湖南师大附中2020-2021学年高一下学期入学自主检测数学试题 Word版含答案

湖南师大附中2020-2021学年度高一第二学期入学自主检测
数学
时量：20分钟 满分：50分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.设false，false，false，则false，false，false的大小关系是（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.函数false的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知函数false，且false，则false的值为（ ）
A.false B.1 C.3 D.false
5.关于false的方程false，有下列四个命题：
甲：false是该方程的根；乙：false是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.若实数false，false满足false，则false的最小值为（ ）
A.false B.2 C.false D.4
7.若函数false在区间false上是减函数，则实数false的取值范围是（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.已知函数false的定义域为false，则“false无最大值”的一个充分条件是（ ）
A.false为偶函数且关于直线false对称
B.false为偶函数且关于点false对称
C.false为奇函数且关于直线false对称
D.false为奇函数且关于点false对称
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知false，false，且false.则下列结论正确的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
10.下列几个说法中，正确的是（ ）
A.已知函数false的定义域是false，则false的定义域是false
B.命题“false，false”的否定为：“false，false”
C若函数false有两个零点，则实数false的取值范围是false
D.若函数false在区间false上的最大值与最小值分别为false和false，则false
11.已知函数false的图象关于直线false对称，则（ ）
A.函数false为奇函数
B.函数false在false上单调递增
C.若false，则false的最小值为false
D.函数false的图象向右平移false个单位长度得到函数false的图象
12.已知false，false，false.则false的值可能是（ ）
A.false B.false C.1 D.false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知false，false，则false .
1.已知函数false是定义域为false的奇函数，当false时，false.则false时，false .
15.已知函数false，false，false在区间false上单调递减，则false .
16.设函数false
①若false，使得false成立，则实数false的取值范围是 ；
②若函数false为false上的单调函数，则实数false的取值范围是 .
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数false.
（1）求使false的false最小值；
（2）若对任意false，false有意义，求实数false的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数false.
（1）求false的最大值及取得最大值时false的值；
（2）若方程false在false上的解为false，false，而，求false的值.
19.（本小题满分12分）
设false，false是false上的偶函数.
（1）求false的值；
（2）判断false在false上是增函数还是减函数，并证明你的结论.
20.（本小题满分12分）
倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量false为false，首次改良工艺后排放的废气中含有污染物数量false为false，第false次改良后所排放的废气中的污染物数量false可由函数模型false给出，其中false是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后false的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过false.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取false）
21.（本小题满分12分）
已知函数false.
（1）求函数false的最小正周期；
（2）将函数false的图象向右平移false个单位长度，再向下平移false个单位长度后得到函数false的图象，且函数false的最大值为2.
（i）求函数false的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false.
22.（本小题满分12分）
已知false，false.
（1）若false，且false，求false的取值范围；
（2）若false，且方程false在false上有两个解false，false，求false的取值范围，并证明false.
湖南师大附中2020-2021学年度高一第二学期入学自主检测
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
D
A
C
D
D
3.B【解析】由false，得false，在平面直角坐标系中分别画出函数false和false的图象，可知其交点只有一个，所以false的零点只有一个.
4.D【解析】因为false，
所以false.
5.A【解析】若甲、乙都为真命题，则丙、丁都为假命题，与四个命题中“只有一个假命题”矛盾，故甲、乙中必有一个假命题.若甲、丙都为真命题，则乙、丁都为假命题，也与四个命题中“只有一个假命题”矛盾，从而甲、丙中必有一个假命题.由此可知，甲是假命题.
6.C【解析】由false得：false，false，false，即false，当且仅当false，即false时等号成立.
7.D【解析】因为false时，false是减函数，则false，即false.
8.D【解析】对于A，由false为偶函数且关于直线false对称，但有最大值知其不正确；对于B、C，可分别由反例false，false知其不正确；对于D，由false为奇函数且关于点false对称知false，false，由此可得false，所以false没有最大值.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
AB
ACD
AC
BCD
12.BCD【解析】已知false，false，false.∴false，
（1）当false时，falsefalse（当且仅当false时，等号成立）.
（2）当false时，false（当且仅当false时，等号成立）.
综上可知，false的可取值范围是false，故选BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.false
14.false【解析】当false时，false，因为false是奇函数，所以false.
所以false.
15. 2【解析】∵false在false上单调递减，且false，∴false，
∵false，∴false，
∴false，false，
又由false，false，得false，
∴false.
16.①false ②false
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）false即false，所以false，即false，所以false的最小值为7.
（2）方法一：对任意false，false有意义false在区间false上，false恒成立false恒成立.
设false，false，
false递增，所以当false时，false，
于是当且仅当false时，false在false上有意义，故false.
所以false的取值范围是false.
方法二：对任意false，false有意义false在区间false上，false恒成立false恒成立false恒成立，①
设false，false，则①false，
因为false，故当false时false取得最大值false，
所以false，即false的取值范围是false.
18.【解析】（1）false
false.
当false，
即false时，函数false取最大值，且最大值为1.
（2）由（1）知，函数false图象的对称轴为false，
∴当false时，对称轴为false或false.
又方程false在false上的解为false，false.
结合图象知点false与点false关于false对称.
∴false，则false，
∴false，
又false，故false.
19.【解析】（1）因为false是false上的偶函数，
所以false，false，
即false，亦即false，又false不可能恒为“0”，
所以false，而false，故false.
（2）false在false上是增函数.证明如下：
在false上任取false，
false
false.
因为false，所以由false得false，从而false，
所以false，即false，
所以false在false上是增函数.
20.【解析】（1）由题意得false，false，
所以当false时，false，
即false，解得false，
所以false，
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型false.
（2）由题意可得，false，
整理得false，即false，
两边同时取常用对数，得false，整理得false，
取false代入，得false，
又因为false，所以false.
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
21.【解析】（1）因为false.
所以函数false的最小正周期false.
（2）（i）将false的图象向右平移false个单位长度后得到false的图象，再向下平移false个单位长度后得到false的图象.
又已知函数false的最大值为2，所以false，解得false.
所以false.
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false，即false.
由false知，存在false，使得false.
由正弦函数的性质可知，当false时，均有false.
因为false的周期为false，
所以当false时，均有false.
因为对任意的整数false，false，
所以对任意的正整数false，都存在正整数false，使得false.
即存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false.
22.【解析】（1）false时，false，
因为false关于false的方程false即false无实数解，
易知false，故由false，得false，即false的取值范围是false.
（2）false时，false即false，不妨设false，
令false
因为false时，false，所以false在false上至多一个解，
若false，则false，false就是false的解，从而false，这与题设矛盾.
因此，false，false.
由false得false，所以false，
由false得false，所以false.
故当false时，方程false在false上有两个解.
由false和false消去false得false，
因为false，所以false.