课时分层作业(一)　平面向量的概念 Word版含解析

课时分层作业(一)　平面向量的概念
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一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　
B．1　　　　
C．2　　　　
D．3
3．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)
A．单位圆
B．一段弧
C．线段
D．直线
4.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(　　)
A．12个
B．18个
C．24个
D．36个
5.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)
A．与
B．与
C．与
D．与
二、填空题
6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为________．
7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且||＝2||＝2时，||＝________.
8．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．
三、解答题
9.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
10．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2
000
km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2
000
km到达C地，再从C地按西南方向飞行1
000
km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
11．(多选题)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是
(　　)
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．(A∩B)?{a}
12．(多选题)四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是(　　)
A．||＝||
B．与共线
C．与共线
D．与共线
13.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
14．(一题两空)如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则||＝________.
15．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
答案解析
一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
D　[根据向量的有关概念易判断，D项错误．]
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　
B．1　　　　
C．2　　　　
D．3
B　[①正确．②错误．|a|＝0，则a＝0.③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．]
3．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)
A．单位圆
B．一段弧
C．线段
D．直线
A　[平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．]
4.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(　　)
A．12个
B．18个
C．24个
D．36个
C　[每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．]
5.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)
A．与
B．与
C．与
D．与
B　[向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．]
二、填空题
6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为________．
1　[因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.]
7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且||＝2||＝2时，||＝________.
3或1　[当与同向时，||＝||＋||＝3；
当与反向时，||＝||－||＝1.]
8．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．
③　[①错误，|a|＝时，|a|＜|b|；②错误，a与b的方向关系无法确定；③正确；④错误，|b|＝1.]
三、解答题
9.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
[解]　(1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2
000
km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2
000
km到达C地，再从C地按西南方向飞行1
000
km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
[解]　以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2
000
km.
又∠ACD＝45°，CD＝1
000
km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1
000
km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1
000
km，方向为东南方向.
11．(多选题)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是
(　　)
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．(A∩B)?{a}
ACD　[因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误．]
12．(多选题)四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是(　　)
A．||＝||
B．与共线
C．与共线
D．与共线
ABD　[∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线．又三点D，C，E共线，∴与共线，故A，B，D都正确．故选ABD．]
13.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
12　[根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．]
14．(一题两空)如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则||＝________.
(1)，　(2)6　[(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，.(2)因为||＝3，||＝2||，所以||＝6.]
15．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
[解]　(1)与向量共线的向量有，，.
(2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，因为E，F分别是CD，AB的中点，
所以ED∥BF且ED＝BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故＝.