单元素养评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数y=x2+x在x=1到x=1+Δx之间的平均变化率为( )
A.Δx+2
B.2Δx+(Δx)2
C.Δx+3
D.3Δx+(Δx)2
2.下列式子不正确的是( )
A.(3x2+cos
x)′=6x-sin
x
B.(ln
x-2x)′=-2xln
2
C.(2sin
2x)′=2cos
2x
D.′=
3.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )
A.a=e，b=-1
B.a=e，b=1
C.a=e-1，b=1
D.a=e-1，b=-1
【加练·固】
已知曲线y=2ax2+1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( )
A.y=-4x-1
B.y=4x-1
C.y=4x-11
D.y=-4x+7
4.若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为( )
A.(1，3)
B.(1，-3)
C.(1，0)
D.(-1，0)
5.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9
B.-3
C.9
D.5
6.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
7.已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图像如图所示，那么y=f(x)，y=g(x)的图像可能是( )
8.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图所示，则导函数y=f′(x)的图像可能为( )
9.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”的只有( )
A.f(x)=
B.f(x)=|x|
C.f(x)=2x
D.f(x)=x2
10.已知曲线f(x)=ln
x在点(2，f(2))处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为( )
A.
B.-2
C.2
D.-
11.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像，则函数g(x)=ex+f′(x)的零点所在的区间是( )
A.(-1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
12.若函数f(x)=-eax(a>0，b>0)的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是( )
A.4
B.2
C.2
D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.曲线C：f(x)=sin
x+ex+2在x=0处的切线方程为_________.?
14.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=_________.?
【加练·固】
已知函数f(x)=x3-f′(1)·x2+x+5，则f′(1)=_________.?
15.已知函数f(x)=aex+e-x的导函数f′(x)的图像关于原点对称，则a=_________.?
16.已知函数g(x)=a-x2≤x≤e，e为自然对数的底数与h(x)=2ln
x的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是_________.?
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标.
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
18.(12分)已知f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d，又f(2x+1)=4g(x)，且f′(x)=g′(x)，f(5)=30，求g(2)的值.
19.(12分)设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a，b，c.
【拓展延伸】利用导数研究曲线的切线问题的三个注意点
(1)导数与斜率：函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.
(2)切点坐标满足切线与曲线方程：切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其他的公共点.
(3)“在”与“过”的区别：曲线y=f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率k=f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y=f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.
20.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围.
21.(12分)设函数f(x)=aexln
x+，
(1)求导函数f′(x).
(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b.
22.(12分)求满足下列条件的函数f(x).
(1)f(x)是三次函数，且f(0)=3，f′(0)=0，f′(1)=-3，f′(2)=0.
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.
PAGE单元素养评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数y=x2+x在x=1到x=1+Δx之间的平均变化率为( )
A.Δx+2
B.2Δx+(Δx)2
C.Δx+3
D.3Δx+(Δx)2
【解析】选C.Δy=(1+Δx)2+1+Δx-1-1=(Δx)2+3Δx，所以=Δx+3.
2.下列式子不正确的是( )
A.(3x2+cos
x)′=6x-sin
x
B.(ln
x-2x)′=-2xln
2
C.(2sin
2x)′=2cos
2x
D.′=
【解析】选C.对于选项A，(3x2+cos
x)′=6x-sin
x成立，故A正确；
对于选项B，(ln
x-2x)′=-2xln
2成立，故B正确；
对于选项C，(2sin
2x)′=4cos
2x≠2cos
2x，故C不正确；
对于选项D，′=成立，故D正确.
3.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )
A.a=e，b=-1
B.a=e，b=1
C.a=e-1，b=1
D.a=e-1，b=-1
【解析】选D.令f(x)=aex+xln
x，则f′(x)=aex+ln
x+1，f′(1)=ae+1=2，
得a==e-1.f(1)=ae=2+b，可得b=-1.
【加练·固】
已知曲线y=2ax2+1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( )
A.y=-4x-1
B.y=4x-1
C.y=4x-11
D.y=-4x+7
【解析】选B.因为曲线过点(，3)，所以3=2a2+1，所以a=1，
所以切点为(1，3).由导数定义可得y′=4ax=4x，
所以该点处切线斜率k=4，
所以切线方程为y-3=4(x-1)，即y=4x-1.
4.若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为( )
A.(1，3)
B.(1，-3)
C.(1，0)
D.(-1，0)
【解析】选C.设P点坐标为(x0，y0)，则k=f′(x0)=4-1=3，解得x0=1，此时y0=0.
5.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9
B.-3
C.9
D.5
【解析】选C.因为f′(x)=3x2，切点P(1，12)，所以切线的斜率k=3×12=3.
故切线方程为y-12=3(x-1)，即3x-y+9=0，令x=0，得y=9.
6.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.
y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)·(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，
所以当x=1时，y′=4.
7.已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图像如图所示，那么y=f(x)，y=g(x)的图像可能是( )
【解析】选D.由导函数y=f′(x)的图像可知y=f′(x)在(0，+∞)上单调递减，说明函数y=f(x)的图像上任意一点切线的斜率为单调递减，故可排除A，C.又由图像知y=f′(x)与y=g′(x)在点x=x0处相交，说明y=f(x)与y=g(x)的图像在x=x0处的切线斜率相同，故可排除B.
8.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图所示，则导函数y=f′(x)的图像可能为( )
【解析】选A.由f(x)的图像判断可得，从左到右函数在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，所以导函数y=f′(x)的图像可能在区间
(-∞，0)内，先有f′(x)>0，再有f′(x)<0，在(0，+∞)有f′(x)<0.
9.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”的只有( )
A.f(x)=
B.f(x)=|x|
C.f(x)=2x
D.f(x)=x2
【解析】选A.由已知得<1，则||<1(k指斜率)，即曲线在
(1，2)上任意两点连线的斜率在区间(-1，1)内.
A中f′(x)=′=-，
当x∈(1，2)时，f′(x)∈，满足题意；
B中在(1，2)上k=1，不满足题意；
C中(2x)′=2x·ln
2，不满足题意；
D中(x2)′=2x，不满足题意.
10.已知曲线f(x)=ln
x在点(2，f(2))处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为( )
A.
B.-2
C.2
D.-
【解析】选C.f(x)=ln
x的导数为f′(x)=，可得曲线f(x)=ln
x在点(2，f(2))处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1=0垂直，可得-a·=-1，解得a=2.
11.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像，则函数g(x)=ex+f′(x)的零点所在的区间是( )
A.(-1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
【解析】选B.由图像可知，0由①②可得10，
又g(x)的图像连续不断且g(x)为增函数，所以g(x)在(0，1)上必存在零点.
12.若函数f(x)=-eax(a>0，b>0)的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是( )
A.4
B.2
C.2
D.
【解析】选D.f′(x)=-eax，因此切线的斜率k=f′(0)=-，切点为，切线方程为y+=-(x-0)，即ax+by+1=0，由于与圆相切，所以=1，则a2+b2=1，由≤，得a+b≤，当仅且当a=b时取等号.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.曲线C：f(x)=sin
x+ex+2在x=0处的切线方程为_________.?
【解析】因为f′(x)=cos
x+ex，所以k=f′(0)=cos
0+e0=2，且f(0)=sin
0+e0+2=3，所以所求切线方程为y-3=2(x-0)，即2x-y+3=0.
答案：2x-y+3=0
14.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=_________.?
【解析】f′(x)=[x2+2xf′(1)]′=2x+2f′(1)，
则f′(1)=2×1+2f′(1)，所以f′(1)=-2，
所以f′(0)=2×0+2f′(1)=-4.
答案：-4
【加练·固】
已知函数f(x)=x3-f′(1)·x2+x+5，则f′(1)=_________.?
【解析】因为f(x)=x3-f′(1)·x2+x+5，
所以f′(x)=x2-2f′(1)·x+1，令x=1，
得f′(1)=1-2f′(1)+1，得f′(1)=.
答案：
15.已知函数f(x)=aex+e-x的导函数f′(x)的图像关于原点对称，则a=_________.?
【解题指南】先求导，再根据奇函数的性质即可求出a的值.
【解析】函数f(x)=aex+e-x的导函数f′(x)=aex-e-x的图像关于原点对称，所以f′(-x)=-f′(x)，所以ae-x-ex=-aex+e-x，所以a=1.
答案：1
16.已知函数g(x)=a-x2≤x≤e，e为自然对数的底数与h(x)=2ln
x的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是_________.?
【解析】因为函数g(x)=a-x2≤x≤e，e为自然对数的底数与h(x)=2ln
x的图像上存在关于x轴对称的点，所以方程a-x2=-2ln
x，即-a=2ln
x-x2在上有解.令f(x)=2ln
x-x2，则f′(x)=-2x=，因为≤x≤e，所以f(x)在x=1处有唯一的极大值点.因为f=-2-，f(e)=2-e2，f(x)的极大值为f(1)=-1，且f(e)x-x2在上有解等价于2-e2≤-a≤-1，即1≤a≤e2-2，故实数a的取值范围是[1，e2-2].
答案：[1，e2-2]
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标.
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
【解析】(1)由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解得x=±1.
当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(-1，-4).
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为-.因为l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4)，所以直线l的方程为y+4=-(x+1)，即x+4y+17=0.
18.(12分)已知f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d，又f(2x+1)=4g(x)，且f′(x)=g′(x)，f(5)=30，求g(2)的值.
【解析】因为f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d，
因为由f(2x+1)=4g(x)得，(4+2a-4c)x+1+a+b-4d=0，即a-2c+2=0，a+b-4d+1=0；
又因为f′(x)=g′(x)，所以a=c，又由f(5)=30，得5a+b=5，
四个方程联立求得：a=c=2，b=-5，d=-，则g(x)=x2+2x-，所以g(2)=4+4-=.
19.(12分)设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a，b，c.
【解析】因为函数f(x)，g(x)的图像都过点(t，0)，
所以f(t)=0，即t3+at=0.因为t≠0，
所以a=-t2.
g(t)=0，即bt2+c=0，所以c=ab.
又因为f(x)，g(x)在点(t，0)处有相同的切线，
所以f′(t)=g′(t).
而f′(x)=3x2+a，g′(x)=2bx，所以3t2+a=2bt.
将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.
故a=-t2，b=t，c=-t3.
【拓展延伸】利用导数研究曲线的切线问题的三个注意点
(1)导数与斜率：函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.
(2)切点坐标满足切线与曲线方程：切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其他的公共点.
(3)“在”与“过”的区别：曲线y=f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率k=f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y=f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.
20.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时，f=ex+x2-x，
f′=ex+2x-1，由于f″=ex+2>0，
故f′单调递增，注意到f′=0，
故当x∈时，f′<0，f单调递减，
当x∈时，f′>0，f单调递增.
(2)由f≥x3+1得，
ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0，
①当x=0时，不等式为：1≥1，显然成立，符合题意；
②当x>0时，分离参数a得，a≥-，
记g=-，
g′=-，
令h=ex-x2-x-1，
则h′=ex-x-1，h″=ex-1≥0，
故h′单调递增，h′≥h′=0，
故函数h单调递增，h≥h=0，
由h≥0可得：ex-x2-x-1≥0恒成立，
故当x∈时，g′>0，g单调递增；
当x∈时，g′<0，g单调递减，
因此，=g=，
综上可得，实数a的取值范围是.
21.(12分)设函数f(x)=aexln
x+，
(1)求导函数f′(x).
(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b.
【解析】(1)由f(x)=aexln
x+，
得f′(x)=(aexln
x)′+′=aexln
x++.
(2)由于切点既在函数曲线上，又在切线上，
将x=1代入切线方程得：y=2.
将x=1代入函数f(x)得：f(1)=b，所以b=2.
将x=1代入导函数，则f′(1)=ae=e.
所以a=1.
22.(12分)求满足下列条件的函数f(x).
(1)f(x)是三次函数，且f(0)=3，f′(0)=0，f′(1)=-3，f′(2)=0.
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.
【解析】(1)由题意设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，
则f′(x)=3ax2+2bx+c.
由已知
解得a=1，b=-3，c=0，d=3，故f(x)=x3-3x2+3.
(2)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
则f′(x)=2ax+b.
所以x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1，
化简得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1，
此式对任意x都成立，所以
解得a=2，b=2，c=1，即f(x)=2x2+2x+1.
PAGE
