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垂径定理
第2章
圆
湘教版·九年级数学下册
上课课件
学习目标
【知识与技能】
1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.
2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.
【过程与方法】
在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中,培养我们观察,比较,归纳,概括的能力.
【情感态度】
通过对圆的进一步认识,加深我们对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.
【教学重点】
垂径定理及运用.
【教学难点】
用垂径定理解决实际问题.
新课导入
如图，1400年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦长）是
37.4
m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为
7.2
m，
求桥拱的半径（精确到
0.1
m）.
在⊙O中，AB
是任一条弦，CD
是⊙O
的直径，且
CD
⊥
AB，垂足为
E.
试问：AE
与
BE，
与
，
与
分别相等吗？
因为圆是轴对称图形，
将
⊙O
沿直径CD对折，AE
与
BE
重合，
，
分别与
,
重合，
即
AE
=
BE
，
,
.
你能试着证明这个结论吗？
连接
OA，OB.
∵
OA
=
OB，
∴
△OAB
是等腰三角形.
∵
OE
⊥
AB，
∴
AE
=
BE，
∠AOD
=∠BOD.
从而∠AOC
=∠BOC.
∴
，
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧.
如图，弦AB
=
8
cm，CD是⊙O
的直径，CD⊥AB，
垂足为
E，DE
＝
2
cm，求⊙O
的直径
CD
的长.
解
连接
OA.
设
OA
=
r
cm，
则
OE
＝
r
-
2
（cm）.
∵
CD⊥AB，
由垂径定理得
在
Rt△AEO
中，
由勾股定理得
OA2
＝
OE2
+
AE2.
即
r2
＝
（r-2）2
+
42.
解得
r
＝
5
.
∴
CD
=
2r
=
10
（cm）.
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知：如图，
在⊙O
中，弦
AB
与弦
CD
平行．
求证：
证明：
作直径
EF⊥
AB，∴
.
又∵AB∥CD，
EF
⊥
AB
，
∴
EF
⊥
CD.
∴
.
因此
.
即
.
如图，
AB
是⊙O
的直径，
C
是⊙O上一点，AC
＝
8
cm，
AB
＝
10
cm，
OD⊥BC于点
D，
求
BD
的长.
练习
解
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；
∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，即BD=
BC；
Rt△ABC中，AB
=
10cm，AC
=
8cm；
由勾股定理，得：BC=6cm；
故BD=
BC=3cm．
随堂练习
1.
如图,☉O
的直径为
10
,
弦
AB
的长为
6
,
M
是弦
AB
上
的一动点,
则线段
OM
的取值范围是（
）
A.
3
≤
OM
≤
5
B.
4
≤
OM
≤
5
C.
3＜OM
＜5
D.
4＜
OM
＜
5
B
2.
一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,
其中有水部分水面宽
0.8
m、水深
0.2
m,
则此输水
管道的直径是（
）
A.
0.4
m
B.
0.5
m
C.
0.8
m
D.
1
m
D
3.
如图,
圆弧形拱桥的跨度
AB＝12
m,
拱高
CD＝
4
m,
则拱桥的半径为（
）
A.
6.5m
B.
9m
C.
13
m
D.
15
m
A
4.
（分类讨论题）已知☉O
的半径为
13
cm,
弦AB
∥CD
,
AB＝24
cm,
CD
＝10
cm,
则
AB
,
CD
之间的距离为
_____________．
17
cm
或
7
cm
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧.
课堂小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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第2章
圆
湘教版·九年级数学下册
上课课件
【教材P60】
水管中心到水面的高度为，
水深为
25-15＝10
（cm）.
【教材P60】
证明
过点
O
作
OE⊥CD，
则AE＝BE，
CE＝DE.
∴
AE-CE＝BE-DE，
即
AC
＝BD.
【教材P60】
解
如图，用
表示桥拱，设
所在圆的圆心为
O，半径为
r，经过圆心
O
作弦
AB
的垂线，
D
为垂足，OC
与
相交于点
C，
则
D
是
AB
的中点，
CD为拱高.
在
Rt△ADO
中，r2＝18.72
+
(r-7.2)2，
解得
r
≈
27.9（m）.
【教材P60】
解
如图，过点
O
作
OD⊥AB，连接
OB，
OC.
设小圆的半径为
r，大圆的半径为
R，则
在
Rt△ODB
中，
OD2
+
22
=
r2，
在
Rt△ODC
中，
OD2+32=
R2，
∴
圆环面积
S＝πR2-πr2＝π（32-22）
＝
5π.
【教材P60】
解
连接
AB，作线段
AB
的垂直平分线，
交
于点
C，
所以
C
点为
的中点.
理由是：
垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧.
课堂小结
1.
说一说本节课的收获。
2.
你还存在哪些疑惑？
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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