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数学北师大版选修1-2-第四章《数系的扩充与复数的引入》（课件4+学案3+测评2）

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名称	数学北师大版选修1-2-第四章《数系的扩充与复数的引入》（课件4+学案3+测评2）
格式	zip
文件大小	3.8MB
资源类型	教案
版本资源	北师大版
科目	数学
更新时间	2021-03-05 14:05:14

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文档简介

习题课——复数的模及几何意义的应用
课后训练案巩固提升
1.设0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵0∴z对应的点位于第四象限.
答案:D
2.若复数z满足z+2+1=0,则复数z对应点的轨迹是
(　　)
A.一条直线
B.一个圆
C.一个点
D.不存在
解析:设z=x+yi(x,y∈R),
代入得x+yi+2(x-yi)+1=0,
即(3x+1)-yi=0,∴
∴z对应点的轨迹是一个点.
答案:C
3.设f(z+i)=1-,z1=1+i,z2=1-i,则f=
(　　)
A.1-i
B.-i
C.1
D.-1
解析:令z+i=t,则z=t-i,f(t)=1-i-,
=1.
故f=f(1)=1-i-1=-i.
答案:B
4.已知z是复数,z+2i,均为实数(i是虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析:设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i是实数,∴y=-2.
又∵(2x+2)+(x-4)i是实数,∴x=4.∴z=4-2i.
∴(z+ai)2=[4+(a-2)i]2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.
∵(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,
∴∴2答案:(2,6)
5.设z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a>0,b∈R),且z1z3=,则|z2|的值为　　　　　.?
解析:由=z1z3,得(a+bi)2=b+ai,
即a2-b2+2abi=b+ai,∴
∵a>0,∴b=,代入a2-b2=b得a2=.
又∵a>0,∴a=.∴|z2|==1.
答案:1
6.已知复数z1=i(1-i)3.
(1)求|z1|;
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
解:(1)∵z1=i(1-i)3=i(1-i)(-2i)=2-2i,
∴|z1|==2.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),则|z|==1.
∴复数z对应的点Z在以原点为圆心,1为半径的圆上.
设z1对应的点为Z1,则|z-z1|表示点Z到点Z1的距离.∴|z-z1|的最大值为2+1.
7.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|≤,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积.
解:|w|=|z|,
而1≤|z|≤,所以≤|w|≤2.
所以w的对应点的集合是以原点为圆心,半径为和2的圆环面(含边界),其面积S=π[22-()2]=2π.
8.已知z∈C,|z-2i|=,当z取何值时,|z+2-4i|分别取得最大值和最小值?并求出最大值和最小值.
解:如图所示,|z-2i|=,
∴z在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心,为半径的圆.
|z+2-4i|=|z-(-2+4i)|,欲求其最大值和最小值,即在圆上求出点M,N,使得M或N到定点P(-2,4)的距离最大或最小.
显然过P与圆心连线交圆于M,N两点,则M,N即为所求,不难求得M(1,1),N(-1,3),
即当z=1+i时,|z+2-4i|有最大值,为3.
当z=-1+3i时,|z+2-4i|有最小值,为.
9.已知复数z=,w=z+ai(a∈R),当时,求a的取值范围.
解:z=
==1-i.
∵w=z+ai=1+(a-1)i,
∴
=,
∴,
∴a2-2a-2≤0,
∴1-≤a≤1+.
故a的取值范围是[1-,1+].
10.导学号18334052已知复数z1=2+i,2z2=.
(1)求z2;
(2)若△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且μ=cos
A+2icos2,求|μ+z2|的取值范围.
解:(1)z2==-i.
(2)在△ABC中,∵A,B,C依次成等差数列,
∴2B=A+C,A+B+C=180°.
∴B=60°,A+C=120°.
∵μ+z2=cos
A+2icos2-i
=cos
A+i
=cos
A+icos
C,
∴|μ+z2|2=cos2A+cos2C
=
=1+(cos
2A+cos
2C)=1-cos(A-C).
∵A+C=120°,
∴A-C=120°-2C,且0°∴-120°∴-∴≤1-cos(A-C)<.
∴|μ+z2|的取值范围是.2.1　复数的加法与减法　2.2　复数的乘法与除法
课后训练案巩固提升
一、A组
1.复数的虚部为(　　)
A.0
B.1
C.-1
D.2
解析:∵=i,
∴虚部为1.
答案:B
2.若a,b∈R,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为(　　)
A.1+i
B.2+i
C.3
D.-2-i
解析:∵z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,
∴
∴∴a+bi=-2-i.
答案:D
3.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)=(　　)
A.
B.5
C.
D.5
解析:∵z1-z2=5+5i,
∴f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.
答案:D
4.设复数z=a+bi(a,b∈R),若=2-i成立,则点P(a,b)在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵=2-i,
∴z=(2-i)(1+i)=3+i.
∴a=3,b=1.
∴点P(a,b)在第一象限.
答案:A
5.复数z的共轭复数为,i为虚数单位,且z+2i=5+4i,则z=(　　)
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
解析:设z=a+bi,则=a-bi,
∵a+bi+2i(a-bi)=5+4i,
即(a+2b)+(b+2a)i=5+4i,
∴
∴z=1+2i.
答案:A
6.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b=　　　　.?
解析:∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=a+3b+(a-b-1)i=4,
∴
∴
∴a+b=3.
答案:3
7.已知复数z=是z的共轭复数,则z·=　　　　　.?
解析:∵z=
==-i,
∴=-i.
∴z·
=.
答案:
8.若x,y∈R,且,则x=　　　　,y=　　　　.?
解析:∵,
∴.
∴.
∴(x-y)+(y-2x)i==4-3i.
∴
答案:-1　-5
9.计算:(1)(2-i)(3+i);
(2).
解:(1)(2-i)(3+i)
=(7-i)=i.
(2)
=
==-2-2i.
10.导学号18334049设复数z满足4z+2=3+i,w=sin
θ-icos
θ,求复数z及|z-w|的取值范围.
解:设z=a+bi(a,b∈R),并将其代入条件中,得
4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,即6a+2bi=3+i.
∴
∴z=i.
|z-w|=
=
=
=.
∵-1≤sin≤1,
∴0≤|z-w|≤2.
故所求的z=i,|z-w|的取值范围是[0,2].
二、B组
1.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是
(　　)
A.
B.i
C.i
D.+2i
解析:设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=.
∵x+yi+=5+i,
∴∴z=i.
答案:C
2.导学号18334050若z2+z+1=0,则z2
014+z2
015+z2
017+z2
018的值为(　　)
A.2
B.-2
C.-i
D.-i
解析:∵z2+z+1=0,两边同乘(z-1),得z3-1=0,
∴z3=1(z≠1),
则z4=z,z2
014=(z3)671×z=z,
于是原式=z2
014(1+z+z3+z4)
=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.
答案:B
3.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为　　　　.?
解析:由|z-2|=,知点z的轨迹是以点(2,0)为圆心,半径为的圆,表示圆上的点与原点连线的斜率,结合图形易知,当直线与圆相切时取最值.
答案:
4.设z∈C,若|z|=1,且z≠±i.
(1)证明必是实数;
(2)求对应点的轨迹.
(1)证明:设z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=1(a≠0).
于是
=∈R.
因此必是实数.
(2)解:由(1)知(a≠0).
∵a2+b2=1,∴-1≤a<0或0∴≤-,即对应的点的轨迹是x轴上除去这个区间的所有点的两条射线.
5.已知z为虚数,z+为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z及|z|.
解:∵z为虚数且z-2为纯虚数,
∴可设z=2+bi(b∈R,b≠0).
又z+=2+bi+=2+bi-i=2+i为实数,∴b-=0,b=±3.
∴z=2±3i.故|z|=.(共25张PPT)
2.1　复数的加法与减法　2.2　复数的乘法与除法
一、复数的加法、减法
设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,
1.运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
2.法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).
名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;
特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.
2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
4.适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算.
5.虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号,合并同类项即可.
二、复数的乘法
1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,
则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.运算律:
对于任意的z1,z2,z3∈C,有
(1)交换律:z1·z2=z2·z1,
(2)结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),
(3)乘法对加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1z2+z1z3,
(4)复数的乘方:任意复数z,z1,z2和自然数n,
名师点拨虚数单位i的常见结论.
(1)虚数i的乘方及其规律:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in具有周期性,最小正周期为4.
(2)in+in+1+in+2+in+3=0.
(3)(1±i)2=±2i.
【做一做2】
已知i为虚数单位,复数z=2i(2-i)的实部为a,虚部为b,则logab等于(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:z=2i(2-i)=4i-2i2=2+4i,则a=2,b=4,所以logab=log24=2.故选C.
答案:C
三、共轭复数与复数的除法
1.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫作互为共轭复数,即当z=a+bi时,=a-bi,于是z·=|z|2.
2.复数的除法:
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2.
(　　)
(2)两个互为共轭复数的复数的和与积都是实数.(　　)
(3)若两个复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1=z2=0.
(　　)
(4)两复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)÷(c+di)
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的加减运算
思路分析:先求z1+z2,再根据复数为虚数判断求出.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟复数加减运算的方法
1.复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.
2.把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(　　)
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
解析:∵z+i-3=3-i,
∴z=3-i+3-i=6-2i.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的乘法、除法运算
思路分析:按照复数乘法与除法运算法则进行计算.
解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(-2+11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i=53+23i.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟复数的乘法可以把i看作字母,按多项式的乘法法则进行,注意把i2化成-1,进行最后结果的化简;复数的除法先写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,并进行化简.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为(　　)
A.3+5i
B.3-5i
C.-3+5i
D.-3-5i
探究一
探究二
探究三
思维辨析
共轭复数
思路分析:将方程左边化成a+bi的形式,利用复数相等的充要条件来求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练5已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(　　)
A.5-4i
B.5+4i
C.3-4i
D.3+4i
解析:∵a-i与2+bi互为共轭复数,
∴a=2,b=1.
∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
不清楚判别式使用的条件而致误
【典例】
已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0
(x,y∈R)有实数解,求点(x,y)的轨迹方程.
易错分析:根的判别式只有在实系数的一元二次方程中才能用,本题的正确处理方法是设出方程的根,利用复数相等的充要条件化为方程组,然后消参数求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得对于复系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为复数),讨论解的情况时,需先设x=m+ni(m,n∈R),将上述方程利用复数相等转化为实系数方程再进行处理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
跟踪训练已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求实数k的取值所构成的集合.
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于(　　)
A.-1+i
B.1-i
C.i
D.-i
解析:原式=(1-2)+(-1-1+3)i=-1+i.
答案:A
答案:B(共25张PPT)
1.1　数的概念的扩展　1.2　复数的有关概念
一、复数的概念及表示方法
1.虚数单位:把平方等于-1的数用符号i表示,规定i2=-1,把i叫作虚数单位.
2.复数:形如a+bi的数叫作复数(a,b是实数,i是虚数单位),复数通常表示为z=a+bi(a,b∈R).
3.复数的实部与虚部:对于复数z=a+bi,a与b分别叫作复数z的
实部与虚部.
名师点拨1.虚数不能比较大小.
2.复数a+bi中,a,b均为实数.
答案:0或2
三、复数的有关概念
1.复数的相等:两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等,记作a+bi=c+di,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
2.复平面:
当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
3.模:
复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是对应的.点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,|z|=
名师点拨关于复数相等的两点说明:
(1)对于两个复数,若都是实数,则可以比较大小;若两个复数不全是实数,则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分,但却有等与不等之分.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是把复数问题转化成实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,b∈R)既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识它.
【做一做2】
实部为21,虚部为-3的复数所对应的点位于复平面的(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:由题意知该复数在复平面内对应点为(21,-3),故该点位于第四象限.
答案:D
【做一做3】
已知复数z=a+i(其中a∈R)的模为
,则a的值为　　　　　.?
解析:由已知得
,即a2+1=5,解得a=±2.
答案:±2
【做一做4】
若(x+y)+yi=(x+1)i.求实数x,y的值.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)因为原点在虚轴上,所以数0是虚数.
(　　)
(2)两个复数一定不能比较大小.
(　　)
(3)复数a+bi一定不是实数.
(　　)
(4)虚轴上的点表示纯虚数.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的概念及分类
【例1】
已知m∈R,复数
+(m2+2m-1)i.当m为何值时,(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.
思路分析:本题需运用复数的有关分类概念来解决,尤其要注意纯虚数的条件是a=0,且b≠0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决复数分类问题的步骤
1.化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
2.定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
3.下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0,且b≠0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a的值是　　　　,实数b的值是　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的相等及应用
【例2】
(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求实数x与y;
(2)设z1=1+sin
θ-icos
θ,
+(cos
θ-2)i,若z1=z2,求θ.
思路分析:先找出两个复数的实部和虚部,再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决复数相等问题的利器——化复为实.
(1)把两个复数写成代数形式,分清其实部与虚部.
(2)确立两个独立参数列出方程组,即实部和虚部分别相等.
(3)正确解方程组,得到结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)=3,则实数x的值是　　　　.?
答案:-2
变式训练4若ai+2=b-i(a,b∈R),i为虚数单位,则a2+b2=　　　　.?
答案:5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的几何意义
【例3】求实数a的值使复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z,(1)在复平面的x轴上方;(2)在直线x+y+7=0上.
思路分析:利用复数对应的点的特点转化为关于a的方程或不等式解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置确定复数的实部和虚部满足的条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练5若

A.一
B.二
C.三
D.四
解析:∵当

0,m-1<0,
∴复数z对应的点在第四象限.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视虚数不能比较大小而致误
【典例】
求使x+2+(x+y)i>y-5+(x+2y-3)i成立的实数x,y的取值.
易错分析:两个虚数是不能比较大小的,只有相等和不相等之分,反之,若两个数可以比较大小,则这两个数必为实数.
解:既然两个复数可以比较大小,则这两个复数必然是实数,
纠错心得两个实数可以比较大小,但是当两个复数中至少有一个为虚数时,不能比较大小,如果两个复数能比较大小,不是指实部与实部比,虚部与虚部比,而是说明两个数都是实数,即两个复数的虚部为0,只比较实部.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:A
2.已知i为虚数单位,则i+i2+i3等于(　　)
A.-1
B.1
C.-i
D.i
解析:∵i2=-1,∴i+i2+i3=i-1-i=-1.
答案:A
解析:∵(3a)2+(-6)2=40,∴a=±
.
答案:C
4.已知集合A={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},B={-1,3},且A∩B={3},求实数a的值.
解:∵A∩B={3},∴3∈A.
∴(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3.
?
?
解得a=-1.
5.设z=log2(1+m)+
(3-m)(m∈R).
(1)若z为纯虚数,求m的值;
(2)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;
(3)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题中,正确的是(　　)
A.复数的模总是正实数
B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应
C.若与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限
D.相等的向量对应着相等的复数
解析:复数的模大于或等于0,因此A不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,因此B不对;同理C也不正确,D正确,因此选D.
答案:D
2.化简的结果是(　　)
A.2+i
B.-2+i
C.2-i
D.-2-i
解析:=2-i.
答案:C
3.设复数z满足z·(1+i)=2i+1(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵复数z满足z·(1+i)=2i+1(i为虚数单位),
∴z=i.
该复数在复平面内对应点,在第一象限.
答案:A
4.已知i是虚数单位,复数-i=(　　)
A.i-2
B.2+i
C.-2
D.2
解析:复数-i=-i=2+i-i=2.
答案:D
5.在复平面内,复数z=i(1+2i)的共轭复数为(　　)
A.2-i
B.-2-i
C.2+i
D.-2+i
解析:∵复数z=i(1+2i)=-2+i,
∴复数z=i(1+2i)的共轭复数为-2-i.
答案:B
6.设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数z+的虚部是
(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:∵复数z=1+i(i是虚数单位),
∴复数z+=1+i+=1+i+i.
∴复数z+的虚部是.
答案:A
7.已知复数z满足(1-i)=2,则z5=(　　)
A.16
B.-4+4i
C.-16
D.-16i
解析:∵(1-i)=2,
∴=1+i,
则z=1-i.
∴z5=(1-i)5=(1-i)4(1-i)=-4(1-i)=-4+4i.
答案:B
8.下面是关于复数z=的四个命题.
p1:|z|=2;p2:z2=2i;
p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.
其中的真命题为(　　)
A.p2,p3
B.p1,p2
C.p2,p4
D.p3,p4
解析:本题考查了复数的四则运算以及复数的模,共轭复数等知识.
z==-1-i,p1:|z|=,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为-1+i,p4:z的虚部为-1.故真命题为p2,p4.
答案:C
9.设z=+(1+i)2,则||=(　　)
A.
B.1
C.2
D.
解析:z=+(1+i)2=+2i=1-i+2i=1+i,则||=.
答案:D
10.若复数z=(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内z对应点的坐标为(　　)
A.(0,2)
B.(0,3i)
C.(0,3)
D.(0,2i)
解析:∵z=是纯虚数,∴即a=6.∴z=3i.
∴在复平面内z对应点的坐标为(0,3).
答案:C
11.已知复数·i2
016(i是虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为(　　)
A.2
B.-2
C.1
D.-1
解析:∵i4=1,∴i2
016=1.
∴复数·i2
016=
=i为纯虚数.
∴=0,≠0,解得a=2.
答案:A
12.导学号18334053若A,B是锐角三角形ABC的两内角,则复数z=(cos
B-sin
A)+(sin
B-cos
A)i在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵A,B是锐角三角形ABC的两内角,
∴A+B>.①
由①得A>-B.
∵A,B为锐角三角形ABC的内角,
∴A∈.
又在内,正弦函数是增加的,
∴sin
A>sin,即sin
A>cos
B.
∴cos
B-sin
A<0.
又由①可得B>-A,
同理可得sin
B>sin,
即sin
B>cos
A,∴sin
B-cos
A>0.
故z对应的点在第二象限.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知i是虚数单位,计算=　　　　　　.?
解析:=-i.
答案:-i
14.设a,b为实数,若复数=1+i,则a=　　　　,b=　　　　.?
解析:由=1+i可得1+2i=(a-b)+(a+b)i,所以解得a=,b=.
答案:
15.若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位),则z=　　　　.?
解析:由z=i(2+z)=zi+2i得(1-i)z=2i,
则z==-1+i.
答案:-1+i
16.导学号18334054若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=,则z1=　　　　.?
解析:设z1=a+bi,则z2=-a+bi,
∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=,
∴
解得∴z1=1-i或z1=-1+i.
答案:1-i或-1+i
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)若复数(m2-3m-4)+(m2-m-6)i表示的点在第四象限内,求实数m的取值范围.
解:由题意,知
∴-2故m的取值范围是{m|m∈R,且-218.(12分)已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b
=(a+2z)2.
解:因为z=1+i,所以az+2b
=(a+2b)+(a-2b)i,
(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.
因为a,b都是实数,所以由az+2b
=(a+2z)2,
得
两式相加并整理得a2+6a+8=0,
解得a1=-2,a2=-4,
相应得b1=-1,b2=2.
所以所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.
19.(12分)实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?
解:令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)
=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.
(1)当k2-5k-6=0时,z∈R,
此时k=6或k=-1.
(2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.
(3)当时,z是纯虚数,此时k=4.
(4)当时,z=0,解得k=-1.
综上,当k=6或k=-1时,z是实数;当k≠6且k≠-1时,z是虚数;
当k=4时,z是纯虚数;
当k=-1时,z是零.
20.(12分)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.
(1)确定点M的集合构成图形的形状;
(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.
解:(1)设复数-2+2i在复平面内的对应点为P(-2,2),则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故点M的集合是以P为圆心,2为半径的圆,如图所示.
(2)设复数1-2i在复平面内的对应点为Q(1,-2),则|z-1+2i|=|MQ|.
如图所示,由(1)知|PQ|==5,则|MQ|的最大值即|z-1+2i|的最大值,是|PQ|+2=7;|MQ|的最小值即|z-1+2i|的最小值,是|PQ|-2=3.
21.(12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
解:(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
由已知,得a2+b2=1,c2+d2=1,
(a+c)2+(b+d)2=3.
∵(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3,
∴2ac+2bd=1.
又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,
∴|z1-z2|=1.
(方法二)在复平面内设z1,z2分别对应向量,则对角线对应z1+z2,对应z1-z2,由已知可得||=1,||=1,||=,
∴∠OZ1Z=120°.
∴∠Z2OZ1=60°.
故在△OZ1Z2中,||=1,即|z1-z2|=1.
22.导学号18334055(12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值;
(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
解:(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根,
所以b2-(6+i)b+9+ai=0,
即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
故解得a=b=3.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),由|-3-3i|=2|z|,
得|(x-3)-(y+3)i|=2|x+yi|,
即(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),
即(x+1)2+(y-1)2=8.
所以复数z对应的点Z的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当点Z在OO1的连线上时,|z|有最大值和最小值.因为|OO1|=,半径r=2,
所以当z=1-i时,|z|min=.1.1　数的概念的扩展　1.2　复数的有关概念
课后训练案巩固提升
一、A组
1.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为纯虚数,则实数x满足(　　)
A.x=-
B.x=-2或x=-
C.x=-2
D.x=-1或x=-2
解析:由题意得解得x=-.
答案:A
2.下列命题中:①若x∈C,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集;
③若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;
④若实数a与ai对应,则实数集与复数集一一对应
.
正确命题的个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故①错;②,③错;对于④,a=0时,ai=0,④错.
答案:A
3.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为(　　)
A.1
B.1或-4
C.-4
D.0或-4
解析:由题意知解得a=-4.
答案:C
4.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则复数z=a+bi的模等于(　　)
A.1
B.2
C.
D.5
解析:∵a,b∈R,2+ai=b-i?a=-1,b=2,∴|z|=.
答案:C
5.若复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的范围是(　　)
A.m>5
B.m<3
C.-7D.-7解析:由题意知
故-7答案:D
6.已知复数z=m2-m+(m2-1)i(m∈R).若z是实数,则m的值为　　　　;若z是虚数,则m的取值范围是　　　　;若z是纯虚数,则m的值为　　　　.?
解析:z=m2-m+(m2-1)i;实部为m2-m,虚部为m2-1.
当m2-1=0,即m=±1时z为实数;
当m2-1≠0,即m≠±1时,z为虚数;
当m2-m=0且m2-1≠0,即m=0时,z为纯虚数.
答案:±1　m≠±1　0
7.若复数z=(m-2)+(m+3)i(m∈R)为纯虚数,则|z|=　　　　　.?
解析:本题考查复数的有关概念及复数模的计算,根据z是纯虚数,由复数z的实部为0,求出m的值后,利用模的定义求|z|.
∵z=(m-2)+(m+3)i为纯虚数,∴
∴m=2,z=5i.∴|z|=5.
答案:5
8.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,则复数z=m+ni=　　　　　.?
解析:由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即
∴z=m+ni=3-i.
答案:3-i
9.实数k为何值时,复数z=(1+i)k2-(3+5i)k分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?
解:z=(1+i)k2-(3+5i)k=(k2-3k)+(k2-5k)i.
(1)当k2-5k=0时,z∈R,此时k=5或k=0.
(2)当k2-5k≠0时,z是虚数,此时k≠5且k≠0.
(3)当时,z是纯虚数,解得k=3.
10.导学号18334046在复平面内画出复数z1=i,z2=-i,z3=i对应的点,并求出各复数的模.
解:根据复数与复平面内的点的一一对应关系,可知点Z1,Z2,Z3对应的坐标分别为,如图所示.
|z1|==1,
|z2|==1,
|z3|==1.
二、B组
1.方程x2+6x+13=0的一个根是(　　)
A.-3+2i
B.3+2i
C.-2+3i
D.2+3i
解析:一元二次方程x2+6x+13=0中,Δ=62-4×1×13=-16<0,故有一对虚数根,可用求根公式求,即x1,2==-3±2i.故方程x2+6x+13=0的一个根是-3+2i.
答案:A
2.在复平面内,复数z=sin
2+icos
2对应的点在第(　　)象限.
A.一
B.二
C.三
D.四
解析:∵<2<π,∴02<1,-12<0.
∴复数z=sin
2+icos
2对应的点位于第四象限.
答案:D
3.已知z1=-4a+1+(2a2-3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2
,则a的值为　　　　.?
解析:∵z1>z2,∴解得a=0.
答案:0
4.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足M∩N≠?,求整数a,b.
解:根据题意:(a+3)+(b2-1)i=3i①或8=(a2-1)+(b+2)i②或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i③.
由①得a=-3,b=±2,由②得a=±3,b=-2.③中,a,b无整数解.
综上可知,a=-3,b=2或a=3,b=-2或a=-3,b=-2.
5.导学号18334047已知复数z1=1+cos
θ+isin
θ,z2=1-sin
θ+icos
θ,且|z1|2+|z2|2≥2,求θ的取值范围.
解:∵|z1|2=(1+cos
θ)2+sin2θ=2+2cos
θ,
|z2|2=(1-sin
θ)2+cos2θ=2-2sin
θ,
∴由|z1|2+|z2|2≥2得2+2cos
θ+2-2sin
θ≥2,
即cos
θ-sin
θ≥-1.
∴cos≥-.∴2kπ-π≤θ≤2kπ+(k∈Z).
故θ的取值范围是(k∈Z).(共29张PPT)
第4课时　复数
知识网络
要点梳理
思考辨析
答案:①纯虚数　②复数相等　③加法　④共轭复数　⑤除法
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.复数的概念,包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、复数相等、共轭复数等,成为近年来高考对复数考查的重要对象,准确理解概念的内涵是解决此类问题的关键.解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a,b∈R)的形式,明确复数的实部与虚部,由实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1.在进行复数的运算时,要灵活利用i,ω的性质,或适当变形创造条件,从而转化为关于i,ω的计算问题,并注意以下结论的灵活应用:
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.
特别注意|z|,|z-a|的几何意义——距离.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
专题归纳
高考体验
专题一　复数的概念
【例1】
复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时,
(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题二　复数的四则运算
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题三　复数的几何意义
【例3】
已知复数z1=i(1-i)3,
(1)求|z1|;
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
反思感悟在复数集中,|z|表示复数z在复平面内对应的点到坐标原点的距离;若|z|=r,则表示以原点为圆心,r为半径的圆.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题四　复数问题实数化思想
【例4】
设存在复数z同时满足下列两个条件:
(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限;
(2)z·
+2iz=8+ai(a∈R),求a的取值范围.
专题归纳
高考体验
反思感悟复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),从实部虚部来理解一个复数,把复数z满足的条件转化为实数x,y应该满足的条件,从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题.
专题归纳
高考体验
变式训练4已知复数z1=-2+i,z1z2=-5+5i(其中i为虚数单位),
(1)求复数z2;
(2)若复数z3=(3-z2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]所对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
专题归纳
高考体验
考点一:复数的概念
1.(2016全国乙高考)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(　　)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
解析:由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.
∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,
∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.
答案:A
2.(2015课标全国Ⅱ高考)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,
答案:B
专题归纳
高考体验
3.(2015天津高考)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　　.?
解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.
∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,
∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2.
答案:-2
专题归纳
高考体验
考点二:复数的模
解析:由题意,
答案:C
5.(2016全国乙高考)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(　　)
解析:(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,
所以x=1,y=x=1.
所以|x+yi|=|1+i|=
.故选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
6.(2017江苏高考)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　　.?
专题归纳
高考体验
考点三:共轭复数
7.(2016全国甲高考)设复数z满足z+i=3-i,则
=(　　)
A.-1+2i
B.1-2i
C.3+2i
D.3-2i
解析:由z+i=3-i,得z=3-2i,所以
=3+2i,故选C.
答案:C
8.(2015湖北高考)i为虚数单位,i607的共轭复数为(　　)
A.i
B.-i
C.1
D.-1
解析:∵i607=i151×4+3=i3=-i,∴i607的共轭复数为i.
答案:A
9.(2015山东高考)若复数z满足
,其中i为虚数单位,则z=(　　)
A.1-i
B.1+i
C.-1-i
D.-1+i
解析:∵
=i,∴
=i(1-i)=i-i2=1+i.∴z=1-i.
答案:A
专题归纳
高考体验
10.(2015上海高考)若复数z满足3z+=1+i,其中i为虚数单位,则z=　　　　　.?
专题归纳
高考体验
考点四:复数的几何意义
11.(2017北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以
解得a<-1.故选B.
答案:B
12.(2016全国甲高考)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
解析:要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足
解得-3答案:A
专题归纳
高考体验
考点五:复数的运算
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15.(2016全国丙高考)若z=1+2i,则
=(　　)
A.1
B.-1
C.i
D.-i
解析:由题意知
=1-2i,则
?
答案:C
16.(2016山东高考)若复数z满足2z+
=3-2i,其中i为虚数单位,则z=(　　)
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则2z+
=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.
答案:B
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17.(2016天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)·(1-bi)=a,则
的值为　　　　　.?
解析:(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,
?
?
故答案为2.
答案:2
18.(2016北京高考)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=　　　　　.?
解析:∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,
∴a+1=0,即a=-1.
答案:-1(共24张PPT)
习题课——复数的模及几何意义的应用
一、复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及以原点为起点,
Z(a,b)为终点的向量
相对应,它们之间都是一一对应的关系.
二、复数的模及其几何意义
1.已知复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z的模|z|=|a+bi|=
.
2.复数的模的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复数
z对应的点Z(a,b)到原点的距离.
3.复数的模,复数对应的点到原点的距离,复数所对应向量的模三者是一致的.
【做一做1】
满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)
A.一条直线
B.两条直线
C.圆
D.椭圆
解析:根据复数模的几何意义,|z-i|=|3+4i|=5,即表示复数z在复平面上对应点到点(0,1)的距离等于常数5的轨迹,即表示以点(0,1)为圆心,5为半径的圆.
答案:C
【做一做3】
在复平面内,若复数z满足|z+1|+|z-1|=4,则z在复平面内对应的点的轨迹是?　　　　　　,其方程为　
.?
解析:根据模的几何意义,复数z在复平面内对应的点到两定点(-1,0),(1,0)的距离之和为定值4,故其轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆,其方程为
答案:以(-1,0),(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆　
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数与轨迹问题
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟复数的实质是有序实数对,也就是复平面内点的坐标,如果复数按照某种条件变化,那么复平面内的对应点就构成具有某种特征的点的集合(或轨迹),这里应特别注意复数的模的几何意义,复数的模就是复数对应的点到原点的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用复数的几何意义求最值
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决有关复数模的最值问题的常用方法
1.先建立关于复数模的函数,再求函数的最值,此时常设z=x+yi(x,y∈R).
2.写出复数表示的几何意义,利用数形结合思想,结合平面几何知识求解最值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是(　　)
A.6
B.5
C.4
D.3
解析:由z1+z2=2i,得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,
即z2对应的点的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,z1对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为1的圆,如图所示,则|z1-z2|为两圆上的点的距离,其最大值为4.
?
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
复数的综合应用
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练4若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值是　　　　.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
错用复数的几何意义而致误
【典例】
复数z满足|z-1-i|=1,求|z+1+i|的最小值.
易错分析:|z-1-i|表示复数z对应的点与复数1+i对应点间的距离,而|z+1+i|表示复数z对应的点与-1-i对应的点间的距离.
解:∵|z-1-i|=1,
由复数的几何意义知z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心,1为半径的圆,而|z+1+i|表示圆上的点到点(-1,-1)的距离,
纠错心得在解决有关复数模的问题时,应结合复数、复数模的几何意义和解析几何等知识,将代数问题转化为几何问题,从而达到优化解题过程的目的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
跟踪训练已知复数z满足|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是　　　　.
解析:∵|z|=2表示以原点为圆心,2为半径的圆,而|z+3-4i|表示的是圆上的点与点(-3,4)的距离,
?
答案:3
1.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z为(　　)
A.-15+8i
B.15-8i
C.15+8i
D.-15-8i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),
答案:A
2.若复数z满足|z-3|+|z+3|=10,则复数z对应的点集所表示的图形是(　　)
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
解析:借助椭圆的定义和复数的几何意义知,复数z对应的点的轨迹是以(3,0),(-3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆.
答案:C
5.已知复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,a∈R,当x在(-∞,+∞)内变化时,试求|z|的最小值g(a).
解:|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.
令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2,
因此|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,第4课时　复数
课后训练案巩固提升
一、A组
1.已知复数z=,其中i为虚数单位,则在复平面内复数z的共轭复数所对应的点在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:z==1+i+i=1+2i,所以共轭复数=1-2i,所对应的点位于第四象限.
答案:D
2.已知i为虚数单位,复数z满足z(1-i)=1+i,则z2
016=
(　　)
A.1
B.-1
C.i
D.-i
解析:由z(1-i)=1+i,得z==i,则z2
016=i2
016=(i4)504=1.
答案:A
3.复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为(　　)
A.2+i
B.2-i
C.5+i
D.5-i
解析:∵(z-3)(2-i)=5,∴z-3==2+i,
∴z=5+i,∴=5-i.故选D.
答案:D
4.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(　　)
A.-2
B.4
C.-6
D.6
解析:为纯虚数,∴a+6=0,∴a=-6.
答案:C
5.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z=,则=　　　　　.?
解析:z==-1-i,所以=-1+i.
答案:-1+i
6.复数在复平面中的第　　　　　象限.?
解析:因为复数=1-i+i=i在复平面中对应的点为,是第四象限的点.
答案:四
7.设z∈C,z+||=2+i,则z=　　　　　.?
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,||=,∴a+bi+=2+i,
∴∴z=+i.
答案:+i
8.已知复数z满足|z|=1+3i-z,化简.
解:设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,
∴-1-3i+a+bi=0.
∴∴z=-4+3i,
∴=3+4i.
9.已知复数z的实部为正数,|z|=,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则由条件|z|=可得a2+b2=2　①.
因为z2=a2-b2+2abi,所以其虚部为2ab=2　②.
联立①②,解得a=b=1或a=b=-1.
又复数z的实部为正数,所以a>0,所以a=b=1,于是z=1+i.
(2)由(1)可知z=1+i,则z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),由此可得S△ABC=1,所以△ABC的面积为1.
10.导学号18334066设O为坐标原点,已知向量分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,a∈R.若+z2可以与任意实数比较大小,求的值.
解:由题意,得-(10-a2)i,
则+z2=-(10-a2)i++(2a-5)i=+(a2+2a-15)i.
∵+z2可以与任意实数比较大小,
∴+z2是实数,
∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3,
又a+5≠0,∴a=3,∴z1=+i,z2=-1+i.
∴=(-1,1),
∴×(-1)+1×1=.
二、B组
1.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(　　)
A.若|z1-z2|=0,则
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·
D.若|z1|=|z2|,则
解析:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
若|z1-z2|=0,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0,所以a=c,b=d,所以,所以A正确;
若z1=,则a=c,b=-d,所以=z2,故B正确;
若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·=z2·,故C正确;
=(a2-b2)+2abi,=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的条件下,不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd,故D错误.
答案:D
2.定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为(　　)
A.3-i
B.1+3i
C.3+i
D.1-3i
解析:=zi+z=z(1+i)=4+2i,
∴z==3-i.
答案:A
3.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为　　　　　.?
解析:|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.
如图所示,故.
答案:
4.导学号18334067若关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根,则纯虚数m=　　　　　.?
解析:设m=bi(b∈R且b≠0),x0为一实根,由题意得+(1+2i)x0-(3bi-1)i=0,
∴(+x0+3b)+(2x0+1)i=0,
∴
∴m=i.
答案:i
5.导学号18334068复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0,其中i为虚数单位.
(1)若z和w又满足-z=2i,求z和w的值;
(2)求证:如果|z|=,那么|w-4i|的值是一个常数,并求这个常数.
解:(1)设z=a+bi,w=c+di(a,b,c,d∈R),
由zw+2iz-2iw+1=0得
(a+bi)(c+di)+2i(a+bi)-2i(c+di)+1=0,
即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c)i=0.
∴
又-z=2i,∴c-di-(a+bi)=2i.
即(c-a)-(b+d)=2i.
∴
解①②③④组成的方程组,得
a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3.
∴z=-i,w=-i或z=3i,w=-5i.
(2)∵zw+2iz-2iw+1=0,
∴z(w+2i)=2iw-1,
∴|z(w+2i)|=|2iw-1|,
即|z||w+2i|=|2iw-1|.
又|z|=,
∴|w+2i|=|2iw-1|.
设w=x+yi(x,y∈R),代入上式整理得
,两边平方得3x2+3y2+12y+12=4x2+4y2+4y+1,化简得x2+y2-8y=11.
∴|w-4i|=|x+yi-4i|=
==3是一个常数.
∴|w-4i|的值是一个常数,且这个常数为3.

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