27. 2.1　相似三角形的判定 课件（共5课时 117张）

(共117张PPT)
第二十七章　相似
27.
2.1　相似三角形的判定
第一课时　平行线分线段成比例
一、情景导入
1．相似多边形的对应角______，对应边________，对应边的比叫做__________．
2．如图，△ABC
和△A′B′C′
相似需要满足什么条件？
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC与
△A′B′C′
相似记作“△ABC∽△A′
B′
C′
”．
A
B
C
A′
B′
C′
相等
成比例
相似比
二、探究新知
1．平行线分线段成比例(基本事实)
如图
①，小方格的边长都是
1，直线
a∥b∥c，分别交直线
m，n
于
A1，A2，A3，B1，B2，B3．
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图
①
二、探究新知
(1)计算
你有什么发现？
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图
①
二、探究新知
(2)将
b
向下平移到如图
②
的位置，直线
m，n
与直线
b
的交点分别为
A2，B2．你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将
b
平移到其他位置呢？
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图
②
二、探究新知
(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图
②
二、探究新知
归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
符号语言：
若a∥b∥c
，则
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
二、探究新知
想一想：
1．如何理解“对应线段”？
2．“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
二、探究新知
2．平行线分线段成比例定理的推论
如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线
n
向左或向右任意平移，这些线段依然成比例．
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
二、探究新知
直线
n
向左平移到
B1
与A1
重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
(B1)
二、探究新知
归纳：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
二、探究新知
例
1　如图，在△ABC
中，
EF∥BC．
(1)如果
E、F
分别是
AB
和
AC
上的点，AE＝BE＝7，
FC＝4，那么
AF
的长是多少？
(2)如果
AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么
FC
的长是多
少？
A
B
C
E
F
二、探究新知
解：(1)
∵　
∴
解得
AF＝4．
二、探究新知
(2)∵　　　　　　
∴　　
解得　
AC＝
∴　FC＝AC－AF＝
二、探究新知
3．相似三角形的引理
如图，在△ABC
中，D
为
AB
上任意一点，过点
D
作BC
的平行线
DE
，交
AC
于点
E．
问题
1　△ADE
与△ABC
的三个角分别相等吗？
问题
2　分别度量△ADE
与△ABC
的边长，它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
二、探究新知
问题
3　你认为△ADE
与△ABC
之间有什么关系？平行移动
DE
的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要
DE∥BC，这个结论恒成立．
B
C
A
D
E
二、探究新知
想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
B
C
A
D
E
二、探究新知
由前面的结论可得
需要证明的是
　而除
DE
外，其他的线段都在△ABC
的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？
可以将
DE
平移到
BC
边上去．
B
C
A
D
E
二、探究新知
用相似的定义证明△ADE∽△ABC．
证明：在
△ADE
与
△ABC
中∠A＝∠A．
∵　DE∥BC，
∴　∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
如图，过点
D
作
DF∥AC，交
BC
于点
F．
∵　DE∥BC，DF∥AC，
C
A
B
D
E
F
二、探究新知
∴
∵　四边形
DFCE
为平行四边形，
∴　DE=FC，
∴
∴　△ADE∽△ABC．
二、探究新知
由此我们得到判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
二、探究新知
三角形相似的两种常见类型：
“A”型
“X”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
三、课堂小结
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例．
相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
平行线分线段成比例
四、课堂训练
1．如图，已知
l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　)．
A．
B．
C.
D.
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
D
四、课堂训练
2．如图，DE∥BC，
则
_______
；FG∥BC，
则
_______
．
A
B
C
E
D
F
G
四、课堂训练
3．已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有_______
对相似三角形．
C
D
A
B
E
F
O
3
四、课堂训练
4．若△ABC
与△A′B′C′
相似，一组对应边的长为
AB＝3
cm，A′B′＝4
cm，那么△A′B′C′
与△ABC
的相似比是_____．
4︰3
四、课堂训练
5．如图，在△ABC
中，DE∥BC，则△
____
∽△
____，对应边的比例式为
＝
____
＝
____
．
B
C
A
D
E
ADE
ABC
四、课堂训练
6．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是
1∶4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是
1∶5，则△ABC
与△A2B2C2
的相似比为_______．
1∶20
四、课堂训练
7．如图，在□ABCD
中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求
CD
的长．
解：∵　EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，
∴　△DEF
∽
△DAB．
∴　
即
解得
AB＝10．
又
∵　四边形
ABCD
为□，
∴　CD＝AB＝10．
D
A
C
B
E
F
四、课堂训练
8．如图，已知菱形
ABCD
内接于△AEF，AE＝5
cm，AF＝4
cm，求菱形的边长．
解：∵　四边形
ABCD
为菱形，
∴　CD∥AB，
∴　
设菱形的边长为
x
cm，则
CD＝AD＝x
cm，DF＝(4－x)cm，
∴　
解得
x＝
∴菱形的边长为
cm．
五、作业
教科书第
42
页习题
27.
2
第
4，5
题．
第二十七章　相似
27.
2.1　相似三角形的判定
第二课时　三边成比例的两个三角形相似
一、情景导入
1．什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？
2．证明三角形全等有哪些方法？
3．类似于判定三角形全等的
SSS
方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？　
A
B
C
D
E
一、情景导入
画
△ABC
和
△A′B′C′，使
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
二、探究新知
通过测量不难发现∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC
∽△A′B′C′．下面我们用前面所学得定理证明该结论．
A
B
C
C′
B′
A′
二、探究新知
证明：
在线段
AB(或延长线)上截取
AD＝A′B′，
过点
D
作
DE∥BC
交
AC
于点
E．
∵　DE∥BC
，
∴　△ADE∽△ABC．
∴
又
　
AD＝A′B′，
∴
C′
B′
A′
B
C
A
D
E
二、探究新知
∴　DE＝B′C′，EA＝C′A′．
∴　△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′
∽△ABC．
二、探究新知
归纳：
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∵
∴
　△
ABC
∽
△A′B′C′．
二、探究新知
例
1　判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
二、探究新知
解：在△ABC
中，AB＞BC＞CA，在△DEF
中，
DE＞
EF＞FD．
∵
∴
∴　△ABC
∽
△DEF．
二、探究新知
方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等．
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．
二、探究新知
例
2　如图，在
Rt△ABC
与
Rt△A′B′C′
中，∠C＝∠C′
＝90?，且
　　　
求证：△
A′B′C′∽△ABC．
二、探究新知
证明：由已知条件得
AB＝2A′B′，AC＝2A′C′，
∴　BC2＝AB2－AC2＝(2A′B′)2－(2A′C′)2＝4A′B′2－4A′C′2＝4(A′B′2－A′C′2)＝4B′C′2＝(2B′C′)2．
∴　BC＝2B′C′，
∴　△A′B′C′∽△ABC．(三边对应成比例的两个三角形相似)
二、探究新知
例
3　如图，在
△ABC
和
△ADE
中，
∠BAD＝20°，求∠CAE
的度数．
A
B
C
D
E
二、探究新知
解：∵　
∴　△ABC
∽△ADE．
∴　∠BAC＝∠DAE，∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即　∠BAD＝∠CAE．
∵　∠BAD＝20°，
∴　∠CAE＝20°．
二、探究新知
例
4　如图，已知
AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由．
A
B
C
D
E
二、探究新知
解：在
△ABC
和
△ADE
中，
∵　AB∶CD＝BC∶DE＝AC∶AE，
∴　△ABC∽△ADE．
∴　∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．
∴　∠BAC－∠CAD
＝∠DAE－∠CAD
．
∴　∠BAD＝∠CAE．
故图中相等的角有∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．
三、课堂小结
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
四、课堂训练
1．已知
△ABC
和
△DEF，根据下列条件判断它们是否相似．
(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6，
DE＝6，EF＝8，DF＝9；
(2)AB＝4，BC＝8，AC＝10，
DE＝20，EF＝16，DF＝8；
(3)AB＝12，BC＝15，AC＝24，
DE＝16，EF＝20，DF＝30．
是
否
否
四、课堂训练
2．如图，在大小为
4×4
的正方形网格中，是相似三角形的是(　　)．
A．
①
和
②
B．②
和
③
C．
①
和
③
D．②
和
④
①
②
③
④
C
四、课堂训练
3．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，下列结论正确的是(　　)．
A．△PAB∽△PCA
B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA
D．△ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
四、课堂训练
解析：设AP＝PB＝BC＝CD＝1，
∵　∠APD＝90°，
∴　AB＝
　AC＝
　AD＝
∵　
AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，
∴　△ABC∽△DBA，故选
C．
四、课堂训练
4．根据下列条件，判断△ABC
与△A′B′C′
是否相似：
AB＝4
cm，BC＝6
cm，AC＝8
cm，A′B′＝12
cm，B′C′＝18
cm，A′C′＝21
cm．
答案：不相似．
四、课堂训练
5．如图，△ABC
中，点
D，E，F
分别是
AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
四、课堂训练
证明：∵△ABC
中，点
D，E，F
分别是
AB，BC，CA的中点，
∴
∴
∴　△ABC∽△EFD．
四、课堂训练
6．如图，某地四个乡镇
A，B，C，D
之间建有公路，已知
AB＝14
千米，AD＝28
千米，BD＝21
千米，DC＝31.5
千米，公路
AB
与
CD
平行吗？说出你的理由．
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
四、课堂训练
解：公路
AB
与
CD
平行．
∴
∴　△ABD∽△BDC，
∴　∠ABD＝∠BDC，
∴　AB∥DC．
五、作业
教科书第
34
页练习第
2，3
题．
教科书第
42
页习题
27.2
第
1，2
题．
第二十七章　相似
27.2.1　相似三角形的判定
第三课时　两边成比例且夹角相等的
两个三角形相似
一、情景导入
1．回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？
2．类似于判定三角形全等的
SAS
方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
二、探究新知
用刻度尺和量角器画
△ABC
和
△A′B′C′，使∠A＝∠A′，
量出
BC
及
B′C′
的长，它们的比值等于
k
吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC
与
△A′B′C′
有何关系？
改变
k
和∠A
的值的大小，是否有同样的结论？
二、探究新知
如图，在
△ABC
与
△A′B′C′
中，已知
∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′．
证明：在
△A′B′C′
的边
A′B′
上
截取点
D，使
A′D＝AB．过点
D
作
DE∥B′C′，交
A′C′
于点
E．
∵　DE∥B′C′，
∴　△A′DE∽△A′B′C′．
∴
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
二、探究新知
∵　A′D＝AB，
∴
∴　A′E＝AC．
又　∠A′＝∠A．
∴　△A′DE
≌
△ABC，
∴　△A′B′C′
∽
△ABC．
二、探究新知
归纳：
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵　　　　　　　∠A＝∠A′，
∴　△ABC
∽
△A′B′C′．
B
A
C
B'
A'
C'
二、探究新知
思考：对于
△ABC
和
△A′B′C′，如果
A′B′∶AB＝A′C′∶AC．∠B＝∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等．
A
B
C
A′
B′
B″
C′
二、探究新知
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．
二、探究新知
例
1　根据下列条件，判断△ABC
和△A′B′C′
是否相似，并说明理由：
∠A＝120°
，AB＝7
cm，AC＝14
cm，
∠A′＝120°，A′B′＝3
cm
，A′C′＝6
cm．
解：∵
∴
又　∠A′＝∠A，
∴　△ABC
∽
△A′B′C′．
二、探究新知
例
2　如图，△ABC
与△ADE
都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠CAE．求证：△ABC
∽△ADE．
证明：∵　△ABC
与
△ADE
是等腰三角形，
∴　AD＝AE，AB＝AC，
∴　
又∵　∠DAB＝∠CAE，
∴　∠DAB
+∠BAE＝∠CAE
+∠BAE，
即　∠DAE＝∠BAC，
∴　△ABC
∽
△ADE．
A
B
C
D
E
二、探究新知
例
3　如图，D，E
分别是△ABC
的边
AC，AB
上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且
求
DE
的长．
A
C
B
E
D
二、探究新知
解：∵　AE＝1.5，AC＝2，
∴
又∵　∠EAD＝∠CAB，
∴
　△ADE
∽△ABC，
∴
∴　
二、探究新知
例
4　如图，
在△ABC
中，CD
是边
AB
上的高，且
　　　　　　　　　　　　　
求证
∠ACB＝90°．
A
B
C
D
二、探究新知
证明：
∵　CD
是边
AB
上的高，
∴　∠ADC＝∠CDB＝90°．
∵
∴　△ADC
∽△CDB．
∴　∠ACD＝∠B，
∴　∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°．
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等．
三、课堂小结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
四、课堂训练
1．判断．
(1)两个等边三角形相似．
(　　)
(2)两个直角三角形相似．
(　　)
(3)两个等腰直角三角形相似．
(　　)
(4)有一个角是
50°的两个等腰三角形相似．
(　　)
×
√
√
×
四、课堂训练
2．如图，D
是△ABC
一边
BC
上一点，连接
AD，使
△ABC
∽
△DBA
的条件是(　　)．
A．AC∶BC＝AD∶BD
B．AC∶BC＝AB∶
AD
C．AB2＝CD
·
BC
D．AB2＝BD
·
BC
A
B
C
D
D
四、课堂训练
3．如图△AEB
和△FEC_______
(填“相似”或“不相似”)．
54
30
36
45
E
A
F
C
B
相似
四、课堂训练
4．如图，已知△ABC
中，D
为边
AC
上一点，P
为边
AB
上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当
AP
的长度为
_______
时，△ADP
和△ABC
相似．
A
B
C
D
4
或
9
四、课堂训练
解：当△ADP
∽△ACB
时，
AP∶AB＝AD∶AC
，
∴　AP∶12＝6∶8.
解得
　　　　　　　AP＝9；
当△ADP
∽△ABC
时，
AD∶AB＝AP∶AC，
∴　6∶12＝AP∶8，
解得
　　　　　　　AP＝4．
∴　当
AP
的长度为
4
或
9
时，△ADP
和△ABC
相似．
A
B
C
D
P
P
四、课堂训练
5．如图，在四边形
ABCD
中，已知
∠B＝∠ACD，
AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝
，求
AD
的长．
A
B
C
D
四、课堂训练
解：∵　AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝
，
∴　
又∵　∠B＝∠ACD，
∴　△ABC
∽
△DCA，
∴
　
∴
四、课堂训练
6．如图，∠DAB＝∠CAE，且
AB·AD＝AE·AC，求证
△ABC
∽△AED．
证明：∵　AB
·
AD＝AE
·
AC，
∴
又∵　∠DAB＝∠CAE，
∴　∠
DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，
即　∠DAE＝∠BAC，
∴
　△ABC
∽△AED．
A
B
C
D
E
五、作业
教科书第
42
页习题
27.
2
第
3
题．
第二十七章　相似
27.2.1　相似三角形的判定
第四课时　两角分别相等的两个三角形相似
一、情景导入
学校举办活动，需要三个内角分别为
90°，60°，30°的形状相同，大小不同的三角纸板若干．小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
？
？
？
二、探究新知
与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，探究下列问题：
问题一　度量
AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′
的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
二、探究新知
问题二　试证明△A′B′C′∽△ABC．
证明：在△ABC
的边
AB(或
AB
的延长线)上，截取
AD＝A′B′，过点
D
作
DE∥BC，交
AC
于点
E，则有△ADE
∽△ABC，∠ADE＝∠B．
∵　∠B＝∠B′，
∴　∠ADE＝∠B′．
又∵　
AD＝A′B′，∠A＝∠A′，
∴　△ADE
≌△A′B′C′．
∴　△A′B′C′
∽△ABC．
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
二、探究新知
归纳：
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵　∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，
∴　△ABC∽△A'B'C'．
C
A
B
A'
B'
C'
二、探究新知
例
1　如图，△ABC
和△DEF
中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°．求证：△ABC
∽△DEF．
证明：∵　在
△ABC
中，∠A＝40°，∠B＝80°，
∴　∠C＝180°－∠A－∠B＝60°．
∵　在
△DEF
中，
∠E＝80°，
∠F＝60°．
∴　∠B＝∠E
，
∠C＝∠F．
∴　△ABC
∽△DEF．
A
C
B
F
E
D
二、探究新知
例
2　如图，弦
AB
和
CD
相交于
⊙O
内一点
P，求证：PA·PB＝PC·PD．
证明：连接
AC，DB．
∵　∠A
和
∠D
都是弧
CB
所对的圆周角，
∴　∠A＝
_______．
同理　∠C＝
_______，
∴　△PAC
∽
△PDB．
∴　__________
即
PA·PB＝PC·PD．
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
三、课堂小结
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
四、课堂训练
1．如图，在△ABC
和△A'B'C'中，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠A'＝60°，当∠C'＝_____时，△ABC
∽△A'B'C'．
80°
C
A
B
B'
C'
A'
四、课堂训练
2．如图，△ABC
中，AE
交
BC
于点
D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则
DC
的长等于(　　)．
A．
B．
C．
D．
A
C
A
B
D
E
四、课堂训练
3．如图，点
D
在
AB
上，当∠_______
＝∠_______
(或∠_______
＝∠_______
)时，
△ACD∽△ABC．
ACD
B
ACB
ADB
A
B
D
C
四、课堂训练
4．如图，⊙O
的弦
AB，CD
相交于点
P，若
PA＝3，
PB＝8，PC＝4，则
PD＝____．
6
O
D
C
B
A
P
四、课堂训练
5．如图，△ABC
中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
证明：∵　DE∥BC，
EF∥AB，
∴　∠AED＝∠C，
∵　∠A＝∠FEC．
∴　△ADE∽△EFC．
A
E
F
B
C
D
五、作业
教科书第
36
页练习第
1
题．
教科书第
57
页复习题
27
第
1，2，3题．
第二十七章　形似
27.2.1　相似三角形的判定
第五课时　直角三角形相似的判定
一、情景导入
1．
回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．
2．类似于判定三角形全等的方法，能不能通过直角边与斜边来判定两个三角形相似呢？
二、探究新知
利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵　∠A＝∠A'
，∠B＝∠B'，
∴　△ABC
∽
△A'B'C'．
C
A
B
A'
B'
C'
二、探究新知
归纳：由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
二、探究新知
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用
“HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
二、探究新知
证明：设______________＝k，则
AB＝kA′B′，AC＝kA′B′．由__________
，得
∴　　
∴　Rt
△ABC
∽
Rt
△A′B′C′．
C
A
A'
B
B'
C'
勾股定理
二、探究新知
归纳：由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似．
二、探究新知
例
1　如图，在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E
是
AC
上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为
D.
求AD
的长．
解：∵　ED⊥AB，
∴　∠EDA＝90°．
又　∠C＝90°，∠A＝∠A，
D
A
B
C
E
二、探究新知
∴　△AED
∽△ABC．
∴　
∴　
二、探究新知
例
2　如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝　
，当
AB
的长为____________时，△ACB
与
△ADC相似．
C
A
B
D
二、探究新知
解析：∵　∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝
，
∴　
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1)当
Rt△ABC
∽
Rt△ACD
时，有
AC
:
AD＝AB∶AC，即
∶2＝AB∶
，解得
AB＝3；
(2)当
Rt△ACB
∽
Rt△CDA
时，有
AC
:
CD＝AB∶AC，
即
∶
＝AB∶
，解得
AB＝
∴　当
AB
的长为
3
或
时，这两个直角三角形相似．
三、课堂小结
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
直角三角形相似的判定
四、课堂训练
1．在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′
中，∠C＝∠C′＝90°
，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似．
(1)∠A＝35°
，∠B′＝55°：_______
；
(2)AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8：_______
；
(3)AB＝10，AC＝8，A′B′＝25，B′C′＝15：_______
．
相似
相似
相似
四、课堂训练
2．如图，已知
AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有(　　)．
A．1对
　　B．2对
C．3对
　　D．4对
C
四、课堂训练
3．如图，在
Rt△ABC
中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D．若
AB＝6，AD＝2，则
AC＝_______
，BD＝_______
，BC＝_______
．
D
B
C
A
18
四、课堂训练
4．如图，△ABC
的高
AD，BE
交于点
F．
求证：
D
C
A
B
E
F
四、课堂训练
证明：
∵　△ABC
的高
AD，BE
交于点
F，
∴　∠FEA＝∠FDB＝90°，
∠AFE＝∠BFD(对顶角相等)．
∴　△FEA
∽
△
FDB，
∴　　
四、课堂训练
5．如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC
∽△ADE．
证明：∵　∠BAC＝∠1＋∠DAC，
∠DAE＝∠3＋∠DAC，∠1＝∠3，
∴　
∠BAC＝∠DAE．
∵
　∠C＝180°－∠2－∠DOC
，
∠E＝180°－∠3－∠AOE，
∠DOC
＝∠AOE(对顶角相等)，
∴
∠C＝∠E．
∴
△ABC∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
四、课堂训练
6．如图，BE
是
△ABC
的外接圆
O
的直径，CD
是△ABC
的高，
求证：AC·BC＝BE·CD．
证明：
连接
CE，则∠A＝∠E．
又∵　BE
是
△ABC
的外接圆
O
的直径，
∴　∠BCE＝90?＝∠ADC．
∵　∠A＝∠E，∠BCE＝∠ADC，
∴　△ACD∽△EBC．
∴
　
∴　
AC·BC＝BE·CD．
O
D
C
B
A
E
五、作业
教科书第
36
页练习第
2，3
题．