课时素养评价七 变化的快慢与变化率
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为
( )
A.0.41
B.3
C.4
D.4.1
【解析】选D.===4.1.
2.已知函数f(x)=x2+2x，则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为
( )
A.4
B.(Δx)2+4Δx+3
C.(Δx)2+4Δx
D.Δx+4
【解析】选D.由题可得函数f(x)=x2+2x在[1，1+Δx]上的平均变化率为=Δx+4.
3.自变量x从x0变到x1时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数
( )
A.在区间[x0，x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化率
D.在区间[x0，x1]上的导数
【解析】选A.自变量x从x0变到x1时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是表示函数在区间[x0，x1]上的平均变化率.
4.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是
( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解析】选B.===-1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.函数y=f(x)=5x+4在区间[0，1]上的平均变化率是_________.?
【解析】==5.
答案：5
6.已知函数y=+3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy=_________.?
【解析】Δy=f(1.5)-f(2)=-=-1=.
答案：
三、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=3x2+2，求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率，并求当x0=2，Δx=0.1时平均变化率的值.
【解析】因为f(x)=3x2+2，所以f(x0)=3+2，
f(x0+Δx)=3+2=3+6x0Δx+3(Δx)2+2，
则f(x0+Δx)-f(x0)=6x0Δx+3(Δx)2，
故f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为==6x0+
3Δx，
则当x0=2，Δx=0.1时，平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
【加练·固】
利用定义求函数y=-2x2+5在x=2处的瞬时变化率.
【解析】因为在x=2附近，Δy=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)
=-8Δx-2(Δx)2，所以函数在区间[2，2+Δx]内的平均变化率为=
=-8-2Δx.
当Δx趋于0时，趋于-8.
故函数y=-2x2+5在x=2处的瞬时变化率为-8.
(15分钟·30分)
1.(5分)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是
( )
A.甲
B.乙
C.相同
D.不确定
【解析】选B.在t0处，虽然W1(t0)=W2(t0)，
但是，在t0-Δt处，W1(t0-Δt)即<，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.
2.(5分)函数f(x)=+2在x=1处的瞬时变化率为_________.?
【解析】因为Δy=+2-
=-1=，
所以=，当Δx趋于0时，趋于-2.
答案：-2
3.(5分)函数y=x2-2x+3在2到之间的平均变化率为_________.?
【解析】因为Δy=-(22-2×2+3)=，Δx=-2=，所以=×4=.
答案：
4.(5分)如图，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内平均变化率最大的一个区间是_________.?
【解析】由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，
[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，.
结合图像可以发现函数y=f(x)在这几个区间上的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
答案：[x3，x4]
5.(10分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
【解析】从A处到B处高度的平均变化率为==，
从B处到C处高度的平均变化率为==，
由>，知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭.
故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.
PAGE课时素养评价八 导数的概念及其几何意义
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.已知函数f(x)在x=x0处可导，若
=1，则f′(x0)=
( )
A.-1
B.-
C.
D.1
【解析】选C.由已知可得=3
=3f′(x0)=1，
所以f′(x0)=.
2.设函数f(x)=ax3+2，且f′(-1)=3，则a等于
( )
A.-1
B.
C.
D.1
【解析】选D.f′(-1)=
=[3a-3a·Δx+a(Δx)2]=3a.
令3a=3，所以a=1.
3.已知y=f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)
D.不能确定
【解析】选B.由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线的斜率，由图像可知f′(xA)【误区警示】解答本题易出现的失误是弄不清楚曲线在点A处切线的斜率大还是在点B处切线的斜率大.
4.设曲线y=ax2在点(1，a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a等于
( )
A.1
B.
C.-
D.-1
【解析】选A.因为y′==(2a+aΔx)=2a.
所以可令2a=2，所以a=1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设y=f(x)为可导函数，且满足条件
=-2，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是_________.?
【解析】由=-2，所以f′(1)=-2，f′(1)=-4.
答案：-4
6.根据导数的定义求得函数y=f(x)=x2+3在x=1处的导数为_________.?
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2，
所以==2+Δx.
故f′(1)=(2+Δx)=2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1，该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，求Δt的取值范围.
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为===
4+Δt.
又≤5，所以4+Δt≤5，即Δt≤1.
又Δt>0，所以Δt的取值范围为(0，1].
8.已知f(x)=x2，g(x)=x3，求满足f′(x)+2=g′(x)的x的值.
【解析】f′(x)=
=2x，
g′(x)=
=3x2.
因为f′(x)+2=g′(x)，
所以2x+2=3x2.
即3x2-2x-2=0，
解得x=或x=.
(15分钟·30分)
1.(5分)若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点P(1，3)，则b等于
( )
A.3
B.-3
C.5
D.-5
【解析】选A.因为点P(1，3)既在直线上又在曲线上，所以3=k+1，且3=1+a+b，即k=2，a+b=2.根据导数的定义知y=x3+ax+b的导数为y′=3x2+a，所以3×12+a=k，所以a=-1，b=3.
2.(5分)如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=_________.?
【解析】由题意得，f′(4)=-2，f(4)=-2×4+9=1.
因此，f(4)+f′(4)=1-2=-1.
答案：-1
3.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为_________.?
【解析】由导数的几何意义，得f′(0)=
==[a·(Δx)+b]=b.
因为所以ac≥，
又因为b>0，所以c>0.
所以=≥≥=2.
答案：2
4.(5分)若曲线y=2x2-4x+m与直线y=1相切，则m=_________.?
【解析】设切点坐标为(x0，1)，则f′(x0)=4x0-4=0，
所以x0=1，即切点坐标为(1，1).
所以2-4+m=1，即m=3.
答案：3
5.(10分)已知曲线C：y=经过点P(0，-1)，求：
(1)曲线在点P处的切线的斜率.
(2)曲线在点P处的切线的方程.
(3)过点O(0，0)的曲线C的切线方程.
【解析】(1)将P(0，-1)代入y=中得t=-1，
所以y=-.
所以===，
所以=，
所以曲线在点P处切线的斜率为k==1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x，
即x-y-1=0.
(3)因为点O(0，0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，
则切线斜率k==，
因为y0=-，所以x0=-，
所以切点M，切线斜率k=4，切线方程为y+2=4，即y=4x.
1.曲线f(x)=x2的平行于直线x-y+1=0的切线方程为_________.?
【解析】f′(x)==x.
因为直线x-y+1=0的斜率为1，所以x=1.
所以f(1)=×12=，切点为.
故切线方程为y-=1·(x-1)，即2x-2y-1=0.
答案：2x-2y-1=0
2.已知点M(0，-1)，F(0，1)，过点M的直线l与曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线平行.
(1)求直线l的方程.
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程.
【解析】(1)y=f(x)=x3-4x+4，
所以f′(2)==
==0，
即曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线斜率为0，
而l与此切线平行，故l的斜率也为0.
又l过点M(0，-1)，所以直线l的方程为y=-1.
(2)因为抛物线以点F(0，1)为焦点，y=-1为准线，
设抛物线方程为x2=2py(p>0)，则=1，p=2.
故抛物线C的方程为x2=4y.
PAGE课时素养评价九 计
算
导
数
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.下列四组函数中导数相等的是
( )
A.f(x)=1与f(x)=x
B.f(x)=sin
x与f(x)=-cos
x
C.f(x)=1-cos
x与f(x)=-sin
x
D.f(x)=1-2x2与f(x)=-2x2+5
【解析】选D.D选项中的两个函数的导数都是-4x.
2.函数f(x)=，其导函数为f′(x)，则有
( )
A.f′(x)=-f(x)
B.f′(x)=-f2(x)
C.-1
D.f′(x)=f2(x)
【解析】选B.f′(x)=(x-1)′=-x-2=-=-f2(x).
3.已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，则当k=3时的P点坐标为
( )
A.(-2，-8)
B.(-1，-1)或(1，1)
C.(2，8)
D.
【解析】选B.因为y′=3x2，k=3，所以3x2=3，所以x=±1.
故P点坐标为(-1，-1)或(1，1).
4.设曲线y=ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直，则a等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选C.由题意知切线的斜率是-，
因为y′=2ax，所以4a=-，得a=-.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知f(x)=x2，g(x)=ln
x，若f′(x)-g′(x)=1，则x=_________.?
【解析】因为f(x)=x2，g(x)=ln
x，
所以f′(x)=2x，g′(x)=且x>0，
f′(x)-g′(x)=2x-=1，即2x2-x-1=0，
解得x=1或x=-(舍去).
故x=1.
答案：1
6.函数y=ln
x在x=2处的切线斜率为_________.?
【解析】因为y=ln
x，所以y′=，所以当x=2时，y′=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.求下列函数的导数：
(1)y=8.
(2)y=.
(3)y=-2sin
.
【解析】(1)y′=8′=0.
(2)y′=′=-.
(3)因为y=-2sin
=2sin
=2sin
cos
=sin
x，
所以y′=(sin
x)′=cos
x.
8.求与曲线f(x)=在点P(8，4)处的切线垂直于点P的直线方程.
【解析】因为y=，
所以f′(x)=()′=′=，
所以f′(8)=×=.
即在点P(8，4)处的切线的斜率为.
所以符合题意的切线的斜率为-3.
从而符合题意的直线方程为y-4=-3(x-8)，
即3x+y-28=0.
(15分钟·30分)
1.(5分)在曲线f(x)=上切线的倾斜角为π的点的坐标为
( )
A.(1，1)
B.(-1，-1)
C.(-1，1)
D.(1，1)或(-1，-1)
【解析】选D.切线的斜率k=tan
π=-1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)=-1，又f′(x)=-，
所以-=-1，所以x0=1或-1，
所以切点坐标为(1，1)或(-1，-1).
【加练·固】
设曲线y=ex在点(0，1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_________.?
【解析】因为y′=ex，所以曲线y=ex在点(0，1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P(m，n)，y=(x>0)的导数为y′=-
(x>0)，曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0).
因为两切线垂直，所以k1k2=-1，
所以m=1，n=1，点P的坐标为(1，1).
答案：(1，1)
2.(5分)若曲线y=在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=
( )
A.64
B.32
C.16
D.8
【解析】选A.因为y′=-，
所以曲线y=在点(a，)处的切线方程为：y-=-(x-a)，由x=0得y=，由y=0得x=3a，所以··3a=18，解得a=64.
3.(5分)直线y=x+b是曲线y=ln
x(x>0)的一条切线，则实数b=_________.?
【解析】设切点为(x0，y0)，
因为y′=，所以=，
所以x0=2，所以y0=ln
2，ln
2=×2+b，
所以b=ln
2-1.
答案：ln
2-1
4.(5分)已知函数f(x)=-1(a>0)的图像在x=1处的切线为l，则l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为_________.?
【解题指南】求面积的表达式，然后求其最小值.
【解析】由已知可得f′(x)=，即f′(1)=.
由题意知f(1)=-1，
所以f(x)在x=1处的切线l的方程是y-+1=(x-1).
所以切线l与两坐标轴的交点分别为，.
所以l与坐标轴围成的三角形的面积
S=·=≥×(2+2)=1.
当且仅当a=，即a=1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.
答案：1
5.(10分)点P是曲线y=ex上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.
【解析】如图，当曲线y=ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y=x平行时，点P到直线y=x的距离最近.
则曲线y=ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′=(ex)′=ex，所以=1，得x0=0，
代入y=ex，得y0=1，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
1.设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(ex)=x+ex，则f′(1)等于
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.设ex=t，则x=ln
t(t>0)，
所以f(t)=ln
t+t，所以f′(t)=+1，
所以f′(1)=2.
2.已知函数f(x)=，g(x)=aln
x，a∈R，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值.
【解析】设两曲线的交点为(x0，y0)，
由题意知，f′(x0)=g′(x0)，
即=，即a=，①
因为点(x0，y0)为两曲线的交点，所以=aln
x0，②
由①②可得x0=e2，将x0=e2代入①得a=.
PAGE课时素养评价十 导数的加法与减法法则
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.下列结论不正确的是
( )
A.若y=3，则y′=0
B.若f(x)=3x+1，则f′(1)=3
C.若y=-+x，则y′=-+1
D.若y=sin
x+cos
x，则y′=cos
x+sin
x
【解析】选D.D项，因为y=sin
x+cos
x，
所以y′=(sin
x)′+(cos
x)′=cos
x-sin
x.
2.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1，a+2)处切线的斜率为8，则a等于
( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
【解析】选D.y′=4x3+2ax，由导数的几何意义知在点(-1，a+2)处的切线斜率k=-4-2a=8，
解得a=-6.
3.函数y=sin
x+ex的图像上一点(0，1)处的切线的斜率为
( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选B.因为函数y=f(x)=sin
x+ex的导数为y′=cos
x+ex，所以f′(0)=
cos
0+e0=2.
所以函数y=sin
x+ex的图像上一点(0，1)处的切线的斜率为2.
4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+ln
x(e为自然对数的底数)，则f′(e)等于
( )
A.
B.e
C.-
D.-e
【解析】选C.由f(x)=2xf′(e)+ln
x，
得f′(x)=2f′(e)+，
则f′(e)=2f′(e)+?f′(e)=-.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2020·全国Ⅰ卷)曲线y=ln
x+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_________.?
【解析】设切线的切点坐标为(x0，y0)，y=ln
x+x+1，
y′=+1，y′=+1=2，x0=1，y0=2，
所以切点坐标为(1，2)，
所求的切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.
答案：y=2x
6.已知直线l是曲线y=x3+x+1的倾斜角最小的切线，则l的方程为_________.?
【解析】由导数的运算法则可知y′=x2+1，且x2+1≥1.由直线的倾斜角与斜率的关系可知，倾斜角最小的直线的斜率是1，此时x=0.将x=0代入曲线方程，可得y=1，所以直线方程为y-1=1×(x-0)，化简得x-y+1=0.
答案：x-y+1=0
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4，求经过点A(2，-2)的曲线f(x)的切线方程.
【解析】设经过点A(2，-2)的曲线的切线的切点为
P(x0，-4+5x0-4).
由题意知，f′(x)=3x2-8x+5，
所以f′(x0)
=3-8x0+5，所以过点A(2，-2)的切线方程为y+2=(3-8x0+5)·(x-2).
将切点P(x0，-4+5x0-4)的坐标代入，
得-4+5x0-4+2=(3-8x0+5)(x0-2)，
整理得-5+8x0-4=0.
由(-1)-(5-8x0+3)=0，
得(-4x0+4)(x0-1)=0，
即(x0-2)2(x0-1)=0，解得x0=1或2.
将x0=1或2分别代入切线方程y+2=(3-8x0+5)·(x-2)，得y+2=0或y+2=x-2.
所以经过点A(2，-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.
8.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a，f′(2)=-b，其中常数a，b∈R.求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
【解析】因为f(x)=x3+ax2+bx+1，
所以f′(x)=3x2+2ax+b.
令x=1，得f′(1)=3+2a+b，又f′(1)=2a，
所以3+2a+b=2a，解得b=-3.
令x=2，得f′(2)=12+4a+b，又f′(2)=-b，
所以12+4a+b=-b，解得a=-.
则f(x)=x3-x2-3x+1，从而f(1)=-.
又f′(1)=2×=-3，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1)，
即6x+2y-1=0.
(15分钟·30分)
1.(5分)曲线y=ex-ln
x在点(1，e)处的切线方程为
( )
A.(1-e)x-y+1=0
B.(1-e)x-y-1=0
C.(e-1)x-y+1=0
D.(e-1)x-y-1=0
【解析】选C.记f(x)=ex-ln
x，则f′(x)=e-，
所以曲线y=ex-ln
x在点(1，e)处的切线斜率为f′(1)=e-=e-1，
所以曲线y=ex-ln
x在点(1，e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1)，
整理得(e-1)x-y+1=0.
2.(5分)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
( )
A.4
B.-
C.2
D.-
【解析】选A.依题意得f′(x)=g′(x)+2x，
f′(1)=g′(1)+2=4.
3.(5分)若曲线y=ax2-ln
x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a=_________.?
【解析】易知点(1，a)在曲线y=ax2-ln
x上，
y′=2ax-，
所以f′(1)=2a-1=0，所以a=.
答案：
4.(5分)已知函数f(x)=-x3+6x2-9x+8，则过点(0，0)可作曲线y=f(x)的切线的条数为_________.?
【解析】因为点(0，0)不在函数y=f(x)的图像上，
所以点(0，0)不是切点.设切点为P(x0，-+6-9x0+8)，
由f(x)=-x3+6x2-9x+8，
可得f′(x)=-3x2+12x-9，
则f′(x0)=-3+12x0-9，
所以-3+12x0-9=，
解得x0=-1或x0=2，故切线有2条.
答案：2
5.(10分)已知向量a=，b=，令f(x)=a·b，是否存在实数x∈[0，π]，使f(x)+f′(x)=0(其中f′(x)是
f(x)的导函数)？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
【解析】f(x)=a·b=2cos
·sin+tan·tan
=2cos
+·
=2sin
cos
+2
cos2-1=sin
x+cos
x，
所以f′(x)=cos
x-sin
x.因为f(x)+f′(x)=0，
所以sin
x+cos
x+cos
x-sin
x=2cos
x=0，
解得x=.
但当x=时，tan无意义，故不存在满足条件的实数x.
1.若曲线y=ex在x=0处的切线，也是y=ln
x+b的切线，则b=
( )
A.-1
B.1
C.2
D.e
【解析】选C.函数y=ex的导数为y′=ex，曲线y=ex在x=0处的切线斜率为k=e0=1，则曲线y=ex在x=0处的切线方程为y-1=x；函数y=ln
x+b的导数为y′=，设切点为(m，n)，则=1，解得m=1，n=2，即有2=ln
1+b，解得b=2.
2.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式.
(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
【解析】(1)由7x-4y-12=0得y=x-3.
当x=2时，y=，所以f(2)=，①
又f′(x)=a+，且f′(2)=，②
由①，②得
解得故f(x)=x-.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′=1+知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0)，
即y-=(x-x0).
令x=0得y=-，
从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
PAGE课时素养评价十一 导数的乘法与除法法则
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.设y=-2exsin
x，则y′等于
( )
A.-2excos
x
B.-2exsin
x
C.2exsin
x
D.-2ex(sin
x+cos
x)
【解析】选D.y′=-2(exsin
x+excos
x)=-2ex(sin
x+cos
x).
2.当函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0时，那么x0等于
( )
A.a
B.±a
C.-a
D.a2
【解析】选B.y′=′==，由-a2=0得x0=±a.
3.曲线y=xex+2x-1在点处的切线方程为
( )
A.y=3x-1
B.y=-3x-1
C.y=3x+1
D.y=-3x+1
【解析】选A.由y=xex+2x-1，得y′=ex+xex+2.
所以当x=0时，y′=e0+2=3，所以切线斜率为3.
所以在点处的切线方程为y+1=3x，即y=3x-1.
4.(2020·毕节高二检测)函数f(x)=xln
x在点x=1处的切线斜率为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选C.函数f(x)=xln
x，求导得f′(x)=ln
x+1.所以f′(1)=1，即函数f(x)=xln
x在点x=1处的切线斜率为1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知f(x)=cos
x，则f(π)+f′=_________.?
【解析】因为f(x)=cos
x，
所以f′(x)=-cos
x-sin
x，所以f′=-，又f(π)=-，所以f(π)
+f′=-.
答案：-
6.曲线y=-在点M处的切线的斜率为_________.?
【解析】y′==，
故曲线在M处的切线斜率k=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.求下列函数的导函数：
(1)f(x)=(x2+7x-5)sin
x.
(2)f(x)=.
(3)f(x)=.
【解析】(1)f′(x)=(x2+7x-5)′sin
x+(x2+7x-5)·(sin
x)′=(2x+7)sin
x
+(x2+7x-5)cos
x.
(2)f′(x)==.
(3)f′(x)=(x+2sin
x-2x)′+(x+2sin
x-2x)·′
=(1+2cos
x-2xln
2)-(x+2sin
x-2x).
8.在曲线y=上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程.
【解析】设切点的坐标为P(x0，y0)，
由题意可知当x=x0时，y′=0.
又y′=，
所以当x=x0时，y′==0.
解得x0=0，此时y0=1.
即该点的坐标为(0，1)，切线方程为y-1=0.
(15分钟·30分)
1.(5分)函数f(x)=xsin
x的图像在点处的切线的倾斜角为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.f′(x)=sin
x+xcos
x，f′=sin
+cos=-1，由导数的几何意义可知，切线的斜率k=-1，设切线的倾斜角为α，即tan
α=-1，所以α=.
2.(5分)曲线y=在点(1，1)处的切线方程为
( )
A.x-y-2=0
B.x-4y-5=0
C.x+4y-5=0
D.x+y-2=0
【解析】选D.因为y=，所以y′=-，则曲线在点(1，1)处的切线的斜率k=-1，所以切线方程为x+y-2=0.
3.(5分)(2018·天津高考)已知函数f(x)=exln
x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为_________.?
【解题指南】利用乘法的求导法则以及y=ex与y=ln
x的导函数直接求解即可.
【解析】因为f(x)=exln
x，所以f′(x)=(exln
x)′=(ex)′ln
x+ex(ln
x)′=
ex·ln
x+ex·，f′(1)=e1·ln
1+e1·=e.
答案：e
4.(5分)函数y=在x=处的导数为_________.?
【解析】因为y′=′=′=，
所以当x=时，y′==2.
答案：2
5.(10分)已知函数f(x)=x-，g(x)=a(2-ln
x).
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线的斜率相同，求a的值.
(2)若存在曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=1+，g′(x)=-，
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f′(1)=3，
曲线y=g(x)在x=1处的切线的斜率为g′(1)=-a，
由已知，得f′(1)=g′(1)，得a=-3.
(2)由题意，得1+=-(x>0)，
则a=-x-≤-2，当且仅当x=时，等号成立，故实数a的取值范围为.
1.已知函数f是定义在R上的可导函数，直线y=kx+2与函数f的图像相切，如图所示，则函数g=xf的图像在点处的切线方程为_________.?
【解析】因为直线l：y=kx+2是曲线y=f在x=3处的切线，由图像可知f=1，又点在直线l上，所以3k+2=1，从而k=-，
所以f′=k=-，
因为g=xf，所以g=3f=3，
g′=f+xf′，
则g′=f+3f′=1+3×=0，
即函数g=xf的图像在点处的切线斜率为零，
所以函数g=xf的图像在点处的切线方程为y=3.
答案：y=3
2.已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-(x-2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程.
【解析】设l与C1相切于点P(x1，)，与C2相切于点Q(x2，-(x2-2)2).
对于C1：y′=2x，则与C1相切于点P的切线方程为y-=2x1(x-x1)，
即y=2x1x-.①
对于C2：y=-x2+4x-4，y′=-2(x-2)，
则与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)2
=-2(x2-2)(x-x2)，
即y=-2(x2-2)x+-4.②
因为两切线重合，
所以由①②，得
解得或
所以直线l的方程为y=0或y=4x-4.
PAGE课时素养评价十二 简单复合函数的求导法则
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是
( )
A.y=un，u=x2-1
B.y=(u-1)n，u=x2
C.y=tn，t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n，t=x2-1
【解析】选A.将x2-1看作整体，记u=x2-1，则y=(x2-1)n由y=un和u=x2-1
复合而成.
2.函数y=cos(-x)的导数是
( )
A.cos
x
B.-cos
x
C.-sin
x
D.sin
x
【解析】选C.y′=-sin(-x)(-x)′=-sin
x.
3.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f′(1)=
( )
A.0
B.-1
C.-60
D.60
【解析】选D.因为f′(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)′=10(1-2x3)9·(-6x2)
=-60x2(1-2x3)9，所以f′(1)=60.
4.曲线f(x)=在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
( )
A.e2
B.4e2
C.2e2
D.e2
【解析】选D.由导数的几何意义得切线的斜率
k=f′(4)=e2，
所以切线方程为f(x)-e2=e2(x-4)，
令x=0，得f(0)=-e2；令f(x)=0，得x=2.
所以切线与坐标轴所围三角形的面积为×2e2=e2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.函数y=x的导数为_________.?
【解析】y′=(x)′=x′+x()′=+
=.
答案：
6.已知f(x)=且f′(1)=2，则a的值为_________.?
【解析】因为f(x)=(ax2-1，所以f′(x)=(ax2-1·(ax2-1)′=，又因为f′(1)=2，所以=2，所以a=2.
答案：2
【加练·固】
1.f(x)=，且f′(1)=1，则a的值为_________.?
【解析】因为f′(x)=·(ax-1)′
=，所以f′(1)==1，解得a=2.
答案：2
2.设y=f(x)是可导函数，则y=f()的导数为_________.?
【解析】设y=f(u)，u=，
则y′=f′(u)，u′=，
所以y′=·f′().
答案：y′=·f′()
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知函数f(x)=eπx·sin
2πx，求f′(x)及f′.
【解析】f′(x)=πeπx·sin
2πx+2πeπx·cos
2πx
=πeπx(sin
2πx+2cos
2πx)，
则f′=π(sin
π+2cos
π)
=-2π.
8.设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t，e-t)处的切线L与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的解析式.
【思维·引】要求S(t)的解析式，必须知道三角形的底边长和高，我们可以通过求切线与x轴、y轴的交点来得到底边长与高.
【解析】对y=e-x求导可得y′=(e-x)′=-e-x，
故切线L的斜率为-e-t，
故切线L的方程为y-e-t=-e-t(x-t).
即e-tx+y-e-t(t+1)=0，
令y=0，可得x=t+1，
令x=0，可得y=e-t(t+1)，
所以S(t)=(t+1)·e-t(t+1)=(t+1)2e-t(t≥0).
(15分钟·30分)
1.(5分)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=，则在时刻t=40
min的降雨强度为
( )
A.20
mm
B.400
mm
C.
mm/min
D.
mm/min
【解析】选D.f′(t)=·10=，
所以f′(40)==.
2.(5分)函数y=(2+x3)2的导数为
( )
A.6x5+12x2
B.4+2x3
C.2(2+x3)2
D.2(2+x3)·3x
【解析】选A.因为y=(2+x3)2=4+4x3+x6，所以y′=6x5+12x2.
3.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为_________.?
【解析】设切点为(x0，y0)，则y0=x0+1，且y0=ln(x0+a)，
所以x0+1=ln(x0+a).①
对y=ln(x+a)求导得y′=，则=1，
即x0+a=1.②
②代入①可得x0=-1，所以a=2.
答案：2
4.(5分)设a∈R，函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_________.?
【解析】对f(x)=ex+a·e-x求导得
f′(x)=ex-ae-x.
又因为f′(x)是奇函数，故f′(0)=1-a=0，
解得a=1，故有f′(x)=ex-e-x.
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)=-=，
得=2或=-(舍去)，得x0=ln
2.
答案：ln
2
5.(10分)一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系式：x=4+16e-2t.
(1)求汽水温度x在t=1处的导数.
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x=y-32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数.
【解析】x′=-32e-2t.
(1)当t=1时，x′=-.
(2)y=(x+32)=(16e-2t+36)，
y′=e-2t×(-2)=-e-2t.
1.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为
( )
A.-
B.0
C.
D.5
【解析】选B.由题设可知f(x+5)=f(x)，所以f′(x+5)=f′(x)，所以f′(5)
=f′(0)，
又f(-x)=f(x)，所以f′(-x)(-1)=f′(x)，即f′(-x)=-f′(x)，所以f′(0)=0，
故f′(5)=f′(0)=0.
2.求曲线y=e-2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.
【解析】由已知，y′=e-2x×(-2)=-2e-2x，
y′|x=0=-2e-2×0=-2，
所以曲线y=e-2x+1在点(0，2)处的切线方程是y-2=-2x，即y=-2x+2.
在坐标系中画出直线y=-2x+2，y=0与y=x(图略)，注意到直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是，直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1，0).结合图形知，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×=.
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