26.1　反比例函数课件（共3课时 68张）

(共68张PPT)
第二十六章　反比例函数
26.1　反比例函数
26.1.1　反比例函数
一、情景导入
问题
1　京沪线铁路全程为
1
463
km，某次列车的平均速度
v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间
t(单位：h)的变化而变化；　
思考：(1)平均速度
v
和时间
t
存在着怎样的关系？
(2)这三者中，谁是常量，谁是变量？
(3)两个变量间具有函数关系吗？
(4)能写出列车的平均速度
v
随此次列车的全程运行时间
t
的函数关系吗？
一、情景导入
问题
2　下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．
(1)某住宅小区要种植一块面积为
1
000
m2
的矩形草坪，草坪的长
y(单位：m)随宽
x(单位：m)的变化而变化；
一、情景导入
(2)已知北京市的总面积为
1.68×104
km2
，人均占有面积
S(单位：km2
/人)随全市总人口
n(单位:人)的变化而变化．
二、探究新知
，
，
．
思考　这些解析式有什么共同特征？
归纳　上述解析式具有
的形式，其中
k
是非零常数．
二、探究新知
定义：一般地，形如
　(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中
x
是自变量，y
是函数．
思考：自变量
x
及函数值
y
的取值范围？
x≠0
，y≠0
．
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出
k
的值．
二、探究新知
是，
不是
不是
是，
是，
思考：反比例函数的表达形式有哪些？
二、探究新知
二、探究新知
例
1　已知
y
是
x
的反比例函数，并且当
x＝2
时，y＝6．
(1)写出
y
关于
x
的函数解析式；
(2)当
x＝4
时，求
y
的值．
思考：求函数解析式常用方法是什么？
待定系数法．
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式．
二、探究新知
解：(1)设
　　
因为当
x＝2
时，y＝6，所以有
　　　　　　　　　　　　
解得
k＝12．
因此
(2)把
x＝4
代入
，得
　　　　　
二、探究新知
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①
设出含有待定系数的反比例函数解析式
；
②
将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③
解方程，求出待定系数；④
写出反比例函数解析式．
二、探究新知
已知
y
与
x＋1
成反比例，并且当
x＝3
时，y＝4．
(1)写出
y
关于
x
的函数解析式；
(2)当
x＝7
时，求
y
的值．
解：(1)设
．因为当
x＝3
时，y＝4，所以有
解得
k＝1．
(2)把
x＝7
代入
，得
三、课堂小结
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数　　　
反比例函数
定义
三种表达方式
四、课堂训练
1．下列函数中，y
是
x
的反比例函数的是(　　)．
A．
B．
C．
D．
A
四、课堂训练
2．生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x
和
y
成反比例函数关系的有(　　)．
①
x
人共饮水
10
kg，平均每人饮水
y
kg；②
底面半径为
x
m，高为
y
m的圆柱形水桶的体积为
10
m3；③
用铁丝做一个圆，铁丝的长为
x
cm，做成圆的半径为
y
cm；④
在水龙头前放满一桶水，出水的速度为
x，放满一桶水的时间
y．
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
B
3．填空：
(1)若
是反比例函数，则
m
的取值范围是_____．
(2)若
是反比例函数，则
m
的取值范围是________________
．
(3)若
是反比例函数，则
m
的取值范围是
__________．
m≠0
且
m≠－2
四、课堂训练
m≠1
m＝－1
四、课堂训练
4．已知变量
y
与
x
成反比例，且当
x＝3
时，y＝－4．
(1)写出
y
关于
x
的函数解析式；
(2)当
y＝6
时，求
x
的值．
解：(1)设
因为当
x＝3
时，y＝－4，所以有
解得
k＝－12．
因此，y
关于
x
的函数解析式为
四、课堂训练
(2)把
y＝6
代入
　　，得
解得
x＝－2．
四、课堂训练
5．小明家离学校
1
000
m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为
v(m/min)，所用的时间为
t(min)．
(1)求变量
v
和
t
之间的函数关系式；
解：
(t＞0)．
四、课堂训练
(2)小明星期二步行上学用了
25
min，星期三骑自行车上学用了
8
min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？
解：当
t＝25
时，　　　
当
t＝8
时，　
　　　　　
125－40＝85(m/min)．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快
85
m/min．
五、作业
必做题：习题
26.1
第
1，2，4
题．
选做题：已知函数
y＝y1＋y2，且
y1
与
x
成正比例，y2
与
x
成反比例，且当
x＝1
时，y＝5；当
x＝2
时，y＝4．
(1)求
y
与
x
的函数关系式．
(2)当
x＝－2
时，求函数
y
的值．
第二十六章　反比例函数
26.1　反比例函数
26.1.2　反比例函数的图象和性质
第一课时
一、情景导入
1．什么是反比例函数？
一般地，形如
(k
是常数，k≠0
)的函数叫做反比例函数．
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
(1)k
是非零常数．
(2)x≠0，y≠0．
(3)xy＝k，y＝kx－1
．
3．还记得一次函数的图象与性质吗？
4．还记得二次函数的图象与性质吗？
5．如何画函数的图象？
反比例函数的图象与性质又如何呢？
这节课开始我们来一起探究吧．
一、情景导入
画函数图象的方法
描点法
列
表
描
点
连
线
二、探究新知
我们先研究
k＞0
的情形．
例
2　画出反比例函数
和
的函数图象．
温馨提示
列表，描点，连线的注意事项是什么？
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
…
…
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
…
…
－2
－2.4
－3
－4
－6
－12
12
6
4
3
2.4
2
…
二、探究新知
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
y
x
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
二、探究新知
思考：观察这两个函数图象，回答问题：
(1)每个函数图象分别位于哪些象限？
(2)在每一个象限内，随着
x
的增大，y
如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
(3)对于反比例函数
(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
二、探究新知
归纳：对于反比例函数　　
，当
k＞0
时，
(1)函数图象分别位于第一，三象限内；
(2)在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小．
二、探究新知
回顾前面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数
(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0)的图象和性质吗？
二、探究新知
画出反比例函数
和
的函数图象．
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
y
x
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
二、探究新知
你能说出反比例函数
(k＜0)的性质吗？
归纳　
对于反比例函数
当
k＜0
时，
(1)函数图象分别位于第二，四象限内；
(2)在每一个象限内，y
随
x
的增大而增大．
反比例函数的图象有两条曲线组成，它是双曲线．
二、探究新知
一般地，反比例函数
的图象是双曲线，它具有以下性质：
(1)当
k
>0
时,
双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小．
(2)当
k
<0
时,
双曲线的两支分别位于第二，第四象限，在每一个象限内，y
随
x
的增大而增大．
二、探究新知
在同一坐标系中反比例函数
与
的图象在位置上有什么关系？
二、探究新知
结论：
当
k
互为相反数时，对应的反比例函数图象既关于
x
轴对称，也关于
y
轴对称．
二、探究新知
1．下列图象中，可以是反比例函数的图象的(　　)．
A．
B．
C．
D．
D
二、探究新知
2．反比例函数
的图象大致(　　)．
A．
B．
C．
D．
x
y
o
x
o
y
x
y
o
x
y
o
C
二、探究新知
3．
函数
的图象在第________象限，在每一象限内，y
随
x
的增大而_________．
4．函数
的图象在第________象限，在每一象限内，y
随
x
的增大而_________．
5．函数
当
x＞0
时，图象在第____象限，y
随
x
的增大而_________．
一，三
二，四
一
减小
增大
减小
二、探究新知
6．已知点
A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)都在反比例函数
　
图象上，试比较
a，b，c
的大小．
解：把点
A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)分别带入函数
　
中得：
　　　　　
　　
所以
b＜a＜c．
二、探究新知
另解：因为
k＝1＞0，所以在每个象限内
y
随
x
的增大而减小，由图知，因为
－2＜－1＜0，所以
b＜a＜0，而
c＞0，所以
b＜a＜c．
三、课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？
k＞0时，在每个象限内，y
随
x
的增大而减小
函数的
增减性
k＜0时，在二、四象限
k＞0时，在一、三象限
图象为双曲线
k＜0时，在每个象限内，y
随
x
的增大而增大
分类讨论
四、课堂训练
6．对于反比例函数
　　
下列说法正确的是(　　)．
A．其图象经过(2，－1)
B．其图象位于第二，四象限
C．当
x＜0
时，y
随
x
值的增大而减小
D．当
x＞0
时，y
随
x
值的增大而增大
7．下列反比例函数图象一定在第一，三象限的是(　　)．
A．
B．
C．
D．
C
C
四、课堂训练
8．甲乙两地相距
100
km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间
y(h)表示为汽车的平均速度
x(km/h)
的函数，则这个函数的图象大致是(　　)．
A．
B．
C．
D．
C
四、课堂训练
9．函数
y＝kx－3
与
（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是(　　)．
A．
B．
C．
D．
B
五、作业
必做题：教科书习题
26.1
第
3，8
题．
选做题：
1．函数
y＝kx－k
与
(k≠0)的图象大致是(　　)．
x
y
O
y
y
x
x
y
O
O
O
x
D
A．
B．
C．
D．
五、作业
2．在同一直角坐标系中，函数
与
y＝ax＋1(a≠0)的图象可能是(　　)．
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
B
A．
B．
C．
D．
第二十六章　反比例函数
26.1　反比例函数
26.1.2　反比例函数的图象和性质
第二课时
一、情景导入
1．什么是反比例函数？
一般地，形如
(k是常数,
k≠0
)的函数叫做反比例函数．
2．反比例函数的图象和性质是什么？
一般地，反比例函数
的图象是双曲线．
(1)当
k＞0
时,
双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小．
(2)当
k＜0
时,
双曲线的两支分别位于第二，第四象限，在每一个象限内，y
随
x
的增大而增大．
一、情景导入
例
3　已知反比例函数的图象经过点
A(2，6)．
(1)这个函数的图象位于哪些象限？y
随
x
的增大如何变化？
(2)
点
B(3，4)，C(
)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：(1)因为点
A
(2，6)
在第一象限，所以这个函数的图象位于第一，三象限，在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小．
一、情景导入
(2)设这个反比例函数的解析式为
，因为点
A(2，6)在其图象上，所以点
A
的坐标满足
，即
　　　　　　　　　　　　
解得　　　　　　　
k＝12．
所以这个反比例函数的解析式为
因为点
B，C
的坐标都满足
，点
D
的坐标不满足
，所以点
B，C
在函数
的图象上，点
D
不在这个函数的图象上．
二、探究新知
已知反比例函数
的图象经过点
A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点
B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)当
－3＜x＜－1
时，求
y
的取值范围．
二、探究新知
解：(1)因为反比例函数
的图象经过点
A(2
，3)，所以点
A
的坐标满足
即
．
解得
　
k＝6．
所以这个函数的表达式为
(2)分别把点
B，C
的坐标代入
，点
B
的坐标不满足
点
C
的坐标满足
，所以点
B
不在
的图象上，点
C
在这个函数的图象上．
二、探究新知
(3)因为　当
x＝－3
时，y＝－2；当
x＝－1
时，y＝－6，且
k＞0，
所以　当
x＜0
时，y
随
x
的增大而减小．
所以　当
－3＜x＜－1
时，－6＜y＜－2．
二、探究新知
例
4　如图，它是反比例函数
图象的一支．根据图象，回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数
m
的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点
A(x1，y1)和点
B
(x2，y2)．如果
x1＞x2，那么
y1
和
y2
有怎样的大小关系？
二、探究新知
解：(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一，第三象限，或者位于第二，第四象限．因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限．因为这个函数的图象位于第一，第三象限，所以
m－5＞0．
解得
m＞5．
(2)因为
m－5＞0，所以在这个函数图象
的任一支上，y
都随
x
的增大而减小，因此当
x1＞x2
时，
y1＜y2
．
O
x
y
二、知识拓展
已知反比例函数
的图象上有两点：A(x1，y1)，B
(x2，y2)上，且
x1＜x2＜0
，那么下列结论正确的是(　　)．
A．
y1＜y2
B．
y1＞
y2
C．
y1＝y2
D．
y1与y2大小不能确定
A
二、探究新知
如图，在反比例函数
的图象上分别取点
P，Q
向
x
轴，y
轴作垂线，围成面积分别为S1，S2
的矩形.
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
二、探究新知
P(2，2)
Q(4，1)
S1
的值
4
S2
的值
4
S1
与
S2
的关系
S1＝S2
猜想
S1，S2
与
k
的关系
S1＝S2＝k
二、探究新知
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
如果
P，Q
是反比例函数
的图象上任意两点．其它条件不变，那么
S1＝S2＝k
成立吗？
二、探究新知
如果
P，Q
是反比例函数
的图象上任意两点．其它条件不变，那么
S1＝S2＝k
成立吗？
如果
P，Q
是反比例函数
的图象上任意两点．其它条件不变，那么
S1＝S2＝k
成立吗？
S1＝S2＝4＝|－4|＝k
二、探究新知
归
纳　若点
P
是
图象上的任意一点，作
PA
垂直于
x
轴，作
PB
垂直于
y
轴，矩形
AOBP
的面积与
k
的关系是
S矩形
AOBP＝|k|.
二、探究新知
1．如图，反比例函数
的图象上的点
M(1，a)，过
M
分别作
y
轴和
x
轴的垂线，垂足是
P，Q；则
a＝_____；矩形
OQMP
的面积＝__________；△PMO
的面积＝_____；△QMO
的面积＝_____．
2．若点
P
是反比例函数图象上的一
点，过点
P
分别向
x
轴，y
轴作垂线，垂
足分别为点
M，N，若四边形
PMON
的
面积为
3，则这个反比例函数的关系式是
________________．
2
2
1
1
三、课堂小结
1．反比例函数的图象与性质；
2．反比例函数的图象与性质的简单应用．
四、课堂训练
1．若反比例函数的图象经过点(－3，－4)，则函数的图象应该在(　　)．
A．第一，三象限
B．第一，二象限
　
C．第二，四象限
D．第三，四象限
2．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(2，y3)在反比例函数
的图象上，则(　　)．
A．
y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．
y3＞y1＞y2
D．y3＞y2＞y1
A
B
四、课堂训练
3．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(2，y3)在反比例函数
的图象上，则(
)．
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y＞y1＞y2
D．y3＞y2＞y1
4．已知反比例函数
(k
是不为
0
的常数)的图象在第二，四象限，那么一次函数
y＝kx－k
的图象经过(　　)．
A．第一，二，三象限
B．第一，二，四象限
C．第一，三，四象限
D．第二，三，四象限
D
C
四、课堂训练
5．考察函数
的图象,当
x＝－2
时，y＝_______，
当
x＜－2
时,
y
的取值范围是__________；当
y＞－1
时，x
的取值范围是________________．
－1
－1＜y＜0
x＜－2
或
x＞0
四、课堂训练
6．如图是一次函数
y1＝kx＋b
和反比例函数
的图象，观察图象写出
y1＞y2
时，x
的取值范围_____________________．
-3
2
y
x
0
x＞2
或
-3＜x＜0
四、课堂训练
7．如图，过反比例函数
图象上的一点
P，作
PA⊥x
轴于
A．若△POA
的面积为
6，则
k＝
．
－12
y
x
O
P
A
五、作业
必做题：教科书习题
26.1
第
5，9
题．
选做题：
如图，直线
y＝ax＋b
与双曲线
交于两点
A(1，2)，B(m，4)两点，
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)求不等式
ax＋b
＞
的解集．
(3)连接
OA，OB.求△AOB
的面积．
x
y
O
B
A