1.3 线段的垂直平分线 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
数学教学PPT
北师大版
八年级下
三
角
形
的
证
明
线段的垂直平分线(1)
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
A
B
脑洞时刻
线段垂直平分线的性质：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．
N
A
P
B
C
M
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)
；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
脑洞时刻
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
小试牛刀
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，
PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
C
B
P
A
大放异彩
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
C
B
P
A
大放异彩
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
C
B
P
A
大放异彩
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)，∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
已知：如图
1-18，在
△ABC
中，AB
=
AC，O
是
△ABC
内一点，且
OB
=
OC.
求证：直线
AO
垂直平分线段BC．
证明：延长AO交BC于点D，在△ABO和△ACO中，
AB＝AC
，AO＝AO
，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．BD=CD.
即直线
AO
垂直平分线段BC．
拓展练习
一、线段垂直平分线的性质定理．
课堂小结
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定定理．
课堂小结
垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点;
（2）直线⊥线段。
定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
三、垂直平分线的定义．
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
三
角
形
的
证
明
线段的垂直平分线(2)
习题1．7的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
问题导入
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．
Q
P
N
M
F
E
C
B
A
O
问题导入
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O求证：O点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AO，BO，CO．
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端
点的距离相等)．
C
B
A
O
探究新知
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O求证：O点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AO，BO，CO．
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点
距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O
C
B
A
O
探究新知
思考一：已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．
1
A
D
C
B
A
a
h
(
)
D
C
B
A
a
h
1
A
D
C
B
A
a
h
1
A
探究新知
思考二：已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．
探究新知
思考三：已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
探究新知
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h；求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
N
M
D
C
B
a
h
A
拓展练习
作法：1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点
4．连接AB、AC；∴△ABC就是所求作的三角形
求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．
已知：线段a．
求作：等腰直角三角形ABC使BC=a．
作法：1．作线段BC=a
　　　2．作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D．
　　　3．在L上作线段DA，使DA=DB．
　　　4．连接AB，AC．
　　　∴△ABC为所求的等腰直角三角形．
拓展练习
定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
三角形三边的垂直平分线的性质定理
课堂总结
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