第二章平面向量
2．1 平面向量的实际背景及基本概念
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
应用数学抽象发展直观想象
授课提示：对应学生用书第44页
[基础认识]
知识点一 向量的概念
阅读教材P74～76，思考并完成以下问题
几何中常用点表示位置，如何由一点的位置确定另一点的位置？
(1)在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
提示：面积、质量只有大小，而速度、位移既有大小又有方向．
(2)如果以A点为参照点，如何确定B点的位置？
提示：用B点和A点之间的方位和距离确定点B的位置．
知识梳理 向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．
知识点二 向量的表示方法
思考并完成以下问题
数量常常用数轴上的一个点表示，向量如何直观、形象地表示？
(1)在知识点一中，B点相对于A点的方向是什么？
提示：从A指向B.
(2)B点相对于A点的距离是多少？
提示：A到B的长度|AB|.
知识梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示，带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．
以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(2)向量的字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，
，
)．
(3)向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作||，长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
思考 1.向量能比较大小吗？
提示：不能．
2．0有方向吗？
提示：有方向，是任意的．
知识点三 相等向量与共线向量
思考并完成以下问题
A、B两点，可表示几个向量？有什么关系？
(1)如图，直线l1∥l2.
l1上两点AB，设a＝，l2上有两点C、D，b＝，直观想象a与b有什么位置关系？
如果b＝呢？
提示：a∥b.
(2)直线l上有点A，B，C，D，设a＝，b＝，a与b有什么关系？
提示：共线(平行)．
知识梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
①记法：向量a平行于b，记作a∥b．
②规定：零向量与任一向量平行．
(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．
思考 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
提示：不一定．如b＝0.
[自我检测]
1．下列说法错误的是( )
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
答案：B
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝
B．||＝||
C.>
D.<
答案：B
3．下列说法正确的是________．(填序号)
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
答案：③④⑤
授课提示：对应学生用书第45页
探究一 向量的有关概念
[阅读教材P77练习4题]用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
提示：相同．
[例1] (1)下列说法正确的是( )
A．数轴是向量
B．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小
C．单位向量的模都相等
D．零向量是没有方向的
[解析] 数轴没有大小，故不是向量，A不正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故B不正确；单位向量的模都是1，故C正确；零向量的方向是任意的，故D不正确．
[答案] C
(2)给出下列几种说法：
①若非零向量a与b共线，则a＝b；
②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等．
其中错误说法的序号是________．
[解析] ①错误．共线向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．
②错误，向量是既有大小，又有方向的量，故不能比较大小．
③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量共线，但两向量的大小和方向不一定都相同．
[答案] ①②③
方法技巧 (1)判断一个量是不是向量，关键看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．
(2)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(3)单位向量的长度都是1，但方向不确定．
(4)大小和方向是一个向量的两要素，充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别与联系是解决与向量概念有关问题的关键．
跟踪探究 1.下列命题：
①若与两向量共线，则A，B，C，D四点共线；
②两个相等向量必是共线向量；
③零向量与任一非零向量是共线向量；
④共线向量方向必相同．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：与两向量共线可有如图所示几种情形(仅举几种情况)：
结合图形知①不正确．②，③正确，④不正确．
答案：B
探究二 相等向量与共线向量
[阅读教材P76例2]方法步骤：认清有向线段，写向量．
[例2] 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[解析] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
方法技巧 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
跟踪探究 2.如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
解析：(1)依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边行，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
探究三 向量的表示及应用
[教材P77A组第2题]
一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60°走300米到达点C，然后再向北偏东45°走100米到达点D.试用向量表示这个人的位移．
解析：如图．
位移是物理学中的基本量．在数学中可以用有向线段表示位移，要表示出点A，D之间的位移，就需要表示出点A，B，点B，C，点C，D之间的位移．
[例3] 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30
n
mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40
n
mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移，
[解析] (1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(n
mile)．
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(n
mile)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东53°.
方法技巧 平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解．
跟踪探究 3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200
km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解析：
(1)向量，，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，∴||＝||＝200
km.
授课提示：对应学生用书第46页
[课后小结]
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
[素养培优]
1．概念理解错误
[典例] 下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足||>||，且与同向，则>
C．若a≠b，则a与b可能是共线向量
D．若非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线
易错分析 此题易因不理解向量的有关概念致错．
自我纠正
[解析] 模相等的向量不一定平行，故A错；向量不能比较大小，故B错；向量共线不一定线段共线，故D错．故选C.
[答案] C
2．忽略零向量
[典例] 给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个
D．3个
易错分析 此题主要因忽略零向量致错．
自我纠正
[解析] ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[答案] A
3．不理解单位向量的含义
[典例] 已知||＝5，则与平行的单位向量为________．
易错分析 因不理解单位向量的概念与形式致错．
[答案] ±
PAGE2．2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.
应用直观想象应用数学抽象发展逻辑推理应用数学建模
授课提示：对应学生用书第47页
[基础认识]
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
阅读教材P80～81，思考并完成以下问题
分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3
000
N，F2＝2
000
N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
(1)从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
提示：后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线表示的力是与表示的力的合力．体现了向量的加法运算．
(2)上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则？
提示：三角形法则和平行四边形法则．
知识梳理 (1)向量加法的定义
求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．
(2)向量求和的法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a
向量求和的法则
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
知识点二 向量加法的运算律
思考并完成以下问题
实数加法有哪些运算律？向量的加法有哪些运算律？
(1)根据图中的平行四边形ABCD，向量从A→B→C与A→D→C有什么关系？
提示：＝＋，＝＋.
(2)根据图中的四边形ABCD，向量＝a＋b＋c，可用哪些三角形得到？
提示：＝(＋)＋或＝＋(＋)
知识梳理 向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考 已知非零向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，表示a、b、c的有向线段能否构成三角形？
提示：当a∥b时不能构成三角形，当a、b、c不共线时，可构成三角形．
[自我检测]
1．化简＋＋等于( )
A. B. C．0 D.
答案：D
2．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为( )
A．1
B.
C．3
D．2
答案：B
授课提示：对应学生用书第48页
探究一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
[阅读教材P81例1]方法步骤：(1)取点，(2)平移向量，
(3)求和作图．
[例1] (1)如图①所示，求作向量和a＋b；
(2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c.
[解析] (1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.
如图所示，
(2)法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二(平行四边形法则)：如图所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，OB＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
方法技巧 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
延伸探究 1.把本例改为：如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
解析：(1)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
探究二 向量加法运算律的应用
[教材P91A组第4题](1)＋＋＝0
[例2] 化简或计算：(1)＋＋＝________；
(2)＋＋＋＋＝________．
[解析] (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0.
[答案] (1) (2)0
方法技巧 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0.
延伸探究 2.将本例(1)改为在正方形ABCD中，边长为1，则|＋＋|＝________．
解析：由于＋＋＝.
∴|＋＋|＝||＝1.
答案：1
3．将本例(2)改为：设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )
A.
B．2
C．3
D．4
解析：依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以＋＝2
，＋＝2
，所以＋＋＋＝4
.
答案：D
探究三 向量加法的实际应用
[教材P83例2]方法步骤：(1)画出图形；(2)用向量表示实际问题；(3)求解三角形．
[例3] 在静水中船的速度为20
m/min，水流的速度为10
m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
[解析] 作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10
m/min，
||＝|v船|＝20
m/min，
∴cos
α＝＝＝，
∴
α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．
方法技巧 应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
延伸探究 4.若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km?
解析：由例3解析图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，
则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km)．
5．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角)．
解析：如图所示，||＝||＝|v船|＝20
m/min，
||＝|v水|＝10
m/min，则tan∠BAC＝2，即为所求．
授课提示：对应学生用书第49页
[课后小结]
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．当a与b共线时
(1)a∥b且a与b同向，则a＋b的方向与a(或b)同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(2)a∥b且a与b且a与b反向，则a＋b的方向与|a|，|b|中较大的向量方向相同，且|a＋b|＝||a|－|b||.
3．已知n个向量，把这n个向量首尾顺次相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则．当首尾顺次相连的若干个向量构成封闭的向量链(封闭图形)时，各向量的和就是0.
如图，在n边形A1A2…An，有＋＋…＋An－1An＝，则＋＋…＋An－1An＋＝0.
4．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
5．结论：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|(三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)．
[素养培优]
1．求向量模的长
[典例] 已知||＝5，||＝3，||＝4，M为线段AB的中点，求||.
[解析] ∵＝＋，
∴A、B、C三点构成三角形．
如图，||2＝||2＋||2，
∴C＝90°.
M为AB的中点，||＝||＝.
2．求模的最值或范围
[典例] 已知a，b，c的模分别为1，2，3，则|a＋b＋c|的最大值为________．
[解析] ∵|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|＝1＋2＋3＝6，
∴|a＋b＋c|的最大值为6.
[答案] 6
PAGE2．2.2 向量减法运算及其几何意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.
提升数学运算应用直观想象
授课提示：对应学生用书第49页
[基础认识]
知识点一 相反向量
阅读教材P85～86，思考并完成以下问题
实数a的相反数为－a，向量a有相反向量吗？
(1)有向线段表示向量a，那么表示的向量与a有什么关系？如何表示？
提示：模相等，方向相反，故＝－a.
(2)－(－a)＝________．
提示：a.
知识梳理
定义
如果两个向量长度相等，而方向相反．那么称这两个向量是相反向量
性质
①对于相反向量有：a＋(－a)＝0
②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0
③零向量的相反向量仍是零向量
知识点二 向量的减法
思考并完成以下问题
减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否有类似的法则？
(1)如图，设＝a，＝b，
反向延长AB到D点，使AB＝AD，则＝________．
提示：－b.
(2)在?ACED中，＝________．
提示：＝＋＝a＋(－b)＝a－b.
(3)与有什么关系？
提示：由于ABCE为平行四边形，∴＝＝a＋(－b)＝a－b.
知识梳理 (1)定义：a－b＝a＋(－b)．减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
(2)几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向a的向量．
知识点三
|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
思考并完成以下问题
在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
(1)当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有________．
提示：||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|
(2)当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝________．
提示：|a|＋|b|
(3)当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|.作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝________．
故对于任意向量a，b，总有________．
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即________．
提示：||a|－|b|| ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
知识梳理
对于任意向量||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考 如图，＝a，＝b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
则对角线所对应的向量、是什么？
提示：＝a＋b，＝a－b.
[自我检测]
1．下列各式中，恒成立的是( )
A.＝
B．a－a＝0
C.－＝
D.－＋＝0
答案：D
2．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
答案：2
授课提示：对应学生用书第50页
探究一 向量减法的几何作图
[教材P86例3]方法步骤：(1)取点O；(2)作向量；(3)连终点．
[例1] 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
[解析] 如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c.则向量即为所求作的向量a－b－c.
方法技巧 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．
跟踪探究 1.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a－b－c.
解析：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，
则＝a－b－c.
探究二 向量减法法则的应用
[教材P91A组第4题]化简：－－.
解析：－－＝－＝.
[例2] 化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
[解析] (1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
方法技巧 进行向量的加减运算时，常用的变形如下
(1)运用＝－化减为加；
(2)运用＋＝0或＋＝化繁为简；
(3)运用＝－转化为共起点的两个向量的差．
跟踪探究 2.化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解析：(1)(－)－(－)＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
探究三 向量加减法的应用
[教材P86例4]方法步骤：作图，利用法则求和或求差．
[例3] 如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，，及.
[解析] ∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，＝－＝c－a，
＝－＝c－b，＝＋＝b－a＋c.
方法技巧 用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则．
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则．
跟踪探究 3.如图所示，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用c，d表示.
解析：(1)＝＋＋＝d＋e＋a＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
授课提示：对应学生用书第51页
[课后小结]
1．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
2．向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．
[素养培优]
1．利用三角形法则求向量模的范围
[典例] 已知||＝6，||＝9，求||的范围．
[解析] ∵＝－，
∴||＝|－|.
|||－|||≤|－|≤||＋||，
|6－9|≤||≤6＋9＝15.
即||的范围为[3，15]．
2．利用平行四边形法则判断图形
[典例] 在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：
当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
[解析] 由向量加、减法的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形.
PAGE2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.
应用直观想象提升数学运算学会逻辑推理
授课提示：对应学生用书第52页
[基础认识]
知识点一 向量数乘的定义
阅读教材P87～88，思考并完成以下问题
a＋a＋a其结果能否写成3a?
(1)若＝a，延长到B，使|OA|＝|AB|，再延长AB到C，使|AB|＝|BC|，则＝________．其方向如何？长度如何？
提示：＝3a，方向与a同向，长度是a的3倍．
(2)作＝－a，延长PQ到M，使|PQ|＝|QM|，再延长QM到N，使|MQ|＝|MN|，则＝________．其方向如何？长度如何？
提示：＝－3a，方向与a反向，长度是a的3倍．
知识梳理 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．
知识点二 向量数乘的运算律
思考并完成以下问题
类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
(1)2×3a与3×2a相等吗？
提示：2×3a＝3a＋3a＝6a，
3×2a＝2a＋2a＋2a＝6a，
∴2×3a＝3×2a.
(2)3a＋2a与(3＋2)a相等吗？
提示：相等，都等于5a.
(3)3(a－b)与3a－3b相等吗？如何用几何图形表示．
提示：相等，如图．
＝a，＝b，
＝3a，＝3b，
则＝a－b，延长EA到M，使AM＝2，
则＝3(a－b)．
由于＝3a－3b，
由图可知DC綊EM，
∴＝，即3(a－b)＝3a－3b.
知识梳理 运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb．
知识点三 向量共线定理
思考并完成以下问题
引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
(1)若b＝2a，b与a共线吗？
提示：共线．
(2)如果a≠0，b≠0，若b与a共线，一定有b＝2a吗？
提示：不一定，还可以为任意实数．
知识梳理 (1)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
(2)向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
思考 (1)如果a＝0，那么b与a共线吗？λ存在吗？
提示：b与a共线，λ存在无数个值．
(2)如果a与b不共线，λa＝μb，λ，μ存在吗？
提示：存在，λ＝μ＝0.
[自我检测]
1．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；
②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；
④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：C
2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0
B．k＝1
C．k＝2
D．k＝
答案：D
授课提示：对应学生用书第53页
探究一 向量的线性运算
[教材P88例5]方法步骤：按数乘运算律进行．
角度1 向量式的化简与运算
[例1] 化简：
(1)－2；
(2).
[解析] (1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝a－b.
角度2 解含向量的方程(组)
[例2] 已知其中a，b为已知向量，求x，y.
[解析] 由②得y＝x－b，
代入①，得3x＋4＝a，
∴3x＋x－b＝a，即17x＝4b＋3a，
∴x＝b＋a，
∴y＝－b＝b＋a－b＝a－b.
方法技巧 向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
跟踪探究 1.(1)3(6a＋b)－9＝________．
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
答案：(1)9a (2)4b－3a
探究二 向量共线的判定及应用
[教材P89例6]方法步骤：(1)作图；(2)运算；(3)判定．
角度1 判定向量共线或三点共线
[例3] 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线；
(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
[解析] (1)∵b＝6a，∴a与b共线．
(2)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
方法技巧 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点．
延伸探究 1.将本例(2)改为：已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
解析：＝＋＝2e1＋4e2＝2，
∴与共线，又有共同点，故A，B，D共线．
答案：A、B、D
角度2 利用向量共线求参数值
[例4] 已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值．
[解析] ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有
∴k＝±1.
方法技巧 由向量相等或零向量，构造其系数的实数方程，对于非零向量e1和e2，且不共线，当λe1＝μe2时，则λ＝μ＝0.
跟踪探究 2.设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若有A，B，D三点共线，求k值．
解析：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
因为A，B，D三点共线，所以，共线，
所以存在实数λ使＝λ，
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以所以k＝－8.
探究三 用已知向量表示其他向量
[教材P89例7]方法步骤：用含有，的三角形或平行四边形，求所要表示的向量．
[例5] 如图，OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用a，b表示，，.
[解析] ∵＝－＝a－b，
∴＝＝＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)
＝b＋a－b＝a＋b.
又由＝＋＝a＋b，
得＝＋＝＝a＋b.
＝－＝－＝a－b.
方法技巧 用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功．解题时，应注意解题的方向，尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化．要善于利用三角形法则和平行四边形法则以及向量线性运算的运算律．当题目中含有平面几何的相关问题时，我们可以利用平面几何的性质进行化简．另外，直接表示较困难时，应考虑方程思想的应用．
延伸探究 2.在例5中，试用a，b表示.
解析：＝－2＝－2×(a－b)＝－a＋b.
授课提示：对应学生用书第54页
[课后小结]
1．共线向量定理的“双向”应用
证明向量共线：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b＝λa，则b与非零向量a共线．
用一个向量表示另外一个向量：若b与非零向量共线，则存在一个实数λ，使b＝λa.
2．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1.
3．数乘向量的结果是一个向量，特别地，λa＝0?λ＝0或a＝0.不能把实数与实数的乘积的有关规律随意地拓展到数乘向量中来．
4．在共线向量定理b＝λa中，要求a≠0.
[素养培优]
1．忽视向量共线的方向
[典例] 设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．
易错分析 忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解．
自我纠正
[解析] ∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，
∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，
即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±.
故所求实数t的值为±.
2．忽视共线向量定理中a≠0
[典例] 已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：
①m(a－b)＝ma－mb；
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若ma＝na，则m＝n.
其中正确的说法有________．
自我纠正
[解析] ①②符合向量运算的分配律，正确；
③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，不正确；
④中，如果a＝0，则m，n为任意实数，不正确．
[答案] ①②
PAGE2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当选定一组基底后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
应用直观想象发展逻辑推理应用数学抽象
授课提示：对应学生用书第54页
[基础认识]
知识点一 平面向量基本定理
阅读教材P93～94，思考并完成以下问题
(1)如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
提示：a可以用e1，e2表示，可利用向量的线性运算．
(2)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a＝3e1＋2e2，如何作出a.
提示：在平面内任取一点O，作＝3e1，作＝2e2.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则＝＋＝3e1＋2e2.
(3)设＝e1，＝e2，a是平面内任一向量，如何用e1，e2表示a?
提示：将a平移到O为起点，即作＝a，过C作OM的平行线交ON的延长线于B点，过C作ON的平行线交OM的延长线于A点，则＝λ2e2，＝λ1e1，
＝＋，∴a＝λ1e1＋λ2e2.
知识梳理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内一组向量的一组基底．
思考 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？
提示：不能表示．
知识点二 两向量的夹角与垂直
思考并完成以下问题
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用角度表示吗？
如图，在平面直角坐标系中，
OM为第一象限角平分线．
ON为第二象限角平分线．
(1)与两个方向所夹的角是多少？
提示：45°.
(2)与两个方向所夹的角是多少？
提示：90°.
(3)与两个方向所夹的角是多少？
提示：135°.
知识梳理 (1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
[自我检测]
1．给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
其中，说法正确的为( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
答案：B
2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A.(a－b)
B．－(a－b)
C.(a＋b)
D．－(a＋b)
答案：C
授课提示：对应学生用书第55页
探究一 基底的概念
[例1] (1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
[解析] 3e1－4e2与6e1－8e2共线．
[答案] B
(2)如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
[解析] 平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．
[答案] A
方法技巧 对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
跟踪探究 1.设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基底的是( )
①与；②与；③与；④与.
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
答案：B
探究二 用基底表示向量
[教材P120第4题]如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，M、N是线段EF上的两点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若＝a，＝b，求.
解析：＝＋＋，①
＝＋＋，②
∴①＋②得2＝＋＝a＋a＝a，
∴＝a.
＝＋＋＝a＋b－×a＝a＋b.
[例2] 如图，?ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基底a，b表示，，.
[解析] ＝＋＝a＋b，＝－＝b－a，因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝＝a＋b.
＝－＝－a－b，＝＝b－a，所以＝－＝a－b.
方法技巧 平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．
(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．
延伸探究 1.若本例中的条件不变，添加“＝”，试用a，b表示.
解析：＝－＝a－(a＋b)＝－a－b.
2.若本例题中，若E，F分别是边CD与BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
解析：＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
则λ＋μ＝a＋b＝a＋b，
所以两式相加得(λ＋μ)＝2，故λ＋μ＝.
探究三 向量的夹角
[教材P120第1题(6)问]若向量a、b、c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于( )
A．2
B．5
C．2或5
D.或
解析：若a，b，c同向，夹角都为0°，
则|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋1＋3＝5.
若a与b，b与c，c与a成120°.
如图，＝a，＝b，＝c.
以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b，且||＝1，与反向．
∴|a＋b＋c|＝3－1＝2.故选C.
答案：C
[例3] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.
[解析] 如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作?OACB，
则＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.
方法技巧 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
跟踪探究 2.已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．
解析：如图，作＝a，＝b，∠AOB＝120°，以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形．
∴与的夹角∠AOC＝60°，
与的夹角即为与的夹角∠ABC＝30°.
∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.
授课提示：对应学生用书第56页
[课后小结]
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
[素养培优]
1．不擅于利用方程思想分解向量
[典例] 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B. C. D．1
易错分析 此题不能设出向量的分解式，且不能利用三点共线的性质，导致无解或错解．
自我纠正
[解析] ∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．
∵N为AM的中点，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
[答案] A
2．不能正确分解向量致错
[典例] 如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
易错分析 不理解如何将分解到与上，而找不清系数x与y的取值．
自我纠正
[解析] 由题意得＝a＋b(a，b∈R＋，00)．由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．
又由＝x＋y，知0当x＝－时，有0<－＋y<1，解得[答案] (－∞，0)
PAGE2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
应用直观想象提升数学运算
授课提示：对应学生用书第57页
[基础认识]
知识点一 平面向量的正交分解
阅读教材P94～97，思考并完成以下问题
力可以在不同方向上进行分解，那么向量是否可以分解为不共线的两个向量的和？
(1)如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
提示：可作为基底．
(2)在平面直角坐标系中，取x轴同向的单位向量i，取y轴同向的单位向量j作为基底，坐标平面上的任一向量a可用(i，j)唯一表示吗？
提示：a可以写为λ1i＋λ2j且唯一．
知识梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点二 平面向量的坐标表示
思考并完成以下问题
在平面直角坐标系中，每个点都有唯一一对坐标表示，那么平面直角坐标系中的向量可用坐标表示吗？
(1)如图，在平面直角坐标系中，A(3，2)，那么向量用x轴，y轴上的单位向量i，j如何表示？
提示：＝3i＋2j.
(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，平面内的向量a用i，j如何表示？
提示：a＝xi＋yj.
知识梳理 (1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
②在直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．
知识点三 平面向量的坐标运算
思考并完成以下问题
已知a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？
设a＝＝(3，0)，b＝＝(1，2)，用几何法求a＋b，a－b.
提示：以，为邻边作平行四边形OACB，作CD⊥x轴于D点．可知|AD|＝1，∴C(4，2)，
∴＝(4，2)，
即a＋b＝(3，0)＋(1，2)＝(4，2)．
延长BO至B′，使|BO|＝|OB′|，∴B′(－1，－2)，
以，为邻边作平行四边形OAC′B′，则C′(2，－2)，
∴a－b＝＝(2，－2)，
即a－b＝(3，0)－(1，2)＝(2，－2)．
知识梳理 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
λa＝(λx1，λy1)
重要结论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
[自我检测]
1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b等于( )
A．(－1，2)
B．(1，－2)
C．(－1，－2)
D．(1，2)
答案：A
2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A.
B.
C．(－8，1)
D．(8，1)
答案：A
授课提示：对应学生用书第58页
探究一 平面向量的坐标表示
[教材P96例3]方法步骤：由点的坐标表示向量的坐标
[例1] 如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
[解析] (1)利用三角函数的定义，得sin
60°＝，cos
60°＝，∴y＝||·sin
60°＝4×＝6，
x＝||·cos
60°＝4×＝2，
∴A(2，6)，∴＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
方法技巧 求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪探究 1．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
解析：设a＝(a1，a2)，
b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos
45°＝2×＝.
a2＝|a|sin
45°＝2×＝，
b1＝|b|cos
120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin
120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．
探究二 平面向量的坐标运算
[教材P97例4]方法步骤：将向量用坐标表示，按向量坐标法则进行运算．
[例2] (1)已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，＋，－，2＋；
(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，4)，求向量a＋b，a－b，3a－4b的坐标．
[解析] (1)∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，
∴＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)．
＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)．
∴＋＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)．
－＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)．
2＋＝2(3，－1)＋(－3，2)＝.
(2)a＋b＝(1，2)＋(－3，4)＝(－2，6)．
a－b＝(1，2)－(－3，4)＝(4，－2)．
3a－4b＝3(1，2)－4(－3，4)＝(15，－10)．
方法技巧 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
跟踪探究 2.已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求下列向量的坐标：
(1)2a＋3b；
(2)a－3b；
(3)a－b.
解析：(1)2a＋3b＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．
(2)a－3b＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝－＝.
探究三 平面向量坐标运算的应用
[教材P97例5]方法步骤：点的坐标―→向量的坐标―→D的坐标．
角度1 由相等的向量求参数的值
[例3] 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，且与不共线，
∴则
(1)若点P在第一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，
则∴λ<－1.
角度2 向量运算与平面几何的综合应用
[例4] 如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O(0，0)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
[解析] 法一：由题意知P，B，O三点共线，又＝(4，4)，故可设＝t＝(4t，4t)，
∴＝－＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)，＝－＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)．
又∵A，C，P三点共线，∴∥，∴6(4t－4)＋8t＝0，
解得t＝，
∴＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，易知＝(4，4)，
∵P，B，O三点共线，∴∥，∴4x－4y＝0.
∵P，A，C三点共线，∴∥，
易求得＝－＝(x，y)－(4，0)＝(x－4，y)，＝－＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)，
∴6(x－4)＋2y＝0，
由得
∴点P的坐标为(3，3)．
[答案] (3，3)
方法技巧 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，这是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪探究 3.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
解析：法一：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，
所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，
所以M(0，20)，N(9，2)，＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M(0，20)，N(9，2)，故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
授课提示：对应学生用书第59页
[课后小结]
1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据，向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．
2．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．
3．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．
[素养培优]
1．混淆向量坐标与点的坐标
[典例] 在?ABCD中，已知＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC，BD相交于O点，则的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
易错分析 ＝(3，7)错认为D(3，7)，＝(－2，3)错认为B(－2，3)
自我纠正
[解析] ＝－＝－(＋)＝－×(－2，3)－×(3，7)＝，故选B.
[答案] B
2．建系不明，求错点的坐标
[典例] 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，是＝________．
易错分析 此题易错在乱设a，b，c的坐标而不建系．
[解析] 以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．
由c＝λa＋μb可得
解得所以＝4.
[答案] 4
3．向量坐标运算公式用错
[典例] 已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3，2)
D．(1，3)
易错分析 求，的坐标时，公式用错．
自我纠正
[解析] 设D(x，y)，∴＝(4，3)，＝(x，y－2)，
∴(4，3)＝(2x，2(y－2))，
即∴
[答案] A
PAGE2．3.4 平面向量共线的坐标表示
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.
应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第60页
[基础认识]
知识点 平面向量共线的坐标表示
阅读教材P98～99，思考并完成以下问题
根据向量的坐标运算，向量共线如何表示？
已知下列几组向量：
①a＝(0，3)，b＝(0，6)；
②a＝(2，3)，b＝(4，6)；
③a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；
④a＝，b＝.
(1)将每组向量画在坐标系中，发现a与b有什么关系？
提示：①②中a与b同向，③④中a与b反向．
(2)每组中的a与b共线吗？
提示：共线．
知识梳理 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．
注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
思考 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b时，一定有＝吗？
提示：不一定，当y1＝0或y2＝0时，不成立．
[自我检测]
1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
答案：D
2．与a＝(12，5)平行的单位向量为( )
A.
B.
C.或
D.
答案：C
授课提示：对应学生用书第60页
探究一 向量共线的判定与证明
[教材P101习题第6题]已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，－4)．试问与是否共线？
解析：＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，
＝(－7，－4)－(1，4)＝(－8，－8)，
∵＝.
∴与共线．
[例1] (1)下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
(2)在下列向量组中，可以把向量a＝(－3，7)表示出来的是( )
A．e1＝(0，1)，e2＝(0，－2)
B．e1＝(1，5)，e2＝(－2，－10)
C．e1＝(－5，3)，e2＝(－2，1)
D．e1＝(7，8)，e2＝(－7，－8)
[解析] (1)利用x1y2－x2y1＝0判定．(2)只有C不共线，可作为基底．
[答案] (1)D (2)C
方法技巧 向量共线的判定方法
跟踪探究 1.判断下列各组中的向量是否平行：
(1)a＝(1，3)，b＝(2，4)；
(2)a＝(1，2)，b＝.
解析：(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，∴a与b不平行．
(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.
探究二 利用向量共线求参数
[教材P98例6]方法步骤：由向量平行，建立坐标方程求解．
[例2] (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A.
B.
C．1
D．2
[解析] a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.故选A.
[答案] A
(2)已知a＝(x，1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.
[解析] ∵a＝(x，1)，b＝(4，x)，a∥b，
∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，a与b共线且方向相同；
当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反．∴x＝2.
方法技巧 利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解．
探究三 三点共线问题
[教材P98例7]方法步骤：(1)三点中，任取两点构造向量，并用坐标表示．
(2)判定两向量是否共线．
(3)判定三点是否共线．
角度1 判定三点共线或求参数
[例3] (1)向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[解析] 法一：(待定系数法)∵＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(10，k)－(4，5)＝(6，k－5)．
又A，B，C三点共线，∴＝λ，
即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，λ(k－5))．
∴解得k＝11或k＝－2.
法二：(坐标法)向量、的坐标表示同法一．
∵A，B，C三点共线，
∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11或k＝－2.
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
[解析] 因为＝(2，4)，＝(1，2)，又因为2×2－4×1＝0，所以∥，因为＝(2，6)，＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C三点不共线，所以直线AB与直线CD不重合，所以AB∥CD.
角度2 利用向量共线求点的坐标
[例4] 已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直线P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．
[解析] ①当点P在线段P1P2上时，如图a：
图a
则有＝，设点P的坐标为(x，y)，
∴(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，
∴解得
故点P的坐标为.
②当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：
图b
则有＝－，设点P的坐标为(x，y)，
∴(x－2，y＋1)＝－(－1－x，3－y)，
∴解得
故点P的坐标为(8，－9)．
综上可得点P的坐标为或(8，－9)．
方法技巧 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
跟踪探究 2.在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标．
解析：设点C坐标为(xC，yC)，因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以＝(0，5)，＝(4，3)．因为＝(xC，yC)＝＝，所以点C.同理点D.
设点M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，而＝，
因为A，M，D三点共线，所以与共线．
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.
而＝，而＝＝.
因为C，M，B三点共线，所以与共线．
所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.
由得
所以点M的坐标为.
授课提示：对应学生用书第61页
[课后小结]
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行；
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
3．向量坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来．
[素养培优]
1．方程思想解决共线问题
[典例] 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
[解析] 法一(待定系数法)：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)．
又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．
法二(坐标法)：设点P(x，y)，则＝(x，y)．因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．
[答案] (3，3)
点评 已知两个向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示．这类题目需根据题目特点恰当地选择向量共线的坐标表示形式，建立方程(组)求解．
2．数形结合思想解决几何问题
[典例] 在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD.过点C作CE⊥AB于点E，点M为CE的中点．
求证：(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
[解析] 以点E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，设|AD|＝1，
则|DC|＝1，|AB|＝2.
∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．
∴在平面直角坐标系中各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0)．
(1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)∵点M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1，1)－＝，
＝(1，0)－＝，
∴＝－，
∴∥，
又∵MD，MB有公共点M，
∴D，M，B三点共线．
点评 (1)利用向量坐标运算求解或证明几何问题，首先要建立适当的平面直角坐标系，一般以图形中的直角顶点为原点，直角边所在的直线分别为x轴、y轴，尽可能使更多的点落在坐标轴上，尽可能使更多的直线与x轴、y轴平行．(2)注意证明线线平行与点共线的联系与区别．
PAGE2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
学会数学建模应用数学抽象提升数学运算
授课提示：对应学生用书第62页
[基础认识]
知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义
阅读教材P103～104，思考并完成以下问题
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
(1)如何计算这个力所做的功？
提示：W＝|F|·|s|cos
θ.
(2)力做功的大小与哪些量有关？
提示：力的大小，位移的大小及两者的夹角．
知识梳理 (1)平面向量数量积的定义
条件
非零向量a与b，a与b的夹角为θ
结论
数量|a||b|cos_θ叫向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
(2)数量积的几何意义
①投影的概念
b在a的方向上的投影为|b|cos__θ，a在b的方向上的投影为|a|cos__θ．
②数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上的投影的乘积．
知识点二 平面向量数量积的性质
思考并完成以下问题
向量的数量积与向量的线性运算结果有什么区别？
(1)若|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为0°.
a·b＝________，a＋b＝________．
提示：a·b＝2×3×cos
0＝6，而a＋b其大小为5，方向与a同向．
(2)若|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为180°.
a·b＝________，a＋b＝________．
提示：a·b＝2×3×cos
180°＝－6，a＋b的大小为1，方向与b同向．
(3)非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？
提示：数量积可为正数，负数，零，是一个实数，其符号由夹角的余弦值确定．
知识梳理 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，
(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)当a∥b时，a·b＝
(3)a·a＝a2或|a|＝．
(4)cos
θ＝．
(5)|a·b|≤|a||b|.
知识点三 平面向量数量积的运算律
思考并完成以下问题
类比实数乘法的运算律，可得出哪些数量积的运算律？
判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确？
运算律
实数乘法
向量数量积
判断正误
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
______
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)c＝a(b·c)
______
分配律
(a＋b)c＝ac＋bc
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
______
消去律
ab＝bc(b≠0)
?a＝c
a·b＝b·c(b≠0)
?a＝c
______
提示：正 误 正 误
知识梳理 (1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λa·b
＝λb·a(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[自我检测]
1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
2．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
答案：D
授课提示：对应学生用书第63页
探究一 平面向量数量积的计算
[教材P104例1]方法步骤：(1)求模；(2)求向量夹角；(3)求数量积．
[例1] (1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是______
.
[解析] 由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又2＝25，2＝64，所以·＝22.
[答案] 22
(2)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
[解析] ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，
∴a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18.
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝|a||b|cos
180°＝3×6×(－1)＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是60°时，
a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝9.
(3)已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
求：①a·b；②(a－2b)·(a＋b)；③(a－b)2.
[解析] ①a·b＝|a||b|cos
120°＝10×4×＝－20.
②(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos
120°－2|b|2＝100－10×4×－2×42＝88.
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos
120°＋|b|2
＝100－2×10×4×＋42＝100＋40＋16＝156.
方法技巧 求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos
θ.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
延伸探究 1.将本例(3)改为：如图所示，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)在方向上的投影．
解析：(1)∵∥，且方向相同，
∴与的夹角是0°，
∴·＝||||cos
0°＝3×3×1＝9.
(2)∵∥，且方向相反，∴与的夹角是180°，
∴·＝||||cos
180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)∵与的夹角为60°，∴与的夹角为120°，
∴·＝||||cos
120°＝4×3×＝－6.
(4)∵与的夹角为60°，而与方向相反，
∴与的夹角为120°，∴在方向上的投影为||cos
120°＝4×＝－2.
探究二 平面向量数量积有关的参数问题
[教材P105例4]方法步骤：利用数量积转化为参数的方程或不等式．
[例2] 已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
[解析] 由已知得a·b＝3×2×cos
60°＝3.
若c⊥d，则c·d＝0，
∴c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．
方法技巧 利用题意，构造数量积，若垂直，有数量积为0，建立参数的等式或方程．
跟踪探究 1.已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：依题意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos
60°＝－9，由此解得λ＝3.故选B.
答案：B
探究三 利用数量积求向量的模、夹角
[教材P108习题第6题]设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a与b的夹角θ.
解析：cos
θ＝＝＝－，
∵0∈[0，π]，∴θ＝－π.
角度1 向量的夹角问题
[例3] 若非零向量a，b满足|a|＝·|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D．π
[解析] 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
即3|a|2－|a|·|b|·cos
θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2·cos
θ－2|b|2＝0.
∴cos
θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
[答案] A
方法技巧 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos
θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．
(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．
(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．
延伸探究 2.将本例改为：a⊥(a－b)，其他已知条件不变，求a与b的夹角的余弦值．
解析：∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝0，
∴|a|2－a·b＝0，
∴|b|2－|b|2cos
θ＝0，
∴cos
θ＝.
角度2 求向量的模
[例4] (1)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；
(2)如图，已知在?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
[解析] (1)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.
故|3a＋b|＝20.
(2)设＝a，＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝.
∴a·b＝|a||b|cos
θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，BD＝.
方法技巧 求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
跟踪探究 2.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|.
解析：a·b＝|a||b|cos
θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
授课提示：对应学生用书第64页
[课后小结]
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉c是一个与c共线的向量，而a·(b·c)＝a|b|·|c|cos〈b，c〉是一个与a共线的向量，两者一般不同．
3．求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cos
θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos
θ.
(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.
4．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
[素养培优]
1．忽视向量夹角范围致错
[典例] 若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大．
自我纠正
[解析] ∵2a－3b＝(2k－3，－6)，c＝(2，1)，
又2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k<3.
若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c.
即2a－3b与c反向．
综上，k的取值范围为∪.
[答案] ∪
2．求错两向量夹角位置
[典例] 如图，设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
易错分析 〈a，b〉＝120°，错写为60°，〈b，c〉＝120°，错写为60°，〈c，a〉＝120°，错写为60°.
自我纠正
[解析] ∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos
120°×3＝－3.
[答案] －3
3．向量在另一向量的投影的概念理解错
[典例] 已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π，则b在a上的投影为________．
易错分析 将投影理解为线段长度．
自我纠正
[解析] bcosπ＝2×cosπ＝－1.
[答案] －1
PAGE2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第64页
[基础认识]
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
阅读教材P106～107，思考并完成以下问题
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？
设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．
(1)i·i，j·j，i·j分别是多少？
提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.
(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)用i，j如何表示？
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(3)用x1，y1，x2，y2如何表示a·b.
提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.
知识梳理 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
x1x2＋y1y2＝0
知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考并完成以下问题
设a＝(x，y)，用x、y如何表示－|a|.
(1)设＝a＝(x，y)，则A点坐标为________．
提示：(x，y)．
(2)|a|＝||用x，y如何表示？
提示：||＝.
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？
提示：||＝.
知识梳理
向量
模长
a＝(x，y)
|a|＝
以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量
||＝
知识点三 平面向量夹角的坐标表示
思考并完成以下问题
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，设θ＝〈a，b〉，那么cos
θ用x1，y1，x2，y2如何表示？
(1)a，b为非零向量，用a·b及|a|·|b|如何求cos
θ？
提示：cos
θ＝.
(2)用坐标(x1，y1)，(x2，y2)如何表示cos
θ？
提示：cos
θ＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
知识梳理 cos
θ＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
[自我检测]
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3
C.
D．－
答案：A
2．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
授课提示：对应学生用书第65页
探究一 数量积的坐标运算
[教材P107例6]方法步骤：按公式代入坐标直接运算．
[例1] 已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5.
(1)求向量b；
(2)若c＝(1，－2)，求(c·a)·b和(a·b)·c.
[解析] (1)法一：由a＝(4，－3)，知|a|＝5，设向量a，b的夹角为θ，∵|b|＝1，a·b＝5，
∴cos
θ＝＝＝1.
则a与b共线且方向相同，
∴b＝a＝(4，－3)＝.
法二：设b＝(x，y)，由|b|＝1，得x2＋y2＝1.①
由a·b＝5，得(4，－3)·(x，y)＝5，
则4x－3y＝5.②
由①②，得
解方程组，得则b＝.
(2)由题意得，c·a＝(1，－2)·(4，－3)＝10，
则(c·a)·b＝10＝(8，－6)．
∵a·b＝5，
∴(a·b)·c＝5(1，－2)＝(5，－10)．
方法技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
①|a|2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．
跟踪探究 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy(图略)，则＝(，0)，＝(，1)，设F(t，2)，则＝(t，2)．
∵·＝t＝，∴t＝1，
∴·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
2．已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
解析：(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2，4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a·(b·c)＝0a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
探究二 平面向量的模
[教材P107练习1题]已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，求|a|，|b|，a·b.
解析：|a|＝＝5.
|b|＝＝.
a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－15＋8＝－7.
[例2] (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)．若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A. B. C. D.
[解析] ∵a∥b，∴1·y－2×(－2)＝0，得y＝－4.
∴3a＋b＝(1，2)，故|3a＋b|＝，故选A.
[答案] A
(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b.
求a＋b的坐标及|a＋b|.
[解析] 设a＝(x，y)，由|a|＝2，得x2＋y2＝52，①
由a⊥b得，2x－3y＝0②
由①②得或
∴a＝(6，4)或a＝(－6，－4)，
a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)．
∴|a＋b|＝.
方法技巧 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
延伸探究 将本例(2)改为：|a|＝2，b＝(2，－3)，且|a＋b|＝.求|a－b|.
解析：设a＝(x，y)，由题意得
解得或.
即a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．
∴a－b＝(6，4)－(2，－3)＝(4，7)，
∴|a－b|＝.
或者a－b＝(－6，－4)－(2，－3)＝(－8，－1)．
∴|a－b|＝，
故|a－b|＝.
探究三 平面向量的夹角问题
[教材P119复习参考题A组第10题]已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，1)，C(4，5)，求cos
A，cos
B，cos
C的值．
解析：由已知得＝(3，0)，＝(3，4)，
所以cos
A＝＝＝.
同理cos
B＝0，cos
C＝.
[例3] 设A(4，a)，B(b，8)，C(a，b)，若四边形OABC是平行四边形(其中O为原点)，求∠AOC.
[解析] ∵四边形OABC是平行四边形，
∴＝，
即(4，a)＝(b－a，8－b)，
∴解得
∴A(4，2)，C(2，6)，∴＝(4，2)，＝(2，6)．
∴·＝4×2＋2×6＝20，
||＝＝2，
||＝＝＝2.
∴cos∠AOC＝＝＝.
∵0<∠AOC<π，∴∠AOC＝.
方法技巧 (1)由平行四边形的性质得出＝；
(2)利用＝求出a，b的值；
(3)求出，的坐标；
(4)利用cos
∠AOC＝求cos
∠AOC的值；
(5)根据∠AOC的范围确定∠AOC的值．
跟踪探究 3.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴
即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．
探究四 平面向量的垂直问题
[教材P106例5]方法步骤：(1)由点的坐标，求边所在向量的坐标；(2)计算数量积；(3)判断垂直．
[例4] 在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
[解析] ∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，
∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
方法技巧 1.已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程，求解即可．
2．利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．
跟踪探究 4.已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝( )
A．1
B．2
C．4
D．－4
解析：∵a＝(1，－2)，b＝(x，2)，a⊥b，∴a·b＝1·x＋(－2)×2＝0，即x－4＝0，∴x＝4.故选C.
答案：C
5．已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：⊥.
证明：因为＝(2，3)－(1，2)＝(1，1)，
＝(－2，5)－(1，2)＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥.
授课提示：对应学生用书第66页
[课后小结]
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
3．当x1x2＋y1y2<0时，两向量的夹角θ∈；当x1x2＋y1y2>0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＝0时，θ＝，所以可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角形的形状等．
4．求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用向量的正射影．
5．解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
[素养培优]
数量积的最值与模的最值的求法．
——函数、不等式与向量的“借石攻玉”术．
1．利用向量坐标运算求数量积最值
[典例] 已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
[解析] 法一：·表示在方向上的投影与||的乘积，当P在B点时，·有最大值，此时·＝2×3＝6.
法二：设P(x，y)，则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4，由题意知－1≤x≤1，∴x＝1时，·取最大值6，∴·的最大值为6.
[答案] 6
破题之术 由于·＝||·||·cos
∠PAO，其中||为定值2，因此||cos
∠PAO的大小决定了·的大小，显然当P与B重合时，·取最大值．由于P在圆x2＋y2＝1上，因此可考虑设P(x，y)，用x表示·，利用函数思想解决．
2．利用向量坐标求模的最值
[典例] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|CD|＝1，则|＋＋|的取值范围是( )
A．[4，6]
B．[－1，＋1]
C．[2，2]
D．[－1，＋1]
[解析] 设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)，
故|＋＋|＝，|＋＋|的最大值的几何意义为圆(x－3)2＋y2＝1上的点到点(1，－)距离的最大值，即圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，亦即＋1＝＋1，同理可得，所求最小值为－1＝－1，故|＋＋|的取值范围为[－1，＋1]．
[答案] D
破题之术 设D(x，y)，由|CD|＝1可知，D点的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，即D在以(3，0)为圆心，1为半径的圆上．由|＋＋|＝知，|＋＋|表示点(1，－)与圆(x－3)2＋y2＝1上点(x，y)的距离．
PAGE2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法
2．5.2 向量在物理中的应用举例
内 容 标 准
学 科 素 养
1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.3.体会向量是一种处理几何问题和物理问题的有力工具.
提升数学运算应用数学建模发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第67页
[基础认识]
知识点一 平面几何中的向量方法
阅读教材P109～112，思考并完成以下问题
平面几何中的
点线关系用向量如何解释？
(1)判断两直线(线段)平行，用向量如何判断？
提示：常用向量平行的条件．
(2)判断两直线(线段)垂直，用向量如何判断？
提示：常用向量垂直的条件．
(3)求与夹角相关的问题，用向量如何求解？
提示：用向量的夹角公式．
(4)求线段长度相关的问题，用向量如何求解？
提示：用向量的模的概念及公式．
知识梳理 用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos
θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量
知识点二 物理中的向量方法
思考并完成以下问题
(1)力、速度、加速度、位移的合成与分解相当于向量的什么运算？
提示：向量的线性运算．
(2)力所做的功相当于向量的什么运算？
提示：力与位移两个向量的数量积．
知识梳理 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，其运算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则．
[自我检测]
1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形
B．是直角三角形
C．是等腰三角形
D．形状无法确定
答案：C
2．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
答案：－11
授课提示：对应学生用书第68页
探究一 利用向量求几何度量
[教材P109例1]方法步骤：(1)设基底；(2)用基底表示所求向量；(3)求模；(4)得结论．
[例1] 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解析] 设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
由题意知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2.
∴(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4.
∴1－2a·b＋4＝4，∴a·b＝.
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋4＝6.
∴|a＋b|＝，即||＝，故对角线AC的长为.
方法技巧 将边长视为向量的模长，利用向量的加减法则及模的求法求边长．
跟踪探究 1.正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，求cos
∠DOE.
解析：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则D，E.
∴＝，＝.
∴cos
∠DOE
＝＝.
探究二 利用向量求证平面几何的位置关系
[教材P113A组第2题]
△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b.
证明：A、O、E三点在同一直线上，且＝＝＝2.
证明：如图，易知△OFD∽△OBC，DF＝BC，
∴BO＝BF.
∴＝－＝＋a
＝＋a＝(a＋b)．
又＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝.
∴A，O，E三点在同一直线上，且＝2.
同理＝2，＝2，∴＝＝＝2.
[例2] 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.
[证明] 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，
设正方形边长为1，
||＝λ，则A(0，1)，
P，E，
F，于是＝，
＝.
∵||＝
＝，
同理||＝，
∴||＝||，∴PA＝EF.
·＝＋＝0，
∴⊥，∴PA⊥EF.
方法技巧 利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
跟踪探究 2.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则＝(2，1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.
所以⊥，即AF⊥DE.
探究三 向量在物理中的应用
[教材P112例4]方法步骤：(1)作图，将物理问题转化为向量问题；(2)计算向量．
[例3] (1)在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
[解析] 如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300
N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°.
从而||＝||·cos
30°＝150(N)，
||＝||·sin
30°＝150(N)．
所以||＝||＝150(N)．
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
(2)一条宽为
km的河，水流速度为2
km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝
km，船在水中最大航速为4
km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
[解析] 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，
根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
∴||＝＝2.
又AB＝，∴用时0.5
h.
∵sin∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，
∴∠EAD＝30°.
答：船实际航行速度大小为2
km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5
h.
方法技巧 利用向量法解决物理问题的两种思路
第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．
跟踪探究 3.某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10
m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________
m/s.
解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos
60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5
m/s.
答案：5
4．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20
m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10
m/s2)
解析：如图所示，设木块的位移为s，则
WF＝F·s＝|F||s|cos
30°＝50×20×＝500(J)．
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin
30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)．
因为Wf＝f·s＝|f||s|cos
180°
＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500
J和－22
J.
授课提示：对应学生用书第69页
[课后小结]
1．用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
通过向量运算，确定几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量法解决物理问题的步骤
抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
建立以向量为主体的数学模型；
利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
用数学模型中的数据解释物理问题．
[素养培优]
1．构造向量求函数最值
[典例] 求函数y＝＋3的最大值．
[解析] 设向量a＝(1，3)，b＝(，)，
则|a|＝，|b|＝3.
∵|a·b|≤|a||b|，
∴y＝|a·b|≤|a||b|＝3.
当且仅当a∥b，即－3＝0时取“＝”，
解得x＝，
即当x＝时，ymax＝3.
2．构造向量证明不等式
[典例] 已知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.
[证明] 设x＝(a，b)，y＝(c，d)，
则x·y＝ac＋bd，|x|＝，|y|＝.
∵|x·y|≤|x|·|y|，∴|ac＋bd|≤·＝1.
3．构造向量证明等式
[典例] 设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0.求证：＝.
[证明] 法一：设c＝(a，b)，d＝(m，n)，
则|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2，c·d＝am＋bn.
∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，
∴|c|2|d|2＝(c·d)2，
即c·d＝±|c||d|，∴c∥d，
∴an－bm＝0，即an＝bm.又mn≠0，∴＝.
法二：设c＝(a，b)，d＝(m，n)，c与d的夹角为θ，则cos2θ＝.
由题意知＝1，∴cos2θ＝1，∴θ＝0°或θ＝180°，∴c∥d，∴an－bm＝0.
又mn≠0，∴＝.
归纳总结 当一些函数、方程或不等式中含有乘积或乘方时，可以构造向量，利用|a·b|≤|a||b|的坐标运算求解，方法简单、思路清晰．即
|x1x2＋y1y2|≤
eq
\r(x＋y)·eq
\r(x＋y)
?(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)·(x＋y)．
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