且q?p，则p是q的充要条件．
[例1] 指出下列各题中，p是q的什么条件：(在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)
(1)p：0(2)p：函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，q：a＝2；
(3)p：x－3，x，x成等比数列，q：x＝4；
(4)p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形；
(5)p：m[解析] (1)当0(2)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，当a>1时，得a2＝4，所以a＝2，当00，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，可得a＝2或a＝，即q；但当a＝2时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2,2]上的最大值等于4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)由x－3，x，x成等比数列可得2＝(x－3)x，解得x＝4或x＝0，但当x＝0时x＝x＝0，不符合题意，舍去，即x的值等于4，即p?q；当x＝4时，显然x－3，x，x成等比数列，即q?p，故p是q的充要条件．
(4)四边形的四条边相等，不一定得出该四边形为正方形，即pq；但当四边形是正方形时，其四条边一定相等，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(5)当mq；当<1时，也不一定有m方法技巧 1.判断p是q的什么条件，主要判断p?q，及q?p两命题的正确性，若p?q为真，则p是q成立的充分条件；若q?p为真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．
2．判定方法常用以下几种：
(1)定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法．
(2)推出法：此法主要适应于抽象命题的判定，其表现形式为利用推出符表示其关系．
(3)集合法：设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
①若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件；
②若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p既是q的充分条件也是必要条件；
④若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
跟踪探究 1.如果p是q的充分条件，r是q的必要条件，那么p是r的________条件．
解析：由题意得p?q，q?r.
答案：充分
2．已知如下四个命题：
①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；
②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；
③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0，则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；
④“m<－2或m>6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．
正确的结论是________．
解析：①中，当a＝2时有(a－1)(a－2)＝0，但(a－1)(a－2)＝0时
a＝1或a＝2，不一定有a＝2，∴“a＝2是(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．
②中a>bac2>bc2，但ac2>bc2?a>b
∴“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，②错误．
③中ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2时ab＝1，
∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．
④中y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点?Δ>0，
即m2－4(m＋3)>0，∴m<－2或m>6，
∴“m<－2或m>6”是“函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件，
④正确．
答案：①③④
探究二 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
[教材P13习题1.2B组1题]已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
(1)如果A?B，那么p是q的什么条件？
(2)如果B?A，那么p是q的什么条件？
(3)如果A＝B，那么p是q的什么条件？
解析：(1)p是q的充分条件．
(2)p是q的必要条件．
(3)p是q的充要条件．
[例2] 是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
[解析] 由x2－x－2>0解得x>2或x<－1，
令A＝{x|x>2或x<－1}．
由4x＋p<0，得B＝.
当B?A时，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x2－x－2>0，
∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．
方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
条件类别
集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件
M?N
p是q的必要不充分条件
M?N
p是q的充要条件
M＝N
p是q的充分条件
M?N
p是q的必要条件
M?N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)；
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
跟踪探究 3.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．
解析：由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1又由x2－5x－24<0得－3∵M是N的充分条件，∴M?N，
∴
解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2,7]．
探究三 充要条件的证明
[阅读教材P11例4及解答]已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
题型：充要性的证明．
方法步骤：①充分性的证明，由d＝r得出直线l与圆O只有一个公共点，因此l与圆O相切．
②必要性的证明，由l与圆O相切，得出圆心到直线的距离d＝r.
[例3] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[证明] 充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0，
此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
方法技巧 1.充要条件的证明问题，关键是理清题意，认清条件与结论分别是什么．
2．证明p是q的充要条件，既要证明“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
3．证明p的充要条件是q，既要证明“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是必要性，后者证明的是充分性．
跟踪探究 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．
于是＝＝p(p≠0且p≠1)，
即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
因为p≠0且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p，
即p－1＝p＋q，故q＝－1.
综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
授课提示：对应学生用书第9页
[课后小结]
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
(1)定义法
一般地，如果已知p?q，那么就说p是q的充分条件，q是p的必要条件．用逻辑符号表示为：①若p?q，且qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；②若q?p，且pq，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件)；④若p/q，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)等价命题转化法
如果p?q，则“若p，则q”形式的命题为真命题．因此：①如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分不必要的；②如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要不充分的；③如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件是充要的；④如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是既不充分也不必要的．
(3)利用集合的关系判定
若构成命题p，q的条件为集合，可以将其转化为集合的关系判断．①若A?B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；②若B?A，就是x∈B则x∈A，则B是A的充分条件，A是B的必要条件；③若A＝B，就是A?B，且A?B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件；④若A?B，且A?B，则A是B的既不充分也不必要条件．
[素养培优]
1．因考虑不周到致误
p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“a·b>0”的________条件．
易错分析 判断两个命题之间的条件关系要从两个方向判断，判断一个方向就下结论，忽视了对“a·b>0”成立时能否导出“向量a与向量b的夹角θ为锐角”的判断．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．
自我纠正 若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos
θ＝>0，即a·b>0，故p是q的充分条件．
a·b>0时，由cos
θ＝>0可得θ∈
当θ＝0时，a与b夹角θ不是锐角，
故p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要条件
2．对问题的设问形式理解不清致误
使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≥0
B．x>2或x<0
C．x∈{－1,3,5}
D．x≥3或x≤－
易错分析 没有弄清题中的条件和结论分别是哪个，从而充分性和必要性判断颠倒，考查逻辑推理的学科素养．
自我纠正 依题意，所选选项应是不等式2x2－5x－3≥0成立的充分不必要条件．由于不等式2x2－5x－3≥0的解集为，正确的选项中变量x的取值范围应该比对应的范围要小一些，而{－1,3,5}?，故选C.
答案：C
PAGE1．3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解“或”“且”“非”的含义．2.掌握含逻辑联结词的命题真假的判断．3.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法.
利用直观想象发展数学抽象提高逻辑推理
授课提示：对应学生用书第10页
[基础认识]
知识点一 “且”
观察下列三个命题：(1)2是6的约数；(2)2是8的约数；(3)2是6的约数且是8的约数．它们之间有什么关系？它们的真假情况怎样？
提示：可以看到，命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题．它们均为真命题．
知识梳理 (1)定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
(2)真假判断
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．
知识点二 “或”
观察下列三个命题：(1)27是7的倍数；(2)27是3的倍数；(3)27是7的倍数或是3的倍数．它们之间有什么关系？它们的真假怎样？
提示：命题(3)是由命题(1)(2)用联结词“或”联结得到的新命题．
命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)也是真命题．
知识梳理 (1)定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
(2)真假判断
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
知识点三 “非”
观察下列两个命题：
(1)4是16的算术平方根；(2)4不是16的算术平方根．它们之间有什么关系？它们的真假怎样？
提示：可以看到，命题(2)是命题(1)的否定．命题(1)是真命题，命题(2)是假命题．
知识梳理 (1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)真假判断
若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
[自我检测]
1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )
A．“p∧q”形式的命题
B．“p∨q”形式的命题
C．“綈p”形式的命题
D．以上说法都不对
答案：A
2．已知命题p，q，若p为真命题，则( )
A．p∧q必为真
B．p∧q必为假
C．p∨q必为真
D．p∨q必为假
答案：C
授课提示：对应学生用书第11页
探究一 含有逻辑联结词的命题构成及真假
[阅读教材P15－17例1、例2、例4]例1：将下列命题用“且”联结成新命题：
(1)p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；
(2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．
例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题：
(1)1既是奇数，又是素数；
(2)2和3都是素数．
例4：写出下列命题的否定．
(1)p：y＝sin
x是周期函数；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集．
题型：用逻辑联结词“且”“或”“非”改写命题．
方法步骤：①确定两个简单命题p、q的条件和结论．
②分别用“且”“或”“非”将p和q联结起来．
有时在不引起歧义的前提下，将p与q中的条件和结论合并．
[例1] 指出下列命题的构成形式，以及构成它的简单命题：
(1)1是质数或合数；
(2)他是运动员兼教练；
(3)不等式|x－2|≤0没有实数解；
(4)要么周长相等的两个三角形全等，要么面积相等的两个三角形全等；
(5)这部作品不仅艺术上有缺点，而且政治上也有错误．
[解析] (1)这个命题是p∨q形式，其中p：1是质数，q：1是合数．
(2)这个命题是p∧q形式，其中p：他是运动员，q：他是教练．
(3)这个命题是綈p形式，其中p：不等式|x－2|≤0有实数解．
(4)这个命题是p∨q形式，其中p：周长相等的两个三角形全等，q：面积相等的两个三角形全等．
(5)这个命题是p∧q形式，其中p：这部作品艺术上有缺点，q：这部作品政治上有错误．
[例2] 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题：
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[解析] (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
方法技巧 1.辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时，应根据组成含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定含逻辑联结词的命题的形式，准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是……也是……”“兼”“不但……而且……”“既……又……”“要么……要么……”等．
2．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如a≥3是a>3或a＝3，xy＝0是x＝0或y＝0，x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.
3．用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．
4．常见词语及其否定形式：是→不是，相等→不相等，>→≤，<→≥，都是→不都是，都不是→至少有一个是．
跟踪探究 1.指出下列命题的形式及构成它的命题：
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆．
解析：(1)是p∧q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
2．写出下列命题的否定形式：
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解析：(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零．
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
探究二 含逻辑联结词的命题的真假判断
[阅读教材P16例3]判断下列命题的真假：
(1)2≤2；
(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
题型：含逻辑联结词的命题真假的判断．
方法步骤：①首先确定构成该复合命题的两个简单命题p，q，并确定复合命题的构成形式．
②其次分别判断命题p和命题q的真假性．
③由复合命题p∧q，p∨q，綈p真假的判定方法得出结论．
[例3] 分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．
(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点，
q：函数y＝2x是增函数；
(2)p：7>7，q：7＝7.
[解析] (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p
且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
方法技巧 1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤
(1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式；
(2)判断其中简单命题p，q的真假；
(3)由真值表判断命题的真假．
2．真值表
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
解读真值表
命题形式
规律总结
结论解释
“p∨q”
一真必真
p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题
“p∧q”
一假必假
p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题
“綈p”
真假相反
p真，则綈p假；p假，则綈p真
延伸探究 1.在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)且q”“(綈q)或p”的真假．
对(2)判断“p且綈q”“p或(綈q)”“(綈p)且(綈q)”“(綈p)或(綈q)”的真假．
解析：(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)且q为真命题，(綈q)或p为假命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p且(綈q)为假命题，p或(綈q)为假命题；
(綈p)且(綈q)为假命题，(綈p)或(綈q)为真命题．
跟踪探究 3.(1)设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为，命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真命题
B．p∧q为真命题，p∨q为真命题
C．p∧q为假命题，p∨q为真命题
D．p∧q为假命题，p∨q为假命题
解析：函数y＝sin
2x的最小正周期是π，所以命题p是假命题，函数y＝cos
x的图象不关于直线x＝对称，所以命题q也是假命题．
所以p∧q是假命题，p∨q是假命题，故选D.
答案：D
(2)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q
D．p∧(綈q)
解析：对于任意x∈R，总有2x>0，所以p是真命题．
“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q是假命题
所以p∧(綈q)是真命题，故选D.
答案：D
探究三 p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用
[例4] 已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
[解析] ∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．
由a2－4>0得a>2或a<－2.
由4(a－4)2－4×4<0得2①若p真q假，则有
∴a<－2或a≥6；
②若p假q真，则有通过分析可知不存在这样的a.
综上，a<－2或a≥6.
方法技巧 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.
(2)讨论p，q的真假．
(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算．
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
延伸探究 2.在本例中，若将条件中的“p且q”为假改为“綈q”为真，其他条件不变，求a的取值范围．
解析：若p真，则a2－4>0，∴a<－2或a>2.
若q为真，则4(a－4)2－16<0，∴2若“p或q”为真，“綈q”为真，则p真q假，
∴?a<－2或a≥6.
∴“p或q”为真，“綈q”为真时，a的取值范围是a<－2或a≥6.
跟踪探究 4.已知命题p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根；命题q：函数f(x)＝(a2－a)x在R上是增函数．若p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
解析：当p是真命题时，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
当q是真命题时，a2－a>0，解得a<0或a>1.
由题意，得p，q都是真命题，
所以解得a<0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
授课提示：对应学生用书第13页
[课后小结]
(1)利用逻辑联结词“且”“或”可以联结两个命题，得到新命题；命题的真假可以通过真值表进行判断．
(2)命题綈p是对命题p的全盘否定，p和綈p的真假性相反，要区别于命题p的否命题．
逻辑联结词的意义又可结合集合的运算理解，利用p∧q，p∨q，綈p形式命题的真假可以得到一些集合的关系，确定其中参数的范围．
[素养培优]
1．混淆命题的否定与否命题致误
写出下列命题的否定：
若x2－x－2≠0，则x＝－1且x＝2.
易错分析 混淆了命题的否定与否命题，产生了错误的结果．命题的否定是对结论全盘否定；否命题是对原命题的条件和结论均否定．考查逻辑推理的数学素养．
自我纠正 若x2－x－2≠0，则x≠－1或x≠2.
2．不能正确求出命题p为真时相应字母的取值范围致误
命题p：函数f(x)＝mx2＋2x－1在上单调递增，若“綈p”为假命题，求m的取值范围．
易错分析 对函数f(x)在上为单调增函数，考虑不全面致误，遗漏了m＝0时f(x)在上为单调递增．考查直观想象和逻辑推理及数学运算的学科素养．
自我纠正 (1)当m＝0，时f(x)＝2x－1，在上单调递增．
(2)当m≠0时，?m>0.
综上，p真时，m≥0，
∴綈p为假时，p为真，m的取值范围是m≥0.
PAGE1．4 全称量词与存在量词
1．4.1 全称量词
1．4.2 存在量词
1．4.3 含有一个量词的命题的否定
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解全称量词、存在量词的含义．2.掌握全称命题与特称命题的真假判断．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第13页
[基础认识]
知识点一 全称量词与全称命题
什么是命题？命题的结构形式是什么？
提示：命题是可以判断真假的陈述句，命题由条件和结论构成．
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．
提示：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．
知识梳理 全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(4)全称命题的真假判断：要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
知识点二 存在量词与特称命题
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)2x＋1＝3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；
(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除．
提示：容易判断，(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．
知识梳理 存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为：?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
(4)特称命题的真假判断：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题．
知识点三 含有一个量词的命题的否定
命题“所有的四边形都是平行四边形”的否定是“所有的四边形都不是平行四边形”吗？若不是，应怎样写出？其含义是什么？
提示：由p与綈p的真假性相反可知，不是．
该命题的否定是：并非所有的四边形都是平行四边形．其含义是“存在一个”四边形“不是平行四边形”．
写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
提示：命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，
存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，?x0∈R，x－2x0＋1<0.
知识梳理 全称命题与特称命题的否定
命题类型
全称命题
特称命题
形式
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
否定
?x0∈M，綈p(x0)
?x∈M，綈p(x)
结论
全称命题的否定是特称命题
特称命题的否定是全称命题
[自我检测]
1．给出下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．其中全称命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个θ，使tan
θ＝tan(90°－θ)
B．存在实数x0，使sin
x0＝
C．对一切θ，使sin
θ＝sin(180°－θ)
D．sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
答案：A
3．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为( )
A．存在一个三角形的内角和等于180°
B．所有三角形的内角和都等于180°
C．所有三角形的内角和都不等于180°
D．很多三角形的内角和不等于180°
答案：B
授课提示：对应学生用书第15页
探究一 全称命题和特称命题的概念及真假判断
[阅读教材P22－23例1、例2]判断下列全称命题和特称命题的真假：
(1)所有的素数是奇数；
(2)?x∈R，x2＋1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(4)?x0∈R，x＋2x0＋3＝0；
(5)存在两相交平面垂直于同一条直线；
(6)有些整数只有两个正因数．
题型：全称命题真假的判断．
方法步骤：要判断全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对M中的每个元素x证明p(x)成立．
如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
[例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有些素数的和仍是素数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解析] (1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题．
(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
[例2] 判断下列命题的真假：
(1)p：任意等比数列的公比不能等于0；
(2)q：存在等差数列，其前n项和Sn＝n2＋2n－1；
(3)r：?x∈R，sin
x＋cos
x≥－1；
(4)s：?x0∈R，x－2x0＋3<0.
[解析] (1)这是全称命题，由等比数列的定义知，等比数列中任意项an≠0，所以其公比q＝≠0(n∈N＋)，故该命题为真命题．
(2)这是特称命题，对于任意等差数列{an}，若设其公差为d，则前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，因此不可能是Sn＝n2＋2n－1这种形式，故该命题是假命题．
(3)这是全称命题，因为对?x∈R，sin
x＋cos
x＝
sin≥－，所以存在x0∈R，sin
x＋cos
x∈[－，－1)，故该命题为假命题．
(4)这是特称命题，因为对任意x∈R，x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以不存在x0∈R，使x－2x0＋3<0，故命题为假命题．
方法技巧 1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法：
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
跟踪探究 1.将下列命题用“?”或“?”表示：
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；
(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
解析：(1)?x∈R，x2≥0.
(2)?x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<1)．
(3)若?a?α，l⊥a，则l⊥α.
2．判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2－x＋1>；
(2)?α，β，cos(α－β)＝cos
α－cos
β；
(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示．
解析：(1)真命题，
∵x2－x＋1－＝x2－x＋
＝2＋≥>0，
∴x2－x＋1>恒成立．
(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
探究二 含有一个量词的命题的否定
[阅读教材P24－25例3、例4]写出下列命题的否定：
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(4)p：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(5)p：有的三角形是等边三角形；
(6)p：有一个素数含三个正因数．
类型：全称命题和特称命题的否定．
方法步骤：①先确定命题是全称命题还是特称命题．
②根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，正确地写出命题的否定．
[例3] 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋3x＋7≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解析] (1)綈p：?x∈R，x2－x＋<0，是假命题．
∵?x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴綈p是假命题．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
(3)綈r：?x∈R，x2＋3x＋7>0，是真命题．
∵?x∈R，x2＋3x＋7＝2＋>0恒成立，
∴綈r是真命题．
(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，是假命题．
∵当x＝－1时，x3＋1＝0，
∴綈s是假命题．
方法技巧 对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．
(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．
(3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定．
跟踪探究 3.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x0使得x＋x0＋1≤0；
(3)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解析：(1)綈p：至少存在一个实数m0，方程x2＋x－m0＝0无实数根，真命题．
(2)綈q：所有的实数x，都有x2＋x＋1>0，真命题．
(3)綈s：存在一个角α0，使得sin2α0＋cos2α0≠1，假命题．
探究三 全称命题与特称命题的应用
[例4] (1)命题p：?x∈R，sin
xcos
x≥m，若命题p是真命题，求实数m的取值范围；
(2)命题q：?x0∈R，sin
x0cos
x0≥m，若命题q是真命题，求实数m的取值范围．
[解析] 令f(x)＝sin
xcos
x＝sin
2x，
∵x∈R，∴f(x)∈.
(1)若命题p是真命题，则m≤－.
(2)若命题q是真命题，则m≤.
方法技巧 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“?x∈M，a>f(x)(或af(x)max(a(2)对于特称命题“?x0∈M，a>f(x0)(或af(x)min(或a(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪探究 4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
授课提示：对应学生用书第16页
[课后小结]
(1)判定一个命题是全称命题还是特称命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．
(2)要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对特称命题真假的判定方法正好与之相反．
(3)全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．
(4)利用全称命题和特称命题的真假求参数的取值范围问题时，转化恒成立或有解的数学问题来解决．
[素养培优]
1．对含有一个量词的命题进行否定时，未改变量词致误
写出命题“?x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定．
易错分析 写已知命题的否定时，没有改变量词，只改变结论致误．考查直观想象的学科素养．
自我纠正 该命题的否定为：?x0∈R，若y0>0，则x＋y0≤0.
2．对含有一个量词的命题进行否定时，改变条件致误
命题p：?x0<3，x>9的否定綈p为____________．
易错分析 写已知命题的否定时，既改变了命题的条件，也改变了命题的结论致误．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．
自我纠正 原命题的否定为：?x<3，x2≤9.
答案：?x<3，x2≤9
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