四川省绵阳市江油市八校2020-2021学年九年级下学期开学数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年四川省绵阳市江油市八校九年级（下）开学数学试卷
一．选择题（共15小题共45分）
1．如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．x＞﹣3
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若化成最简二次根式后，能与合并，则a的值不可以是（　　）
A． B．8 C．18 D．28
4．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
6．在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）关于原点对称的点是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）
7．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
8．如图，点A、B、C分别表示三个村庄，AB＝13千米，BC＝5千米，AC＝12千米．某社区拟建一个文化活动中心．要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
9．若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
10．若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A． B．3π C．6π D．9π
11．下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形
B．以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形
C．分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变
D．任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合
12．抛物线y＝x2+x﹣6与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，6） B．（0，﹣6）
C．（﹣6，0） D．（﹣3，0），（2，0）
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，与x轴的一个交点坐标为（0，0），其部分图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣b+c＜0
B．6a﹣b＝0
C．抛物线过（6，0）
D．当x＜3时，y随x增大而增大
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（　　）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
二．填空题（共8小题共24分）
16．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
17．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n+mn的值为　 　．
18．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是　 　．
19．如图，AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，OA＝2，∠ACB＝60°，则阴影部分的面积为　 　．
20．将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为　 　．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m（am+b）（m≠1），其中正确的结论有　 　．
22．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是　 　m．
23．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和B的正东方向上，且点D位于点C的北偏东60°方向上，CD＝12km，则AB＝　 　km．
三．解答题（共6小题共81分）
24．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程．
25．（1）计算：（﹣2）2﹣|﹣3|+×+（﹣6）0；
（2）解分式方程：＝．
26．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠D＝60°，AD为直径的⊙O经过点C，AB是⊙O的切线，OE∥BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，求BE的长．
27．2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为　 　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
28．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）OP与⊙O相交于点D，直线CD交PB于点E，若CE⊥PB，CE＝4，求⊙O的半径．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP时，求点P的坐标．
2020-2021学年四川省绵阳市江油市八校九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．x＞﹣3
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+3≥0，
解得，x≥﹣3，
故选：C．
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝＝2，不是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：A．
3．若化成最简二次根式后，能与合并，则a的值不可以是（　　）
A． B．8 C．18 D．28
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，能与合并，a的值可以是，本选项不符合题意；
B、＝＝2，能与合并，a的值可以是8，本选项不符合题意；
C、＝＝3，能与合并，a的值可以是18，本选项不符合题意；
D、＝＝2，不能与合并，a的值不可以是28，本选项符合题意；
故选：D．
4．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】将x＝1代入原方程即可求出（5a+b）的值，然后整体代入求值即可．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：12+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
故选：A．
5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
【分析】设y＝x2﹣2x+1，将已知方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）关于原点对称的点是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点（3，﹣5）关于原点对称的点是（﹣3，5），
故选：B．
7．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【分析】连接OA，先由垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径为10分米，
∴OA＝5分米，
由题意得：OD⊥AB，AB＝8分米，
∴AC＝BC＝AB＝4分米，
∴OC＝＝＝3（分米），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），
故选：A．
8．如图，点A、B、C分别表示三个村庄，AB＝13千米，BC＝5千米，AC＝12千米．某社区拟建一个文化活动中心．要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出即可．
【解答】解：∵AB＝13千米，BC＝5千米，AC＝12千米，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，
故选：A．
9．若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，
∴其一个外角度数为180°﹣108°＝72°，
则这个正多边形的边数为360°÷72°＝5，
故选：A．
10．若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A． B．3π C．6π D．9π
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：S扇形＝＝9π，
故选：D．
11．下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形
B．以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形
C．分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变
D．任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形，是不可能事件；
B、以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形，是必然事件；
C、分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，是必然事件；
D、任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合，是随机事件；
故选：D．
12．抛物线y＝x2+x﹣6与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，6） B．（0，﹣6）
C．（﹣6，0） D．（﹣3，0），（2，0）
【分析】令x＝0，求出y的值即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣6，
∴抛物线y＝x2+x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6）．
故选：B．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，与x轴的一个交点坐标为（0，0），其部分图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣b+c＜0
B．6a﹣b＝0
C．抛物线过（6，0）
D．当x＜3时，y随x增大而增大
【分析】根据函数图象以及二次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故选项A错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，
∴﹣＝3，
∴6a+b＝0，故选项B错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，与x轴的一个交点坐标为（0，0），
∴与x轴的一个交点坐标为（6，0），故选项C正确；
当x＜3时，y随x增大而减小，故选项D错误；
故选：C．
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】根据梯形中位线定理可得EF＝（AD+BC），EF∥AD＝BC，根据BC＝3AD，设AD＝x，则BC＝3AD＝3x，EF＝2x，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△OBC＝9，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得△AOB和△DOC的面积，进而可得结论．
【解答】解：∵AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝（AD+BC），EF∥AD＝BC，
∵BC＝3AD，
设AD＝x，则BC＝3AD＝3x，EF＝2x，
∵EF∥AD，且E，F为AB，DC的中点，
∴EG＝AD＝x，FH＝AD＝x，
∴GH＝x，
∵GH∥BC，
∴△OGH∽△OBC，
∴＝（）2＝＝，
∵△OGH的面积为1，
∴S△OBC＝9，
同理，△OAD∽△OBC，
∴＝，
∴S△OAD＝1，
∵OB＝3OD，
∴S△AOB＝3S△AOD＝3，
∵OC＝3OA，
∴S△COD＝3S△AOD＝3，
∴梯形ABCD的面积为：9+1+3+3＝16．
故选：C．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（　　）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．
【解答】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
16．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤5　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得5﹣x≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，
解得：x≤5，
故答案为：x≤5．
17．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n+mn的值为　﹣2027　．
【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，mn＝﹣2021，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得m+n＝﹣3，mn＝﹣2021，
所以2m+2n+mn＝2（m+n）+mn＝﹣6﹣2021＝﹣2027．
故答案为：﹣2027．
18．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是　﹣2＜m＜1　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【解答】解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案为：﹣2＜m＜1．
19．如图，AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，OA＝2，∠ACB＝60°，则阴影部分的面积为　4﹣π　．
【分析】连接OC，如图，根据切线长定理和切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，则∠AOB＝120°，∠ACO＝∠BCO＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝2，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝2S△OAC﹣S扇形AOB进行计算．
【解答】解：连接OC，如图，
∵AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝30°，
在Rt△OAC中，AC＝OA＝2，
∴阴影部分的面积＝2S△OAC﹣S扇形AOB
＝2××2×2﹣
＝4﹣π．
故答案为4﹣π．
20．将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为　y＝﹣2（x+1）2+3　．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5，
再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5﹣2，即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m（am+b）（m≠1），其中正确的结论有　①③　．
【分析】根据函数的图象即可判断①，②由x＝﹣1时y＜0，即可判断②，由﹣＝1，即2a+b＝0即可判断③，根据函数的最值即可判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
∵﹣＝1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵﹣＝1，
∴2a+b＝0，
故③正确；
④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故④错误．
故答案为①③．
22．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是　5　m．
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴＝，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
23．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和B的正东方向上，且点D位于点C的北偏东60°方向上，CD＝12km，则AB＝　6　km．
【分析】过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长．
【解答】解：过C作CE⊥BD于E，则CE＝AB．
直角△CED中，∠ECD＝60°，CD＝12km，
则CE＝CD?cos60°＝6km＝AB．
所以AB＝6（km）．
故答案是：6．
三．解答题（共6小题）
24．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程．
【分析】（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，解不等式即可；
（2）由m的取值范围得到m＝1，代入（m﹣2）x2﹣2x+1＝0，利用公式法求得即可．
【解答】.解：（1）根据题意，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，且m﹣2≠0，
∴m≤3，m≠2；
（2）∵m≤3且m≠2，
∴可取m＝1，
当m＝1时，原方程化为﹣x2﹣2x+1＝0，
∴x＝，
解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+．
25．（1）计算：（﹣2）2﹣|﹣3|+×+（﹣6）0；
（2）解分式方程：＝．
【分析】（1）先计算乘方、取绝对值符号、计算二次根式的乘法及零指数幂，再计算加减可得；
（2）去分母化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+4+1＝6；
（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5，
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝≠0，
∴原分式方程的解为x＝．
26．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠D＝60°，AD为直径的⊙O经过点C，AB是⊙O的切线，OE∥BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，求BE的长．
【分析】（1）由等边三角形的判定与性质得出∠DCO＝60°，由四边形内角和定理求出∠OCB＝90°，则可得出答案；
（2）连接OB，由切线长定理得出∠OBA＝30°，由直角三角形的性质得出AB的长，则可求出答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠DCO＝60°，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠A+∠B+∠C+∠BCD＝360°，
∴∠BCO＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D﹣∠OCD＝360°﹣90°﹣60°﹣60°﹣60°＝90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，连接OB，
∵OE∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠OEA＝∠ABC＝60°，
∴∠AOE＝90°﹣∠OEA＝30°，
∵AE＝1，
∴OE＝2AE＝2，
∴OA＝＝＝，
∵BA，BC是⊙O的切线，
∴∠OBA＝∠ABC＝30°，
∴OB＝2OA＝2，
∴AB＝＝＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2．
27．2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为　162°　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
（2）由该校共有学生人数除以“非常重视”的学生所占比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，
“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：
（2）由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
28．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）OP与⊙O相交于点D，直线CD交PB于点E，若CE⊥PB，CE＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，过点O作OT⊥PB于T．利用角平分线的性质定理，证明OC＝OT即可．
（2）想办法证明DC＝OD＝DP，证明DE＝OT＝CD即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC，过点O作OT⊥PB于T．
∵PA是⊙O的切线，
∵OC⊥PA，
∵OP平分∠APB，OT⊥PB，
∴OC＝OT，
∴PB是⊙O的切线．
（2）∵CE⊥PB，OT⊥PB，
∴∠CEP＝∠OTP＝90°，
∴CE∥OT，
∴∠ODC＝∠DOT，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PC＝PT，
在△OPC和△OPT中，
，
∴△OPC≌△OPT（SSS），
∴∠POC＝∠POD＝∠ODC，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠COD＝∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD，
∴∠OPC＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ODC＝∠DCP+∠DPC，
∴∠DCP＝∠DPC＝30°，
∴DC＝DP＝OD，
∵DE∥OT，
∴ET＝EP，
∴DE＝OT＝CD，
∵CE＝4，
∴OC＝CD＝EC＝．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）过D作DE⊥AC交CA延长线于E，通过证明∴△EAD∽△OAC，由相似三角形的性质可求ED＝2，EC＝6，即可求解；
（3）由角的数量关系可求∠ACP＝∠BAP，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0）和点B（2，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣4，
可得，
解得：
∴抛物线的解析式为，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4）；
（2）如图1，过D作DE⊥AC交CA延长线于E，
∵C（0，﹣4），点A（﹣4，0），
∴OA＝OC＝4，
∴AC＝4，
∵∠EAD＝∠OAC，∠DEA＝∠COA，
∴△EAD∽△OAC，
∴，
∴，
∴，，
∴EC＝6，
∴；
（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，设，
∵∠OCD＝∠CAP，
∴∠OCA+∠ACD＝∠CAB+∠BAP，
∴45°+∠ACD＝45°+∠BAP，
∴∠ACP＝∠BAP，
∴，
∴tan∠BAP＝＝＝，
∴或t＝﹣4（舍去），
∴．