1.4 角平分线 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
数学教学PPT
北师大版
八年级下
三
角
形
的
证
明
角平分线
还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?
角平分线上的点到角两边的距离相等．
温故导入
2
1
E
D
C
P
O
B
A
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
2
1
E
D
C
P
O
B
A
小试牛刀
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
你能写出这个定理的逆命题吗?
这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
这是一个真命题吗?
小试牛刀
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠
PEO=90°;
　　　在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE
　　　∴Rt△ODP
≌
Rt△OEP(HL)．
　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
2
1
E
D
C
P
O
B
A
大放异彩
解：
∵DE
⊥
AB，DF
⊥
AC，垂足分别为E，
F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的
E
两边距
离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵
∠BAC=60°，
∴
∠BAD=30°.
在Rt
△
ADE中，
∠AED=90°，AD=10，
∴DE=
2
AD=
2
×10=5（在直角三角形中，
如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角
边等于斜边的一半）.
大放异彩
例题：在
△ABC
中，∠
BAC
=
60°，点
D
在
BC
上，AD
=
10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E，F，且
DE
=
DF，求
DE
的长.
三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?
发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
仔细思考
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．
D
F
E
M
N
C
B
A
P
仔细思考
D
E
F
M
N
C
B
A
P
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，
其中D、E、F是垂足
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
探索求证
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
满足条件共4个
P
1
P
l
3
l
2
1
l
C
B
A
拓展创新
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4
cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．
D
A
B
E
C
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm；∵AC=BC
∴∠B=∠BAC(等边对等角)
∵∠C=90°，∴∠B=1/2×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)∴AC=BC=CD+BD=(4+4)cm．
拓展练习
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4
cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．
D
A
B
E
C
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
拓展练习
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形
锐角三角形
交于三角形内一点
交于三角形内一点
钝角三角形
交于三角形外一点
直角三角形
交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
课堂小结
课堂小结
角平分线上的点到角两边的距离相等．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
(一)角平分线的性质定理
(二)角平分线的判定定理
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
（三）三角形角平分线的性质定理
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