(共27张PPT)
1.2 类比推理
一、类比推理
1.类比推理的含义
由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.
类比推理是两类事物特征之间的推理.
2.类比推理的特征
类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比.
3.结论真假:利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
4.思维过程流程图
观察、比较→联想、类推→猜想新的结论
名师点拨类比推理的三个特点
1.类比推理结论的猜测性,类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
2.类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的问题及其研究方法.
3.类比推理的关键点.由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.
(2)在医药研究中,研制新药初期,常用一些动物做药性、药理试验,最后才做临床试验与应用,通过对动物的观察,得出对人应用的一些结论,所用推理为 .?
解析:(1)三角形的高对应扇形的半径,三角形的底对应扇形的弧长,所以可猜测为
(2)符合类比推理的方法,故应为类比推理.
答案:(1)C (2)类比推理
二、合情推理
1.合情推理的含义
根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.
2.思维过程流程图
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想
特别提醒合情推理得出的结论不一定是唯一的,侧重点不同,结论也会不同.
【做一做2】
(1)鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过程体现了( )
A.归纳推理
B.类比推理
C.没有推理
D.以上说法都不对
(2)等差数列{an}中有2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N+),类比以上结论,在等比数列{bn}中类似的结论是 .?
答案:(1)B (2)
=bn-1·bn+1(n≥2,且n∈N+)
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)由类比推理得出的结论一定是正确的.
( )
(2)合情推理必须有前提有结论.
( )
(3)合情推理不能猜想.
( )
(4)合情推理得出的结论不能判断正误.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
平面图形与空间图形的类比
探究一
探究二
探究三
思路分析:考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积相等来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
反思感悟平面图形与空间几何体的类比方法
探究一
探究二
探究三
变式训练1类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A.①
B.①②
C.①②③
D.③
解析:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫类比推理,上述三个结论均符合推理结论,故均正确.
答案:C
探究一
探究二
探究三
类比推理在数列中的应用
【例2】在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有什么样的等式成立?
思路分析:可结合等比数列的定义,通项公式,求和公式求解.
解:在等差数列{an}中,由a10=0,得a1+a19=a2+a18=…
=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,
所以a1+a2+…+an+…+a19=0,
即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1,
又∵a1=-a19,a2=-a18,……,a19-n=-an+1,
∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n,
相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则可得b1b2…bn=b1b2…b17-n
(n<17,n∈N+).
探究一
探究二
探究三
反思感悟在由等差数列类比等比数列得到某些性质时,运算往往要升级.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
圆锥曲线中的类比
【例3】
有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径.
定理:过圆x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.类比推理的思维过程大致为:
2.类比推理的一般步骤:
(1)观察、分析,找出两类事物之间的相似性或一致性.
(2)通过类比、联想,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
(3)通过推理论证,证明结论或推翻结论.
一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论既可能真,也可能假,它是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
1
2
3
4
5
1.给出下列三个类比结论.
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin
αsin
β;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
其中结论正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:只有③正确.
答案:B
1
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1
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5
3.在平面内,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为 .?
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1,在立体几何中,给出四面体性质的猜想.
把结论类比到四面体P-ABC中,我们猜想,在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两互相垂直,且与底面所成的二面角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.(共20张PPT)
习题课——推理与证明的综合应用
1.新定义问题的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求同学在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.
2.解决有些数学问题时,通常将推理和证明结合起来,一般是先通过合情推理推出有关的结论,再用直接证明或者间接证明的方法进行结论正确性的证明.
3.探索性问题是相对于传统封闭性问题而言的,它具有条件的不完备性、结论的不确定性等特征.解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再通过代数推理、论证,如果可以得到满足条件的结果,那么可以得出存在性结论;如果得到了与已知条件等相矛盾的结果,那么说明假设的元素不存在,或者命题不成立.
【做一做】
在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)
<0的实数x的取值范围是( )
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
解析:x☉(x-2)<0?x(x-2)+2x+x-2<0?x2+x-2<0?-2
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.
( )
(2)在解决问题时,常常先用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.
( )
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a( )
(4)反证法是指将条件和结论同时否定,推出矛盾.
( )
答案:(1)× (2)√
(3)× (4)×
探究一
探究二
新定义问题
【例1】
设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数.
命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).( )
A.命题①和命题②都成立
B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立,命题②不成立
D.命题①不成立,命题②成立
思路分析:分析所给的定义,对每一个命题进行判断,要结合集合的运算法则以及韦恩图帮助分析.
探究一
探究二
解析:命题①显然正确,通过如下韦恩图亦可知d(A,C)表示的区域不大于d(A,B)+d(B,C)的区域,故命题②也正确,故选A.
答案:A
反思感悟本题是集合的阅读材料题,属于中档题,在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合,即可知命题①正确,同时注重数形结合思想的运用,若用韦恩图表示三个集合A,B,C,则可将问题等价转化为比较集合区域的大小,即确定集合中元素个数多少的比较.
探究一
探究二
变式训练1记
设a,b为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
解析:根据向量运算的几何意义,即三角形法则,可知min{|a+b|,|a-b|}与min{|a|,|b|}的大小不确定,由平行四边形法则及余弦定理可知,max{|a+b|,|a-b|}所对的角大于或等于90°,故max{|a+b|2,|a-b|2}
≥|a|2+|b|2,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探索性问题
(1)求直线AB的方程;
(2)是否存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O?若存在,求出该椭圆方程;若不存在,请说明理由.
思路分析:先假设存在符合条件的椭圆,将直线方程代入,再利用根与系数的关系解决.
探究一
探究二
探究一
探究二
探究一
探究二
反思感悟解决探究性、存在性问题的常用方法
1.解决是否存在常数的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.
2.解决是否存在点的问题时,可依据条件,直接探究其结果;也可以举特例,然后再证明.
3.解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.
4.解决是否存在最值问题时,可依据条件,先得出函数解析式,依据解析式判定其最值是否存在,再得出结论.
探究一
探究二
变式训练2已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2
018?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
探究一
探究二
若存在n,使得Sn≥2
018,
则1-(-2)n≥2
018,即(-2)n≤-2
017.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2
017,即2n≥2
017,则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
1
2
3
4
5
1.已知无穷等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且
.下列条件中,使得2SnA.a1>0,0.6B.a1<0,-0.7C.a1>0,0.7D.a1<0,-0.8答案:B
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2
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答案:C
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51.2 类比推理
课后训练案巩固提升
一、A组
1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:
①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;
④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”;
⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑥“”类比得到“”.
以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①②正确,③④⑤⑥错误.
答案:B
2.下列平面图形中,与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A.三角形
B.梯形
C.矩形
D.平行四边形
解析:因为平行六面体的六个面全为平行四边形,并且相对的每一对面平行且全等.类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适.
答案:D
3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是( )
A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,那么也与另一条相交
B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,那么也与另一条垂直
C.如果两条直线同时与第三条直线相交,那么这两条直线相交或平行
D.如果两条直线同时与第三条直线垂直,那么这两条直线平行
答案:B
4.类比三角形中的性质:
(1)两边之和大于第三边
(2)中位线长等于底边长的一半
(3)三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质:
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有( )
A.(1)
B.(1)(2)
C.(1)(2)(3)
D.都不对
解析:以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确.
答案:C
5.在以原点为圆心,半径为r的圆上有一点P(x0,y0),则圆的面积S圆=πr2,过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.在椭圆=1(a>b>0)中,当离心率e趋近于0时,短半轴b就趋近于长半轴a,此时椭圆就趋近于圆.类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆= .类比过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程,得过椭圆=1(a>b>0)上一点P(x1,y1)的椭圆的切线方程为 .?
解析:当椭圆的离心率e趋近于0时,椭圆趋近于圆,此时a,b都趋近于圆的半径r,故由圆的面积S=πr2=π·r·r,猜想椭圆面积S椭=π·a·b,其严格证明可用定积分处理.而由切线方程x0·x+y0·y=r2变形得·x+·y=1,则过椭圆上一点P(x1,y1)的椭圆的切线方程为·x+·y=1,其严格证明可用导数求切线处理.
答案:πab ·x+·y=1
6.在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B不同时为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系O-xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示 .?
解析:由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系O-xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示过原点的平面.
答案:过原点的平面
7.导学号18334027给出下列推理:
(1)三角形的内角和为(3-2)×180°,
四边形的内角和为(4-2)×180°,
五边形的内角和为(5-2)×180°,
……
所以凸n边形的内角和为(n-2)·180°;
(2)三角函数都是周期函数,y=tan
x是三角函数,所以y=tan
x是周期函数;
(3)狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的;鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的.狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物,所以,所有的动物都是有骨骼的;
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行;在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
其中属于合情推理的是 .(填序号)?
解析:根据合情推理的定义来判断.因为(1)(3)都是归纳推理,(4)是类比推理,而(2)不符合合情推理的定义,所以(1)(3)(4)都是合情推理.
答案:(1)(3)(4)
8.已知以下过程可以求1+2+3+…+n的和.
因为(n+1)2-n2=2n+1,
n2-(n-1)2=2(n-1)+1,
……
22-12=2×1+1,
有(n+1)2-1=2(1+2+…+n)+n,
所以1+2+3+…+n=.
类比以上过程求12+22+32+…+n2的和.
解:因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,
n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,
……
23-13=3×12+3×1+1,
有(n+1)3-1=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,
所以12+22+…+n2=
=.
二、B组
1.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则,推广到空间可以得到类似结论.已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图①,正三角形的内切圆与外接圆为同心圆,其半径分别为r1,r2,且r1∶r2=1∶2,所以.类比此性质知正四面体P-ABC的内切球与外接球为同心球,其球半径分别为r,R.则=.
图①
图②
如图②所示,正四面体P-ABC中,过点P作PE⊥平面ABC,则E为底面正三角形ABC的中心,球心在PE上,设为O,于是OA=OP=R,OE=r,设正四面体棱长为a,则AE=a,PE=a.
Rt△AOE中有R2=,
解得R=a.
所以r=a-a=a,.
答案:D
2.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是( )
①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)·C(y)-C(x)S(y);③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)·S(y);④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
解析:经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),又S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
综上所述,选B.
答案:B
3.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体,在?ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A+B+C+D等于( )
A.2(AB2+AD2+A)
B.3(AB2+AD2+A)
C.4(AB2+AD2+A)
D.4(AB2+AD2)
解析:如图所示,四边形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四边形,从而有A+C=2(AC2+A),B+D=2(BD2+B),所以A+C+B+D=2(AC2+BD2)+4A=4(AB2+AD2+A).
答案:C
4.已知△ABC的顶点A,B分别是离心率为e的圆锥曲线=1的焦点,顶点C在该曲线上;一同学已正确地推得:当m>n>0时有e(sin
A+sin
B)=sin
C.类似地,当m>0,n<0时,有 .?
解析:当m>n>0时,=1为椭圆,|AC|+|BC|=2,由正弦定理知,?e=?e(sin
A+sin
B)=sin
C.
当m>0,n<0时,=1为双曲线,||AC|-|BC||=2,由正弦定理知,?e=?e|sin
A-sin
B|=sin
C.
答案:e|sin
A-sin
B|=sin
C
5.问题“求不等式3x+4x≤5x的解”有如下的思路:不等式3x+4x≤5x可变为≤1,考察函数f(x)=可知,函数f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,∴原不等式的解是x≥2.依照此解法可得到不等式:x3-(2x+3)>(2x+3)3-x的解是 .?
解析:不等式x3-(2x+3)>(2x+3)3-x可化为x3+x>(2x+3)3+(2x+3),
令f(x)=x3+x,则原不等式为f(x)>f(2x+3),
又f'(x)=3x2+1>0,故函数f(x)=x3+x是R上的增函数.所以x>2x+3,解得x<-3.
答案:x<-3
6.导学号18334028若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列{bn}中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1= .?
解析:将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”.
因为等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an,所以类比可得:在等比数列{bn}中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=.
答案:
7.若△ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A,B,C,那么由a=b·cos
C+c·cos
B可类比四面体的什么性质?
解:在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.猜想S=S1·cos
α+S2·cos
β+S3·cos
γ.
8.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.
解:圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:
弦?截面圆,
直径?大圆,
周长?表面积,
圆面积?球体积,
等等.
于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆是等圆;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于经过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
圆的周长c=πd
球的表面积S=πd2
圆的面积S=πr2
球的体积V=πr3§2 数学证明
课后训练案巩固提升
一、A组
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.由平面上圆的性质,推测空间球的性质
B.某校高一(1)班有45人,高一(2)班有46人,高一(3)班有48人,由此得出该校高一各班的人数均不超过50
C.两条直线平行,同位角相等.由此可知,若∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角,则∠A=∠B
D.数列{an}满足:a1=1,an=(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
解析:“两条直线平行,同位角相等”是一般性原理,∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角,故∠A=∠B,因此是演绎推理.
答案:C
2.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b?平面α,直线a?平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
解析:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”错误,故选A.
答案:A
3.“在四边形ABCD中,∵AB?CD,∴四边形ABCD是平行四边形”.上述推理过程( )
A.省略了大前提
B.省略了小前提
C.是完整的三段论
D.推理形式错误
解析:上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”.
答案:A
4.有这样一段演绎推理:“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,这是因为
( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
答案:C
5.下列几种推理过程是演绎推理的是( )
A.5和2可以比较大小
B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
C.东升高中高二年级有15个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人
D.预测股票走势图
答案:A
6.三段论:“①小宏在2017年的高考中考入了重点本科院校;②小宏在2017年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校;③小宏在2017年的高考中正常发挥”中,“小前提”是 (填序号).?
解析:在这个推理中,②是大前提,③是小前提,①是结论.
答案:③
7.在求函数y=的定义域时,第一步推理中大前提是当有意义时,a≥0;小前提是有意义;结论是 .?
解析:由大前提知log2x-2≥0,解得x≥4.
答案:y=的定义域是[4,+∞)
8.已知函数f(x)=·x3.求证:f(x)>0.
证明:由2x-1≠0,可得x≠0.
当x>0时,x3>0,2x>1,则2x-1>0,
所以>0.
故x3>0,即f(x)>0.
当x<0时,x3<0,2x<1,则-1<2x-1<0,
所以<0.
故·x3>0,即f(x)>0.
综上所述,f(x)>0.
9.导学号18334030A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴转动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
解:(1)如图,取AB中点E,连接DE,CE.
∵△ADB为等边三角形,∴DE⊥AB.
又∵平面ADB⊥平面ABC,且平面ADB∩平面ABC=AB,
∴DE⊥平面ABC,∴DE⊥EC.
由已知可得DE=AB=,EC=1.
∴在Rt△DEC中,CD==2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明如下:
①当点D在平面ABC内时,∵AC=BC,AD=BD,
∴C,D都在AB的垂直平分线上,∴CD⊥AB.
②当点D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE.
又AC=BC,∴AB⊥CE.
∵DE∩CE=E,∴AB⊥平面DEC.
∵DC?面DEC,∴AB⊥CD.
综上所述,总有AB⊥CD.
二、B组
1.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
解析:利用三段论分析:
大前提:矩形都是对角线相等的四边形;
小前提:四边形ABCD是矩形;
结论:四边形ABCD的对角线相等.
答案:B
2.在R上定义运算:x□y=x(1-y).若不等式(x-a)□
(x+a)<1对任意实数x成立,则( )
A.-1B.0C.-D.-解析:∵(x-a)□(x+a)<1,∴(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x-a2+a+1>0恒成立.
则Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-答案:C
3.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)=x3在x=0处的导数值f'(0)=0,所以x=0是f(x)=x3的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确
解析:∵f'(x0)=0是f(x)在x=x0取得极值的必要条件,而不是充分条件,∴大前提是错误的.
答案:A
4.关于函数f(x)=lg(x≠0),有下列命题:
①其图像关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)为减函数;
③f(x)的最小值是lg
2;
④当-11时,f(x)是增函数;
⑤f(x)无最大值,也无最小值.
其中所有正确结论的序号是 .?
解析:显然f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称.
当x>0时,f(x)=lg=lg.
设g(x)=x+,可知其在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数,
∴f(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数,f(x)min=f(1)=lg
2.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-1,0)内是增函数.
答案:①③④
5.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .?
解析:由甲没去过B城市,乙没去过C城市,而三人去过同一城市,可知三人去过城市A,又由甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只去过A城市.
答案:A城市
6.由“(a2+a+1)x>3,得x>”的推理过程中,其大前提是 .?
解析:∵a2+a+1=>0,
∴(a2+a+1)x>3?x>.
其前提依据为不等式的乘法法则:a>0,b>c?ab>ac.
答案:a>0,b>c?ab>ac
7.已知数列{an}满足a1=,且前n项和Sn满足Sn=n2an,试求{an}的通项公式.
解:方法一(归纳法)a1=,a2=,a3=,a4=,
寻找分母的规律,a1=,a2=,a3=,a4=,所以an=.
方法二(演绎推理)Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,
所以(n2+2n)an+1=n2an.
所以,……,.
所以.
因为a1=,所以an+1=.
又因为a1=,
所以an=.
8.导学号18334031已知函数f(x)=ax+(a>1),求证:函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数.
解:设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两实数,且x1则f(x1)-f(x2)=
=
=.
∵a>1,且x1∴,x1-x2<0.
又∵x1>-1,x2>-1,
∴(x1+1)(x2+1)>0.
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)∴函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数.§3 综合法与分析法
课后训练案巩固提升
一、A组
1.要证明,可选择的方法有下面几种,其中最合适的是( )
A.综合法
B.分析法
C.特殊值法
D.其他方法
答案:B
2.已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则当xy取最小值时,x,y的值分别为( )
A.5,5
B.10,
C.10,5
D.10,10
解析:由x+4y+5=xy,得2+5≤xy,即4+5≤xy,解得≥5或≤-1(舍去).当等号成立,即x=4y时,取到最小值5,即xy取到最小值25,此时故选B.
答案:B
3.已知a>b>c,n∈N+,且恒成立,则n的最大值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:∵a>b>c,且恒成立,
∴≥n恒成立.
又=2+≥4(当且仅当2b=a+c时,等号成立).
∴n的最大值为4.
答案:C
4.对于不重合的直线m,l和平面α,β,要证明α⊥β,需要具备的条件是( )
A.m⊥l,m∥α,l∥β
B.m⊥l,α∩β=m,l?α
C.m∥l,m⊥α,l⊥β
D.m∥l,l⊥β,m?α
解析:要证α⊥β,一般要在一个平面内找到另一个平面的垂线,选项D中由m∥l,l⊥β可知m⊥β.又m?α,所以α⊥β.
答案:D
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S1=1,=4,则的值为( )
A.
B.
C.
D.4
解析:由题意得S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,则2(S4-S2)=S2+S6-S4,即S6=3S4-3S2,由=4,得S4=4S2.因此S6=9S2.故.
答案:A
6.已知a,b,c均为正实数,且=1,则使得a+b≥c恒成立的c的取值范围是 .?
解析:因为a+b=(a+b)=1+9+≥10+2=16(当且仅当a=4,b=12时,取等号),所以要使a+b≥c恒成立,则c≤16.
答案:(-∞,16]
7.已知α,β为实数,给出下列三个论断:
①αβ>0;②|α+β|>5;③|α|>2,|β|>2.
以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论,写出你认为正确的命题是 .?
解析:∵αβ>0,|α|>2,|β|>2,
∴|α+β|2=α2+β2+2αβ>8+8+2×8=32>25.
∴|α+β|>5.
答案:①③?②
8.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.
证明:设圆和正方形的周长为L,故圆的面积为π,正方形的面积为,则本题即证π.
要证π,即证,
即证,即证4>π,
因为4>π显然成立,
所以π.
故原命题成立.
9.导学号18334033如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD.∠ABC=60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点,
(1)证明CD⊥AE;
(2)证明PD⊥平面ABE.
证明:
(1)在四棱锥P-ABCD中.
∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.
又AE?平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,且∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵点E是PC的中点,
∴AE⊥PC
.
由(1)可知AE⊥CD,又PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.
又PD?平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.
又AB∩AE=A,
∴PD⊥平面ABE.
二、B组
1.已知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,若当x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则当x>1时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)=(x+3)2-1
B.f(x)=(x-3)2-1
C.f(x)=(x+3)2+1
D.f(x)=(x-1)2-1
解析:∵函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,
∴f(x)=f(2-x).
当x>1时,2-x<1,则f(x)=f(2-x)=[(2-x)+1]2-1=(3-x)2-1=(x-3)2-1.
答案:B
2.设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为 .?
解析:∵a=+2,b=2+,
∴a2=11+4,b2=11+4,
显然,∴a20,b>0,∴a答案:a3.已知数列{an},Sn是它的前n项和,且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.
(1)设bn=an+1-2an(n=1,2,…),求证:数列{bn}是等比数列;
(2)在(1)的条件下,设cn=(n=1,2,…),求证:数列{cn}是等差数列;
(3)在(2)的条件下,求数列{an}的通项公式及前n项和.
(1)
证明:∵Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2,两式相减得,Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,即an+2=4an+1-4an.
∴an+2-2an+1=2(an+1-2an).
∵bn=an+1-2an,∴bn+1=2bn.
∵S2=a2+a1=4a1+2,a1=1,∴a2=5.
∴b1=a2-2a1=3≠0.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列.
(2)
证明:由(1)知bn=3·2n-1,∵cn=,
∴cn+1-cn=.
将bn=3·2n-1,代入得cn+1-cn=(n=1,2,…),
由此可知,数列{cn}是公差为的等差数列.
(3)解:由(2)知,c1=,cn=n-,
∴an=2n·cn=(3n-1)×2n-2.
当n≥2时,Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2,
∵S1=a1=1也适合此公式,
∴数列{an}的前n项和Sn=(3n-4)·2n-1+2.
4.导学号18334034已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,a,b,c分别为角A,B,C的对边,求证:.
证明:要证,
只需证=3,
只需证=1,
只需证=1,
由△ABC的三个内角A,B,C成等差数列得A+C=2B,即B=60°,
由余弦定理得b2=a2+c2-ac,
所以
==1.
综上可知,原等式成立.(共27张PPT)
§3 综合法与分析法
一、综合法
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.
名师点拨综合法的特点:
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”.
(2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下:
P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q
(3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易于表达的特点.
【做一做1】
已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥
.
证明:∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz,
∴(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)
≥2xy+2yz+2xz.
∴3(x2+y2+z2)
≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz,
即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1.
二、分析法
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这种思维方法称为分析法.
名师点拨分析法的特点:
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.
(2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需证……,由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.
【做一做2】
将下面用分析法证明
的步骤,补充完整:
要证
,只需证a2+b2≥2ab,也就是证 ,即证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立.?
答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)综合法是由因导果的顺推证法.
( )
(2)分析法是执果索因的逆推证法.
( )
(3)分析法的推理过程要比综合法优越.
( )
(4)所有证明的题目均可使用分析法证明.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
探究一
探究二
探究三
规范解答
综合法的应用
【例1】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin
A
=(2b-c)sin
B+(2c-b)sin
C.
(1)求证:A的大小为60°.
(2)若sin
B+sin
C=
,证明△ABC为等边三角形.
思路分析:(1)要证A的大小为60°,可先从已知条件出发,利用正弦定理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小.
(2)要证△ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sin
B+sin
C=
转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的大小也为60°,命题得证.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法证明问题的思路:
(1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法.
(2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.
(3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
分析法的应用
思路分析:本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手,利用分析法,寻找结论成立的充分条件.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟利用分析法证明不等式
(1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明.
(2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的充分条件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式.
(3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.
探究一
探究二
探究三
规范解答
只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,
只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0,
只需证(xy-1)(xy+1-x-y)≥0,
只需证(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.
因为x≥1,y≥1,所以上式显然成立.
所以原不等式成立.
探究一
探究二
探究三
规范解答
综合法与分析法的综合应用
【例3】
已知a,b,c是不全相等的正数,且0思路分析:解决本题的关键是利用对数的运算法则和对数函数的性质转化为证明整式不等式.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法与分析法的综合应用
(1)在实际解题过程中,常常是先用分析法寻找解题思路,即从结论入手,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有条理地表述解题过程.
(2)对于较复杂的问题,在解题过程中,把分析法和综合法有机地统一起来,一方面从问题的已知条件出发,用综合法经逻辑推理导出中间结果;另一方面从问题的结论出发,用分析法回溯到中间,即推出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
用分析法证明不等式成立
【典例】
(12分)在某两个正数m,n之间插入一个数x,使m,x,n成等差数列,插入两个数y,z,使m,y,z,n成等比数列,求证:(x+1)2≥(y+1)(z+1).
思路分析:要证(x+1)2≥(y+1)(z+1),只需证
成立,借助分析法及题设条件等价转化即可.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
解题反思实际解题时,综合使用分析法与综合法,即从“未知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,找到沟通已知条件和结论的途径,本例中若得不出
就无法实现等价转化.另外在应用分析法解题时,语言、步骤要完整、规范,避免逻辑性混乱,减少失分.
探究一
探究二
探究三
规范解答
跟踪训练如图,在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PH⊥底面ABC于点H,求证:H是△ABC的垂心.
证明:连接AH,BH,要证H是△ABC的垂心,只需证BC⊥AH,且AC⊥HB,只需证BC⊥平面PHA,且AC⊥平面PHB,只需证BC⊥PH,且BC⊥PA,AC⊥PH,且AC⊥PB.
因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,PH⊥AC成立,
故只需证BC⊥PA,且AC⊥PB即可.
只需证PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,
只需证PA⊥PB,且PA⊥PC,PB⊥PA,且PB⊥PC.
因为PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立,所以原结论成立,即H是△ABC的垂心.
1
2
3
4
5
1.“对于任意角θ,都有cos4θ-sin4θ=cos
2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ
=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos
2θ”应用了( )
A.分析法
B.综合法
C.综合法与分析法结合使用
D.间接证法
解析:证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式,因此是综合法.
答案:B
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共25张PPT)
1.1 归纳推理
归纳推理
1.定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,将这种推理方式称为归纳推理.
2.归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.
3.归纳推理结论真假
利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.
4.思维过程流程图
实验、观察→概括、推广→猜想一般性结论
名师点拨1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围.
2.由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.
3.归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.
【做一做】
(1)数列5,9,17,33,x,…中的x等于( )
A.47
B.65
C.63
D.128
(2)金导电、银导电、铜导电、铁导电,金、银、铜、铁都是金属,因此可猜想所有金属都导电,这种推理形式为 .?
答案:(1)B (2)归纳推理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)统计学中,先从总体中抽取样本,再用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.
( )
(2)归纳推理得到的结论可以作为定理使用.
( )
(3)归纳推理是由个别得到一般的推理.
( )
(4)归纳推理具有由具体到抽象的认识功能.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
数式中的归纳推理
【例1】
观察如图所示的“三角数阵”
1…………第1行
2 2…………第2行
3 4 3…………第3行
4 7 7 4…………第4行
5 11 14 11 5…………第5行
……
记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N+),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:
(1)依次写出a2,a3,a4,a5;
(2)第6行的6个数依次为 , , ,
, , ;?
(3)归纳出an+1与an的关系式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
思路分析:观察数阵的每行、每列数的特征,对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解.
解:(1)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11.
(2)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.
故第6行的6个数依次为6,16,25,25,16,6.
(3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4.
由此归纳:an+1=an+n.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.归纳推理的一般步骤:
(1)观察:通过观察个别事物发现某些相同性质.
(2)概括、归纳:从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.
(3)猜测一般性结论.
2.由已知数、式进行归纳推理的基本方法:
(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征.
(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点.
(3)运用归纳推理得出一般结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知:sin230°+sin290°+sin2150°=
;
sin25°+sin265°+sin2125°=
,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: .?
解析:观察每个式子中三个角的关系:三个角分别成等差数列,即30°+60°=90°,90°+60°=150°;5°+60°=65°,65°+60°=125°.根据式子中角的这种关系,可以归纳得出:
sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=
.
答案:sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
图与形中的归纳推理
【例2】
有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中灰色正六边形的个数是
( )
A.26
B.31
C.32
D.36
思路分析:数出前三个图案中灰色正六边形的个数,注意分析规律,由此规律作出推断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:灰色正六边形的个数如下表:
由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第6个图案中灰色正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常先把形状问题数字化,展现数字之间的规律、特征,再进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图所示,图①是棱长为1的小正方体,图②、图③由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层,第2层,……,第n层,第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题:
(1)按照要求填表:
(2)S10= .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:S1=1,S2=3=1+2,S3=6=1+2+3,
推测S4=1+2+3+4=10,
S10=1+2+3+…+10=55.
答案:(1)10 (2)55
探究一
探究二
探究三
思维辨析
不等式中的归纳推理
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较,在不能用作差、作商法比较时,常用归纳、猜想、证明的方法,解题时对n的取值的个数要适当,太少易产生错误猜想,太多增大计算量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因对概念理解不透致误
【典例】
设f(n)=n2+n+41(n∈N+),计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)的值,同时由归纳推理得到猜想,并判断所得的猜想是否正确.
易错分析:(1)误认为归纳得出的结论一定是正确的,实际上归纳推理的结论不一定正确.
(2)归纳时数据偏少,不一定具有一致性,无法得出一般性的结论.
解:f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,
f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,
f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,
43,47,53,61,71,83都是质数,由此猜想对于任何n∈N+,
f(n)=n2+n+41都是质数.这个猜想是错误的.
如f(40)=402+40+41=40×41+41=41×41就不是质数.
纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
跟踪训练对任意正整数n,试归纳猜想2n与n2的大小关系.
解:当n=1时,21>12;
当n=2时,22=22;
当n=3时,23<32;
当n=4时,24=42;
当n=5时,25>52;
当n=6时,26>62;
……
归纳猜想,当n=3时,2n当n∈N+,且n≠3时,2n≥n2.
1
2
3
4
5
1.数列2,5,11,20,x,47中的x等于( )
A.28
B.32
C.33
D.27
解析:由前几个数字可归纳出此列数字为:2,5,11,20,32,47,故答案为B.
答案:B
1
2
3
4
5
2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,则第36颗珠子应是什么颜色( )
?
A.白色
B.黑色
C.白色可能性大
D.黑色可能性大
解析:由题图知,三白二黑周而复始相继排列,36÷5=7余1.故第36颗珠子的颜色为白色.
答案:A
1
2
3
4
5
3.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 .
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共20张PPT)
§4 反证法
一、反证法的定义
1.先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与
定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与
假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作反证法.
2.反证法是一种间接证明的方法.
二、反证法的证明步骤
1.作出否定结论的假设;
2.进行推理,导出矛盾;
3.否定假设,肯定结论.
名师点拨使用反证法证明数学问题的注意事项
(1)用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面出现的多种可能,要一一否定,不能遗漏,缺少任何一种可能,证明都是不完整的.
(2)反证法必须从否定的结论出发进行推理,且必须根据这一条件进行论证.仅否定结论,不从结论的反面出发进行的论证不是反证法.故反证法也叫归谬法.
(3)用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与公理、定理、定义,或是已证明了的结论矛盾,或是与公认的简单事实矛盾,但推出的矛盾必须是明显的.
【做一做1】
用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是( )
A.假设三个内角都不大于60°
B.假设三个内角都大于60°
C.假设三个内角至多有一个大于60°
D.假设三个内角至多有两个大于60°
解析:根据反证法的定义,假设应使命题的反面成立,而“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的反面是“三个内角都大于60°”.
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定.
( )
(2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾.
( )
(3)使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,论证一种即可.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
探究一
探究二
思维辨析
用反证法证明否定性命题
【例1】
已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.对于结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类命题的反面比较具体,适合用反证法证明.
2.在证明否定性命题时,先通过假设原命题的反面成立,将原来的否定性命题转化为肯定性命题,再利用所学知识,找出矛盾,从而说明假设不成立,命题得证.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
用反证法证明“至多”“至少”命题
思路分析:因为直接从条件推证,方向不明确,过程不可推测,所以可以采用反证法.
证明:假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
则a+b+c≤0.
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,
这与a+b+c≤0相矛盾,∴a,b,c中至少有一个大于0.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题,若直接从条件推证,则解题方向不明确,过程不可推测,不易证明,故可以考虑用反证法证明.
2.常见的“结论词”与“反设词”如下表所示:
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2证明关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,
x2+2ax-2a=0,当a≤
或a≥-1时,至少有一个方程有实数根.
探究一
探究二
思维辨析
否定结论不全面而致误
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得用反证法证题时,如果要证明的结论反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.
探究一
探究二
思维辨析
跟踪训练求证:两条相交直线有且只有一个交点.
证明:假设结论不成立,即有两种可能:无交点或至少有两个交点.
设两条直线为a,b.
(1)若a,b无交点,则a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾;
(2)若a,b至少有两个交点A和B,这样同时经过A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.
1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为
( )
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
答案:D
2.命题“关于x的方程ax+b=0(a≠0)有唯一解”的结论的否定是( )
A.无解
B.有两解
C.至少有两解
D.无解或至少有两解
解析:命题的否定是否定命题的结论,“有唯一解”的否定是“至少有两解或无解”.
答案:D
答案:D
4.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设为 .?
解析:p且q的否定为非p或非q.
答案:x=a或x=b1.1 归纳推理
课后训练案巩固提升
一、A组
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),a1=1,猜想an等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:由a1=1,Sn=n2an,得a2=,a3=,a4=,猜想an=,故应选B.
答案:B
2.观察图中的图形规律,其右下角的空格内应画上的合适图形为( )
解析:观察图形可知每行都是同样的三个图形,且有两个是涂黑,因此是合适的图形.
答案:A
3.定义A
B,B
C,C
D,D
B依次对应下列4个图形:
则下列4个图形中,
可以表示A
D,A
C的分别是( )
A.图1,图2
B.图1,图3
C.图2,图4
D.图1,图4
解析:由①②③④可归纳得出:符号“
”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形.故A
D是图2,A
C是图4.
答案:C
4.如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是
( )
答案:A
5.观察下列各式:
9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,…….
这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,则可用关于n的等式表示为 .?
解析:由已知,得32-12=2×4,42-22=3×4,
52-32=4×4,62-42=5×4,……,
猜想(n+2)2-n2=4(n+1).
答案:(n+2)2-n2=4n+4
6.观察下列等式
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
……
照此规律,第n个等式可为 .?
解析:等号左边为n项的乘积;等号右边为两部分:一部分为2n,另一部分为n个连续奇数的乘积.
故第n个等式为(n+1)·(n+2)·(n+3)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1).
答案:(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)
7.已知数列{an}对一切的n∈N+,an>0,设前n项和为Sn,且2=an+1,则通过前几项猜想出数列的通项公式为an= .?
解析:因为2=an+1,所以2=a1+1,
即2=a1+1,所以a1=1.
又2=a2+1,所以2=a2+1.
所以-2a2-3=0.
因为对一切的n∈N+,an>0,所以a2=3.
同理可求得a3=5,a4=7,
猜测出an=2n-1(n∈N+).
答案:2n-1
8.经计算发现下列正确不等式:<2<2<2,…,根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a,b成立的条件不等式: .?
解析:各不等式右边相同,左边两根号内的数之和等于20.
答案:当a+b=20时,有≤2(a>0,b>0)
9.导学号18334024观察下列各式:
sin230°+cos260°+sin
30°cos
60°=;
sin240°+cos270°+sin
40°cos
70°=;
sin215°+cos245°+sin
15°cos
45°=.
分析以上各式的共同特点,根据其特点写出反映一般规律的等式,并对等式是否正确加以证明.
解:反映一般规律的等式是:sin2α+cos2(α+30°)+sin
αcos(α+30°)=.(表达形式不唯一)
该等式是正确的,证明如下:
sin2α+cos2(α+30°)+sin
αcos(α+30°)=sin2α+(cos
αcos
30°-sin
αsin
30°)2+sin
α(cos
αcos
30°-sin
αsin
30°)=sin2α+sin
α·cos
α-sin2α=sin2α+cos2α+sin2α-sin
αcos
α+sin
αcos
α-sin2α=(sin2α+cos2α)=.
10.由下列各式:
1>;
1+>1;
1+;
1++…+>2.
请你归纳出一般结论.
解:将题中所给四个式子变形;
1+;
1+;
1++…+.
归纳概括,猜测得1++…+.
二、B组
1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……,可以得出的一般结论是( )
A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2
B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2
D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2
解析:观察各式很容易发现规律:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
答案:B
2.观察下列数表规律
则数2
017的箭头方向是( )
答案:C
3.图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去,则在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )
A.25
B.66
C.91
D.120
解析:图(1)有1个小正方体木块,图(2)有(2+1×4)个小正方体木块,图(3)有[3+(1+2)×4]个小正方体木块,按照前三个图所反映出来的规律,归纳推理可知,第七个叠放的图形中小正方体木块数应是7+(1+2+3+…+6)×4=91.故选C.
答案:C
4.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos
x)'=-sin
x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
解析:由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,
∴g(-x)=-g(x),选D.
答案:D
5.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……根据上述规律,第四个等式为 .?
解析:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,……,
所以13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.
答案:13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2
6.设{an}是首项为1的正数项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N+),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为 .?
解析:由首项为1,得a1=1;
当n=1时,由2-1+a2=0,得a2=;
当n=2时,由3-2a3=0,
即6+a3-1=0,解得a3=;
……
归纳猜想该数列的通项公式为an=(n∈N+).
答案:an=(n∈N+)
7.导学号18334025根据图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为 .?
解析:分别求出前4个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29.
因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以猜想第8个图形中线段的条数为28+1-3=509.
答案:509
8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4,a5;
(2)归纳猜想通项公式an.
解:(1)当n=1时,a2=2a1+1=2×1+1=3,
当n=2时,a3=2a2+1=2×3+1=7,
同理可得a4=15,a5=31.
(2)由于a1=1=21-1,a2=3=22-1,
a3=7=23-1,a4=15=24-1,
a5=31=25-1,
所以可归纳猜想an=2n-1(n∈N+).
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且Sn++2=an(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
∴Sn++2=Sn-Sn-1.
∴+Sn-1+2=0.
当n=1时,S1=a1=-;
当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;
当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;
当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-.
猜想:Sn=-(n∈N+).第3课时 推理与证明
课后训练案巩固提升
一、A组
1.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a证明∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B,∴aA.大前提
B.小前提
C.结论
D.三段论
解析:本题的大前提是在“同一个三角形中,大角对大边”;小前提是“∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B”.
答案:B
2.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的.
第n行有n个数且两端的数均为(n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,……,则第10行第4个数(从左往右数)为( )
A.
B.
C.
D.
解析:依题意,结合所给的数阵,归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于,第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于,第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于.
答案:C
3.若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x,y都成立,则实数a的取值范围是( )
A.a≥0
B.a≥1
C.a≥2
D.a≥3
解析:原不等式可化为a≥-x2-2x-y2-2y=2-[(x+1)2+(y+1)2].
因为(x+1)2+(y+1)2≥0,所以2-[(x+1)2+(y+1)2]≤2,
所以使不等式恒成立的a的取值范围是a≥2.
答案:C
4.已知n∈N+,设平面上的n个椭圆最多能把平面分成an部分,且a1=2,a2=6,a3=14,a4=26,……,则an= .?
解析:观察规律可知an-an-1=(n-1)×4,利用累加法可得an=2n2-2n+2.
答案:2n2-2n+2
5.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值x1,x2,…,xn总满足≤
f称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sin
x在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin
A+sin
B+sin
C的最大值是 .?
解析:因为
≤f,
f(x)=sin
x在(0,π)上是凸函数,
所以f(A)+f(B)+f(C)≤3f,
即sin
A+sin
B+sin
C≤3sin
,
所以sin
A+sin
B+sin
C的最大值是.
答案:
6.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)>0是假命题,f(2)>0是真命题,那么实数m的取值范围是 .?
解析:依题意,
∴3≤m<8.
答案:[3,8)
7.给出一个“三角形”的数表如下:
此表构成的规则是:第一行是0,1,2,…,999,以后下一行的数是上一行相邻两个数的和.问:第四行的数中能被999整除的数是哪一项?
解:首先找出第四行数的构成规律.通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从上表看出:如果用an表示第四行的第n个数,那么an=8n+4.现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数.注意到第四行中最大的数是7
980<999×8,所以k=4.
由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3
996,它是第四行的第(3
996-4)÷8=499(项),即a499=3
996.
8.导学号18334063已知函数f(x)=ax3-x2+1(x∈R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f(2)=3,f'(x)=3x2-3x,f'(2)=6,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(2)f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1),
令f'(x)=0,解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论:
①若0x
0
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
当x∈时,f(x)>0等价于
即
解不等式组得-5②若a>2,则0<,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
0
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当x∈时,f(x)>0等价于
解不等式组得综合①和②,可知a的取值范围为0二、B组
1.在平面直角坐标系xOy中,满足x2+y2≤1,x≥0,y≥0的点P(x,y)的集合对应的平面图形的面积为;类似地,在空间直角坐标系O-xyz中,满足x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0的点P(x,y,z)的集合对应的空间几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
解析:在平面直角坐标系xOy中,满足x2+y2≤1,x≥0,y≥0的点P(x,y)的集合对应的平面图形的面积为以原点为圆心,半径为1的圆的面积的,即;当x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0时,点P(x,y,z)的集合对应的空间几何体的体积为以(0,0,0)为球心,半径为1的球的体积的,即π=.
答案:B
2.(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)若a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是( )
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)的假设正确,(2)的假设错误
C.(1)与(2)的假设都正确
D.(1)的假设错误,(2)的假设正确
解析:(1)的结论的否定应该是p+q>2,故错;(2)的否定是方程的两根至少有一个大于或等于1,故(2)正确.
答案:D
3.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49
B.62,63
C.75,76
D.84,85
解析:由已知图形中座位的排列顺序,可得被5除余1的数,和能被5整除的座位号临窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号,只有D符合条件.故选D.
答案:D
4.如图所示是一个有n层(n≥2,n∈N+)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,……,第n层每边有n个点,则这个点阵共有 个点.?
解析:设第n层共有an个点,结合图形可知a1=1,a2=6,……,an+1=an+6(n≥2,n∈N+),
则an=6+(n-2)×6=6n-6(n≥2,n∈N+),前n层所有点数之和为
Sn=1+=3n2-3n+1,
故这个点阵共有(3n2-3n+1)个点.
答案:(3n2-3n+1)
5.定义运算“?”:x?y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为 .?
解析:∵x?y=,∴x?y+(2y)?x=.
其中x>0,y>0,当且仅当x2=2y2,即x=y时等号成立.
答案:
6.给出下列命题:
①双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;
②过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=x;
③已知双曲线C:=1,若它的离心率为,则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x;
④椭圆=1的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上的动点,△PF1F2的面积的最大值为2,则m的值为2.
其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)?
解析:①因为两曲线的焦点都在x轴上,半焦距c相等都是,所以双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点,正确;
②过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=x或x2=4y,不正确;
③已知双曲线C:=1,若它的离心率为,则=2,
∴双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,正确;
④由解析式知,半焦距为1,△PF1F2的面积的最大值为2,即bc=2,可得b=2,故m=4,不正确.
答案:①③
7.已知函数f(x)=x2+aln
x(a∈R).
(1)若f(x)在[1,e]上是增函数,求a的取值范围.
(2)若a=1,1≤x≤e,证明f(x)解:(1)因为f'(x)=x+,且f(x)在[1,e]上是增函数,所以f'(x)=x+≥0在[1,e]上恒成立,
即a≥-x2在[1,e]上恒成立,所以a≥-1.
(2)当a=1时,f(x)=x2+ln
x,x∈[1,e],
令F(x)=f(x)-x3=x2+ln
x-x3,
又F'(x)=x+-2x2=≤0,
所以F(x)在[1,e]上是减函数,
所以F(x)≤F(1)=<0,
所以x∈[1,e]时,f(x)8.导学号18334064已知f(x)=x2+px+q,求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)若|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>2,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
证明:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,
则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<+2×=2.
这与已知条件|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>2矛盾,从而假设不成立,原命题成立.(共30张PPT)
第3课时 推理与证明
知识网络
要点梳理
思考辨析
答案:①归纳
②特殊
③演绎
④已知条件
⑤分析法
⑥反证法
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法;
①综合法是从已知条件推出结论的证明方法;
②分析法是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是反证法,是从结论反面成立出发,推出矛盾的方法.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)综合法证明的依据是三段论.
( )
(2)分析法与综合法证明同一个问题时,一般思路恰好相反,过程相逆.
( )
(3)进行类比推理时,只要抓住一点表面的相似甚至假象就可以进行类比.
( )
(4)进行类比推理时,可以从处理一类问题的方法入手进行类比.
( )
(5)进行归纳推理时,要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式,以便于作出归纳猜想.
( )
(6)推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步.
( )
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要点梳理
思考辨析
(7)当演绎推理的前提为真时,结论一定为真.
( )
(8)合情推理得到的结论可能为真也可能为假.
( )
(9)用反证法证明数学命题时,可以不把反设作为推理依据.
( )
(10)分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可,而不是充要条件.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (7)√ (8)√ (9)× (10)√
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专题一 合情推理
【例1】
(1)有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…….则观察每组内各数之和f(n)(n∈N+)与组的编号数n的关系式为 .?
(2)若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,则有性质“若Sm=Sn
(m,n∈N+,且m≠n),则Sm+n=0.”类比上述性质,相应地,当数列{bn}为等比数列时,写出一个正确的性质:
.?
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高考体验
解析:(1)由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33,
13+15+17+19=64=43,……,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.
(2)在等差数列中,若Sm=Sn,不妨设m即am+1+an=0.
相应地,在等比数列中,设Tm表示数列{bn}前m项的积,
若Tm=Tn,不妨设m则bm+1·bm+2·…·bn=1,所以bm+1·bn=1,
所以Tm+n=b1·b2·b3·…·bm+n=1.
答案:(1)f(n)=n3 (2)数列{bn}为等比数列,Tm表示其前m项的积,若Tm=Tn(m,n∈N+,且m≠n),则Tm+n=1
专题归纳
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反思感悟1.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,常见的归纳推理题目主要涉及两个类型:数的归纳和形的归纳,其求解思路如下:
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质;
(2)由相同性质猜想得出一般性结论.
需特别注意一点,由归纳猜想得出的结论未必正确,常需要严格的推理证明.
2.类比推理是由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理.显然其特征是由特殊到特殊的推理,常见的类比情形有:平面与空间类比,向量与数的类比,不等与相等类比,等差数列与等比数列的类比等等.
需注意一点,由类比推理得出的结论也未必正确,也需要严格证明.
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变式训练1已知x∈R,且f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=
f(x),得f(x)的一个周期为2;类比上述结论,请写出下列两个函数的一个周期.
(1)已知a为正的常数,x∈R,且f(x+a)=-f(x),求f(x)的一个周期;
(2)已知a为正的常数,x∈R,且f(x+a)=,求f(x)的一个周期.
解:(1)∵f(x+a)=-f(x).
∴f(x+2a)=f(x+a+a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x).
∴f(x)的一个周期为2a.
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专题二 综合法与分析法
【例2】
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,
思路分析:这是一个条件不等式的证明问题,要注意观察不等式的结构特点,合理应用条件a+b+c=1.可用综合法和分析法两种方法证明.
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反思感悟综合法是从已知条件出发,经过逐步推理,最后得到待证的结论;而在分析法中,以结论出发的每一步所得到的都是使结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实或已知.
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变式训练2已知函数
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)证明:f(x)>0.
(1)解:因为2x-1≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
所以f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)证明:因为x≠0,所以当x>0时,2x>1,2x-1>0,x3>0,所以f(x)>0.
当x<0时,-x>0,f(-x)=f(x)>0,所以f(x)>0.
综上可知,f(x)>0.
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专题三 反证法
【例3】
在△ABC中,A,B,C的对边长分别为a,b,c,若a,b,c三边的倒数成等差数列,求证B<90°.
思路分析:直接证明B<90°一定有困难,可考虑利用反证法.
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反思感悟应用反证法证明命题时要注意以下三点:
(1)必须先否定结论.当结论的反面有多种情况时,必须罗列各种情况加以论证,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面进行推理,就不是反证法.
(3)推导出的矛盾多种多样,有的与已知相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与已知事实相矛盾等等,推出的矛盾必须是明显的.
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变式训练3已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
专题归纳
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专题四 转化与化归思想
【例4】
设f(x)=2x2+1,a+b=1,且a,b同号,求证:对任意实数p,q恒有af(p)+bf(q)≥f(ap+bq)成立.
证明:∵f(x)=2x2+1,a+b=1,
∴af(p)+bf(q)=a(2p2+1)+b(2q2+1),
f(ap+bq)=2(ap+bq)2+1.
又af(p)+bf(q)-f(ap+bq)
=a(2p2+1)+b(2q2+1)-2(ap+bq)2-1
=2ap2+2bq2-2a2p2-4abpq-2q2b2
=2ap2(1-a)+2bq2(1-b)-4abpq
=2abp2+2abq2-4abpq=2ab(p-q)2.
因为a,b同号,所以2ab(p-q)2≥0.
所以原不等式成立.
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反思感悟1.所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时,采用某种手段将问题通过变换、转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.一般是将复杂的问题进行变换,转化为简单的问题,将较难的问题通过变换,转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.
2.本章内容中转化与化归思想主要应用于以下几个方面:归纳推理中由个别到一般的转化;演绎推理中一般到特殊的转化;分析法中结论与条件的转化;反证法中正难则反的转化;数学归纳法中无限与有限的转化等.
专题归纳
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变式训练4已知数列{an}满足:a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4;
(2)由(1)的结果猜想an用n表示的表达式.(不证明)
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考点一:合情推理
1.(2017全国Ⅱ高考)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析:因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.
答案:D
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4.(2016课标甲高考)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .?
解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.
综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.
答案:1和3
专题归纳
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考点二:反证法
5.(2014山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是
( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
解析:“至少有一个”的否定为“没有”.
答案:A
专题归纳
高考体验
考点三:新定义
解析:A={(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0)}.
如图,B中元素共25个.
专题归纳
高考体验
答案:C
专题归纳
高考体验
7.(2015福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N+),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于 .
专题归纳
高考体验§4 反证法
课后训练案巩固提升
一、A组
1.用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,下列假设正确的是( )
A.假设a,b,c都小于0
B.假设a,b,c都大于0
C.假设a,b,c都不大于0
D.假设a,b,c中至多有一个大于0
解析:“至少有一个”的反面是“一个也没有”,故“a,b,c中至少有一个大于0”的反面是“a,b,c都不大于0”.
答案:C
2.“已知:在△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
(1)所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾;
(2)所以∠B<90°;
(3)假设∠B≥90°;
(4)由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A.(1)(2)(3)(4)
B.(4)(3)(2)(1)
C.(3)(4)(1)(2)
D.(3)(4)(2)(1)
解析:根据反证法证题的步骤可知选C.
答案:C
3.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可以作为条件使用的是( )
①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②④
解析:考查反证法的基本思想.
答案:C
4.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,则这个三角形的形状是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
解析:分△ABC的直线只能过一个顶点,且与对边相交,如直线AD(点D在BC上),则∠ADB+∠ADC=π.若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时,才符合题意.
答案:B
5.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b为实数)”,其“假设”为 .?
解析:“a,b全为0”即“a=0,且b=0”,因此它的反面应为“a≠0或b≠0”,即a,b不全为0.
答案:a,b不全为0
6.有下列叙述:①“a>b”的反面是“ay或x解析:①错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;④错,应为三角形的内角中有两个或三个钝角.
答案:②
7.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1为 三角形,△A2B2C2为 三角形(填“锐角”或“钝角”).?
解析:由△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,可知△A1B1C1为锐角三角形.则由题意,知△A2B2C2为锐角三角形或钝角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形,由
∴A2+B2+C2=与A2+B2+C2=π矛盾.
∴△A2B2C2是钝角三角形.
答案:锐角 钝角
8.导学号18334036证明对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l
与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=ax(a为常数)对称.
证明:假设存在实数k,使得点A,B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点A,B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点在直线y=ax上.
所以
由②③,得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2.
④
由得(3-k2)x2-2kx-2=0,
因此x1+x2=,将其代入④,得ak=3.
这与①矛盾,所以假设不成立.因此不存在实数k,使得点A,B关于直线y=ax对称.
二、B组
1.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法证明a>0,b>0,c>0时的“假设”为( )
A.a<0,b<0,c<0
B.a≤0,b>0,c>0
C.a,b,c不全是正数
D.abc<0
解析:“a>0,b>0,c>0”即“a,b,c都是正数”,因此其否定应为“a,b,c不全是正数”.
答案:C
2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的“假设”为 .?
解析:反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP
3.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.
∴a=b=c.
这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此,假设不成立.
故由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
4.导学号18334037用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
解:已知:在△ABC中,∠BAC>90°,D是BC的中点,求证:AD证明如下:假设AD≥BC.
(1)若AD=BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,则这条边所对的角为直角”知∠BAC=90°,与题设矛盾,所以AD≠BC.
(2)若AD>BC,因为BD=DC=BC,
所以在△ABD中,AD>BD,
从而∠B>∠BAD;
同理∠C>∠CAD.
所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,
即∠B+∠C>∠BAC.
因为∠B+∠C=180°-∠BAC,
所以180°-∠BAC>∠BAC,
则∠BAC<90°,与题设矛盾.
由(1)(2)知AD(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四个面 .”( )?
A.各正三角形内一点
B.各正三角形的某高线上的点
C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析:正三角形的边对应正四面体的面,边的中点对应正四面体的面的中心.
答案:C
2.用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:
①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;
②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;
③假设直线AC,BD是共面直线.
则正确的序号顺序为( )
A.①②③
B.③①②
C.①③②
D.②③①
解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为③①②.
答案:B
3.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得点P的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析:由归纳推理的特点知,选B.
答案:B
4.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足[f(x)]y=f(xy)”的是( )
A.指数函数
B.对数函数
C.一次函数
D.余弦函数
解析:当函数f(x)=ax(a>0,a≠1)时,对任意的x>0,y>0,有[f(x)]y=(ax)y=axy=f(xy),即指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足[f(x)]y=f(xy),可以检验,B,C,D选项均不满足要求.
答案:A
5.观察下列各等式:=2,=2,=2,=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( )
A.=2
B.=2
C.=2
D.=2
解析:观察分子中2+6=5+3=7+1=10+(-2)=8.
答案:A
6.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
证明过程如下:
因为a,b,c∈R,
所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.
又因为a,b,c不全相等,
所以以上三式至少有一个“=”不成立,
所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.
此证法是( )
A.分析法
B.综合法
C.分析法与综合法并用
D.反证法
解析:由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义,故选B.
答案:B
7.(2017年广西南宁市高三上学期一模)给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin
x-cos
x的“拐点”是M(x0,f(x0)),则点M( )
A.在直线y=-3x上
B.在直线y=3x上
C.在直线y=-4x上
D.在直线y=4x上
解析:f'(x)=3+4cos
x+sin
x,f″(x)=-4sin
x+cos
x,由f″(x)=-4sin
x+cos
x=0,得4sin
x0-cos
x0=0,所以f(x0)=3x0+4sin
x0-cos
x0=3x0,所以点M(x0,f(x0))在直线y=3x上,故选B.
答案:B
8.(2016北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析:若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.
答案:B
9.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,……,猜想第n(n∈N+)个等式应为( )
A.9(n+1)+n=10n+9
B.9(n-1)+n=10n-9
C.9n+(n-1)=10n-1
D.9(n-1)+(n-1)=10n-10
解析:先观察已知等式的左边,可得第n(n∈N+)个等式的左边应为9(n-1)+n;再观察已知等式的右边结果1,11,21,31,…,知它们构成以1为首项,10为公差的等差数列,所以第n(n∈N+)个等式的右边应为1+10(n-1)=10n-9,故选B.
答案:B
10.如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,Pi(i=1,2,3,…)分别是所在线段的中点,则线段P7P8的长为( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为正方形ABCD的边长为1,
又P1,P2,P3分别是BC,CD,DA的中点,
所以P1P2⊥P2P3,且P1P2=P2P3=.
所以P2P5=,连接P3P5,
则P3P5=
=,
因为P7,P8分别是P3P4,P4P5的中点,
所以P7P8∥P3P5,且P7P8=P3P5=.
答案:A
11.在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),…,按此规律一直运动下去,则a2
017+a2
018+a2
019=( )
A.1
006
B.1
007
C.1
008
D.1
009
解析:依题意a1=1,a2=1;a3=-1,a4=2;a5=2,a6=3;……归纳可得a1+a3=1-1=0,a5+a7=2-2=0,…,进而可归纳得a2
017+a2
019=0,a2=1,a4=2,a6=3,…,进而可归纳得a2
018=×2
018=1
009,a2
017+a2
018+a2
019=1
009.
答案:D
12.导学号18334041(2017湖北武汉武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析:这四人的供词中,都提到乙,我们假设乙是罪犯,那么,甲和丙的供词是真话,乙和丁的供词是假话,符合题意.假设成立.
如果我们假设其他人为罪犯,如果罪犯是丙,那么,说真话的就有甲、乙、丁三人;如果罪犯是丁,那么,说真话的只有甲;如果罪犯是甲,那么说真话的只有丙;后面三个假设都与题目要求不符合,假设不成立.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质,可以得到椭圆=1类似的性质为 .?
解析:圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆=1类似的性质为:过椭圆=1上一点P(x0,y0)的切线方程为=1.
答案:经过椭圆=1上一点P(x0,y0)的切线方程为=1
14.(2017年湖南省长沙市长郡高三上学期第三次月考)设函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
……
根据以上事实,当n∈N+时,由归纳推理可得:fn(1)= .?
解析:通过条件归纳推理可知
fn(x)=,
∴fn(1)=,
故填.
答案:
15.当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当n∈N+时,你能得到的结论是 .?
解析:根据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,
当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,
当n∈N+时,左边第二个因式可知为an+an-1b+…+abn-1+bn,那么对应的表达式为(a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1.
答案:(a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1
16.导学号18334042如果一个凸多面体是n(n∈N+)棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条,这些直线共有f(n)对异面直线,则f(4)= ,f(n)= .(答案用数字或n的解析式表示)?
解析:所有顶点所确定的直线共有棱数+底边数+对角线数=n+n+.
从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)=4×2+×2=12,
所以f(n)=n(n-2)+·(n-2)=.
答案: 12
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)·(x2+y2-1)-18≤0.
(1)求x2+y2的取值范围;
(2)求证:xy≤2.
(1)解:由(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,
得(x2+y2+5)(x2+y2-4)≤0.
因为x2+y2+5>0,
所以有0≤x2+y2≤4,
即x2+y2的取值范围为[0,4].
(2)证明:由(1)知x2+y2≤4,
由基本不等式得xy≤=2,
所以xy≤2.
18.(12分)观察以下各等式:
sin230°+cos260°+sin
30°cos
60°=,
sin220°+cos250°+sin
20°cos
50°=,
sin215°+cos245°+sin
15°cos
45°=.
分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.
解:猜想:sin2α+cos2(α+30°)+sin
αcos(α+30°)=.
证明如下:
sin2α+cos2(α+30°)+sin
αcos(α+30°)
=sin2α++sin
α
=sin2α+cos2α-sin
αcos
α+sin2α+sin
α·cos
α-sin2α
=sin2α+cos2α=.
19.(12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证:CC1⊥MN;
(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.
解:(1)证明因为PM⊥BB1,PN⊥BB1,
又PM∩PN=P,
所以BB1⊥平面PMN,所以BB1⊥MN.
又CC1∥BB1,所以CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有-2cos
α.
其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角.
证明如下:
因为CC1⊥平面PMN,所以上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中,因为PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP,
所以PM2·C=PN2·C+MN2·C-2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP.
由于=PN·CC1,=MN·CC1,=PM·BB1=PM·CC1,
所以-2·cos
α.
20.(12分)(2015陕西高考)如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
(1)证明CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.
(1)
证明:在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC.
即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
从而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1),A1O⊥BE,
所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.
21.导学号18334043(12分)已知a,b,c都是不为零的实数,求证:a2+b2+c2>(ab+bc+ca).
证明:要证a2+b2+c2>(ab+bc+ca),
只需证5(a2+b2+c2)>4(ab+bc+ca),
只需证5a2+5b2+5c2-(4ab+4bc+4ca)>0,
只需证(a2-4ab+4b2)+(b2-4bc+4c2)+(c2-4ca+4a2)>0,
只需证(a-2b)2+(b-2c)2+(c-2a)2>0.
因为(a-2b)2≥0,(b-2c)2≥0,(c-2a)2≥0,
且这三个不等式中等号不可能同时成立(若同时成立等号,则必有a=b=c=0),
所以(a-2b)2+(b-2c)2+(c-2a)2>0,
所以原不等式成立.
22.导学号18334044(12分)已知函数f(x)=xcos
x-sin
x+1(x>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)记xi为f(x)从小到大的第i(i∈N+)个零点,证明对一切n∈N+,有+…+.
解:(1)f'(x)=cos
x-xsin
x-cos
x=-xsin
x.
令f'(x)=0,得x=kπ(k∈N+).
当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sin
x>0,此时f'(x)<0;
当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sin
x<0,此时f'(x)>0.
故f(x)的减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).
(2)由(1)知,f(x)在区间(0,π)内是减少的.
又f=0,故x1=.
当n∈N+时,因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)nnπ+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,
且函数f(x)的图像是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内是单调的,故nπ因此,
当n=1时,;
当n=2时,(4+1)<;
当n≥3时,+…+
<
<
=
=.
综上所述,对一切n∈N+,+…+.(共23张PPT)
§2 数学证明
一、演绎推理
二、三段论
名师点拨1.演绎推理的特点
(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理的结论是蕴涵于前提之中的个别特殊事实.
(2)在演绎推理中,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理形式是正确的,结论必定是正确的.
2.对三段论的理解
(1)三段论推理的依据:用集合观点来讲,就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,则S中所有元素也都具有性质P.
(2)应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.
(3)应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提是人们熟知的,那么可以省略不写.
【做一做】
(1)“因为我们是共青团员,所以我们要在学习和工作中起带头作用”,它的大前提是( )
A.我们是共青团员
B.我们在学习和工作中起带头作用
C.共青团员应在学习和工作中起带头作用
D.以上都不是
(2)用三段论证明命题:“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个推理( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.是正确的
解析:(1)通过三段论的形式可以看出,本题的大前提已经省略,小前提为:我们是共青团员;结论为:我们要在学习和工作中起带头作用.故大前提应为:共青团员应在学习和工作中起带头作用.
(2)这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”,小前提是“a是实数”,结论是“a2>0”.显然这是个错误的推理,究其原因,是大前提错误,尽管推理形式是正确的,但是结论是错误的.
答案:(1)C (2)A
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)演绎推理的结论一定正确.
( )
(2)演绎推理的一般模式是“三段论”形式.
( )
(3)三段论中,大前提正确,小前提正确,推理过程正确,则结论正确.
( )
(4)演绎推理得到的结论的正确性与大前提、小前提和推理形式有关.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对三段论的理解
【例1】
将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的底角,则∠A=∠B;
(2)通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.
思路分析:分清楚三段论中的大前提、小前提、结论是解题的关键,为此要抓住它们的含义,即大前提——已知的一般原理,小前提——所研究的特殊情况,结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)等腰三角形的两底角相等,(大前提)
∠A,∠B是等腰三角形的底角,(小前提)
∠A=∠B.(结论)
(2)数列{an}中,若当n≥2时,an-an-1为常数,
则{an}为等差数列,(大前提)
当通项公式为an=2n+3时,
an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),(小前提)
通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.(结论)
反思感悟1.用三段论写演绎推理的过程,关键是明确大前提、小前提,大前提提供了一个一般性的原理,在演绎推理的过程中往往省略,而小前提指出了大前提下的一个特殊情况,只有将二者结合起来才能得到完整的三段论.
2.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线相互垂直.
(2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则此两角不是对顶角.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在几何证明中的应用
【例2】
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.
求证:(1)A1B⊥AD;
(2)CE∥平面AB1D.
思路分析:(1)为了证明A1B⊥AD,可证A1B⊥平面AB1D,连接DG,显然A1B⊥AB1,所以只需证明A1B⊥DG,可利用△A1DB是等腰三角形以及G是A1B中点得证.
(2)要证CE∥平面AB1D,只需证CE与平面AB1D内的一条直线(DG)平行即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:(1)连接A1D,DG,BD.
如图所示,∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,
∴四边形A1ABB1为正方形,
∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点,
∴△A1C1D≌△BCD.
∴A1D=BD.
∵G为A1B的中点,∴A1B⊥DG.
又∵DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D.
又∵AD?平面AB1D,∴A1B⊥AD.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)连接GE,则EG∥A1A,
∴GE⊥平面ABC.
∵DC⊥平面ABC,∴GE∥DC.
∵GE=DC=
a,
∴四边形GECD为平行四边形,
∴EC∥GD.
又∵EC?平面AB1D,DG?平面AB1D,
∴EC∥平面AB1D.
反思感悟1.三段论是最重要且最常用的推理表现形式,我们以前学过的平面几何与立体几何的证明,都运用了这种推理,只不过在利用该推理时,往往省略了大前提.
2.几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,
DE∥BA,求证:ED=AF.
?
证明:因为同位角相等,两直线平行,∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,所以FD∥AE.
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,DE∥BA,且FD∥AE,所以四边形AFDE是平行四边形.
因为平行四边形的对边相等,ED和AF是平行四边形AFDE的对边,所以ED=AF.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在代数证明中的应用
【例3】
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若“当x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1时,有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立”,则称f(x)为“友谊函数”.
(1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值.
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?并给出理由.
(3)已知f(x)为“友谊函数”,且0≤x1思路分析:第(1)问已知f(x)为友谊函数,求f(0)可用赋值法求解;第(2)问给出g(x)解析式和定义区间,判断g(x)是否为友谊函数,需紧扣定义验证g(x)是否满足三个条件;第(3)问要证f(x1)≤f(x2),需依据条件③进行变换,注意条件①在变形中的应用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)取x1=x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0),
∴f(0)≤0,又由f(0)≥0,得f(0)=0.
(2)显然g(x)=2x-1在[0,1]上满足①g(x)≥0;
②g(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,
则有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]
?
=(-1)(-1)≥0.
即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2).
故g(x)=2x-1满足条件①②③,
所以g(x)=2x-1为“友谊函数”.
(3)因为0≤x1所以f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,解决这类问题关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一推理的结论往往会作为下一个三段论的前提.
2.在代数证明问题中,首先找出与物体相关的一般性原理(如基本不等式、函数的性质等),这是大前提,然后利用“三段论”进行推理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知{an}是各项均为正数的等差数列且公差不为0,lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列,又
(n=1,2,3,…).证明{bn}为等比数列.
证明:设各项均为正数的等差数列的公差为d,且d≠0.
∵lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列.
∴2lg
a2=lg
a1+lg
a4,即=a1a4.
由于数列{an}的公差d≠0,
∴(a1+d)2=a1(a1+3d),则d(a1-d)=0.
因此a1=d≠0.
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思维辨析
因推理中大(小)前提错误致误
【典例】
如图,在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上的高,求证:
∠ACD>∠BCD.
易错分析:本题的证明,可以正确运用大前提,即在同一个三角形中,大边对大角,但易忽略AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边,即小前提不成立,致使推理过程错误.
证明:因为CD⊥AB,
所以∠ADC=∠BDC=90°.
所以∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°.
所以∠A-∠B=∠BCD-∠ACD.
在△ABC中,因为AC>BC,
所以∠B>∠A,即∠A-∠B<0,
所以∠BCD-∠ACD<0,
所以∠ACD>∠BCD.
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思维辨析
纠错心得利用三段论推理时,(1)大前提必须是真命题;(2)小前提是大前提的特殊情形.
探究一
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探究三
思维辨析
跟踪训练已知在梯形ABCD中(如图),DC=DA,AD∥BC.
求证:AC平分∠BCD.(用三段论证明)
1.推理:“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形.”中的小前提是( )
A.①
B.②
C.③
D.①②
解析:三段论推理中小前提是指研究的特殊情况.
答案:B
2.关于下面推理结论的错误:“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),又y=lox是对数函数(小前提),所以
是增函数(结论).”下列说法正确的是( )
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误
解析:大前提错误,因为对数函数y=logax(0答案:A
3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理( )
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确
解析:函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提不正确,故选C.
答案:C
4.“一切奇数都不能被2整除,35不能被2整除,所以35是奇数.”把此演绎推理写成三段论的形式为:
大前提:?
小前提:?
结论:?
解析:根据题意可知,此三段论的大前提、小前提和结论分别为:不能被2整除的整数是奇数;35不能被2整除;35是奇数.
答案:不能被2整除的整数是奇数 35不能被2整除 35是奇数习题课——推理与证明的综合应用
课后训练案巩固提升
1.已知a1=1,依次写出a2,a3,…,an(n∈N+)的法则如下:如果an-2为自然数且未写过,则写an+1=an-2,否则就写an+1=an+3,则a6=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析:根据题中法则,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.
答案:C
2.对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是( )
A.25
B.250
C.55
D.133
解析:由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,……因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=672×3,故第2016次操作后得到的数是250.
答案:B
3.对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中,是准偶函数的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=x2
C.f(x)=tan
x
D.f(x)=cos(x+1)
解析:由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图像关于x=a(a≠0)对称,则f(x)为准偶函数,在D中f(x)=cos(x+1)的图像关于x=kπ-1(k∈Z)对称,故选D.
答案:D
4.(河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试(一))6月23日15时前后,江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.
(1)甲轻型教授队所在方向不是C方向,也不是D方向;
(2)乙轻型教授队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(3)丙轻型教授队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(4)丁轻型教授队所在方向不是A方向,也不是D方向.
此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向.有下列判断:
①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.
其中判断正确的序号是 .?
解析:由(1)知,甲选A或B;由(2)知,乙选C或D;由(3)知,丙选C或D;由(4)知,丁选C或B;由于:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,故丙所在方向是D方向.
答案:③
5.(北京市2017届高三入学定位考试)小明在学校组织了一次访谈,全体受访者中,有6人是学生,4人是初中生,2人是教师;5人是乒乓球爱好者,2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知,此次访谈中受访者最少有 人;最多有 人.?
解析:由题意得当乒乓球爱好者和篮球爱好者均和老师与学生重复时,人数最少,为6+2=8人,当乒乓球爱好者和篮球爱好者与老师和学生都不重复时,人数最多,为6+2+5+2=15人,故答案为8,15.
答案:8 15
6.(山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第一次月考(开学考))观察下图:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第 行的各数之和等于2
0172.?
解析:因为此图各行的数字排列规律是:第n行第一个数是n,该行共有(2n-1)个数,构成以1为公差的等差数列,所以第n行的各数之和为(2n-1)n+=4n2-4n+1,令4n2-4n+1=2
0172,则2n-1=2
017,n=1
009,故答案为1
009.
答案:1
009
7.(北京市2017届高三入学定位考试)网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.
脚的长度与鞋号对照表
中国鞋码实际标注(同国际码)mm
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
中国鞋码习惯叫法(同欧码)
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
从上述表格中可以推算出30码的童鞋对应的脚的长度为 ;若一个篮球运动员的脚长为282
mm,则他该穿 码的鞋.?
解析:观察题中表格可知,码=实际标注×0.2-10,故30码的童鞋对应的脚的长度为200
mm,当脚长为282
mm时,对应的码282×0.2-10=46.4,应穿47码的鞋,故答案为200
mm,47.
答案:200
mm 47
8.(广东省惠州市2017届高三第一次调研考试)给出下列不等式:
1+>1,
1++…+,
1++…+>2,
……
则按此规律可猜想第n个不等式为 .?
解析:观察不等式左边最后一项的分母3,7,15,…,通项为2n+1-1,不等式右边为首项为1,公差为的等差数列,故猜想第n个不等式为1++…+.
答案:1++…+
9.设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:
(1)a>0,且-2<<-1.
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
证明:(1)因为f(0)>0,f(1)>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
因为a+b+c=0,消去b得a>c>0,
再由条件a+b+c=0,
消去c得a+b<0且2a+b>0,
所以-2<<-1.
(2)因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为,
又因为-2<<-1,
所以<-.
因为f(0)>0,f(1)>0,
而f=-<0,
所以方程f(x)=0在区间内分别有一实根,故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
10.导学号18334040(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.
解:(1)x是正实数,由基本不等式,得x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥2.
故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3(当且仅当x=1时等号成立).
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.
由(1)知,当x>0时,不等式成立;
当x≤0时,8x3≤0,而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)·≥0,此时不等式仍然成立.