高中数学人教A版必修第二册课件第六章 平面向量及其应用-6.3.1平面向量基本定理(共19张PPT)

6.3.1　平面向量基本定理
第六章　平面向量及其应用
一、复习引入
问题1　已知向量e1，e2（如图），求作向量3e1；－2.5e2；e1+e2．
e1 + e2
e2
－2.5e2
e1
3e1
e1
e2
e1
e2
问题2　已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？
e1
e2
a
移到同一起点；
向量a可以分解为两个向量的和
作平行四边形
二、探求新知
O
A
C
B
M
N
a
e1
e2
一般地，对给定不共线的向量e1，e2，任意一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．
二、探求新知
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
二、探求新知
追问1　当a是与e1或e2共线的非零向量时，a也可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗？
追问2　当a是零向量时，a可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗？为什么？
表示形式是唯一的
若a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2．
得（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0．
理由：
则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，
即λ1=μ1，λ2=μ2．
问题3　平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？
假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，
不妨假设λ1－μ1≠0，
则
．
由此可得e1，e2共线，
与已知e1，e2不共线矛盾．
二、探求新知
平面向量基本定理
　　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2．
　　如果e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）．
二、探求新知
说明：
(1).基底的选择是不唯一的；
(2).同一向量在选定基底后，
是唯一存在的。
(3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同。
三、例题分析
例1　如图， ， 不共线，且 ＝t （t∈R），用 ，
表示 ．
解：因为 ，
．
所以
你有什么发现？
A，B，P三点共线，
则系数和等于1．
三、例题分析
例2　如图，CD是△ABC的中线，且CD＝ AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．
C
A
D
B
可选 为基底，表示 ， ．
证明 ，从而证得△ABC是直角三角形．
三、例题分析
例2　如图，CD是△ABC的中线，且CD＝ AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．
C
A
D
B
证明：如图，设 ＝a， ＝b，
则 ＝a＋b， ＝a－b．
．
因为CD＝ AB，所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2，
所以 ．
因此CA⊥CB．结论成立．
目标检测
1．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线， ＝a， ＝b．
用a，b表示 ， ， ， ．
目标检测
2．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O， ＝a，
＝b，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等分点
（CG＝ CD）．
（1）用a，b表示 ， ， ；
（2）能由（1）得出CE，BF的关系吗？
三、例题分析
3、如图，在△ABC中，AD＝ AB，点E，F分别是AC，BC的中点．设 ＝a， ＝b．
（1）用a，b表示 ， ；
（2）如果∠A=60?，AB＝2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．
教科书习题6.3第1，11题．
五、布置作业
再 见
三、例题分析
练习1　如图，在△ABC中，AD＝ AB，点E，F分别是AC，BC的中点．设 ＝a， ＝b．
（1）用a，b表示 ， ；
（2）如果∠A=60?，AB＝2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（1） ＝ ， ＝ ．
三、例题分析
练习1　如图，在△ABC中，AD＝ AB，点E，F分别是AC，BC的中点．设 ＝a， ＝b．
（1）用a，b表示 ， ；
（2）如果∠A=60?，AB＝2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（2） ，
所以CD⊥EF．