16.1二次根式
一、选择题题
1．下列式子一定是二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
2．【中考·黄石】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥1且x≠2
B．x≤1
C．x>1且x≠2
D．x<1
3．【中考·济宁】若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A．x≥
B．x≤
C．x＝
D．x≠
4.【中考·宿迁】若实数m，n满足等式|m－2|＋＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( )
A．12
B．10
C．8
D．6
下列各式中一定成立的是（
）
A．=+=3+4=7
B．=-
C．（-）2=
D．=1-=
化简：的结果为（
）
A、4—2a
B、0
C、2a—4
D、4
7．已知二次根式的结果是7，则x的值为( )
A．7
B．49
C．－7
D．7或－7
8．【中考·凉山州】下列各式正确的是( )
A．2a2＋3a2＝5a4
B．a2·a＝a3
C．(a2)3＝a5
D.＝a
9．若式子＋的值是常数2，则x的取值范围是( )
A．x≥4
B．x≤2
C．2≤x≤4
D．x＝2或x＝4
10.化简－()2的结果为( )
A．2x－6
B．0
C．6－2x
D．2x＋6
11.【中考·攀枝花】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＋－的结果是( )
A．－2
B．0
C．－2a
D．2b
12．【中考·日照】若＝3－x，则x的取值范围是( )
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≤3
填空题
13.设点P的坐标是（1+，－2+a），则点P在____________
象限
14.
在实数范围内分解因式
15.等式中的括号应填入
16.
代数式的最大值是__________．
三．计算解答题
17．已知＋＝0，求x，y的值．
18．观察下列各式：
＝1＋＝1＋，
＝1＋＝1＋，
＝1＋＝1＋，
…
请利用你发现的规律，计算：
＋＋＋…＋，
其结果为____．
设的小数部分为b，求证：＝2b+。
20．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知y＝＋＋2
022，求的值．
解：由解得x＝2
021，∴y＝2
022.
∴＝.
(1)若x，y为实数，且y>＋＋2，化简：；
(2)若y·＋＝y＋2，求的值．
21．先阅读，然后回答问题．
化简：＋.
由于题中没有给出x的取值范围，所以要先分类讨论．
＋＝|x－3|＋|x＋2|.
令x－3＝0，x＋2＝0，分别求出x＝3，x＝－2，然后在数轴上标出表示3和－2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜－2，－2≤x＜3，x≥3.
当x<－2时，原式＝－(x－3)－(x＋2)＝－2x＋1；
当－2≤x＜3时，原式＝－(x－3)＋(x＋2)＝5；
当x≥3时，原式＝(x－3)＋(x＋2)＝2x－1.
化简：＋.16.1二次根式
一、选择题题
1．下列式子一定是二次根式的是( C )
A.
B.
C.
D.
2．【中考·黄石】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是( A )
A．x≥1且x≠2
B．x≤1
C．x>1且x≠2
D．x<1
【点拨】本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意知x－1≥0且x－2≠0，解得x≥1且x≠2.
3．【中考·济宁】若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是( C )
A．x≥
B．x≤
C．x＝
D．x≠
【点拨】由题意可知
解得x＝.
4.【中考·宿迁】若实数m，n满足等式|m－2|＋＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( B )
A．12
B．10
C．8
D．6
【点拨】根据|m－2|＋＝0得m＝2，n＝4，再根据三角形三边关系得三角形三边长分别为4，4，2.故周长为4＋4＋2＝10.
下列各式中一定成立的是（
C
）
A．=+=3+4=7
B．=-
C．（-）2=
D．=1-=
知识点：二次根式的性质与化简
解析：选项A、D不符合根式的运算法则，选项B算错了二次根式的符号，没有考虑二次根式的非负性，选项C符合二次根式的性质，故选C．
分析：根据二次根式的定义，正确判断二次根式的运算正确与否，是解答此题的基本方法．
化简：的结果为（
C
）
A、4—2a
B、0
C、2a—4
D、4
知识点：绝对值；二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件
解析：由成立，解得a-3≧0，故a≧3。所以原式=a-1+a-3=2a-4，故选C.
分析：明确被开方数大于等于零，判断字母的取值范围，从而脱去绝对值符号和根号，正确化简是解此题的基本方法。
7．已知二次根式的结果是7，则x的值为( D )
A．7
B．49
C．－7
D．7或－7
【点拨】由题意得x2＝49，所以x＝±7.
8．【中考·凉山州】下列各式正确的是( B )
A．2a2＋3a2＝5a4
B．a2·a＝a3
C．(a2)3＝a5
D.＝a
9．若式子＋的值是常数2，则x的取值范围是( C )
A．x≥4
B．x≤2
C．2≤x≤4
D．x＝2或x＝4
10.化简－()2的结果为( B )
A．2x－6
B．0
C．6－2x
D．2x＋6
11.【中考·攀枝花】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＋－的结果是( A )
A．－2
B．0
C．－2a
D．2b
【点拨】由数轴可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0，
∴＋－
＝|a＋1|＋|b－1|－|a－b|
＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－b)
＝－a－1＋b－1＋a－b
＝－2.
12．【中考·日照】若＝3－x，则x的取值范围是( D )
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≤3
【点拨】在运用＝a(a≥0)时，易忽略a≥0这个条件，导致错误．
填空题
13.设点P的坐标是（1+，－2+a），则点P在______四______
象限
解析：由1+≧1>0，-a≧0，所以a≦0，所以-2+a<0，所以点P在第四象限14.
在实数范围内分解因式
（x+8)(x-8)=(x+2)(x-2)(x+8)
解析：原式=（x+8)(x-8)=(x+2)(x-2)(x+8)．
分析：在实数范围运用平方差公式进行因式分解，扩大了学生数的范围，扩充了数学视野．
等式中的括号应填入
解析：===
分析：能够进行绝对值和二次根式的互化，从而解决含有绝对值和二次根式的题目，是本节的一个基本学习能力．
代数式的最大值是_____3_____．
解析：由－≦0，知代数式3－的最大值是3．
分析：根据二次根式的非负性，判断含有二次根式的代数的最值是一个基本求最值的方法．
三．计算解答题
17．已知＋＝0，求x，y的值．
解：因为≥0，≥0，且＋＝0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y的值分别为－1，3.
方法总结：a2，|a|，都为非负数，即a2≥0，|a|≥0，≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
18．观察下列各式：
＝1＋＝1＋，
＝1＋＝1＋，
＝1＋＝1＋，
…
请利用你发现的规律，计算：
＋＋＋…＋，
其结果为___2
022_．
【点拨】＋＋＋…＋
＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝2
022＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2
022＋1－＝2
022.
设的小数部分为b，求证：＝2b+。
∵设的小数部分为b，
∵
=6
-，4＜6
-
＜5，
∴b=6-
-
4=2-
，
∴2b+
=
4
-2
=4-2+2+=6-，
（6-）2=39
-
，
∴＝2b+，即证。
20．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知y＝＋＋2
022，求的值．
解：由解得x＝2
021，∴y＝2
022.
∴＝.
(1)若x，y为实数，且y>＋＋2，化简：；
(2)若y·＋＝y＋2，求的值．
（1）解：由解得x＝3，∴y>2.
∴＝＝1.
（2）由解得x＝1，∴y＝－2.
∴＝3.
21．先阅读，然后回答问题．
化简：＋.
由于题中没有给出x的取值范围，所以要先分类讨论．
＋＝|x－3|＋|x＋2|.
令x－3＝0，x＋2＝0，分别求出x＝3，x＝－2，然后在数轴上标出表示3和－2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜－2，－2≤x＜3，x≥3.
当x<－2时，原式＝－(x－3)－(x＋2)＝－2x＋1；
当－2≤x＜3时，原式＝－(x－3)＋(x＋2)＝5；
当x≥3时，原式＝(x－3)＋(x＋2)＝2x－1.
化简：＋.
【点拨】当开方结果不能确定时，令被开方数为0，求出临界点再进行分类讨论，注意开方的结果是非负数．
解：＋＝＋＝|x＋1|＋|x－2|.
令x＋1＝0，得x＝－1；令x－2＝0，得x＝2.
在数轴上标出表示－1和2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜－1，－1≤x＜2，x≥2.
当x＜－1时，原式＝－(x＋1)－(x－2)＝－x－1－x＋2＝－2x＋1；
当－1≤x＜2时，原式＝(x＋1)－(x－2)＝x＋1－x＋2＝3；
当x≥2时，原式＝(x＋1)＋(x－2)＝x＋1＋x－2＝2x－1.
