2.7 正方形 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
正方形
湘教版·八年级数学下册
上课课件
第2章
四边形
学习目标
【知识与技能】
1.能说出正方形的定义和性质.
2.会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算.
【过程与方法】
1.经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合理论证能力.
2.通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系.
3.探索并掌握正方形的性质.
【情感态度】
1.在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情.
2.进一步加深对“特殊与一般”的认识.
【教学重点】
正方形的定义和性质及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
【教学难点】
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用.
新课导入
装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？矩形呢？
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形既是矩形又是菱形.
做一做：用一张长方形纸片折出一个正方形.
我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
定义
有一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
说一说，正方形具有哪些性质？
正方形的四条边都相等.
AB=BC=CD=DA
正方形的四个角都是直角.
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
AC=BD且AC⊥BD,OA=OC,OB=OD
说一说，正方形具有哪些性质？
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
证明
∵四边形
ABCD
为正方形，
∴
AD
=
CD，∠A
=
∠DCF
=
90°.
∵
DF⊥
DE，
∴
∠EDF
=
90°,即
∠1+∠3
=
90°，
又
∵∠2
+∠3
=
90°，∴∠1
=
∠2.
∴
△AED
≌
△CFD（ASA）.
∴
DE
=
DF.
如图，点
E
是正方形
ABCD
的边
AB
上任意一点，过点
D
作
DF⊥DE
交
BC
的延长线于点
F.
求证：DE
=
DF.
观察示意图，说一说如何判断一个四边形是正方形？
证明
【教材P73】
如图，
已知点
A′，B′，C′，D′
分别是正方形
ABCD
四条边上的点，并且
AA′
=
BB′
=
CC′
=
DD′.
求证：四边形
A′B′C′D′
是正方形.
∵
四边形
ABCD
为正方形，
∴
AB
=
BC
=
CD
=
DA.
又∵
AA′
=
BB′
=
CC′
=
DD′，∴
D′A
=
A′B
=
B′C
=
C′D.
又∵
∠A
=∠B
=∠C
=∠D
=
90°，
∴
△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴
A′D′=
B′A′=
C′B′=
D′C′.
∴
四边形
A′B′C′D′
是菱形.
又∵
∠1
=∠3，
∠1
+∠2
=
90°，∴
∠2
+∠3
=
90°.
∴
∠D′A′B′=
90°.
∴
四边形
A′B′C′D′
是正方形.
边
角
对角线
对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行
且相等
对角相等
两条对角线互相平分
中心对称
对边平行
且相等
四个角
都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称
中心对称
对边平行，
四条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
几种特殊四边形的性质
对边平行，
四条边都相等
四个角
都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等,
每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
特殊四边形的常用判定方法
平行
四边形
（1）两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；
（3）一组对边
（4）两条对角线互相平分；
（5）两组对角分别相等
矩
形
（1）有三个角是直角；
（2）有一个角是直角的平行四边形；
（3）两条对角线相等的平行四边形
菱
形
（1）四条边都相等；
（2）有一组邻边相等的平行四边形；
（3）
两条对角线互相垂直的平行四边形
正方形
（2）有一组邻边相等的矩形；
（3）有一个角是直角的菱形
平行且相等;
（1）有一个角是直角的有一组邻边相等的平行四边形；
练习
【教材P74】
已知正方形的一条对角线长为
4
cm，
求它的边长和面积.
解：设正方形的边长为x
cm，
根据勾股定理，得x2＋x2=42，
∴
x2=8，∴
x=
.
∴
S正方形=x2=8(cm2).
∴
正方形的边长为
cm，面积为8cm2.
2.
如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个
矩形一定是正方形吗？为什么？
理由：由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得此矩形的四条边都相等，即为正方形.
答：是正方形.
随堂练习
【教材P74】
如图，
在正方形
ABCD
的外侧作等边△DCE，
求∠AEB
的度数.
易知△DAE
为等腰三角形，∠ADE
=
150°.
∵∠DEA
=∠DAE
=
15°.
同理
∠CEB
=
15°.
∵△DCE为等边三角形，∴∠DEC
=
60°.
∴∠AEB
=
60°-15°-15°=
30°.
解
【教材P74】
如图，
将正方形
ABCD
的各边
AB，BC，CD，DA
顺次延长至
E，F，G，H，且使
BE=CF
=DG=AH.
求证：
四边形
EFGH
是正方形.
在
Rt△EAH
和Rt△FBE
中，∵BF
=
AE，BE
=
AH，
∴Rt△EAH
≌
Rt△FBE
.
∴HE
=
EF.
同理可证：EF=FG=GH.由此得四边形
EFGH
是菱形.
∵∠AEH
+∠AHE
=
90°，
又
∠AHE=
∠BEF，即∠HEF
=
90°.
∴
四边形
EFGH
为正方形.
证明
∵OF⊥AC于
F，OG⊥BC
于
G，
∴∠OGC
=∠C
=∠CFO
=
90°.
∴四边形
OGCF
是矩形.
过点
O
作
OH⊥AB于
H.
∵∠BAC，∠ABC
的平分线
AD，BE
相交于点
O，
∴OF
=
OH
=
OG.
∴四边形
OGCF
是正方形.
【教材P74】
如图，在
Rt△ABC
中，两锐角的平分线
AD，
BE
相交于点
O，OF⊥
AC
于点
F，OG⊥BC
于点
G.
求证：四边形
OGCF
是正方形.
证明
H
1.
说一说正方形的定义。
2.
正方形有哪些性质？
3.如何判定一个四边形是正方形？
课堂小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢欣赏
谢谢大家!
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