1.4 角平分线的性质（第1课时 ） 角平分线的性质定理及其逆定理 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
角平分线的性质定理及其逆定理
第1章
直角三角形
湘教版·八年级数学下册
上课课件
学习目标
【知识与技能】
让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
【过程与方法】
经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.
【情感态度】
激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.
【教学重点】
领会角的平分线的两个互逆定理
【教学难点】
两个互逆定理的实际应用
复习导入
角平分线的概念
O
B
C
A
1
2
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.
尺规做角的平分线
N
M
C
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
2.分别以M，N为圆心．大于
MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
3.作射线OC．
射线OC即为所求．
动动手:
将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母:
①将∠AOB对折，记折痕为OC
；
②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形；
③展开，观察分析；
探究新知
A
O
B
A
O
C
（B）
A
D
O
P
C
E
B
A
O
C
（B）
P
交流探究
问题一：第一条折横分得的两个角的大小有什么关系？
问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系
?它们的长度有什么关系？
问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗?
问题四：你能证明你的结论吗？
探究新知
A
O
B
A
O
C
（B）
A
D
O
P
C
E
B
A
O
C
（B）
P
一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下步骤进行.即:
1.明确命题中的条件和结论；
2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，写出证明过程.
探究新知
A
O
B
A
O
C
（B）
A
D
O
P
C
E
B
A
O
C
（B）
P
探究新知
将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.
你能证明吗？
如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?
A
D
O
P
C
E
B
图1-26
由此得到角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究新知
如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=
90°.
在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO.
∴PD=
PE.
A
D
O
P
C
E
B
图1-26
探究新知
如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?
A
D
O
P
C
E
B
图1-26
由此得到角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB.
∴
PD=PE.
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗?
如图1-27，
点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
证明：如图1-27，过点O,
P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=
∠PEO=
90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=
OP，PD=PE,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.
∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
A
D
O
P
C
E
B
由此得到角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
图1-27
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗?
如图1-27，
点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
A
D
O
P
C
E
B
图1-27
由此得到角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：
∵
PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴
OP平分∠AOB．
图形
名称
图形语言
文字语言
符号语言
关键词
角平分线
性质定理
逆定理
P
C
∵OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
∴PD=PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
一平分，
两个垂直，
得一个相等.
P
C
∴OP平分∠AOB
∵PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
两个垂直，
一个平分，
得一个相等.
归纳小结
例
1
如图1-28，
∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
(1)求证:
点B在∠ADC的平分线上;
(2)求证:
BD平分∠ABC.
探究新知
证明：（1）在△ABC中，
∵∠l=∠2，∴BA
=
BC.
又BA⊥AD，
BC⊥CD，
∴点B在∠ADC的平分线上.
（2）在Rt△BAD和Rt△中，
∵BA=BC，BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴∠ABD=∠CBD.
∴BD平分∠ABC.
巩固练习
1.
如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.
E
F
C
P
解：
巩固练习
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
BD=CD.
求证:
AB=AC.
证明：∵AD为∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF.
又BD=CD，
∴
Rt△BED≌Rt△CFD.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC
(等角对等边).
巩固练习
1.
如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处O点为500m，在图上标出它的位置(比例尺为1∶20000).
解：
500÷20000=0.025m,
0.025m=2.5cm
图上距离为2.5cm.
E
F
C
P
点P即为所求．
巩固练习
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8
m，DC=
AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离.
解：
课堂小结
角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
课堂小结
角平分线
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
定理
逆定理
直
角
三
角
形
性质
判定
直角三角形两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
勾股定理.
勾股定理逆定理.
定理
逆定理
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
谢谢欣赏
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