湖南省长沙市明德华兴中学2020-2021学年九年级下学期入学数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德华兴中学九年级（下）入学数学试卷
一、选择题（12小题，共36分）
1．﹣的相反数等于（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
2．为支持新冠疫情防控工作，全国已有数万名党员自愿捐款，共捐款47.3亿元．则47.3亿元可表示为（　　）
A．47.3×108元 B．4.73×108元
C．0.473×109元 D．4.73×109元
3．下列等式成立的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．2a2﹣3a＝﹣a
C．a6÷a3＝a2 D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4
4．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（　　）
A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件
B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
6．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，圆周角∠ACB的度数为48°，则圆心角∠AOB的度数为（　　）
A．48° B．24° C．96° D．90°
9．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）
A．160 m B．120 m C．300 m D．160 m
10．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1和函数y＝（k是常数且k≠0）的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
12．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
二.填空题（共6小题，共18分）
13．分解因式：2a2+4a+2＝　 　．
14．一抹“凉都绿”，一杯生态茶．凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵树 3000 5000 8000 10000 20000 …
成活棵树 2690 4507 7195 9003 17998 …
成活率 0.8967 0.9014 0.8993 0.9003 0.8999 …
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为　 　（结果保留一位小数）．
15．若扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　．（结果保留π）
16．分式方程＝的解是x＝　 　．
17．若等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则这个三角形的周长　 　．
18．如图，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　 　．
三．解答题（共66分）
19．计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．
20．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
21．为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，某校集合为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的人数有多少人？
（2）请补全条形图，并求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；
（3）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝．OE＝2，求线段CE的长．
23．众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地 车型 A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000
小货车 500 700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
24．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E是AB延长线上一点，AC⊥DE交ED延长线于C，CF∥AB，交AD延长线于F，且CF＝AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：AC?BE＝CD?DE；
（3）若BE＝3，DE＝3，求AF的长．
25．定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B＝（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．
26．已知抛物线y＝﹣+bx+4上有不同的两点E（3，k）和F（﹣1，k）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线y＝﹣+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德华兴中学九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．﹣的相反数等于（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣4
【分析】根据相反数的概念即可解答．
【解答】解：﹣的相反数等于．
故选：A．
2．为支持新冠疫情防控工作，全国已有数万名党员自愿捐款，共捐款47.3亿元．则47.3亿元可表示为（　　）
A．47.3×108元 B．4.73×108元
C．0.473×109元 D．4.73×109元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：47.3亿元可表示为4.73×109元，
故选：D．
3．下列等式成立的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．2a2﹣3a＝﹣a
C．a6÷a3＝a2 D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（a2）3＝a2×3＝a6；正确；
B、2a2和3a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a6÷a3＝a6﹣3＝a3；故本选项错误；
D、应为（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16；故本选项错误．
故选：A．
4．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果．
【解答】解：绕直线l旋转一周，可以得到圆台，
故选：D．
5．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（　　）
A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件
B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
【分析】直接利用概率的意义以及概率求法和利用样本估计总体等知识分别分析得出答案．
【解答】解：A、“在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件，故此选项错误；
B、掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为：，故此选项错误；
C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，正确；
D、彩票的中奖率为10%，则买100张彩票大约有10张中奖，故原说法错误．
故选：C．
6．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．
【解答】解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
∴点B的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为3﹣4＝﹣1，
∴B的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选：C．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【解答】解：，
解不等式2x﹣1≥5，得：x≥3，
解不等式8﹣4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：x≥3，
故选：C．
8．如图，圆周角∠ACB的度数为48°，则圆心角∠AOB的度数为（　　）
A．48° B．24° C．96° D．90°
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：根据圆周角定理，得∠AOB＝2∠ACB＝96°．故选C．
9．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）
A．160 m B．120 m C．300 m D．160 m
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，
在Rt△ABD中，BD＝AD?tan30°＝120×＝40（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD?tan60°＝120×＝120（m），
∴BC＝BD+CD＝160（m）．
故选：A．
10．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1和函数y＝（k是常数且k≠0）的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与y轴的交点判断正确选项即可．
【解答】解：当k＞0时，一次函数过一二三象限，反比例函数过一三象限；
当k＜0时，一次函数过一二四象限，反比例函数过二四象限；
故选：B．
11．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500＝7500000（平方米）＝7.5（平方千米）．
故选：A．
12．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【分析】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3
【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，
解得≤m＜3，
当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为m≥．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．分解因式：2a2+4a+2＝　2（a+1）2　．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2，
故答案为：2（a+1）2．
14．一抹“凉都绿”，一杯生态茶．凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵树 3000 5000 8000 10000 20000 …
成活棵树 2690 4507 7195 9003 17998 …
成活率 0.8967 0.9014 0.8993 0.9003 0.8999 …
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为　0.9　（结果保留一位小数）．
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种茶树种植成活的概率为0.9．
故答案为：0.9．
15．若扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为　2π　．（结果保留π）
【分析】根据弧长公式可得．
【解答】解：根据题意知该扇形的弧长为＝2π，
故答案为：2π．
16．分式方程＝的解是x＝　﹣5　．
【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为x（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．
【解答】解：去分母，得5（x﹣2）＝7x，
解得：x＝﹣5，经检验：x＝﹣5是原方程的解．
17．若等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则这个三角形的周长　18　．
【分析】求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，
∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，
∴x﹣4＝0，x﹣5＝0，
∴x1＝4，x2＝5，
当三边是4，4，8时，
∵4+4＝8，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是5，5，8时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是5+5+8＝18；
故答案为：18．
18．如图，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　3　．
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝
∴BE＝3
故答案为3
三．解答题（共8小题）
19．计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+2+（﹣1）﹣2×
＝1+2+﹣1﹣
＝2．
20．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（2﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝．
21．为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，某校集合为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的人数有多少人？
（2）请补全条形图，并求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；
（3）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率．
【分析】（1）样本中“在线阅读”的人数有25人，占调查人数的25%，可求出调查人数；
（2）求出“在线答疑”的人数即可补全条形统计图；求出“在线答疑”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个人选择同一种方式的概率．
【解答】解：（1）25÷25%＝100（人），
答：本次调查100名学生；
（2）100﹣40﹣25﹣15＝20（人），补全条形统计图如图所示：
360°×＝72°，
答：“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数为72°；
（3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种等可能出现的结果，其中两人选择同一种方式的有4种，
所以小宁和小娟选择同一种方式的概率为＝．
答：小宁和小娟选择同一种学习方式的概率为．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝．OE＝2，求线段CE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC＝2，
∴OB＝＝1，
∵∠AOB＝∠AEC＝90°，
∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴，
∴＝，
∴CE＝．
23．众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地 车型 A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000
小货车 500 700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【分析】（1）设大货车、小货车各有m与n辆，根据题意列出方程组即可求出答案．
（2）根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．
（3）先求出x的范围，然后根据y与x的函数关系式即可求出y的最小值．
【解答】解：（1）设大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知：，
解得：
答：大货车、小货车各有12与8辆
（2）设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有（10﹣x）辆，
到B地的大货车有（12﹣x）辆，
到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）
＝100x+15600，
其中2≤x≤10．
（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，
15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，
当x＝8时，
y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．
24．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E是AB延长线上一点，AC⊥DE交ED延长线于C，CF∥AB，交AD延长线于F，且CF＝AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：AC?BE＝CD?DE；
（3）若BE＝3，DE＝3，求AF的长．
【分析】（1）连接OD，证明AC∥DO，得出OD⊥DE，可得出结论；
（2）连接BD，证明△ACD∽△ADB，得出，证明△ADE∽△DBE，得出，可得出结论；
（3）求出AE的长，设DB＝x，AD＝x，由勾股定理求出DB，可求出AC，CD，证明△CDF∽△EDA，得出，则可求出DF，则答案可求出．
【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵AC＝CF，
∴∠F＝∠CAF，
∵CF∥AB，
∴∠F＝∠DAO，
∴∠CAF＝∠DAO，
∵AO＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠CAF＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∵AC⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝∠ADB，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴△ACD∽△ADB，
∴，
∵OD⊥DE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠BDE+∠OBD＝90°，
又∵∠OBD+∠DAB＝90°，
∴∠BDE＝∠DAB，
∵∠DEB＝∠AED，
∴△ADE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC?BE＝CD?DE；
（3）∵△ADE∽△DBE，
∴，
∴DE2＝BE?AE，
∵BE＝3，DE＝3，
∴＝3×AE，
∴AE＝6，
∴AB＝AE﹣BE＝6﹣3＝3，
∵，
设DB＝x，AD＝x，
∴，
解得x＝，
∴DB＝，AD＝，
∵△ACD∽△ADB，
∴，
∴AD2＝AC?AB，
∴＝AC×3，
∴AC＝2，
∵AC?BE＝CD?DE，
∴2×，
∴CD＝，
∵CF∥AB，
∴△CDF∽△EDA，
∴，
∴，
解得DF＝，
∴AF＝DF+AD＝＝．
25．定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B＝（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．
【分析】（1）根据四边形内角和为360°及对半四边形的定义可求出∠A与∠B的度数之和；
（2）连结OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，证∠CAB+∠CBA＝120°，则另两个内角之和为240°，由对半四边形的定义可以进行判定；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，先证△CDE为等边三角形，再证△ADF∽△FEB，由相似三角形的性质求出AD的长，进一步求出AC的长．
【解答】解：（1）由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
则∠A+∠B+2（∠A+∠B）＝360°，
∴∠A+∠B＝120°；
（2）如图2，连结OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，
∴∠ACB＝（180°﹣30°﹣30°）÷2＝60°，
则∠CAB+∠CBA＝120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，
则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为对半四边形；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，
∴∠C＝60°，
又∵CD＝CE，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，
∴∠ADF＝∠FEB＝120°，
∵∠AFB＝120°，
∴∠DFA+∠EFB＝60°，
又∵∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠DAF＝∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴＝，
∵CE＝DE＝3，CE＝3BE，F是DE的中点，
∴BE＝1，DF＝EF＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴CA＝CD+AD＝3+＝．
26．已知抛物线y＝﹣+bx+4上有不同的两点E（3，k）和F（﹣1，k）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线y＝﹣+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
【分析】（1）由点E与点F的纵坐标相同可知抛物线的对称轴为x＝1，由抛物线的对称轴方程可求得b＝1，则可得出答案；
（2）令x＝0可求得y＝4，令y＝0可求得x＝﹣2或x＝4，从得到点A（4，0）、B（0，4），M（2，2），然后证明∠B＝∠A＝45°，∠BCM＝∠AMD，从而可证明△BCM∽△AMD，由相似三角形的性质可得到n与m的函数关系式；
（3）将x＝﹣1代入抛物线的解析式可求得点F的坐标，然后依据待定系数法可求得MF的解析式，当PM过点F时，可求出OC的长，从而求得n的值，当MQ过点F时，可求出OD的长，故此可求得n的值，然后由m＝可求得m的值．
【解答】解：（1）∵点E（3，k），点F（﹣1，k），
∴抛物线的对称轴方程为x＝1．
∵x＝﹣，
∴﹣＝1．
解得：b＝1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
将x＝0代入得：y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）．
令y＝0得：﹣x2+x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝4．
∴点A（4，0）．
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标为（2，2）．
∵OA＝OB，∠BOA＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°．
∴∠BCM+∠BMC＝135°，MB＝MA＝AB＝2．
∵∠PMQ＝45°，
∴∠BMC+∠AMD＝135°．
∴∠BCM＝∠AMD．
∴△BCM∽△AMD．
∴，
即．
∴m＝（n＞0）．
（3）将x＝﹣1代入抛物线的解析式得：y＝﹣+（﹣1）+4＝．
∴点F的坐标为（﹣1，）．
设直线MF的解析式为y＝k1x+b1．
将点M和点F的坐标代入得：，
解得：k1＝﹣，b1＝．
∴直线MF的解析式为y＝﹣．
直线MF与x轴交于点（14，0），与y轴交于点（0，），
当MP经过点F（﹣1，）时，OC＝，
∴BC＝4﹣＝，
∴n1＝，
∴m1＝，
当MQ经过点F（﹣1，）时．OD＝14，
∴AD＝10，
∴n2＝，
∴m2＝＝10．
故或．