黑龙江省哈尔滨市松北区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(五四学制)(Word版 含解析)

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名称 黑龙江省哈尔滨市松北区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(五四学制)(Word版 含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教版(五四学制)
科目 数学
更新时间 2021-03-05 09:58:53

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文档简介

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级(上)期末数学试卷(五四学制)
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1.﹣2021的倒数为(  )
A. B. C.﹣2021 D.2021
2.下列代数式的运算,一定正确的是(  )
A.3a2﹣a2=2 B.(3a)2 =9a2
C.(a3)4=a7 D.a2+b2=(a+b)(a﹣b)
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A. B.
C. D.
4.如图是几个小正方体组成的一个几何体,这个几何体的俯视图是(  )
A. B.
C. D.
5.将抛物线y=﹣2(x﹣1)2+4向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线的解析式为(  )
A.y=﹣2(x+4)2+1 B.y=﹣2(x﹣2)2+1
C.y=﹣2(x﹣4)2+6 D.y=﹣2(x﹣4)2+2
6.反比例函数图象在第一、三象限,则k的取值范围是(  )
A.k<3 B.k≤3 C.k>3 D.k≥3
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′,若∠CC′B′=33°,则∠B的大小是(  )
A.33° B.45° C.57° D.78°
8.如图,PA、PB分别与O相切于A、B两点,点C为O上一点,连接AC、BC,若∠P=50°,则∠ACB的度数为(  )
A.115° B.130° C.65° D.75°
9.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为(  )
A.20% B.40% C.18% D.36%
10.如图.四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD、CD于点G、H,则下列结论不一定成立的是(  )
A.= B.= C.= D.=
二、填空题(每小题3分,共计3×10=30分)
11.将2021000用科学记数法表示为   .
12.函数中自变量x的取值范围是   .
13.把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是   .
14.计算:﹣4的结果是   .
15.不等式组的解集是   .
16.抛物线y=﹣x2+x+1与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,则△ABC的面积为   .
17.一个不透明的袋子中装8个小球,其中3个红球,3个白球,2个黑球,小球除颜色外形状、大小完全相同.现从中随机摸出一个小球,摸出的小球是红色的概率为   .
18.已知扇形的弧长为4π,半径为9,则此扇形的圆心角为   度.
19.已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则BC=   .
20.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,连接AD,BE⊥AD于点E,连接CE,∠DEC=∠BAC,若,则tan∠BAE的值为   .
三、解答题(21、22题各7分,23、24题各8分,25-27题各10分,共计60分)
21.先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=sin45°+2tan60°.
22.如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,其中端点A、B均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出平行四边形ABCD,点C和点D均在小正方形的顶点上,且平行四边形ABCD的面积为12;
(2)在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABE,且点E在小正方形的顶点上;
(3)连接DE,直接写出DE的长.
23.小滨初中就要毕业了,她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计,她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求出该班的总人数;
(2)通过计算请把条形统计图补充完整;
(3)如果小滨所在年级共有760名学生,请你估计该年级报考普高的学生人数.
24.在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC垂直平分BD,BD平分∠ADC.
(1)如图1,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如图2,过点B作BE∥AC,交DC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形(△CBE除外).
25.哈尔滨市松北新区某中学去年购买了一批图书,其中A类书的单价比B类书的单价多4元,用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等.
(1)求去年购买的B类书和A类书的单价各是多少元?
(2)若今年B类书的单价比去年提高了25%,A类书的单价与去年相同,这所中学今年计划再购买A类书和B类书共200本,且购买A类书和B类书的总费用不超过2300元,这所中学今年至少要购买多少本B类书?
26.已知:如图,⊙O内两条弦AB、CD,且AB⊥CD于E,OA为⊙O半径,连接AC、BD.
(1)求证:∠OAC=∠BCD;
(2)作EN⊥BD于N,延长NE交AC于点H.求证:AH=CH;
(3)在(2)的条件下,作∠EHF=60°交AB于点F,点P在FE上,连接PC交HN于点L,当EL=HF=,CL=8,BE=2PF时,求⊙O的半径.
27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A、B(点A在点B左边),交y轴于点C,OA=OC=4.
(1)求抛物线解析式;
(2)点P为对称轴右侧x轴下方的抛物线上一点,射线AP关于x轴对称图形(射线AQ)交抛物线于点Q,若点P的横坐标为t,点Q的横坐标为d,求d与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,射线PQ、AP分别交抛物线对称轴于点D、E,过点Q作x轴的平行线QF,在对称轴左侧作∠DEF交QF于点F,∠DEF=2∠BDE,QF+EF=,连接DF,求∠QDF的度数.
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级(上)期末数学试卷(五四学制)
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.﹣2021的倒数为(  )
A. B. C.﹣2021 D.2021
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案.
【解答】解:﹣2021的倒数为:﹣.
故选:A.
2.下列代数式的运算,一定正确的是(  )
A.3a2﹣a2=2 B.(3a)2 =9a2
C.(a3)4=a7 D.a2+b2=(a+b)(a﹣b)
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法,以及合并同类项的方法,逐项判断即可.
【解答】解:∵3a2﹣a2=2a2,
∴选项A不符合题意;
∵(3a)2 =9a2 ,
∴选项B符合题意;
∵(a3)4=a12,
∴选项C不符合题意;
∵a2+b2≠(a+b)(a﹣b),a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),
∴选项D不符合题意.
故选:B.
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A. B.
C. D.
【分析】依据轴对称图形和中心对称图形的对进行判断即可.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意.
故选:B.
4.如图是几个小正方体组成的一个几何体,这个几何体的俯视图是(  )
A. B.
C. D.
【分析】俯视图是从上面看到的图形,共分三列,从左到右小正方形的个数是:1,1,1.
【解答】解:这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是:1,1,1,
故选:C.
5.将抛物线y=﹣2(x﹣1)2+4向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线的解析式为(  )
A.y=﹣2(x+4)2+1 B.y=﹣2(x﹣2)2+1
C.y=﹣2(x﹣4)2+6 D.y=﹣2(x﹣4)2+2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
【解答】解:将抛物线y=﹣2(x﹣1)2+4向右平移3个单位,再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为:y=﹣2(x﹣1﹣3)2+4﹣2,即y=﹣2(x﹣4)2+2;
故选:D.
6.反比例函数图象在第一、三象限,则k的取值范围是(  )
A.k<3 B.k≤3 C.k>3 D.k≥3
【分析】先根据反比例函数的性质得出k﹣3>0,再解不等式即可得出结果.
【解答】解:∵反比例函数图象在第一、三象限,
∴k﹣3>0,
解得k>3.
故选:C.
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′,若∠CC′B′=33°,则∠B的大小是(  )
A.33° B.45° C.57° D.78°
【分析】由题意可得AC=AC',∠CAC'=90°,∠AB'C'=∠B,可得∠ACC'=45°,根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和,可求∠AB'C'=∠B=∠ACC'+∠CC'B'=78°.
【解答】解:∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′
∴AC=AC',∠CAC'=90°,∠AB'C'=∠B
∴∠ACC'=45°
∵∠AB'C'=∠ACC'+∠CC'B'
∴∠AB'C'=45°+33°=78°
∴∠B=78°
故选:D.
8.如图,PA、PB分别与O相切于A、B两点,点C为O上一点,连接AC、BC,若∠P=50°,则∠ACB的度数为(  )
A.115° B.130° C.65° D.75°
【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°,利用四边形内角和可求∠AOB=130°,再利用圆周角定理可求∠ADB=65°,再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB.
【解答】解:如图所示,连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,
∵AP、BP是切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°,
∴∠ADB=65°,
又∵圆内接四边形的对角互补,
∴∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣65°=115°.
故选:A.
9.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为(  )
A.20% B.40% C.18% D.36%
【分析】设降价的百分率为x,根据降低率的公式a(1﹣x)2=b建立方程,求解即可.
【解答】解:设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25(1﹣x)2=16
解方程得,(舍)
∴每次降价的百分率为20%
故选:A.
10.如图.四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD、CD于点G、H,则下列结论不一定成立的是(  )
A.= B.= C.= D.=
【分析】根据题意和三角形相似,可以判断各个选项中的结论是否成立,本题得以解决.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,
∴△EAG∽△EBF,△EAG∽△HDG,
∴,,故选项A、B成立,
∵CH∥BA,
∴,
∴,故选项C正确,
∵AG∥AC,CH∥BA,
∴,,
而无法证明是否成立,故选项D不一定成立,
故选:D.
二.填空题
11.将2021000用科学记数法表示为 2.021×106 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:2021000用科学记数法表示2.021×106.
故答案是:2.021×106.
12.函数中自变量x的取值范围是 x≠ .
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式,解不等式得到答案.
【解答】解:由题意得,3x﹣2≠0,
解得,x≠,
故答案为:x≠.
13.把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是 m(x﹣2y)2 .
【分析】直接提取公因式m,再利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解:原式=m(x2﹣4xy+4y2)
=m(x﹣2y)2.
故答案为:m(x﹣2y)2.
14.计算:﹣4的结果是 2 .
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:原式=4﹣2=2
故答案为:2
15.不等式组的解集是 ﹣1≤x<2 .
【分析】求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
【解答】解:,
由①得:x≥﹣1,
由②得:x<2,
则不等式组的解集为﹣1≤x<2.
故答案为:﹣1≤x<2.
16.抛物线y=﹣x2+x+1与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,则△ABC的面积为 2 .
【分析】由y=﹣x2+x+1与x轴交于点A、B,即y=0,求出x,即得到图象与x轴的交点坐标,与y轴交于点C,即x=0,求出y,得出与y轴的交点坐标,得出AB,OC的长度,从而得出△ABC的面积.
【解答】解:∵y=﹣x2+x+1与x轴交于点A、B,
则﹣x2+x+1=0,
解得:x1=﹣1,x2=3.
交点坐标分别为:(﹣1,0),(3,0);
∵y=﹣x2+x+1与y轴交于点C,
∴C点的坐标为y=1,即(0,1).
∴△ABC的面积为:×AB×OC=×4×1=2.
故答案为:2.
17.一个不透明的袋子中装8个小球,其中3个红球,3个白球,2个黑球,小球除颜色外形状、大小完全相同.现从中随机摸出一个小球,摸出的小球是红色的概率为  .
【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案.
【解答】解:∵不透明的袋子中装8个小球,其中3个红球,3个白球,2个黑球,
∴现从中随机摸出一个小球,摸出的小球是红色的概率为.
故答案为:.
18.已知扇形的弧长为4π,半径为9,则此扇形的圆心角为 80 度.
【分析】设此扇形的圆心角为x°,代入弧长公式计算,得到答案.
【解答】解:设此扇形的圆心角为x°,
由题意得,=4π,
解得,x=80,
故答案为:80.
19.已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则BC= 6或4 .
【分析】作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况,先在Rt△ABD中求得AD、BD的值,再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长,继而就两种情况分别求出BC的长.
【解答】解:作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,
①如图1,当AB、AC位于AD异侧时,
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,
∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5,
在Rt△ACD中,∵AC=2,
∴CD===,
则BC=BD+CD=6;
②如图2,当AB、AC在AD的同侧时,
由①知,BD=5,CD=,
则BC=BD﹣CD=4,
综上,BC=6或4,
故答案为6或4.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,连接AD,BE⊥AD于点E,连接CE,∠DEC=∠BAC,若,则tan∠BAE的值为  .
【分析】在AD上截取AM=CE,连接BM,构造全等三角形△MAB≌△ECA(SAS),从而可得BM=AE,设CE=4a,则可用含a的式子表示出BM,AE,AM及ME,然后在直角三角形BEM中,由勾股定理可求得BE的值,最后根据正切函数的定义可得答案.
【解答】解:在AD上截取AM=CE,连接BM,如图:
∵∠DEC=∠CAE+∠ECA,∠BAC=∠CAE+∠MAB,
又∵∠DEC=∠BAC,
∴∠MAB=∠ECA,
在△MAB和△ECA中,

∴△MAB≌△ECA(SAS),
∴BM=AE,
∵,
∴设CE=4a,则BM=AE=7a,
∴AM=CE=4a,
∴ME=AE﹣AM=3a,
∵BE⊥AD,
∴△BEM为直角三角形,
由勾股定理得:
BE=

=2a,
∴tan∠BAE===.
故答案为:.
三.解答题(共7小题)
21.先化简,再求值:÷(1﹣),其中x=sin45°+2tan60°.
【分析】根据分式的除法和分式的减法进行化简即可,然后将x的值代入化简后的式子即可求得问题的答案.
【解答】解:÷(1﹣),
=÷,
=?,
=,
x=sin45°+2tan60°=×+2×=1+2,
∴原式==.
22.如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,其中端点A、B均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出平行四边形ABCD,点C和点D均在小正方形的顶点上,且平行四边形ABCD的面积为12;
(2)在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABE,且点E在小正方形的顶点上;
(3)连接DE,直接写出DE的长.
【分析】(1)作出底为3,高为4的平行四边形即可.
(2)根据等腰直角三角形的定义,利用数形结合的思想解决问题即可.
(3)利用勾股定理计算即可.
【解答】解:(1)如图,平行四边形ABCD即为所求作.
(2)如图,△ABE即为所求作.
(3)DE==.
23.小滨初中就要毕业了,她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计,她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求出该班的总人数;
(2)通过计算请把条形统计图补充完整;
(3)如果小滨所在年级共有760名学生,请你估计该年级报考普高的学生人数.
【分析】(1)根据重高人数25和所占的百分比是62.5%可以求得该班的总人数;
(2)根据条形统计图可以得到普高的人数,从而可以将条形统计图补充完整;
(3)根据统计图,可以得到该年级报考普高的学生人数.
【解答】解:(1)25÷62.5%=40(人),
即该班一共有40人;
(2)普高人数为:40﹣25﹣5=10,
补全的条形统计图如右图所示,
(3)报考普高的人数为:760×=190,
即该年级报考普高的学生有190人.
24.在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC垂直平分BD,BD平分∠ADC.
(1)如图1,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如图2,过点B作BE∥AC,交DC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形(△CBE除外).
【分析】(1)证明△AOD≌△COD全等,得AD=CD,则AB=AD=CD=BC,即可得出结论;
(2)根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论.
【解答】(1)证明:∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=CD,
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADO=∠CDO,
又OD=OD,∠AOD=∠COD,
∴△AOD≌△COD(ASA),
∴AD=CD,
∴AB=AD=CD=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
∵BE∥CE,
∴四边形ACEB是平行四边形,
∴DC=AB=CE,
∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD,△ABD,△ACD,△ABC.
25.哈尔滨市松北新区某中学去年购买了一批图书,其中A类书的单价比B类书的单价多4元,用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等.
(1)求去年购买的B类书和A类书的单价各是多少元?
(2)若今年B类书的单价比去年提高了25%,A类书的单价与去年相同,这所中学今年计划再购买A类书和B类书共200本,且购买A类书和B类书的总费用不超过2300元,这所中学今年至少要购买多少本B类书?
【分析】(1)设去年购买的B类书的单价为x元,则A类书的单价为(x+4)元,根据数量=总价÷单价结合用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设这所中学今年要购买m本B类书,则要购买(200﹣m)本A类书,根据总价=单价×数量结合总价不超过2300元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.
【解答】解:(1)设去年购买的B类书的单价为x元,则A类书的单价为(x+4)元,
依题意得:=,
解得:x=8,
经检验,x=8是原方程的解,且符合题意,
∴x+4=12.
答:去年购买的A类书的单价为12元,B类书的单价为8元.
(2)设这所中学今年要购买m本B类书,则要购买(200﹣m)本A类书,
依题意得:12(200﹣m)+8×(1+25%)m≤2300,
解得:m≥50.
答:这所中学今年至少要购买50本B类书.
26.已知:如图,⊙O内两条弦AB、CD,且AB⊥CD于E,OA为⊙O半径,连接AC、BD.
(1)求证:∠OAC=∠BCD;
(2)作EN⊥BD于N,延长NE交AC于点H.求证:AH=CH;
(3)在(2)的条件下,作∠EHF=60°交AB于点F,点P在FE上,连接PC交HN于点L,当EL=HF=,CL=8,BE=2PF时,求⊙O的半径.
【分析】(1)连接CO,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求2∠OAC+∠AOC=180°,由直角三角形的性质可得结论;
(2)由余角的性质可得∠AEH=∠CDN=∠CAE,可得AH=HE,由余角的性质可求∠ACE=∠CEH,可得CH=HE,即可得结论;
(3)延长HF至Q,使HQ=HE,连接EQ,在AF上取点T,使QT=QF,过点L作LR⊥CD于R,由“SAS”可证△ETQ≌△CLH,可得CL=ET=8,∠HCL=∠TEQ=α,由直角三角形的性质可求CE,PE的长,由相似三角形的性质可求EF的长,进而可求BE的长,由三角函数可求解.
【解答】证明:(1)如图1,连接CO,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°,
∴2∠OAC+∠AOC=180°,
∵∠AOC=2∠ABC,
∴∠OAC+∠ABC=90°,
∵AB⊥CD,
∴∠ABC+∠BCD=90°,
∴∠OAC=∠BCD;
(2)∵EN⊥BD,AB⊥CD,
∴∠DEN+∠CDN=90°,∠AEH+∠DEN=90°,
∴∠AEH=∠CDN,
又∵∠CDB=∠CAB,
∴∠CAB=∠AEH,
∴AH=HE,
∵∠CAB+∠ACE=∠AEH+∠CEH=90°,
∴∠ACE=∠CEH,
∴CH=HE,
∴AH=CH;
(3)如图3,延长HF至Q,使HQ=HE,连接EQ,在AF上取点T,使QT=QF,过点L作LR⊥CD于R,
∵AH=CH=HE=HQ,∠FHE=60°,
∴△HEQ是等边三角形,
∴HQ=HE=QE,∠HQE=∠HEQ=∠QHE=60°,
∵EL=HF=,
∴FQ=HL,
设∠AHQ=2α,则∠CHE=180°﹣2α﹣60°=120°﹣2α,
∴∠AEH=∠HAE=60﹣α,
∴∠AEQ=60°﹣∠AEH=α,
∴∠AFQ=60°+α,
∵TQ=FQ,
∴∠ETQ=∠AFQ=60°+α,
∴∠TQE=180°﹣α﹣(60°+α)=120°﹣α;
∴∠TQE=∠CHL,
又∵QE=CH,QF=HL,
∴△ETQ≌△CLH(SAS),
∴CL=ET=8,∠HCL=∠TEQ=α,
∵HC=HE,∠CHE=120°﹣2α,
∴∠HCE=∠HEC=30°+α,
∴∠PCE=30°,
∵LR⊥CD,
∴LR=CL=4,CR=LR=4,
∴RE===2,
∴CE=6,
∵∠PCE=30°,CE⊥AB,
∴EC=PE,CP=2PE,
∴PE=6,CP=12,
∴PL=CP﹣CL=4,
∵CH=HE,HG⊥CE,
∴CG=GE=3,
∵HG∥LR,
∴,
∴=,
∴HE=3=AH=HC,
∵∠CPE=∠EHF=60°,∠PEL=∠HEF,
∴△PEL∽△HEF,
∴,
∴,
∴EF=7,
∴PF=1,
∵BE=2PF,
∴BE=2,
∴BC===4
∵AH=CH,
∴OH⊥AC,
∴tan∠CAO=tan∠BCE=,
∴=,
∴AO=.
27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A、B(点A在点B左边),交y轴于点C,OA=OC=4.
(1)求抛物线解析式;
(2)点P为对称轴右侧x轴下方的抛物线上一点,射线AP关于x轴对称图形(射线AQ)交抛物线于点Q,若点P的横坐标为t,点Q的横坐标为d,求d与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,射线PQ、AP分别交抛物线对称轴于点D、E,过点Q作x轴的平行线QF,在对称轴左侧作∠DEF交QF于点F,∠DEF=2∠BDE,QF+EF=,连接DF,求∠QDF的度数.
【分析】(1)根据所告诉的等量关系求出A、C坐标,再将坐标代入解析式即可求出b、c的值,从而可得二次函数的解析式;
(2)先表示P和Q的坐标,由对称的性质可知:∠PAH=∠QAG,根据三角函数列比例式化简整理即可得到d与t关系式.
(3)构造全等形,将∠QDF转化成∠DFN计算.
【解答】解:(1)∵OA=OC=4,
∴A(﹣4,0),C(0,﹣4),
将A(﹣4,0),C(0,﹣4)代入y=﹣x2+bx+c中,得,
解得b=﹣5,c=﹣4,
∴y=﹣x2﹣5x﹣4;
(2)如图1,作QG⊥x轴于点G,作PH⊥x轴于点H,
tan∠PAO=,tan∠QAO=,
∵∠PAO=∠QAO,
∴,
∵点P的横坐标为t,点Q的横坐标为d,
∴P(t,﹣t2﹣5t﹣4),Q(d,﹣d2﹣5d﹣4),
则PH=t2+5t+4,AH=t+4,QG=﹣d2﹣5d﹣4,AG=d+4,
∴,即,
∴t+1=﹣d﹣1,
∴d=﹣t﹣2;
(3)如图2,连接BD,
∵DE⊥x轴于点M,
∴∠AME=90°,
∵抛物线的对称轴:x=﹣,
∴AM=4﹣=,
由(2)知:tan∠EAM=t+1,
在Rt△AME中,tan∠EAM=,
∴ME=AM?tan∠EAM=(t+1),
在Rt△DBM中,tan∠DBM=,
∴DM=BM?tan∠DBM=(2﹣t),
∴DM+EM==QF+EF,
设∠BDE=α,则∠DEF=2α,
作FN⊥DQ于点N,
在△FQN中,∠NFQ+∠NQF=90°,
设DE交FQ于点T.
∵FQ∥x轴,
∴∠DTF=∠DMA=90°,
在△DQT中,∠TDQ+∠NQF=90°,
∴∠NFQ=∠BDE=α,
在△EFT中,∠EFT=90°﹣2α,∠EFK=∠EFT+∠NFQ=90°﹣2α+α=90°﹣α,
在△EFK中,∠EKF=180°﹣∠FEK﹣∠EFK=180°﹣2α﹣(90°﹣α)=90°﹣α,
∴∠EFK=∠EKF,
∴EF=EK,
∴DK=FQ,
∴△FQN≌△DKN,(SAS)
∴FN=DN,
∴∠QDF=∠DFN=45°.
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