6.2.2 向量的减法运算 Word版

6.2.2　向量的减法运算
课标要求
素养要求
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算法则，理解向量减法的几何意义.
由向量的加法运算类比得到向量的减法运算，培养数学抽象素养及数学运算素养.
教材知识探究
利用平行四边形法则作a＋b可得c＝a＋b如图所示.
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问题1　实例中向量与向量有怎样的关系？
提示　长度相等，方向相反.
问题2　实例中利用了平行四边形法则求a＋b，那么你能结合相反向量的概念，求作出a＋(－b)吗？a＋(－b)与有什么关系？
提示　过点C作＝＝a，以CD，CA为邻边作?CAED，由于＝＝－b，于是＝a＋(－b).又＝＝＝a，所以四边形ABCE为平行四边形，所以＝，所以＝a＋(－b).
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1.相反向量　利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法
定义
我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量
性质
①对于相反向量有：a＋(－a)＝0②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法　向量的减法是向量加法的一种逆运算
(1)定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.
a－b＝a＋(－b)，减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.
(2)几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
教材拓展补遗
[微判断]
1.相反向量就是方向相反的向量.(×)
2.向量与是相反向量.(√)
3.两个向量的差仍是一个向量.(√)
4.向量a与向量b的差与b与a的差互为相反向量.(√)
5.相反向量是共线向量.(√)
提示　1.相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.
2.与大小相等、方向相反.
3.两个向量的和与差结果均为向量.
4.a－b与b－a的大小相等，方向相反，互为相反向量.
5.相反向量符合共线向量的条件，故正确.
[微训练]
1.在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b
B.a－b
C.b－a
D.－a－b
解析　＝－＝b－a.
答案　C
2.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)
A.m＝n
B.m＝－n
C.|m|＝|n|
D.方向相反
解析　相反向量的大小相等、方向相反，故A错误.
答案　A
3.化简－＋＋的结果等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　－＋＋＝＋＋＋＝＋0＝.
答案　B
[微思考]
1.若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？
提示　如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
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2.||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等号何时成立？
提示　(1)当向量a，b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；
(2)当向量a，b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a，b共线且反向时，后一个等号成立.
题型一　向量减法法则的运用
用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”
【例1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
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解　法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
　　　
图①　　　　　　　　　图②
法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
规律方法　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合，再作出差向量.
【训练1】　如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
题型二　向量减法的运算
化简时一般满足：“首尾相连为和的形式或起点相同为差的形式”
【例2】　(1)向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.
其中正确的是________(填序号).
解析　①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝，故填①④.
答案　①④
(2)化简：①＋－－；
②(＋＋)－(－－).
解　①＋－－＝(－)＋(－)
＝＋＝.
②(＋＋)－(－－)＝＋－＋
＝＋＋＋＝＋＝0.
规律方法　1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和.
(2)起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
【训练2】　化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－).
解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
题型三　向量减法的应用
向量a＋b，a－b的几何意义有着重要的应用，它们分别对应着以向量a，向量b为邻边的平行四边形的两条对角线上的向量
【例3】　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
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解　因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
【迁移1】　(变设问)本例条件不变，试用向量a，b，c表示与.
解　＝－＝c－a，＝－＝c－b.
【迁移2】　(变条件)本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
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解　因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝＋＝b－a＋c.
规律方法　用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.
【训练3】　如图所示，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用c，d表示.
解　(1)＝＋＋＝d＋e＋a＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
一、素养落地
1.通过学习平面向量的减法运算及运算法则，提升数学运算素养.通过向量减法几何意义的学习，培养数学抽象素养.
2.作两个向量的差，要结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头不要搞错了，a－b的箭头要指向向量a的终点；如果指向向量b的终点，则表示b－a.
3.用两个向量表示几何图形中的其他向量，特别要掌握用向量表示平行四边形的边与对角线的关系.
二、素养训练
1.已知非零向量a与b同向，则a－b(　　)
A.必与a同向
B.必与b同向
C.必与a是平行向量
D.与b不可能是平行向量
解析　向量a与b同向，当|a|>|b|时，a－b与a和b同向；当|a|<|b|时，a－b与a和b反向；当|a|＝|b|时，a－b＝0.综上可知a－b必与a是平行向量，故选C.
答案　C
2.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
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A.a＋b和a－b
B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a
D.b－a和b＋a
解析　由向量的加法、减法得，
＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.
答案　B
3.－－－＝________.
解析　－－－＝(－)－(＋)＝－0＝.
答案　
4.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为______.
解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案　2
基础达标
一、选择题
1.化简－＋所得的结果是(　　)
A.
B.
C.0
D.
解析　－＋＝＋＝0.
答案　C
2.在平行四边形ABCD中，＋－等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　在平行四边形ABCD中，＝，＝，所以＋－＝(－)＋＝.
答案　C
3.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A.1
B.2
C.
D.
解析　如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|＝||＝.
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答案　D
4.下列四个式子中可以化简为的是(　　)
①＋－；②－；③－；④－.
A.①④
B.①②
C.②③
D.③④
解析　因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C，D；因为－＝，所以④正确，排除B，故选A.
答案　A
5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)
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A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析　由题意得，＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝0.
答案　A
二、填空题
6.化简：＋－＝________.
解析　＋－＝＋＝0.
答案　0
7.在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为________.
解析　|－|＝||＝||＝1.
答案　1
8.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用，表示为________.
解析　＝＋＝＋2＝＋2(－)，
∴＝2－.
答案　2－
三、解答题
9.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解　法一　先作a－b，再作a－b－c即可.
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
法二　先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
10.如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋.
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解　＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a＋f－c，
－＝＝－＝f－d，
＋＋＝0.
能力提升
11.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，
∵|＋|＝|－|，∴||＝||，
又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案　2
12.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，＝a，＝b.求
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(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直；
(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.
解　(1)若a＋b与a－b垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a，b应该满足|a|＝|b|.
(2)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直.
创新猜想
13.(多选题)下列各式中，化简结果为的是(　　)
A.(－)－
B.－(＋)
C.－(＋)－(＋)
D.－－＋
解析　(－)－＝＋＋＝＋＝；－(＋)＝－0＝；－(＋)－
(＋)＝－－－＝＋－＝；－－＋＝＋＋＝＋2.
答案　ABC
14.(多填题)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，
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则(1)|a＋b＋c|＝________；
(2)|a－b＋c|＝________.
解析　(1)由已知得a＋b＝＋＝，
∵＝c，∴延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，
且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，而＝－＝－＝a－b，
∴|a－b＋c|＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
答案　(1)2　(2)2