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2020_2021学年高中数学第二章推理与证明课时素养评价含解析（6份打包）新人教A版选修2_2

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名称	2020_2021学年高中数学第二章推理与证明课时素养评价含解析（6份打包）新人教A版选修2_2
格式	zip
文件大小	1.9MB
资源类型	教案
版本资源	人教新课标A版
科目	数学
更新时间	2021-03-06 21:03:47

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文档简介

课时素养评价十九　数学归纳法
(15分钟　30分)
1.对于不等式),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N
)时,不等式成立,
即则当n=k+1时,=<
==(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式成立.
则上述证法
(　　)
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理过程中未用到(2)中假设,所以不正确.
2.某个与正整数有关的命题:如果当n=k(k∈N
)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得
(　　)
A.当n=4时命题不成立
B.当n=6时命题不成立
C.当n=4时命题成立
D.当n=6时命题成立
【解析】选A.因为当n=k(k∈N
)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立,所以假设当n=4时命题成立,那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立.
3.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取
(　　)
A.2
B.3
C.5
D.6
【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得.
4.已知f(n)=1+++…+(n∈N
),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=
________.?
【解析】因为假设n=k时,f(2k)=1+++…+,当n=k+1时,
f(2k+1)=1+++…+++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…+++…+-
=++…+.
答案:++…+
5.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N
).
求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.
【解析】由已知得2bn=an+an+1,=bnbn+1,a1=2,b1=4,
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,
b4=25.猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,可得结论成立.
②假设当n=k(k∈N
)时,结论成立,
即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么当n=k+1时,
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2),
bk+1===(k+2)2.
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数n都成立.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设f(n)=1++…+(n∈N
),那么f(n+1)-f(n)等于
(　　)
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选D.因为f(n+1)=1++…++,
f(n)=1++…+,所以f(n+1)-f(n)=.
2.下面四个判断中,正确的是
(　　)
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N
)中,当n=1时,式子的值为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N
)中,当n=1时,式子的值为1+k
C.式子1+++…+(n∈N
)中,当n=1时,式子的值为1++
D.设f(n)=++…+(n∈N
),则f(k+1)=f(k)+++
【解析】选C.A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子=1++;D中,f(k+1)=f(k)+++-.
3.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N
)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边
(　　)
A.增加了一项
B.增加了两项,
C.增加了B中两项但减少了一项
D.以上各种情况均不对
【解析】选C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,所以增加了两项,,少了一项.
4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为
(　　)
A.5(5k-2k)+3×2k
B.(5k-2k)+4×5k-2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.2(5k-2k)-3×5k
【解析】选A.假设n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除.当n=k+1时,
5k+1-2k+1=5×5k-2×2k
=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.
5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是
(　　)
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)>k2成立
D.若f(4)=16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
【解析】选D.对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C错误.对于D,f(4)=16≥42,由题设的递推关系,可知结论成立.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+
________.?
【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.
答案:k+1
7.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________.?
答案:1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
8.观察下列等式,照此规律,第n个等式为________.?
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
【解析】将原等式变形如下:
1=1=12
2+3+4=9=32
3+4+5+6+7=25=52
4+5+6+7+8+9+10=49=72
…
由图知,第n个等式的左边有2n-1项,第一个数是n,是2n-1个连续整数的和,则最后一个数为n+(2n-1)-1=3n-2,右边是左边项数2n-1的平方,
故有n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.用数学归纳法证明:1+≤1+++…+≤+n(n∈N
).
【证明】(1)当n=1时,≤1+≤,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N
)时命题成立,即1+≤1+++…+≤+k,
则当n=k+1时,1+++…++++…+>1++2k·=1+.
又1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1),
即n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,命题对所有n∈N
都成立.
10.设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N
.
(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的结论.
【解析】(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=;
a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.
猜想an=(n∈N
).
(2)①易知,n=1时正确.
②假设n=k时正确,即ak=,
则ak+1=f(ak)==
==.
这说明,n=k+1时也正确.
由①②知,对于任意n∈N
,都有an=.
已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当
x∈时,f(x)≥.
(1)求a的值.
(2)设0,
证明:an<.
【解析】(1)由题意,知f(x)=ax-x2
=-+.又f(x)max≤,
所以f=≤.
所以a2≤1.又当x∈时,f(x)≥,
所以即解得a≥1.
又因为a2≤1,所以a=1.
(2)用数学归纳法证明:①当n=1时,0所以0②假设当n=k(k≥2,k∈N
)时,不等式0于是,0,不等式an<成立.
PAGE课时素养评价十八　反　证　法
(15分钟　30分)
1.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”,下列假设中正确的是
(　　)
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个是偶数
D.假设a,b,c至多有两个是偶数
【解析】选B.用反证法证明命题时,“a,b,c中至少有一个是偶数”的反设为假设a,b,c都不是偶数.
2.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是
(　　)
A.有两个内角是钝角
B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角
D.没有一个内角是钝角
【解析】选C.“最多只有一个”的否定是“至少有两个”,故选C.
3.设a,b,c都大于0,则三个数:a+,b+,c+的值
(　　)
A.都大于2
B.至少有一个不大于2
C.都小于2
D.至少有一个不小于2
【解析】选D.假设a+,b+,c+三个数都小于2,则必有a++b++c+<6,而++=++≥2+2+2=6,故二者相矛盾,所以假设不成立.故a+,b+,c+的值至少有一个不小于2.
4.将“函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)>0”反设,所得命题为“____________________”.?
【解析】“至少存在一个”反面是“不存在”.
答案:函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上恒小于等于0
5.设a>0,b>0,且a2+b2=+.证明:a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
【证明】假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,
则有a2+a+b2+b<4.
而由a2+b2=+得,a2b2=1,
因为a>0,b>0,所以ab=1.
因为a2+b2≥2ab=2(当且仅当a=b=1时等号成立),
a+b≥2=2(当且仅当a=b=1时等号成立),
所以a2+a+b2+b≥2ab+2=4(当且仅当a=b=1时等号成立),这与假设矛盾,故假设错误.
所以a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在用反证法证明命题“已知a,b,c∈(0,2),求证a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1”时,反证时假设正确的是
(　　)
A.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都小于1
B.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1
C.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都不大于1
D.以上都不对
【解析】选B.根据反证法的概念可知,命题“已知a,b,c∈(0,2),求证a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1”,反证时假设应为“假设a(2-b),
b(2-c),c(2-a)都大于1”.
2.甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在1,2,3,4,5号房间,现已知:
(1)甲与乙不是邻居;
(2)乙的房号比丁小;
(3)丙住的房是双数;
(4)甲的房号比戊大3.
根据上述条件,丁住的房号是
(　　)
A.2号
B.3号
C.4号
D.5号
【解析】选B.从条件(4)分析知戊只能住1号或2号.假设戊是1号,则甲是4号,由(3)知丙是2号,乙只能与甲是邻居,与(1)矛盾;假设戊是2号,则甲是5号,由(3)知丙是4号,由(1)(2)知乙是1号,从而丁是3号.
3.设a,b,c均是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“P·Q·R>0”是“P,Q,R同时大于零”的
(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.必要性显然成立.充分性:若P·Q·R>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负的一个正的,不妨设P<0,Q<0,R>0.所以a+b4.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且a>b,n∈N
,那么两个数列中序号与数值均相等的项的个数有
(　　)
A.0个
B.1个
C.2个
D.无穷多个
【解析】选A.假设存在序号和数值均相等的项,即存在n使得an=bn,由题意a>b,n∈N
,则恒有an>bn,从而an+2>bn+1恒成立,所以不存在n使得an=bn.
5.对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在“好点”,那么a的取值范围是
(　　)
A.
B.
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选A.假设函数f(x)存在“好点”,即x2+2ax+1=x有解,所以x2+(2a-1)x+1=0.所以Δ=(2a-1)2-4≥0,解得a≤-或a≥.
所以f(x)不存在“好点”时,a∈.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于__________.?
【解析】假设a,b,c都小于,
则a+b+c<1与a+b+c=1矛盾.
故a,b,c中至少有一个不小于.
答案:
7.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)·…·(a7-7)为偶数.
证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.?
【解析】根据题目要求及解题步骤,
因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,
所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数.
即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数.
又因为a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,
所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,
故(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.
所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.
答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
8.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是________.?
【解析】假如甲:我没有偷是真的,则乙:丙是小偷,丙:丁是小偷是假的;丁:我没有偷就是真的,与他们四人中只有一人说真话矛盾.
假如甲:我没有偷是假的,则丁:我没有偷就是真的,乙:丙是小偷,丙:丁是小偷是假的,成立.
所以可以判断偷珠宝的人是甲.
答案:甲
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知直线m与直线a和b分别交于A,B,且a∥b.求证:过a,b,m有且只有一个平面.
【证明】如图所示,因为a∥b,
所以过a,b有一个平面α,又m∩a=A,m∩b=B,
所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.
又A∈m,B∈m,所以m?α.即过a,b,m有一个平面α.
假设过a,b,m还有一个平面β异于平面α,
则a?α,b?α,a?β,b?β,这与a∥b,过a,b有且只有一个平面相矛盾.
因此,过a,b,m有且只有一个平面.
10.用反证法证明:对于直线l:y=x+k,不存在这样的非零实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=-x对称.
【证明】假设存在非零实数k,使得A,B关于直线y=-x对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则线段AB的中点M在直线y=-x上,由得2x2-2kx-1-k2=0.
所以x1+x2=k,可得M.
这与M在直线y=-x上矛盾.所以假设不成立,
故不存在非零实数k,使得A,B关于直线y=-x对称.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且00.
(1)证明:是f(x)=0的一个根.
(2)试比较与c的大小.
(3)证明:-2【思路导引】(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,得出x1=c是f(x)=0的根,再根据根与系数的关系,即可证明是f(x)=0的一个根.(2)利用反证法,假设0,得出f>0,与已知条件矛盾,即可得出>c.(3)由f=0,得ac+b+1=0,所以b=-1-ac,又a>0,c>0,所以b<-1,再根据二次函数的图象与性质,即可证明.
【解析】(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,
所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,
因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根,
又x1x2=,所以x2=,
所以是f(x)=0的一个根.
(2)假设0,
由00,知f>0,与f=0矛盾,所以≥c.
又因为≠c,所以>c.
(3)由f=0,且c≠0得ac+b+1=0,
所以b=-1-ac,
又a>0,c>0,所以b<-1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=-=<=x2=,
即-<,又a>0,所以b>-2,所以-2PAGE课时素养评价十七　分　析　法
(20分钟　35分)
1.当x∈(1,2]时,使不等式x2+mx+4>0恒成立的m的取值范围是
(　　)
A.(-∞,5)
B.(-∞,-5]
C.(3,+∞)
D.(-4,+∞)
【解析】选D.因为x∈(1,2]时,不等式x2+mx+4>0恒成立?x∈(1,2],
m>-x-恒成立?x∈(1,2],m>.由-≤-2=-4,
当且仅当x=,即x=2时=-4,
所以m>-4.
2.设a,b,c,d∈(0,+∞),若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,则有
(　　)
A.ad=bc
B.adC.ad>bc
D.ad≤bc
【解析】选C.由|a-d|<|b-c|得(a-d)2<(b-c)2,即a2+d2-2ad又因为a+d=b+c,所以(a+d)2=(b+c)2,
即a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,②
由①②得-4ad<-4bc,所以ad>bc.
3.-<成立的充要条件是
(　　)
A.ab(b-a)>0
B.ab>0且a>b
C.ab<0且aD.ab(b-a)<0
【解析】选D.-?a-b-3+3<
,
?ab24.某题字迹有污损,大致内容是“已知|x|≤1,■,用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”.估计污损部分的文字内容为
(　　)
A.|x|≤1
B.|y|≤1
C.|x+y|≤1
D.|xy|≤1
【解题指南】本题可用分析法探求条件,先将不等式两边平方,然后再分析.
【解析】选B.要证|x+y|≤|1+xy|,
需证(x+y)2≤(1+xy)2,
化简得x2+y2≤1+x2y2,(x2-1)(1-y2)≤0,
因为|x|≤1,又要使不等式成立,
所以估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”.
5.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的序号是________.?
【解析】要使+≥2只需>0且>0成立即a,b不为0且同号即可,故①③④能使+≥2成立.
答案:①③④
6.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且a,b,c分别为角A,B,C的对边,
求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
【证明】要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,即证+=,
只需证+=3,化简,得+=1,即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c),
所以只需证c2+a2=b2+ac.
因为△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,
所以∠B=60°.所以cos
B==.
所以a2+c2-b2=ac.所以原式成立.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.要证a2+b2-1-a2b2≤0只要证明
(　　)
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.
-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
【解析】选D.a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0.
2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证(　　)
A.a-b>0
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
【解析】选C.由题意知3a2<0?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
3.设x>0,y>0,A=,B=+,则A,B的大小关系为
(　　)
A.A>B
B.A≥B
C.AD.A≤B
【解析】选C.A==+,<,<,
所以+<+,所以A4.下列不等式不成立的是
(　　)
A.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
B.+>(a>0,b>0)
C.-<-(a≥3)
D.+>2
【解析】选D.对A选项,要证a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
只需证2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≥0,只需证(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,
显然成立,故A正确.
对B选项,要证+>(a>0,b>0),只需证(+)2>a+b,只需证2>0,显然成立,故B正确.
对C选项,要证-<-,只需证+<+,只需证(+)2<(+)2,只需证2a-3+2<2a-3+2,只需证a(a-3)<(a-2)(a-1),只需证a2-3a5.已知a,b,c,d为正实数,且<,则
(　　)
A.<<
B.<<
C.<<
D.以上均可能
【解析】选A.先取特值检验.因为<,
可取a=1,b=3,c=1,d=2,
则=,满足<<.所以B,C,D不正确.
要证<,因为a,b,c,d为正实数,
所以只需证a(b+d)所以<.同理可证<.故A正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整:要证≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证______,即证________,由于________显然成立,因此原不等式成立.?
【解析】用分析法证明≥ab的步骤为:要证≥ab成立,
只需证a2+b2≥2ab,也就是证a2+b2-2ab≥0,即证(a-b)2≥0.
由于(a-b)2≥0显然成立,所以原不等式成立.
答案:a2+b2-2ab≥0　(a-b)2≥0　(a-b)2≥0
7.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).?
【解析】本题答案不唯一,要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A1C1即可.
答案:对角线互相垂直
8.设a>0,b>0,c>0,若a+b+c=1,则++的最小值为________.?
【解析】根据条件可知,欲求++的最小值.
只需求(a+b+c)的最小值,
因为(a+b+c)=3+++≥3+2+2+2=9(当且仅当a=b=c时取“=”).
答案:9
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知m>0,n>0,且m+n=1,试用分析法证明不等式·≥成立.
【解析】要证·≥,
只需证mn+≥,
只需证mn+-2≥,
只需证4(mn)2-33mn+8≥0,
即证mn≥8或mn≤,
而由1=m+n≥2,可得mn≤显然成立,
所以不等式·≥成立.
10.已知m>0,a,b∈R,求证:≤.
【证明】因为m>0,所以1+m>0,
所以要证≤,
由于m>0.
即证m(a2-2ab+b2)≥0,
即证(a-b)2≥0,
而(a-b)2≥0显然成立,
故≤.
PAGE课时素养评价十六　综　合　法
(20分钟　35分)
1.设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则
(　　)
A.a∧b≥2,c∧d≤2
B.a∨b≥2,c∧d≤2
C.a∧b≥2,c∨d≥2
D.a∨b≥2,c∨d≥2
【解析】选B.因为a∧b=a∨b=正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,所以不妨令a=1,b=4,则a∧b≥2错误,故可排除A,C,再令c=1,d=1满足c+d≤4,但不满足c∨d≥2,故可排除D.
2.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为
(　　)
A.-24　
　　B.-3　　
　　C.3　　
　　D.8
【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6?(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),
所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.
3.在不等边三角形中,a为最长边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足条件
(　　)
A.a2B.a2=b2+c2
C.a2>b2+c2
D.a2≤b2+c2
【解析】选C.由cos
A=<0知,b2+c2-a2<0,所以a2>b2+c2.
4.已知p=a+(a>2),q=(a>2),则(　　)
A.p>q
B.pC.p≥q
D.p≤q
【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0,
所以p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时取“=”.
又-a2+4a-2=-(a-2)2+2<2,所以q=<22=4,所以p>q.
5.设e1,e2是两个不共线向量,则向量e1+λe2(λ∈R)与向量2e1-e2共线的充要条件是________.?
【解析】依题意得e1+λe2=k(2e1-e2),
整理得(2k-1)e1+(-λ-k)e2=0.
由于e1与e2不共线,则必有2k-1=0且-λ-k=0,
解得k=,λ=-k=-.
若λ=-,则e1+λe2=e1-e2=,
即e1+λe2与2e1-e2共线,故λ=-为所求.
答案:λ=-
6.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:+≤2.
【解题指南】根据a>0,b>0,a+b=1先证明ab≤,将≤1平方,运用基本不等式,即可得证.
【证明】因为1=a+b≥2,所以ab≤.
所以(a+b)+ab+≤1.
所以≤1.
从而有2+2≤4.
即++2≤4.
所以≤4.
所以+≤2.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]
B.[-2,2]
C.[-2,+∞)
D.[0,+∞)
【解析】选C.用分离参数法可得a≥-(x≠0),而|x|+≥2,所以a≥-2,当x=0时显然成立.
2.如果x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是
(　　)
A.　　　B.2-2　　　C.1+　　　D.2-
【解析】选B.由x>0,y>0,x+y+xy=2,则2-(x+y)=xy≤,所以(x+y)2+4(x+y)-8≥0,所以x+y≥2-2或x+y≤-2-2.因为x>0,y>0,所以x+y的最小值为2-2.
3.已知a,b为非零实数,则使不等式:+≤-2成立的一个充分而不必要条件是
(　　)
A.a·b>0
B.a·b<0
C.a>0,b<0
D.a>0,b>0
【解析】选C.因为与同号,由+≤-2知<0,<0,即ab<0.所以+=
-≤-2=-2.
所以ab<0是+≤-2的充要条件.所以a>0,b<0是+≤-2成立的一个充分而不必要条件.
4.设a>0,b>0,且a≠b,则aabb与abba的大小关系是
(　　)
A.aabb>abba
B.aabb≥abba
C.aabbD.aabb≤abba
【解析】选A.=aa-bbb-a=.①当a>b>0时,>1,a-b>0,>1,所以aabb>abba.②当b>a>0时,0<<1,a-b<0,则>1,所以aabb>abba.综合①②可知,总有aabb>abba.
5.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m?β,给出下列四个命题:
①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.
其中正确的命题的个数是
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.若l⊥α,m?β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,m?β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,m?β,α⊥β,l与m可能平行,③不正确;若l⊥α,m?β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.定义在R上的函数f(x)=2ax+b,其中实数a,b∈(0,+∞),若对任意的x∈,不等式|f(x)|≤2恒成立,则当a·b最大时,f(2
018)的值是________.?
【解析】由题意,a+b≤2,
所以2≤2,所以ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,所以f(2
018)=2×2
018+1=4
037.
答案:4
037
7.在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则+=
________.?
【解析】+=,
因为∠C=60°,由余弦定理得cos
C==,即a2+b2=ab+c2,
所以+==1.
答案:1
8.一个矩形的周长为l,面积为S,给出:①(4,1);②(8,6);③(10,8);④,其中可作为(l,S)取得的实数对的序号是________.?
【解析】设矩形的长、宽分别为a,b,则a+b=,S=ab,因为a+b≥2,所以≥2,所以l2≥16S.因为四组实数对:①(4,1);②(8,6);③(10,8);④,所以代入验证,可知可作为(l,S)取得的实数对的序号是①④.
答案:①④
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,四边形ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:(1)BE∥平面DMF.
(2)平面BDE∥平面MNG.
【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又BE?平面DMF,MO?平面DMF,所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD?平面MNG,MN?平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.
10.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
1.对于正实数α,记Mα为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:?x1,x2∈R且x2>x1,有-α(x2-x1)(　　)
A.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)·g(x)∈
B.若f(x)∈,g(x)∈,且g(x)≠0,则∈
C.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)+g(x)∈
D.若f(x)∈,g(x)∈,且α1>α2,则f(x)-g(x)∈
【解析】选C.设f(x)∈,g(x)∈,
则|f(x2)-f(x1)|<α1|x2-x1|,|g(x2)-g(x1)|<α2|x2-x1|,
|f(x2)+g(x2)-(f(x1)+g(x1))|≤|f(x2)-f(x1)|+|g(x2)-g(x1)|<
α1|x2-x1|+α2|x2-x1|=(α1+α2)|x2-x1|.即f(x)+g(x)∈.
2.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设bn=,求证数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)因为an+1=2an+2n,所以=+1,因为bn=,所以bn+1=bn+1,
所以数列{bn}是等差数列且b1=1,所以bn=n,an=n·2n-1.
(2)因为Sn=1×20+2×21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1,所以2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n.
两式相减得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1.
PAGE课时素养评价十五　演
绎
推
理
(15分钟　30分)
1.《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是
(　　)
A.类比推理
B.归纳推理
C.演绎推理
D.三段论
【解析】选C.由演绎推理定义知该推理为演绎推理.
2.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在
(　　)
A.大前提
B.小前提
C.推理过程
D.没有出错
【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,若这几个方面都正确,才能得出这个演绎推理正确.因为任何实数的平方都大于0,又因为a是实数,所以a2>0,其中大前提是:任何实数的平方都大于0,不正确.
3.“10是5的倍数,15是5的倍数,所以15是10的倍数”上述推理
(　　)
A.大前提错
B.小前提错
C.推论过程错
D.正确
【解析】选C.大小前提正确,结论错误,那么推论过程错.
4.用演绎推理证明函数y=x3是增函数时的小前提是
(　　)
A.增函数的定义
B.函数y=x3满足增函数的定义
C.若x1D.若x1>x2,则f(x1)>f(x2)
【解析】选B.“三段论”中,根据其特征,大前提是增函数的定义,小前提是函数y=x3满足增函数的定义,结论是y=x3是增函数.
5.用演绎推理证明函数f(x)=|sin
x|是周期函数.
【证明】大前提:若函数y=f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x+T)=f(x)(T为非零常数),则它为周期函数,T为它的一个周期.
小前提:f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin
x|=f(x).
结论:函数f(x)=|sin
x|是周期函数.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是(　　)
A.直角梯形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
【解析】选D.由+=0?AB∥CD,AB=CD,由(-)·=0?BD⊥AC.所以四边形ABCD是菱形.
2.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(　　)
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
【解析】选D.由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果.
3.已知三条不重合的直线m,n,l,两个不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m∥n,n?α,则m∥α;
②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;
③若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n?β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确的命题个数是
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.①中,m还可能在平面α内,①错误;②正确;③中m与n相交时才成立,③错误;④正确.
4.有一段“三段论”推理过程:若函数f(x)在(a,b)内可导且单调递增,则在(a,b)内,f′(x)>0恒成立.因为f(x)=x3在(-1,1)内可导且单调递增,所以在(-1,1)内,f′(x)=3x2>0恒成立,以上推理中
(　　)
A.大前提错误
B.小前提错误
C.结论正确
D.推理形式错误
【解析】选A.f(x)在(a,b)内可导且单调递增,则在(a,b)内,f′(x)≥0恒成立,故大前提错误.
【补偿训练】
　　设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________.?
【解析】由题意,知f(0)=0,f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=0,
f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-3)=0,f(5)=f(-4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
答案:0
5.下面几种推理中是演绎推理的是
(　　)
A.因为y=2x是指数函数,所以函数y=2x经过定点(0,1)
B.猜想数列,,,…的通项公式为an=(n∈N
)
C.由圆x2+y2=r2的面积为πr2猜想出椭圆+=1的面积为πab
D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
【解析】选A.选项B为归纳推理,C,D为类比推理,只有A为演绎推理.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.关于函数f(x)=lg(x≠0),有下列命题:
①其图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)为减函数;
③f(x)的最小值是lg
2;
④当-11时,f(x)是增函数;
⑤f(x)无最大值,也无最小值.
其中所有正确结论的序号是________.?
【解析】因为f(x)是偶函数,所以①正确;
当x>0时,f(x)=lg=lg≥lg
2,
当且仅当x=1时取等号,
所以0x>1时,f(x)为增函数.x=1时取得最小值lg
2.
又f(x)为偶函数,
所以-12.
所以③④正确.
答案:①③④
7.求函数y=的定义域时,第一步推理中大前提是有意义时,a≥0,小前提是有意义,结论是__________.?
【解析】由三段论方法知应为log2x-2≥0.
答案:log2x-2≥0
8.若f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N
),且f(1)=2,则++…+=________.?
【解析】利用三段论.因为f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N
)(大前提).
令b=1,则=f(1)=2(小前提).
所以==…==2(结论),
所以原式==2
020.
答案:2
020
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设a>0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值.
【解析】因为f(x)是R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以=0对于一切x∈R恒成立,
由此得a-=0,即a2=1.又a>0,所以a=1.
10.设f(x)=,g(x)=(其中a>0且a≠1).
(1)请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示.
(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.
【解析】(1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)=×+×=
又g(5)=因此.
g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).
(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).
证明:因为f(x)=,g(x)=……大前提
所以g(x+y)=,
g(y)=,f(y)=,……小前提及结论
所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=×+×==g(x+y).
1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的________是错误的.?
【解析】f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提错误.
答案:小前提
2.若函数f(x)满足下列条件:在定义域内存在x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)具有性质M;反之,若x0不存在,则称函数f(x)不具有性质M.
(1)证明:函数f(x)=2x具有性质M,并求出对应的x0的值.
(2)已知函数h(x)=lg具有性质M,求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2x,由f(x0+1)=f(x0)+f(1)得:=+2,即=2,解得x0=1.
所以函数f(x)=2x具有性质M.
(2)h(x)的定义域为R,且可得a>0,
因为h(x)具有性质M,
所以存在x0,使得h(x0+1)=h(x0)+h(1),代入得lg=lg+lg,化为2(+1)=a(x0+1)2+a,整理得:(a-2)+2ax0+2a-2=0有实根.
①若a=2,得x0=-,满足题意;
②若a≠2,则要使(a-2)+2ax0+2a-2=0有实根,只需满足Δ≥0,即a2-6a+4≤0,解得a∈[3-,3+].
所以a∈[3-,2)∪(2,3+].
综合①②,可得a∈[3-,3+].
PAGE课时素养评价十四　合
情
推
理
(15分钟　30分)
1.下列说法正确的是
(　　)
A.由合情推理得出的结论一定是正确的
B.合情推理必须有前提有结论
C.合情推理不能猜想
D.合情推理得出的结论不能判断正误
【解析】选B.根据合情推理定义可知,合情推理必须有前提有结论.
2.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项,则这个数列的一个通项公式为
(　　)
A.an=3n-1
B.an=3n
C.an=3n-2n
D.an=3n-1+2n-3
【解析】选A.第2个图形中有3个着色三角形,第3个图形中有3×3个着色三角形,第4个图形中有3×9个着色三角形,以此类推:第n个图形中有3n-1个着色三角形.
3.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(　　)
A.n+1
B.2n
C.
D.n2+n+1
【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域.
4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为________.?
【解析】因为两个正三角形是相似的三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为1∶8.
答案:1∶8
5.已知在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D,有=+成立.那么在四面体A
-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,说明猜想是否正确并给出理由.
【解析】类比AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想四面体A
-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD.则=++.
猜想正确.理由如下:
如图所示,连接BE,并延长交CD于F,连接AF.
因为AB⊥AC,AB⊥AD,所以AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD,所以AB⊥AF.
在Rt△ABF中,AE⊥BF,
所以=+.
在Rt△ACD中,AF⊥CD,
所以=+.
所以=++,故猜想正确.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2·an(n≥2),且a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由a1=1,S2=22·a2=a1+a2得a2=,
由a1+a2+a3=9×a3得a3=,由a1+a2+a3+a4=42·a4得a4=,…,猜想an=.
2.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则等于
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故=.
3.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则标签2
0172的格点的坐标为
(　　)
A.(1
009,1
008)　　　
B.(1
008,1
007)
C.(2
017,2
016)
D.(2
016,2
015)
【解析】选A.由题意得12→(1,0),32→(2,1),52→(3,2),所以2
0172→
(1
009,1
008).
4.将正整数排列如图:
1
2　　3　　4
5　　6　　7　　8　　9
10　
11　
12　
13　
14　　
15　　16
…
则2
018出现在
(　　)
A.第44行第81列
B.第45行第81列
C.第44行第82列
D.第45行第82列
【解析】选D.由题意可知第n行有(2n-1)个数,则前n行的数的个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2,因为442=1
936,452=2
025,且1
936<2
018<2
025,所以2
018在第45行,又第45行有2×45-1=89个数,2018-1
936=82,故2
018在第45行第82列.
5.已知{bn}为等比数列,b5=2,且b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为
(　　)
A.a1a2a3…a9=29　　　
B.a1+a2+…+a9=29
C.a1a2…a9=2×9
D.a1+a2+…+a9=2×9
【解析】选D.等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积),得a1+a2+…+a9=2×9.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如图所示,第n个图形是由正n+2边形拓展而来(n=1,2,…),则第n-2个图形(n>2)共有________个顶点.?
【解析】第1个图有3+3×3=4×3个顶点;
第2个图有4+4×4=5×4个顶点;
第3个图有5+5×5=6×5个顶点;
第4个图有6+6×6=7×6个顶点;……;
第n个图有(n+3)×(n+2)个顶点.
第n-2个图有(n+1)×n=(n2+n)个顶点.
答案:(n2+n)
7.在平面中,△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比=,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E,则类比的结论为________.?
【解析】平面中的面积类比到空间为体积,故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积,故类比成.故有=.
答案:=
8.已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N
,则f2
019(x)的表达式为________.?
【解析】由题意,得f1(x)=f(x)=,f2(x)==,f3(x)=,…,由此归纳推理可得f2
019(x)=.
答案:f2
019(x)=
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,则cos2α+cos2β=1,在立体几何中,通过类比,给出猜想并证明.
【解析】如图①,在矩形ABCD中,cos2α+cos2
β=+===1.
于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,
则cos2α+cos2β+cos2γ=1,
证明如下:如图②,cos2α+cos2β+cos2γ=++===1.
10.若a1,a2∈R+,则有不等式≥成立,此不等式能推广吗?请你至少写出两个不同类型的推广.
【解析】可以从a1,a2的个数以及指数上进行推广.
第一类型:
≥,
≥,
…
≥.
第二类型:≥,
≥,…,≥.
第三类型:≥,
≥,…
≥.
如图所示为m行m+1列的士兵方阵(m∈N
,m≥2).
(1)写出一个数列,用它表示当m分别是2,3,4,5,…时,方阵中士兵的人数;
(2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式;
(3)求a10,并说明a10表示的实际意义;
(4)问9
900是数列的第几项?
【解析】(1)当m=2时,表示一个2行3列的士兵方阵,共有6人,依次可以得到当m=3,4,5,…时的士兵人数分别为12,20,30,…故所求数列为6,12,20,30,…
(2)因为a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,…所以猜想an=(n+1)(n+2),n∈N
.
(3)a10=11×12=132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n+1)(n+2)=9
900,所以n=98,即9
900是数列的第98项.
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