1.1 直角三角形的性质和判定 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
直角三角形的性质和判定
湘教版·八年级数学下册
上课课件
第一章
【知识与技能】
1.体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形.
2.学会用符号和字母表示直角三角形.
3.经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质.
4.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
5.理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”.
【过程与方法】
通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法.
【情感态度】
体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力.
【教学重点】
直角三角形性质和判定的探索及应用.
【教学难点】
直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程.
学习目标
复习导入
三角形定义
三
角
形
三角形性质
按边分类
按角分类
全等三角形
三角形分类
任意两边之和大于第三边
内角和定理及其推论
性质
判定（SAS、ASA、AAS、SSS）
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
性质
判定
等边三角形、等腰三角形
普通三角形
定义：有一个角是直角的三角形.
新课引入
如图1-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
A
B
C
图1-1
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
由三角形内角和定理，
可得：∠A+∠B=90°.
由此得到：
直角三角形的两个锐角互余.
Rt△两锐角关系动态演示
几何画
板.gsp
随堂跟练
（1）如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则∠BCD=______.
（2）如图（2）在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=______.
40°
130°
A
C
D
B
（1）
A
C
B
D
H
E
（2）
有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？
A
B
C
图1-2
如图1-2，在△ABC中，∠A+∠B=90°，
那么△ABC是直角三角形吗？
解：在△ABC中，∵
∠A+∠B
+∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
由此得到：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
随堂跟练
（3）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
A
B
C
D
H
解：∵AB//
CD，
∴∠
CAB+∠ACD=180°.
又∠CAH=
∠CAB，∠ACH=
∠ACD，
∴∠CAH+∠ACH
=
(∠CAB+∠ACD)=90°.
∴△AHC是直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形性质定理：
直角三角形判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
互为逆命题
我测量后发现
探究新知
A
B
C
图1-3
如图1-3，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD与线段AB之间的数量关系，你能得出什么结论？
D
AB＝
；
CD＝
；
度量AB、CD的长度：
6cm
3cm
CD＝
AB.
Rt△中线与斜边关系动态演示
几何画
板.gsp
探究新知
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
是否对于任意一个Rt△ABC，都有
？
CD＝
AB
A
B
图1-4
D
C
E
F
证明：如图1-4，过点D作DE⊥AC，交AC于点E；作DF⊥BC，交BC于点F.
∵∠ACB=
∠AED=∠DFB
=
90°，
∴DE//
BC，DF//AC.
∴∠A=∠FDB，∠ADE=∠B.
又D为AB的中点，即AD=DB,
∴△AED≌△DFB
(ASA).
∴AE=DF，
DE=
BF.
同理可证△CDE≌△DCF，
从而DE=CF，CE=
DF.
∴AE=CE，BF=
CF.
故DE,
DF分别垂直平分边AC,
BC.
AD=CD=BD
(为什么?)
.
由此得到:CD=
AB
例
1
如图1-5，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=
AB.求证：△ABC是直角三角形.
A
B
图1-5
D
C
1
2
证明：∵CD=
AB=AD=BD，
∴∠1=∠A，∠2=∠B.
∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，
∠ACB＝∠1＋∠2
∴∠A＋∠B
＋∠1＋∠2
＝180°.
∴2（
∠A＋∠B
）＝180°.
∴∠A＋∠B＝90°.
∴△ABC是直角三角形.
（等边对等角）
（三角形内角和的性质）
（有两个角互余的三角形是直角三角形）
由此得到：___________________________________________________________
三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
直角三角形性质定理：
直角三角形判定定理：
互为逆命题
巩固练习
1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多少？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形性质定理：
AB=5cm
A
B
D
C
巩固练习
2.如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
解：△AHC是直角三角形，理由：
∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°.
∵AH，CH分别为∠CAB，∠ACD的平分线，
∴∠CAH+∠ACH=90°.
∴∠AHC=90°，即△AHC是直角三角形.
∵E为AC的中点，∴AC=2EH=4.
巩固练习
1.如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，
∠CDA
=120°，求∠B的度数.
解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=DB=AD.
∵∠CDA=120°，
∴∠A=∠ACD=30°.
在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠B=60°.
巩固练习
2.如图，在△ABC中，已知∠B=
∠A=
∠C，AB=8
cm.
（1）求证:△ABC为直角三角形；
（2）求AB边上的中线长.
（2）AB边上的中线长为4cm.
解：（1）∵∠B=
∠A=
∠C，
∴∠A=2∠B，∠C=3∠B.
∵∠A+∠B+∠C=2∠B+∠B+3∠B
=6∠B=180°，
∴∠B=30°，∠A=60°，∠C=90°
∴△ABC为直角三角形.
课堂小结
性质
判定
直角三角形两锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形
是直角三角形.
直角三角形
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
谢谢大家!
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