课时素养评价
二十二 向量应用举例
(15分钟 30分)
1.已知在△ABC中,=a,=b,且a·b<0,则△ABC的形状为
( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为a·b=|a||b|cos
∠BAC<0,所以cos
∠BAC<0,所以90°<
∠BAC<180°,故△ABC是钝角三角形.
2.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10牛,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米时,力F做的功为
( )
A.100焦耳
B.50焦耳
C.50焦耳
D.200焦耳
【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10米,WF=F·s=
|F||s|·cos
60°=10×10×=50(焦耳).
3.过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为
( )
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则⊥a,
即(2-x)×2+(3-y)×1=0,即2x+y-7=0.
4.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为 .?
【解析】设点E,F的坐标分别为(0,m),(0,m+2),则=(1,m),=(-2,m+2),所以·=(m+1)2-3,当m=-1时,·取最小值-3.
答案:-3
5.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.
(1)|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况如何?
(2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.
【解析】(1)由力的平衡原理知,G+F1+F2=0,
作向量=F1,=F2,=-G,则+=,所以四边形OACB为平行四边形,
由已知∠AOC=θ,∠BOC=90°,
所以||=,||=||=||tan
θ.
即|F1|=,|F2|=|G|tan
θ,θ∈.
由此可知,当θ从0°逐渐增大趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.
(2)当|F1|≤2|G|时,有≤2|G|,
所以cos
θ≥,又0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知点O是△ABC的外心,AB=2,AC=3,则·=
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选C.如图所示.
取弦AC的中点D,则OD⊥AC,所以·=(+)·=·+·=+0=,
同理可得·=,
·=·-·=-=×32-×22=.
2.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40
m/s,则鹰的飞行速度为
( )
A.
m/s
B.
m/s
C.
m/s
D.
m/s
【解析】选C.设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40
m/s,因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下,故|v1|==(m/s).
3.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,且=,则·=
( )
A.
B.1
C.
D.3
【解析】选D.由题意,设=a,=b,则|a|=2,|b|=2,且a与b的夹角为60°,又由向量的运算法则可得=(a+b),=a+b,
所以·=·
=a2+a·b+b2
=×22+|a|·|b|cos
60°+×22
=+×2×2×+=3.
4.已知点O是△ABC内部一点,并且满足+2+
3=0,△BOC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为+2+3=0,
所以+=-2(+),
分别取AC,BC的中点D,E,则+=2,+=2.
所以=-2,即O,D,E三点共线且||=2||.如图所示,
则S△OBC=S△DBC,由于D为AC中点,
所以S△DBC=S△ABC,所以S△OBC=S△ABC,即=.
【误区警示】本题中易找不到思路从而选不出正确结果.
5.直线l经过点P(1,0),且圆x2+y2-4x-2y+1=0上到直线l距离为1的点恰好有3个,满足条件的直线l有
( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
【解题指南】方法一:先将圆的方程化成标准式,求出圆心与点P的距离为(圆心到直线l的最大距离),而圆心C到直线的距离刚好为1(1<)时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,由几何知识可知这样的直线有两条.
方法二:依据圆心C到直线的距离刚好为1时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,用点到直线的距离公式算出即可知.
【解析】选C.方法一:x2+y2-4x-2y+1=0可变形为(x-2)2+(y-1)2=4,
所以圆心C(2,1),CP=<2,
所以圆心C到直线l的距离刚好为1(1<)时,即可满足圆上恰好有三个点到直线l的距离为1,由几何知识可知这样的直线有两条.
方法二:圆心C到直线l的距离刚好为1时,即可满足圆上恰好有三个点到直线l的距离为1.
当直线l:x=1时,显然满足;
设直线l:y=k(x-1),所以圆心C(2,1)到直线l的距离d==1,解得k=0,所以这样的直线有两条.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.河水的流速为2
m/s,一艘小船以10
m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为 .?
【解题指南】先找出三个速度之间的关系,再利用船的实际速度与水流的速度垂直求解.
【解析】设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1|=2,|v|=10.
因为v⊥v1,所以v·v1=0,
所以|v2|=|v-v1|====2.
答案:2
m/s
7.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=1,则·= .?
【解析】因为圆x2+y2=1的半径为1,AB=1,
所以△AOB为正三角形.
所以·=1×1·cos
60°=.
答案:
8.如图所示,一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1
000
km到达B地,因大雾无法降落,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距2
000
km,则飞机从B地到C地的路程为 ,方向为 .?
【解析】由题意得||=1
000,
||=2
000,∠BAC=60°,
所以||2=|-|2=||2+||2-2||·||·cos
60°=2
0002+1
0002-2×1
000×
2
000×=3×106,所以||
=1
000,∠ABC=90°.
取AC的中点D,由||=2||且∠BAD=60°,知为正南方向,有∠ABD=60°,于是∠DBC=30°,所以飞机从B地到C地的位移的大小为1
000
km,方向为南偏西30°.
答案:1
000
km 南偏西30°
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,?ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示,.
(2)AM交DN于O点,求AO∶OM的值.
【解析】(1)因为AN=AB,所以==a,所以=-=a-b.因为BM=BC,
所以===b,
所以=+=a+b.
(2)因为A,O,M三点共线,所以∥.
设=λ,则=-=λ-
=λ-b=λa+b.因为D,O,N三点共线,所以∥,存在实数μ,
使=μ,λa+b=μ.
由于向量a,b不共线,
所以解得所以=,=,所以AO∶OM=3∶11.
10.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,DC的中点,BE,BF与AC分别交于点R,T,
证明:R,T为AC的三等分点.
【证明】设=a,=b,
则=a+b,=b-a.由于与共线,
因此存在实数m,使得=m(a+b).
又与共线,因此存在实数n,
使得=n=n.
由=+=+n,得m(a+b)=a+
n,整理得(m+n-1)a+b=0.
由于向量a,b不共线,
所以有解得
所以=.同理=,
所以=,所以AR=RT=TC,
所以R,T为AC的三等分点.
若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R.
(1)若a,b的起点相同,t为何值时,a,tb,(a+b)三个向量的终点在一条直线上?
(2)若|a|=|b|且a与b的夹角为60°,t为何值时,|a-tb|最小?
【解析】(1)由题意得a-tb与a-(a+b)共线,
则设a-t
b=m,m∈R,
化简得a=b.因为a与b不共线,
所以解得所以当t=时,
a,tb,(a+b)三个向量的终点在一条直线上.
(2)因为|a|=|b|,所以|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos
60°
=(1+t2-t)|a|2=|a|2,所以当t=时,|a-tb|有最小值|a|.
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二十一 平面向量数量积的坐标表示
(20分钟 35分)
1.（2020·新高考全国Ⅰ卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（
）
A.（-2，6）B.（-6，2）C.（-2，4）D.（-4，6）
【解析】选A.设P(x,y)，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，=(2,0)，所以=2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－12.已知向量a=(m,1),b=(3,3),且(a-b)⊥b,则m=
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.因为向量a=(m,1),b=(3,3),由向量减法的运算可得a-b=(m-3,-2),
又因为(a-b)⊥b,则(a-b)·b=0,
即3(m-3)+3×(-2)=0,解得m=5.
3.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量方向相同的单位向量为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题可得:=(-3,4),
设与向量方向相同的单位向量为a=λ(-3,4),其中λ>0,则|a|==1,解得:λ=或λ=-(舍去),所以与向量方向相同的单位向量为a=.
4.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)·
(a-b)=9,|2a+b|=3,|a-b|=3,设所求两向量夹角为α,则cos
α==,所以α=.
5.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6)的夹角为θ,
则cos
θ= .?
【解析】cos
θ===-.
答案:-
6.已知向量a=(-1,2),b=(4,0).
(1)求向量a与b夹角的余弦值.
(2)若2a+b与a+λb垂直,求λ的值.
【解析】(1)因为a=(-1,2),b=(4,0),
设a,b夹角为θ,所以cos
θ===-.
(2)2a+b=(2,4),a+λb=(4λ-1,2),
因为(2a+b)⊥(a+λb),所以(2a+b)·(a+λb)=2(4λ-1)+8=0,解得λ=-.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若向量a=(1,-2),b=(3,4),则a在b方向上的射影是
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选B.由题意,得a在b方向上的射影是|a|cos
θ===-1.
2.已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选C.由题意可得a2=2,a·b=-3,所以(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
3.已知边长为2的正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,则·=
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选B.以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(0,1),
=(-2,1),=(0,-1),·=-1.
4.已知向量a=(1,0),b=(t,2t),t为实数,则|a-b|的最小值是
( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.依题意a-b=(1-t,-2t),
故|a-b|==,当t=-=时,取得最小值为.
5.设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述错误的是
( )
A.若k<-2时,则a与b的夹角为钝角
B.|a|的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个为
D.若|a|=2|b|,则k=2或-2
【解析】选C.对于A选项,若a与b的夹角为钝角,
则a·b<0且a与b不共线,则,
解得k<2且k≠-2,A选项正确;
对于B选项,|a|=≥=2,当且仅当k=0时,等号成立,B选项正确;
对于C选项,|b|=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为或,C选项错误;
对于D选项,因为|a|=2|b|=2,即=2,解得k=±2,D选项正确.
【误区警示】本题易因为审题原因误将A理解成求向量夹角为钝角的充要条件.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k= .?
【解析】根据数量积的几何意义知·=||2=9+1=10,又·=6+k,所以6+k=10.解得k=4.
答案:4
【补偿训练】
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,2),
B(1,1),C(-3,1),若(t+)∥,则t= .?
【解析】因为C(-3,1),所以t+=(1-3t,1+t).因为(t+)∥,
所以2(1+t)-(-1)(1-3t)=3-t=0,所以t=3.
答案:3
7.已知向量a=(2,1),b=(1-x,x),c=(-3x,3x),满足a∥b,则b,c夹角的余弦值为 .?
【解析】由a∥b,得2·x-(1-x)=0,
解得x=,则b=,c=(-1,1),
所以cos?b,c?=
=-.
答案:-
8.已知a=(2,1),b=(m,6),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是 .?
【解题指南】由夹角为锐角可知cos?a,b?>0,然后排除同向的情况即可.
【解析】因为向量a与向量b的夹角θ是锐角,所以cos
θ=>0,所以a·b=2m+6>0,得m>-3,又当a与b同向时,=,所以m=12.所以m>-3且m≠12.
答案:m>-3且m≠12
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设向量a=(,-1),b=,k,t是两个不同时为零的实数.若向量x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直.
(1)求k关于t的函数关系式.
(2)求函数k=f(t)的最小值.
【解析】(1)因为a=(,-1),b=,所以a·b=0,且|a|=2,|b|=1.又x⊥y,所以x·y=0,
即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,
所以-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0,
因为|a|=2,|b|=1,a·b=0,所以-4k+t2-3t=0,即k=(t2-3t).
(2)由(1)知,k=(t2-3t)=-,即函数的最小值为-.
10.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b和c.
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n的夹角的大小.
【解析】(1)因为a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c,所以,解得,
因此,b=(9,12),c=(4,-3).
(2)因为m=2a-b=2×(3,4)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),
则m·n=-3×7-4×1=-25,
所以|m|==5,|n|==5,
设m与n的夹角为θ,
所以cos
θ===-,
因为0≤θ≤π,则θ=.
因此,向量m与向量n的夹角为.
1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于
( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
【解析】选D.2a-b=(5,2-k).a·(2a-b)=10+2-k=0.解得k=12.
2.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin
θ,cos
θ).
(1)若||=||,求tan
θ的值.
(2)若(+2)·=1,其中O为坐标原点,求sin
θ+cos
θ的值.
【解析】(1)因为A(1,0),B(0,1),C(2sin
θ,cos
θ),
所以=(2sin
θ-1,cos
θ),=(2sin
θ,cos
θ-1),
因为||=||,所以
=,化简得2sin
θ=cos
θ,
因为cos
θ≠0(若cos
θ=0,则sin
θ=±1,上式不成立),所以tan
θ=.
(2)因为=(1,0),=(0,1),=(2sin
θ,cos
θ),
所以+2=(1,2),
因为(+2)·=1,所以2sin
θ+2cos
θ=1,
所以sin
θ+cos
θ=.
【补偿训练】
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),
B(2,3),C(-2,-1).
(1)设实数t满足(-t)⊥,求t的值.
(2)若以线段AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,求向量与所夹角的余弦值.
【解析】(1)由题设知=(-2,-1),=(3,5),
-t=(3+2t,5+t),
由(-t)⊥得(-t)·=0,
即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,所以t=-.
(2)由题设知=(-1,1),
则=+=(2,6),=-=(4,4),
故||=2,||=4,
设向量与所夹角为θ,
故所求余弦值cos
θ===.
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二十 从力做的功到向量的数量积
(20分钟 35分)
1.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则
( )
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
【解析】选A.因为|a+b|=|a-b|,
所以|a+b|2=|a-b|2,化简即有a·b=0,
所以a⊥b.
2.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则
|a+b|等于
( )
A.2
B.2
C.4
D.12
【解析】选B.因为|a+b|2=|a|2+2|a||b|cos
60°+
|b|2=4+4+4=12,所以|a+b|=2.
3.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则a的模为
( )
A.2
B.4
C.6
D.12
【解析】选C.因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·|b|cos
60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,所以|a|2-2|a|-24=0,所以|a|=6.
4.在△ABC中,若||=3,||=4,∠BAC=60°,则·=
( )
A.6
B.4
C.-6
D.-4
【解析】选C.·=-·=-||·
||·cos∠BAC=-3×4×=-6.
5.（2020·全国Ⅰ卷）设a,b为单位向量，且|a+b|=1，则|a-b|=_____.
【解析】因为a,b为单位向量，所以
所以,解得：2a·b=-1，所以=
答案：
6.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b.
【解析】①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,
所以a·b=|a||b|cos
0°=3×6×1=18;
若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,
所以a·b=|a||b|cos
180°=3×6×(-1)=-18.
②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,所以a·b=0.
③当a与b的夹角是60°时a·b=|a||b|cos
60°=3×6×=9.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=
( )
A.20
B.15
C.9
D.6
【解析】选C.在平行四边形ABCD内,易得=+,=-,
所以·=·
=-=×36-×16=12-3=9.
2.如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC.若||=a,||=b,则·=
( )
A.a2-b2
B.b2-a2
C.a2+b2
D.ab
【解析】选B.因为AD⊥DC,所以在方向上的投影为||cos
∠CAD=||,因为AB⊥BC,所以在方向上的投影为||cos
∠CAB=||,所以·=·(-)=·-·=||||-||||=b2-a2.
3.已知向量a,b满足|a|=4,b在a上的射影为-2,则|a-2b|的最小值为
( )
A.4
B.10
C.
D.8
【解析】选D.因为b在a上的射影为-2,
所以|b|cos?a,b?=-2,即|b|=-,而-1≤cos?a,b?<0,所以|b|≥2,
因为|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2
=|a|2-4|a||b|cos?a,b?+4|b|2
=16-4×4×(-2)+4|b|2=48+4|b|2,
所以|a-2b|2≥48+4×4=64,即|a-2b|≥8.
4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,a⊥(a+b),则向量a在b方向上的射影为
( )
A.-1
B.-2
C.2
D.1
【解析】选A.设a与b的夹角为θ,因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=4+2×4·cos
θ=4+8cos
θ=0,
所以cos
θ=-,所以θ=π.所以向量a在b方向上的射影为|a|cos
θ=2×=-1.
【误区警示】本题易对射影定义理解错误,从而选择错误.
5.已知非零向量满足·=0且·=,则△ABC为
( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
【解析】选D.因为·=0,,分别为单位向量,所以∠A的平分线与BC垂直,所以AB=AC,
因为cos
A==·=,
所以∠A=,所以∠B=∠C=∠A=,
所以△ABC为等边三角形.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如图,向量⊥,||=2,||=1,P是以O为圆心、||为半径的圆弧上的动点,若=m+n,则mn的最大值是 .?
【解析】因为⊥,||=2,||=1,
所以||2=4,||2=1,·=0,
因为P在圆弧上,所以||2=4,
因为=m+n,所以||2
=(m+n)2,所以4=4m2+n2,
因为(2m-n)2≥0,即4m2+n2≥4mn,
所以4mn≤4,所以mn≤1.
答案:1
7.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 .?
【解析】由|a|=|a+2b|,等式两边平方得a2=a2+
4a·b+4b2,所以a·b=-b2,设a与b的夹角为θ,所以cos
θ===-.
答案:-
8.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,若(a-mb)⊥a,则实数m的值为 .?
【解析】因为(a-mb)⊥a,所以(a-mb)·a=a2-mb·a=32-m×2×3×cos
60°=9-3m=0,解得m=3.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·厦门市高一检测)已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=.
(1)求向量a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=,
所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=,
因为|a|=1,所以|b|2=,所以|b|=,
所以cos
θ===,
又θ∈[0,π],所以θ=.
(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,
所以|a+b|==.
10.已知a与b的夹角为,且|a|=10,|b|=8,求:
(1)|a+b|.(2)a+b与a的夹角θ的余弦值.
【解析】(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2|a||b|cos
+|b|2=102+2×10×8×+82=244,所以|a+b|=2.
(2)cos
θ====
,所以a+b与a的夹角θ的余弦值是.
1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是 .?
【解析】令=a,=b,则=-b,=2a,=3a,
则=3a-b,=3a+b,=2a-b,
=2a+b,=a-b,=a+b,
则·=9a2-b2,·=a2-b2,·
=4a2-b2,由·=4,·
=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,
因此a2=,b2=,
因此·=4a2-b2==.
答案:
2.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c.
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间夹角均为120°,
所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos
120°-
|b||c|·cos
120°=0,所以(a-b)⊥c.
(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.因为a·b=a·c=b·c=cos
120°=-,所以k2-2k>0,解得k<0或k>2,即k的取值范围是{k|k<0或k>2}.
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十九 平面向量的坐标
(20分钟 35分)
1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),则顶点D的坐标为
( )
A.(2,-3)
B.(-1,0)
C.(4,5)
D.(-4,-1)
【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,所以=+-=(-4,-1).
【补偿训练】
若O(0,0),B(-1,3),且=3,则点A的坐标为
( )
A.(3,9)
B.(-3,9)
C.(-3,3)
D.(3,-3)
【解析】选B.=3(-1,3)=(-3,9),
根据以原点出发的向量终点坐标等于向量坐标,
所以点A的坐标为(-3,9).
2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(x,5),若∥,则x=
( )
A.2
B.-3
C.-2
D.5
【解析】选A.=(2,4),=(x-1,2),
因为∥,故4(x-1)=2×2,故x=2.
3.已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则P点的坐标为
( )
A.(-8,1)
B.
C.
D.(8,-1)
【解析】选B.设P(x,y),则=(x-3,y+2),而=(-8,1)=,
所以解得即P.
4.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为
( )
A.2 B. C. D.-
【解析】选B.因为a=(2,-1),b=(1,1),所以a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(2+k,k-1).又c=(-5,1),且(a+kb)∥c,所以1×(2+k)-(-5)×(k-1)=0,解得k=.
5.若向量a=(2,-1)与b=(1,y)平行,则y= .?
【解析】因为向量a=(2,-1)与b=(1,y)平行,
所以2y+1=0,解得y=-.
答案:-
6.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=m
b+n
c的实数m,n.
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
【解析】(1)因为a=mb+n
c,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).所以解得
(2)因为(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,所以k=-.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为
( )
A.-2,1
B.1,-2
C.2,-1
D.-1,2
【解析】选D.因为c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),所以所以
【补偿训练】
设a=(2,1),b=(3,2),c=(5,4),若c=λa+μb则λ,μ的值是
( )
A.λ=-3,μ=2
B.λ=-2,μ=3
C.λ=2,μ=3
D.λ=3,μ=2
【解析】选B.由题意,向量a=(2,1),b=(3,2),c=(5,4),
又因为c=λa+μb,所以(5,4)=(2λ+3μ,λ+2μ),
所以解得
2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=
λ+μ,则λ+μ=
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选B.以A为坐标原点建立平面直角坐标系,
设正方形边长为1,由此,=(1,1),=,=(-1,1),故1=λ-μ,1=λ+μ,
解得λ=,μ=,所以λ+μ=.
3.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是
( )
A.k=-2
B.k=
C.k=1
D.k=-1
【解题指南】由A,B,C三点不能构成三角形可知A,B,C三点共线.
【解析】选C.因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,即,共线.又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以(k+1)·1-2·k=0,解得k=1.
4.与a=(6,8)平行的单位向量为
( )
A.
B.
C.或
D.
【解析】选C.设与a平行的单位向量e=(x,y),
则解得或
故满足条件的单位向量为或.
【误区警示】本题容易漏掉与a反向的单位向量.
5.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=
2||,则点P的坐标为
( )
A.(3,1)
B.(1,-1)
C.(3,-1)或(-1,1)
D.(3,1)或(1,-1)
【解析】选D.因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2),
因为点P在直线AB上,且||=2||,
所以=2,或=-2,故=(1,1),或=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或(1,-1).
【光速解题】本题可以直接代值验证,将选项中的点坐标代入条件可以快速排除.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是 .?
【解析】因为a∥b,所以x2-x-λ=0,即λ=x2-x=-≥-,所以λ的最小值为-.
答案:-
7.已知向量a=(2,3),b=(-1,4),m=a-λb,n=2a-b,若m∥n,则λ= .?
【解析】因为m=a-λb=(2,3)-λ(-1,4)=(λ+2,3-4λ),n=2a-b=2(2,3)-(-1,4)=(5,2),
又m∥n,所以2(λ+2)=5(3-4λ),解得λ=.
答案:
8.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上且=,连接DC延长至E,使||=||,则点E的坐标为 .?
【解题指南】设出点E的坐标为(x,y),利用=及||=||列出关于x,y的方程组求解.
【解析】因为=,所以-=(-).所以=2-=(3,-6).
所以点C的坐标为(3,-6).
又||=||,且E在DC的延长线上,
所以=-.
设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),
得解得
所以点E的坐标为.
答案:
【补偿训练】
已知P1(2,-1),P2(-1,3),P在直线P1P2上,且=,则P点的坐标为 .?
【解析】因为=,设P点坐标为(x,y),=(x-2,y+1),=(-1-x,3-y),
所以(x-2,y+1)=(-1-x,3-y),
所以即
故P点坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件.
(2)若=2,求x,y的值.
【解析】(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),所以3(1-y)=2-x.所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.
(2)=(-x-1,-y),由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),所以
解得
10.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),试问λ为何值时:
(1)点P在第一、三象限的角平分线上?
(2)点P在第三象限内?
【解析】设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+λ=(5-2,4-3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ).
因为=+λ(λ∈R),
所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
所以所以
所以P(5+5λ,4+7λ).
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,故λ=.
(2)若点P在第三象限内,则解得故λ<-1,即只要λ<-1,点P在第三象限内.
1.设向量a=(m,n),b=(s,t),定义两个向量a,b之间的运算“?”为a
?
b=(ms,nt).若向量p=(1,2),p
?
q=(-3,4),则向量q等于
( )
A.(-3,2) B.(3,-2)
C.(-3,-2)
D.(3,2)
【解析】选A.设向量q=(x,y),p
?
q=(x,2y)
=(-3,4),所以x=-3,y=2,故向量q=(-3,2).
2.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.
(1)证明:对任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标.
(3)求使f(c)=(p,q)(p,q是常数)的向量c的坐标.
【解析】(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),
则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),
所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,
2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
所以f(m
a+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).
(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),
所以y=p,2y-x=q,所以x=2p-q,
即向量c=(2p-q,p).
PAGE课时素养评价
十八 平面向量基本定理
(20分钟 35分)
1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是
( )
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2
D.e1和e1+e2
【解析】选B.因为6e1-8e2=2(3e1-4e2),
所以(6e1-8e2)∥(3e1-4e2),
所以3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底.
2.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则向量=
( )
A.+
B.+
C.+
D.+
【解析】选C.=2?=,
所以=+=+=+
(-)=+.
3.如图,在△ABC中,=a,=b,=4,用向量a,b表示,正确的是
( )
A.=a+b
B.=a+b
C.=a+b
D.=a-b
【解析】选C.因为=+=+
=+(-)=a+b.
4.设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个说法:
①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μ
c;
③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μ
c;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μ
c;
上述说法中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.利用向量加法的三角形法则,易得①正确;利用平面向量的基本定理,易得②正确;以a的终点作半径为μ的圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定能满足,③错误;由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即|λb|+|μ
c|=λ+μ>|a|,而给定的λ和μ不一定满足此条件,所以④错误.
5.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .?
【解析】由=+=+
=+(-)=-+,
则λ1+λ2的值为.
答案:
6.在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点.=
,=a,=b,求证:B,E,F三点共线.
【解题指南】利用基底表示出,,然后证=λ(λ∈R)得出三点共线.
【证明】因为D是BC的中点,所以有=(a+b).
==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=(b-
2a),所以=,又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·台州高一检测)已知点G为△ABC的重心,若=a,=b,则=
( )
A.a+b
B.-a+b
C.a-b
D.-a-b
【解析】选B.设D是AC中点,则=(+),又G为△ABC的重心,所以==×(+)=(+)=(-+-)=
-+=-a+b.
2.设O,A,B,M为平面上四点,=λ+(1-λ),λ∈(0,1),则
( )
A.点M在线段AB上
B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D.O,A,B,M四点共线
【解析】选A.因为=λ+(1-λ),
所以-=λ(-),即=λ,
又0<λ<1,所以点M在线段BA上.
3.已知a,b是两个不共线的向量,m,n∈R且m
a+n
b=0,则
( )
A.a=0,n=0
B.m,n的值不确定
C.m=n=0
D.m,n不存在
【解析】选C.因为a,b是两个不共线的向量,m
a+n
b=0,故m=n=0.
4.在△ABC中,点E为AB边的中点,点F为AC边的中点,BF交CE于点G,若=x+y,则xy等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由题意知:G是△ABC的重心,延长AG与边BC交于点D,所以==+,
又因为点E为AB边的中点,点F为AC边的中点,故=2,=2,
则=+,即x=y=,所以xy=.
【误区警示】本题中由E,F为中点即可判断出G为重心,若判断不出则易出错.
5.如图,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为O为BC中点,所以=(+),又O在MN上,所以=λ,则有-=λ(-),所以=+=+=+,所以有
①+②得=,进而有m+n=2.
【光速解题】选B.从题目可以看出直线MN变化过程中m+n为定值,故可以令MN与直线BC重合,即=,=,此时m=1,n=1,故m+n=2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·邯郸高一检测)如图所示,在△ABC中,BC=30,点D在BC边上,点E在线段AD上,若=+,则BD= .?
【解题指南】本题首先可根据点D在BC边上,设=λ,然后将=+化简为=+,根据点E在线段AD上解得λ=,最后通过计算即可得出结果.
【解析】因为点D在BC边上,
所以可设=λ,
所以=+=+,因为点E在线段AD上,所以A,E,D三点共线,所以+=1,解得λ=,所以CD=30×=18,BD=30-18=12.
答案:12
7.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a与b是一组基底,则实数λ的取值范围是 .?
【解析】当a∥b时,设a=mb,则有e1+2e2=m(λe1+e2),即e1+2e2=mλe1+me2,所以解得λ=,即当λ=时,a∥b.又a与b是一组基底,
所以a与b不共线,所以λ≠.
答案:∪
8.如图,在△ABC的边AB,AC上分别取点M,N,使=,=,BN与CM交于点P,若=λ,=μ,则的值为 .?
【解析】由题意=-=-,=+=+
=+,
=-=-,=+=+=+,
根据平面向量基本定理,可得
所以μ=,λ=4,所以==6.
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知点G是△ABC的重心,=2.
(1)用和表示;
(2)用和表示.
【解析】(1)设BC的中点为M,则2=+,
所以=,因为G为△ABC的重心,
因此,==×=.
(2)因为=2,所以=,因此,=-=-=.
10.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底.
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
【解析】(1)若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,
则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线得,
?所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.
(2)设c=m
a+n
b(m,n∈R),得3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,
所以?所以c=2a+b.
(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+
μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.
所以?
故所求λ,μ的值分别为3和1.
如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.
(1)求x的取值范围.
(2)当x=-时,求y的取值范围.
【解析】(1)因为=x+y,以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-∞,0).
(2)如图所示,当x=-时,在OA的反向延长线取点C,使OC=OA,过C作CE∥OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E,则CD=OB,CE=OB,
要使P点落在指定区域内,则P点应落在DE上,当点P在点D处时,由相似三角形知,CD=OB,=-+,当点P在点E处时,由相似三角形知,CE=OB,=-+,所以y的取值范围是.
【补偿训练】
(2020·长沙高一检测)如图所示,在△ABC中,=,=,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和;
(2)如果=+λ=+μ,求实数λ和μ的值;
(3)确定点P在边BC上的位置.
【解析】(1)=-=-,
=-=-.
(2)由(1)知:=+λ=+,
=+μ=+,
所以+=+,
所以解得:
(3)设=m,=n,
由(2)知:=+,
所以=-=n-
=n-
=+,
又=m=m=m-m,
所以+=m-m,
所以解得
所以=,即=2,
所以点P为靠近点C的BC的三等分点.
PAGE课时素养评价
十七 数
乘
向
量
(20分钟 35分)
1.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于
( )
A.2a
B.-2a
C.a
D.-a
【解析】选B.由题意知,3x-2x+2a=0,故x=-2a.
2.已知向量a,b,设=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,那么下列各组中三点一定共线的是
( )
A.A,B,C
B.A,C,D
C.A,B,D
D.B,C,D
【解析】选C.由向量的加法法则知=+=
-5a+6b+7a-2b=2(a+2b)=2,又两线段均过点B,故A,B,D三点一定共线.
3.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么为
( )
A.a+b
B.a-b
C.a-b
D.-a+b
【解析】选A.由题意,得=+=b+=b+(+)=b+a+,
即=b+a+.解得=a+b.
4.(2a-3b)-3(a+b)= .?
【解析】-3=a-b-3a-3b=-a-4b.
答案:-a-4b
5.给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
③λa=0(λ为实数),则λ必为零.
④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中正确的命题序号为 .?
【解析】因为两个向量终点相同,起点若不在一条直线上,则也不共线,命题错误;由于两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小,因此命题是正确的;若λa=0(λ为实数),则a也可以为零向量,因此命题也是错误的;若λ,μ为0,尽管有λa=μb,则a与b也不一定共线,即命题也是错误的,应选答案②.
答案:②
6.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).
(1)求证:A,B,M三点共线.
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的范围.
【解析】(1)因为=λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,即=λ,又λ∈R,λ≠1,λ≠0且,有公共点A,
所以A,B,M三点共线.
(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,
则,同向且||>||(如图所示).
所以λ>1.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·汕头高一检测)已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,设=a,=b,则
=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.a-b=-=-=,所以==.
2.(2020·亳州高一检测)已知△ABC中,向量=λ(+)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的
( )
A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
【解析】选D.设D为BC中点,则+=2,所以=2λ,即P点在中线AD上,可知P点轨迹必过△ABC的重心.
3.已知△ABC三个顶点A,B,C及平面内一点P,若++=,则
( )
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在的直线上
D.P在线段AC上
【解析】选D.由已知,得+=-=,
所以=2,故P点在线段AC上.
4.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由++=0可知,M为△ABC的重心,故=×(+)=(+),所以+=3,即m=3.
5.在△OAB中,P为线段AB上的一点,4=3+,且=λ,则
( )
A.λ=2
B.λ=3
C.λ=4
D.λ=5
【解析】选C.因为4=3+,
所以3-3=-,所以3=,3==+=-,所以=4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如图,在△ABC中,=,=,若=λ+μ,则λ+μ的值为 .?
【解析】由题意得:=+=+
=+=+
=+×=+,
又=λ+μ,可知:λ+μ=+=.
答案:
7.已知P是△ABC内一点,=2(+),记△PBC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则= .?
【解析】如图,设BC中点为M,则=2(+)=
4,所以P到BC的距离为点A到BC距离的,故=.
答案:
8.(2020·江门高一检测)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,则此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.设点O,H分别是△ABC的外心,垂心,且M为BC中点,若+=m+n,则m+n= .?
【解析】(特值法)如图所示的Rt△ABC,其中角B为直角,则垂心H与B重合.
因为O为△ABC的外心,所以OA=OC,即O为斜边AC的中点,又因为M为BC中点,所以=2,因为M为BC中点,所以+=2=2(+)=2(2+)=4+2=2-
4.又因为+=m+n,
所以m=2,n=-4,故m+n=-2.
答案:-2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知点A,B,C在同一直线上,并且=a+b,=(m-2)a+2b,=(n+1)a+3b(其中a,b是两个任意非零向量),试求m,n之间的关系.
【解析】=-=(m-3)a+b,
=-=na+2b.
由A,B,C三点在同一直线上可设=k,
则所以(m-3)=n,
即2m-n-6=0为所求.
10.点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.
【解析】如图:取AB的中点P,
连接EP,FP,在△ABC中,因为EP是△ABC的中位线,所以==a,在△ABD中,因为FP是△ABD的中位线,所以==-b,在△EFP中,=+=-a-b=-(a+b).
1.(2020·郑州高一检测)设点O在△ABC的内部,且2+3+4=0,若△ABC的面积是27,则△AOC的面积为
( )
A.9
B.8
C.
D.7
【解析】选A.
延长OC到D,使得OD=2OC,
因为2+3+4=0,
所以++2=0,
以OA,OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,
因为=2,所以++=0,所以=-,因为OC∶AE=1∶2,所以OH∶HE=1∶2,
所以3=-,所以=-,
所以=,所以△AOC的面积是△ABC面积的,所以△AOC的面积为9.
2.如图所示,点O是梯形ABCD对角线的交点,||=4,||=6,||=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.
(1)用a0和b0表
示,和.
(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.
【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,
所以=-=6a0-
2b0;
因为∥,所以=4a0,
则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;
因为AD∥BC,
所以|OA|∶|OC|=|AD|∶|BC|=2∶3,
则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.
(2)知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得||的最大值和最小值分别为8和4.
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十六 向量的减法
(15分钟 30分)
1.如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为
( )
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a+c
D.b-a-c
【解析】选C.依题意=-=+-,即=b-a+c.
2.在四边形ABCD中,若=,且|+|=
|-|,则四边形ABCD的形状是
( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
【解析】选B.由=知,四边形ABCD是平行四边形,又因为|+|=|-|,所以两对角线长度相等,故四边形ABCD是矩形.
3.已知△OAB中,=a,=b,满足|a|=|b|=|a-b|=2,则|a+b|与△OAB的面积为
( )
A.
B.
C.2
D.3
【解析】选A.由已知得||=||,以,为邻边作平行四边形OACB,则可知其为菱形,
且=a+b,=a-b,由于|a|=|b|=|a-b|,则OA=OB=BA,所以△OAB为正三角形,所以|a+b|=||=2×=2,S△OAB=×2×=.
4.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,|+|=|-|,则||= .?
【解析】以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,由向量加减法的几何意义可知,=+,=-.因为|+|=|-|,
所以||=||.又因为||=4,M是线段BC的中点,所以||=||=||=2.
答案:2
5.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,分别求出其长度:
(1)a+b+c.
(2)a-b+c.
【解析】(1)由已知得a+b=+==c,
所以延长AC到E,使||=||.
则a+b+c=,且||=2.
所以|a+b+c|=2.
(2)作=,连接CF,
则+=,
而=-=a-b,
所以a-b+c=+=且||=2,所以|a-b+c|=2.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.化简:+-=
( )
A.0
B.
C.2
D.-2
【解析】选A.+-=+(-)
=+=0.
2.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则
( )
A.a-b+c-d=0 B.a+b+c+d=0
C.a+b-c-d=0
D.a+b-c+d=0
【解析】选A.因为四边形ABCD为平行四边形,
所以=,-=-,即d-a=c-b,
所以a-b+c-d=0.
3.平面内有四边形ABCD和点O,若+=+,则四边形ABCD的形状是
( )
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
【解题指南】等式中各向量起点相同,通过移项可把向量的加法转化为向量的减法,从而得到=.
【解析】选B.因为+=+,所以-=-,即=.又A,B,C,D四点不共线,所以||=||,且BA∥CD,故四边形ABCD为平行四边形.
4.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有
( )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
【解析】选C.如图,作平行四边形ABCD,
则+=,-=-=,
因为|m|=|n|,所以||=||,所以平行四边形ABCD为矩形,所以△ABC为直角三角形,∠B=90°.
【误区警示】本题的易错点有①向量,和与差的化简;②平行四边形的性质:对角线长相等的平行四边形为矩形.
5.已知点P在正△ABC所确定的平面上,且满足++=,则△ABP的面积与△ABC的面积之比为
( )
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
【解析】选C.因为++==-,所以=-2,即P点在边AC上,且AP=AC,所以P点到AB的距离等于C点到AB距离的,故△ABP的面积与△ABC的面积之比为1∶3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知a,b为非零向量,则下列命题中真命题的序号是 .?
①若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同;
②若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反;
③若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模;
④若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同.
【解题指南】结合向量三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|等号成立条件,即可正确判断.
【解析】当a,b方向相同时有|a|+|b|=|a+b|,
||a|-|b||=|a-b|,当a,b方向相反时有||a|-|b||=
|a+b|,|a|+|b|=|a-b|,因此①②④为真命题.
答案:①②④
7.已知O是边长为6的等边△ABC的中心,则|--|= .?
【解析】
如图,--=(-)-=+=.
因为等边△ABC的边长为6,
所以||=×6=3,
所以||=×3=2.
答案:2
8.如图所示,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,
∠BCW=120°,则A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)分别是 .?
【解析】如图,反向延长CW至点D,使CD=CW,作DE⊥AC,DF⊥BC,由∠ACW=150°,∠BCW=120°得∠ACD=30°,∠BCD=60°,因为||=10,
所以||=5,||=5.
答案:5N,5
N
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若=a+b,=a-b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?
(2)a+b与a-b可能是相等向量吗?
【解析】如图,
用向量构建平行四边形,其中=a,=b,向量,恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得=a+b,=a-b.由此问题就可转换为:(1)当边AB,AD满足什么条件时,对角线互相垂直?显然|a|=|b|
时,a+b与a-b垂直.
(2)因为对角线方向不同,所以a+b与a-b不可能是相等向量.
10.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a-b|的最小值和最大值是多少?
【解析】如图所示,
|a+b|和|a-b|是以|a|,|b|为邻边的平行四边形的两条对角线,则|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10,A是以O为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的平行四边形AOBD,平行四边形ECOA.
所以|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.
易知当A,B,C三点共线时,|AB|+|AC|最小,此时|AB|+|AC|=|BC|=4;当AO⊥BC时,|AB|+|AC|最大,此时|AB|+|AC|=2|AB|=2.
1.若向量a,b满足|a|=2,|b|=5,则|a-b|的最大值为 .?
【解析】|a-b|≤|a|+|b|=2+5=7,故|a-b|的最大值是7.
答案:7
2.在△ABC内有一点O,满足++=0,E为BC边的中点,=,设=a,=b,以a、b为基底,试求下列向量表达式:
(1).
(2).
【解析】(1)因为E为BC边的中点,由平行四边形法则知:
+==2,
因为++=0,
所以+=-=,
所以=2,故O为AE的三等分点,
所以===a+b;
(2)=-=(+)-
=(a+b)-a=a+b.
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十五 向量的加法
(15分钟 30分)
1.下列等式错误的是
( )
A.||+||≥||
B.++=0
C.+=0
D.+=++
【解析】选B.++=+=2≠0.
2.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是
( )
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.不确定
【解析】选B.因为|+|=||,|+|=
|+|=||,所以||=||,所以?ABCD是矩形.
3.若在△ABC中,AB=AC=1,|+|=,则△ABC的形状是
( )
A.正三角形
B.锐角三角形
C.斜三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选D.以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,因为AB=AC=1,AD=,所以
∠ABD=90°,该四边形为正方形,所以∠BAC=90°,所以△ABC为等腰直角三角形.
4.设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的有 .(将正确答案的序号填在横线上)?
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.
【解析】由条件得:(+)+(+)=0=a,故①③正确.
答案:①③
5.在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
①++= .?
②++= .?
③++= .?
【解析】①++=+=.
②++=+=.
③++=++=+=+=0.
答案:① ② ③0
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知向量a,b是两个非零向量,,分别是与a,b同方向的单位向量,则以下各式正确的是
( )
A.=
B.=或=
C.=
D.与的长度相等
【解析】选D.因为a与b方向关系不确定且a≠0,b≠0,又与a同方向,与b同方向,所以与方向关系不确定,所以A,B,C均不对.又与均为单位向量,所以||=||=1.
2.已知下面的说法:
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向与a或b的方向相同;
②在△ABC中,必有++=0;
③若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中正确的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①当a+b=0时,不成立;②说法正确;③当A,B,C三点共线时,也可以有++=0,故此说法不正确;④当a,b共线时,若a,b同向,则|a+b|=|a|+|b|;若a,b反向,则|a+b|=||a|-|b||;当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|,故此说法不正确.
3.(2020·商洛高一检测)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设a=+,利用平行四边形法则作出向量+,再平移即发现a=.
4.(2020·重庆高一检测)已知△ABC是边长为2的等边三角形,E为AC中点,且+=,则||=
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选B.因为+=,
所以四边形ABDE是平行四边形,连接BE,==,
所以四边形BDCE为平行四边形,所以=,
因为△ABC是边长为2的等边三角形,
所以||=||=×2=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知点G是△ABC的重心,则++= .?
【解析】如图所示,
连接AG并延长交BC于E点,点E为BC的中点,延长AE到D点,使GE=ED,则+=,+=0,所以++=0.
答案:0
6.在边长为1的等边三角形ABC中,|+|= ,|+|= .?
【解析】易知|+|=||=1,所以,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则|+|=||
=2||×sin
60°=2×1×=.
答案:1
三、解答题
7.(10分)如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d.
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
【解析】(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,
则a+e=+=,因为e为单位向量,所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,
此时|a+e|最大,最大值是3.
PAGE课时素养评价
十四 从位移、速度、力到向量
(15分钟 25分)
1.下列说法正确的是
( )
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个单位向量方向相同
【解析】选C.零向量的长度为0,方向是任意的,故A,B错误,C正确.任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故D错误.
2.设O为△ABC的外心,则,,是
( )
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起点相同的向量
【解析】选C.△ABC的外心,即△ABC的外接圆的圆心,它到A,B,C三点的距离相等,即有||=||=||.
3.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .?
【解析】因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m∥且m∥,所以m=0.
答案:0
4.已知在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又=且=,求证:=.
【证明】因为=,所以||=||且AB∥DC,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以||=||且DA∥CB.
又因为与的方向相同,所以=.
同理可证四边形CNAM是平行四边形,
所以=.
因为||=||,
||=||,所以||=||.
又与的方向相同,所以=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设在?ABCD中,有||=||且||=||,则这个四边形是
( )
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
【解析】选A.因为在平行四边形ABCD中,又||=||,可推得?ABCD为菱形.又||=||,可知?ABCD为矩形.从而可知?ABCD为正方形.
2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;
②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号是
( )
A.①
B.③
C.①③
D.①②
【解析】选A.根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.
3.若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的端点,得到的向量中有n(n∈N
)个是两两不相等的,则n的最大值是
( )
A.6
B.8
C.10
D.12
【解析】选B.如图,两两互不相等的有:,,,,,,,,共8个.
4.如图所示,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是
( )
A.=
B.=
C.=
D.=
【解析】选D.根据相等向量的定义,分析可得:
A中,与方向不同,故=错误;
B中,与方向不同,故=错误;
C中,与方向相反,故=错误;
D中,与方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故=正确.
【误区警示】向量相等需方向相同,长度相等,本题中易找不到相等关系从而错选.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为 .?
【解析】如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为∠ACD=∠BCD=∠AED,
所以||=||.因为△ADE∽△BDC,
所以==,故||=.
答案:
6.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写
出 个互不相等的非零向量.?
【解题指南】本题一定要注意相等向量的定义,比如与及为同一向量.
【解析】设AD为3个单位,则模为1个单位的向量有2个,如,;模为2个单位的向量有2个,如,;模为3个单位的向量有2个,如,,故共有6个.
答案:6
【补偿训练】
已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为 .
【解析】因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,的值为1.
答案:1三、解答题?
7.(10分)如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形:
(1)写出与,相等的向量.
(2)写出与共线的向量.
(3)写出与模相等的向量.
(4)向量与是否相等?
【解题指南】利用正方形的性质以及相等向量和共线向量的定义进行分析判断.
【解析】(1)由正方形的性质可知,与相等的向量有,和,与相等的向量有,和.
(2)与共线的向量为:,,
,,,,,,.
(3)与模相等的向量有:,,,,,,,,,,,,,,.
(4)向量与不相等.因为它们的方向不同.
【补偿训练】
如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B.点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有符合条件的向量.
(2)求||的最大值与最小值.
【解析】(1)画出所有符合条件的向量,如图所示.
(2)由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值为=;
②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值为=.所以||的最大值为,最小值为.
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