人教版九年级下册 第二十七章 相似 27. 2.2　相似三角形的性质（共29张）

(共29张PPT)
第二十七章　相似
27.
2.2　相似三角形的性质
一、情景导入
1．相似三角形的判定方法有哪几种？
定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似；
平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似；
三边成比例的两个三角形相似；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
两角分别相等的两个三角形相似；
一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似．
一、情景导入
2．三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？
高；中线；角平分线；周长；面积
3．如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？
二、探究新知
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为
k，它们对应高，对应中线，对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
二、探究新知
解：如图，分别作出△ABC
和
△A'B'C'
的高
AD
和
A'D'．
则∠ADB＝∠A'D'B'＝90°．
∵　△ABC
∽△A′B′C′，
∴　∠B＝∠B'
，
∴　△ABD
∽△A'
B'
D'
．
∴
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
二、探究新知
归纳：由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比．
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比．
二、探究新知
想一想：相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
二、探究新知
如果△ABC
∽△A'B'C'，相似比为
k，那么
因此
AB＝k
A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
二、探究新知
如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为
k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
二、探究新知
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
二、探究新知
归纳：由此得出：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
二、探究新知
例
1　已知△ABC∽△DEF，BG，EH
分别是△ABC
和
△DEF
的角平分线，BC＝6
cm，EF＝4
cm，BG＝4.8
cm．求
EH
的长．
D
E
F
H
A
G
B
C
二、探究新知
解：∵　△ABC
∽△DEF，　
∴　　
(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)．
∴
　
解得
EH＝3.2
cm
．
∴　故
EH
的长为
3.2
cm．
二、探究新知
1．如果两个相似三角形的对应高的比为
2∶3，那么对应角平分线的比是_______
，对应边上的中线的比是_____．
2．△ABC
与△A′B′C′
的相似比为
3∶4，若
BC
边上的高
AD＝12
cm，则
B′C′
边上的高
A'D'
＝_______．
2∶3
2∶3
16
cm
二、探究新知
3．已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比
2
k
……
周长比
……
面积比
10
000
……
2
4
100
100
k
k2
二、探究新知
4．把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1)如果边长扩大为原来的
5
倍，那么面积扩大为原来的______倍；
(2)如果面积扩大为原来的
100
倍，那么边长扩大为原来的______倍．
25
10
二、探究新知
5．两个相似三角形的一对对应边分别是
35
cm，14
cm，
(1)它们的周长差
60
cm，这两个三角形的周长分别是
________________；
(2)它们的面积之和是
58
cm2，这两个三角形的面积分别是______________．
100
cm，40
cm
100
cm，40
cm
二、探究新知
例
2　如图，D，E
分别是
AC，AB
上的点，已知△ABC
的面积为
100
cm2，且
求四边形
BCDE
的面积．
解：∵　∠BAC＝∠DAE，且
∴　△ADE
∽△ABC．
∵　它们的相似比为
3∶5，
∴　面积比为
9∶25．
又∵　△ABC
的面积为
100
cm2，
∴　△ADE
的面积为
36
cm2
．
∴　四边形
BCDE
的面积为
100－36＝64(cm2)．
B
C
A
D
E
三、课堂小结
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用
四、课堂训练
1．判断：
(1)一个三角形的各边长扩大为原来的
5
倍，这个三角形的周长也扩大为原来的
5
倍．(　　)
(2)一个四边形的各边长扩大为原来的
9
倍，这个四边形的面积也扩大为原来的
9
倍．
(　　)
√
×
四、课堂训练
2．在△ABC
和
△DEF
中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，AP，DQ
是中线，若
AP＝2，则
DQ
的值(　　)．
A．2
B．4
C．1
D．
C
四、课堂训练
3．连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_____
，面积比等于_____．
4．两个相似三角形对应的中线长分别是
6
cm
和
18
cm，若较大三角形的周长是
42
cm，面积是
12
cm2，则较小三角
形的周长____cm，面积为____cm2．
1∶2
1∶4
14
四、课堂训练
5．如图，这是圆桌正上方的灯泡(点
A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为
1.2
米，桌面距离地面为
1
米，若灯泡距离地面
3
米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？
解：∵　FH＝1
米，AH＝3
米，
桌面的直径为
1.2
米，
∴　AF＝AH－FH＝2(米)，
DF＝1.2÷2＝0.6(米)．
A
D
E
F
C
B
H
四、课堂训练
∵　DF∥CH，
∴　△ADF
∽△ACH．
∴　
即
解得
　　　　　　CH＝0.9米．
∴　
阴影部分的面积为：
答：地面上阴影部分的面积为
2.54
平方米．
四、课堂训练
6．△ABC
中，DE∥BC，EF∥AB，已知
△ADE
和△EFC
的面积分别为
4
和
9，求
△ABC
的面积．
解：∵　DE∥BC，EF∥AB，
∴　△ADE∽△ABC
，
∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF．
∴　△ADE
∽△EFC．
又∵　S△ADE∶S△EFC
＝4∶9，
∴　AE∶EC＝2∶3．
A
B
C
D
F
E
四、课堂训练
则
　AE∶AC＝2∶5，
∴　S△ADE∶S△ABC＝4∶25，
∴　S△ABC＝25．
四、课堂训练
7．如图，△ABC
中，DE∥BC，DE
分别交
AB，AC
于点
D，E，S△ADE＝2S△DCE，求
S△ADE
∶S△ABC．
解：过点
D
作
AC
的垂线，交点为
F，则
∴　
A
B
C
D
E
四、课堂训练
又∵　DE∥BC，
∴　△ADE
∽△ABC．
∴
即　S△ADE∶S△ABC
＝4∶9．
五、作业
教科书第
39
页练习第
2，3
题．
教科书第
57
页复习题
27
第
8，9，10题．