黑龙江省哈尔滨市松北区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣2021的倒数为（　　）
A． B． C．﹣2021 D．2021
2．下列代数式的运算，一定正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2
C．（a3）4＝a7 D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+4）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x﹣4）2+6 D．y＝﹣2（x﹣4）2+2
6．反比例函数图象在第一、三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′＝33°，则∠B的大小是（　　）
A．33° B．45° C．57° D．78°
8．如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　）
A．115° B．130° C．65° D．75°
9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．20% B．40% C．18% D．36%
10．如图．四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共计3×10=30分）
11．将2021000用科学记数法表示为　 　．
12．函数中自变量x的取值范围是　 　．
13．把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是　 　．
14．计算：﹣4的结果是　 　．
15．不等式组的解集是　 　．
16．抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为　 　．
17．一个不透明的袋子中装8个小球，其中3个红球，3个白球，2个黑球，小球除颜色外形状、大小完全相同．现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是红色的概率为　 　．
18．已知扇形的弧长为4π，半径为9，则此扇形的圆心角为　 　度．
19．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则BC＝　 　．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，BE⊥AD于点E，连接CE，∠DEC＝∠BAC，若，则tan∠BAE的值为　 　．
三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝sin45°+2tan60°．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出平行四边形ABCD，点C和点D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为12；
（2）在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABE，且点E在小正方形的顶点上；
（3）连接DE，直接写出DE的长．
23．小滨初中就要毕业了，她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求出该班的总人数；
（2）通过计算请把条形统计图补充完整；
（3）如果小滨所在年级共有760名学生，请你估计该年级报考普高的学生人数．
24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．
25．哈尔滨市松北新区某中学去年购买了一批图书，其中A类书的单价比B类书的单价多4元，用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等．
（1）求去年购买的B类书和A类书的单价各是多少元？
（2）若今年B类书的单价比去年提高了25%，A类书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买A类书和B类书共200本，且购买A类书和B类书的总费用不超过2300元，这所中学今年至少要购买多少本B类书？
26．已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．
（1）求证：∠OAC＝∠BCD；
（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；
（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A、B（点A在点B左边），交y轴于点C，OA＝OC＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为对称轴右侧x轴下方的抛物线上一点，射线AP关于x轴对称图形（射线AQ）交抛物线于点Q，若点P的横坐标为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，射线PQ、AP分别交抛物线对称轴于点D、E，过点Q作x轴的平行线QF，在对称轴左侧作∠DEF交QF于点F，∠DEF＝2∠BDE，QF+EF＝，连接DF，求∠QDF的度数．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2021的倒数为（　　）
A． B． C．﹣2021 D．2021
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数为：﹣．
故选：A．
2．下列代数式的运算，一定正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2
C．（a3）4＝a7 D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，
∴选项A不符合题意；
∵（3a）2 ＝9a2 ，
∴选项B符合题意；
∵（a3）4＝a12，
∴选项C不符合题意；
∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴选项D不符合题意．
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】依据轴对称图形和中心对称图形的对进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
4．如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：1，1，1．
【解答】解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：1，1，1，
故选：C．
5．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+4）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x﹣4）2+6 D．y＝﹣2（x﹣4）2+2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1﹣3）2+4﹣2，即y＝﹣2（x﹣4）2+2；
故选：D．
6．反比例函数图象在第一、三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【分析】先根据反比例函数的性质得出k﹣3＞0，再解不等式即可得出结果．
【解答】解：∵反比例函数图象在第一、三象限，
∴k﹣3＞0，
解得k＞3．
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′＝33°，则∠B的大小是（　　）
A．33° B．45° C．57° D．78°
【分析】由题意可得AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，可得∠ACC'＝45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠AB'C'＝∠B＝∠ACC'+∠CC'B'＝78°．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′
∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B
∴∠ACC'＝45°
∵∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'
∴∠AB'C'＝45°+33°＝78°
∴∠B＝78°
故选：D．
8．如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　）
A．115° B．130° C．65° D．75°
【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝130°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝65°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠ADB＝65°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．20% B．40% C．18% D．36%
【分析】设降价的百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降价的百分率为20%
故选：A．
10．如图．四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据题意和三角形相似，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴△EAG∽△EBF，△EAG∽△HDG，
∴，，故选项A、B成立，
∵CH∥BA，
∴，
∴，故选项C正确，
∵AG∥AC，CH∥BA，
∴，，
而无法证明是否成立，故选项D不一定成立，
故选：D．
二．填空题
11．将2021000用科学记数法表示为　2.021×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2021000用科学记数法表示2.021×106．
故答案是：2.021×106．
12．函数中自变量x的取值范围是　x≠　．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，3x﹣2≠0，
解得，x≠，
故答案为：x≠．
13．把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是　m（x﹣2y）2　．
【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝m（x2﹣4xy+4y2）
＝m（x﹣2y）2．
故答案为：m（x﹣2y）2．
14．计算：﹣4的结果是　2　．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2＝2
故答案为：2
15．不等式组的解集是　﹣1≤x＜2　．
【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
故答案为：﹣1≤x＜2．
16．抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为　2　．
【分析】由y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，即y＝0，求出x，即得到图象与x轴的交点坐标，与y轴交于点C，即x＝0，求出y，得出与y轴的交点坐标，得出AB，OC的长度，从而得出△ABC的面积．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，
则﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
交点坐标分别为：（﹣1，0），（3，0）；
∵y＝﹣x2+x+1与y轴交于点C，
∴C点的坐标为y＝1，即（0，1）．
∴△ABC的面积为：×AB×OC＝×4×1＝2．
故答案为：2．
17．一个不透明的袋子中装8个小球，其中3个红球，3个白球，2个黑球，小球除颜色外形状、大小完全相同．现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是红色的概率为　　．
【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：∵不透明的袋子中装8个小球，其中3个红球，3个白球，2个黑球，
∴现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是红色的概率为．
故答案为：．
18．已知扇形的弧长为4π，半径为9，则此扇形的圆心角为　80　度．
【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：设此扇形的圆心角为x°，
由题意得，＝4π，
解得，x＝80，
故答案为：80．
19．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则BC＝　6或4　．
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长．
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，
∴AD＝ABsinB＝5，BD＝ABcosB＝5，
在Rt△ACD中，∵AC＝2，
∴CD＝＝＝，
则BC＝BD+CD＝6；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD＝5，CD＝，
则BC＝BD﹣CD＝4，
综上，BC＝6或4，
故答案为6或4．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，BE⊥AD于点E，连接CE，∠DEC＝∠BAC，若，则tan∠BAE的值为　　．
【分析】在AD上截取AM＝CE，连接BM，构造全等三角形△MAB≌△ECA（SAS），从而可得BM＝AE，设CE＝4a，则可用含a的式子表示出BM，AE，AM及ME，然后在直角三角形BEM中，由勾股定理可求得BE的值，最后根据正切函数的定义可得答案．
【解答】解：在AD上截取AM＝CE，连接BM，如图：
∵∠DEC＝∠CAE+∠ECA，∠BAC＝∠CAE+∠MAB，
又∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠MAB＝∠ECA，
在△MAB和△ECA中，
，
∴△MAB≌△ECA（SAS），
∴BM＝AE，
∵，
∴设CE＝4a，则BM＝AE＝7a，
∴AM＝CE＝4a，
∴ME＝AE﹣AM＝3a，
∵BE⊥AD，
∴△BEM为直角三角形，
由勾股定理得：
BE＝
＝
＝2a，
∴tan∠BAE＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝sin45°+2tan60°．
【分析】根据分式的除法和分式的减法进行化简即可，然后将x的值代入化简后的式子即可求得问题的答案．
【解答】解：÷（1﹣），
＝÷，
＝?，
＝，
x＝sin45°+2tan60°＝×+2×＝1+2，
∴原式＝＝．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出平行四边形ABCD，点C和点D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为12；
（2）在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABE，且点E在小正方形的顶点上；
（3）连接DE，直接写出DE的长．
【分析】（1）作出底为3，高为4的平行四边形即可．
（2）根据等腰直角三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可．
（3）利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求作．
（2）如图，△ABE即为所求作．
（3）DE＝＝．
23．小滨初中就要毕业了，她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求出该班的总人数；
（2）通过计算请把条形统计图补充完整；
（3）如果小滨所在年级共有760名学生，请你估计该年级报考普高的学生人数．
【分析】（1）根据重高人数25和所占的百分比是62.5%可以求得该班的总人数；
（2）根据条形统计图可以得到普高的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图，可以得到该年级报考普高的学生人数．
【解答】解：（1）25÷62.5%＝40（人），
即该班一共有40人；
（2）普高人数为：40﹣25﹣5＝10，
补全的条形统计图如右图所示，
（3）报考普高的人数为：760×＝190，
即该年级报考普高的学生有190人．
24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．
【分析】（1）证明△AOD≌△COD全等，得AD＝CD，则AB＝AD＝CD＝BC，即可得出结论；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
又OD＝OD，∠AOD＝∠COD，
∴△AOD≌△COD（ASA），
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵BE∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴DC＝AB＝CE，
∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
25．哈尔滨市松北新区某中学去年购买了一批图书，其中A类书的单价比B类书的单价多4元，用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等．
（1）求去年购买的B类书和A类书的单价各是多少元？
（2）若今年B类书的单价比去年提高了25%，A类书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买A类书和B类书共200本，且购买A类书和B类书的总费用不超过2300元，这所中学今年至少要购买多少本B类书？
【分析】（1）设去年购买的B类书的单价为x元，则A类书的单价为（x+4）元，根据数量＝总价÷单价结合用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设这所中学今年要购买m本B类书，则要购买（200﹣m）本A类书，根据总价＝单价×数量结合总价不超过2300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设去年购买的B类书的单价为x元，则A类书的单价为（x+4）元，
依题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝12．
答：去年购买的A类书的单价为12元，B类书的单价为8元．
（2）设这所中学今年要购买m本B类书，则要购买（200﹣m）本A类书，
依题意得：12（200﹣m）+8×（1+25%）m≤2300，
解得：m≥50．
答：这所中学今年至少要购买50本B类书．
26．已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．
（1）求证：∠OAC＝∠BCD；
（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；
（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接CO，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求2∠OAC+∠AOC＝180°，由直角三角形的性质可得结论；
（2）由余角的性质可得∠AEH＝∠CDN＝∠CAE，可得AH＝HE，由余角的性质可求∠ACE＝∠CEH，可得CH＝HE，即可得结论；
（3）延长HF至Q，使HQ＝HE，连接EQ，在AF上取点T，使QT＝QF，过点L作LR⊥CD于R，由“SAS”可证△ETQ≌△CLH，可得CL＝ET＝8，∠HCL＝∠TEQ＝α，由直角三角形的性质可求CE，PE的长，由相似三角形的性质可求EF的长，进而可求BE的长，由三角函数可求解．
【解答】证明：（1）如图1，连接CO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，
∴2∠OAC+∠AOC＝180°，
∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠OAC+∠ABC＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD；
（2）∵EN⊥BD，AB⊥CD，
∴∠DEN+∠CDN＝90°，∠AEH+∠DEN＝90°，
∴∠AEH＝∠CDN，
又∵∠CDB＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠AEH，
∴AH＝HE，
∵∠CAB+∠ACE＝∠AEH+∠CEH＝90°，
∴∠ACE＝∠CEH，
∴CH＝HE，
∴AH＝CH；
（3）如图3，延长HF至Q，使HQ＝HE，连接EQ，在AF上取点T，使QT＝QF，过点L作LR⊥CD于R，
∵AH＝CH＝HE＝HQ，∠FHE＝60°，
∴△HEQ是等边三角形，
∴HQ＝HE＝QE，∠HQE＝∠HEQ＝∠QHE＝60°，
∵EL＝HF＝，
∴FQ＝HL，
设∠AHQ＝2α，则∠CHE＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，
∴∠AEH＝∠HAE＝60﹣α，
∴∠AEQ＝60°﹣∠AEH＝α，
∴∠AFQ＝60°+α，
∵TQ＝FQ，
∴∠ETQ＝∠AFQ＝60°+α，
∴∠TQE＝180°﹣α﹣（60°+α）＝120°﹣α；
∴∠TQE＝∠CHL，
又∵QE＝CH，QF＝HL，
∴△ETQ≌△CLH（SAS），
∴CL＝ET＝8，∠HCL＝∠TEQ＝α，
∵HC＝HE，∠CHE＝120°﹣2α，
∴∠HCE＝∠HEC＝30°+α，
∴∠PCE＝30°，
∵LR⊥CD，
∴LR＝CL＝4，CR＝LR＝4，
∴RE＝＝＝2，
∴CE＝6，
∵∠PCE＝30°，CE⊥AB，
∴EC＝PE，CP＝2PE，
∴PE＝6，CP＝12，
∴PL＝CP﹣CL＝4，
∵CH＝HE，HG⊥CE，
∴CG＝GE＝3，
∵HG∥LR，
∴，
∴＝，
∴HE＝3＝AH＝HC，
∵∠CPE＝∠EHF＝60°，∠PEL＝∠HEF，
∴△PEL∽△HEF，
∴，
∴，
∴EF＝7，
∴PF＝1，
∵BE＝2PF，
∴BE＝2，
∴BC＝＝＝4
∵AH＝CH，
∴OH⊥AC，
∴tan∠CAO＝tan∠BCE＝，
∴＝，
∴AO＝．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A、B（点A在点B左边），交y轴于点C，OA＝OC＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为对称轴右侧x轴下方的抛物线上一点，射线AP关于x轴对称图形（射线AQ）交抛物线于点Q，若点P的横坐标为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，射线PQ、AP分别交抛物线对称轴于点D、E，过点Q作x轴的平行线QF，在对称轴左侧作∠DEF交QF于点F，∠DEF＝2∠BDE，QF+EF＝，连接DF，求∠QDF的度数．
【分析】（1）根据所告诉的等量关系求出A、C坐标，再将坐标代入解析式即可求出b、c的值，从而可得二次函数的解析式；
（2）先表示P和Q的坐标，由对称的性质可知：∠PAH＝∠QAG，根据三角函数列比例式化简整理即可得到d与t关系式．
（3）构造全等形，将∠QDF转化成∠DFN计算．
【解答】解：（1）∵OA＝OC＝4，
∴A（﹣4，0），C（0，﹣4），
将A（﹣4，0），C（0，﹣4）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，
解得b＝﹣5，c＝﹣4，
∴y＝﹣x2﹣5x﹣4；
（2）如图1，作QG⊥x轴于点G，作PH⊥x轴于点H，
tan∠PAO＝，tan∠QAO＝，
∵∠PAO＝∠QAO，
∴，
∵点P的横坐标为t，点Q的横坐标为d，
∴P（t，﹣t2﹣5t﹣4），Q（d，﹣d2﹣5d﹣4），
则PH＝t2+5t+4，AH＝t+4，QG＝﹣d2﹣5d﹣4，AG＝d+4，
∴，即，
∴t+1＝﹣d﹣1，
∴d＝﹣t﹣2；
（3）如图2，连接BD，
∵DE⊥x轴于点M，
∴∠AME＝90°，
∵抛物线的对称轴：x＝﹣，
∴AM＝4﹣＝，
由（2）知：tan∠EAM＝t+1，
在Rt△AME中，tan∠EAM＝，
∴ME＝AM?tan∠EAM＝（t+1），
在Rt△DBM中，tan∠DBM＝，
∴DM＝BM?tan∠DBM＝（2﹣t），
∴DM+EM＝＝QF+EF，
设∠BDE＝α，则∠DEF＝2α，
作FN⊥DQ于点N，
在△FQN中，∠NFQ+∠NQF＝90°，
设DE交FQ于点T．
∵FQ∥x轴，
∴∠DTF＝∠DMA＝90°，
在△DQT中，∠TDQ+∠NQF＝90°，
∴∠NFQ＝∠BDE＝α，
在△EFT中，∠EFT＝90°﹣2α，∠EFK＝∠EFT+∠NFQ＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
在△EFK中，∠EKF＝180°﹣∠FEK﹣∠EFK＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠EFK＝∠EKF，
∴EF＝EK，
∴DK＝FQ，
∴△FQN≌△DKN，（SAS）
∴FN＝DN，
∴∠QDF＝∠DFN＝45°．