单元素养评价(三)(第三、四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(ex+2x)dx=( )
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
【解析】选C.(ex+2x)dx=(ex+x2)=e+1-1=e.
2.已知函数f(x)=(2x-x2)ex，则( )
A.f()是f(x)的极大值也是最大值
B.f()是f(x)的极大值但不是最大值
C.f(-)是f(x)的极小值也是最小值
D.f(x)没有最大值也没有最小值
【解析】选A.由题意得f′(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex=(2-x2)ex，
当-0，函数f(x)是增加的；
当x<-或x>时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的，
所以f(x)在x=处取得极大值f()=2(-1)>0，
在x=-处取得极小值f(-)=2(--1)<0，
又当x<0时，f(x)=(2x-x2)ex<0，
所以f()是f(x)的极大值也是最大值.
3.设f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，则导函数f′(x)的图像可能
是( )
【解析】选B.由f(x)的图像可知，当x<0时，f(x)是减少的，f′(x)<0，排除C，D两项，当x>0时，函数的单调性是先减后增再减.所以当x→+∞时，f′(x)<0.
4.若x=1是函数f(x)=ax+ln
x
的极值点，则( )
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0
【解析】选A.因为x=1是函数f(x)=ax+ln
x的极值点，所以f′(1)=0，所以a+=0，所以a=-1，所以f′(x)=-1+=0，x=1.当x>1时，f′(x)<0，当00，所以f(x)有极大值-1.
5.若S1=dx，S2=(ln
x+1)dx，S3=xdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A.S1B.S2C.S1D.S3【解析】选A.如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.
6.函数f(x)=2x3+9x2-2在区间[-4，2]上的最大值和最小值分别为( )
A.25，-2
B.50，14
C.50，-2
D.50，-14
【解析】选C.因为函数f(x)=2x3+9x2-2，所以f′(x)=6x2+18x，
当x∈[-4，-3)，或x∈(0，2]时，f′(x)>0，函数为增加的；
当x∈(-3，0)时，f′(x)<0，函数为减少的；
由f(-4)=14，f(-3)=25，f(0)=-2，f(2)=50，
故函数f(x)=2x3+9x2-2在区间[-4，2]上的最大值和最小值分别为50，-2.
7.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为( )
A.(-∞，0)
B.(-∞，2)
C.(0，+∞)
D.(2，+∞)
【解析】选C.设g(x)=，则g′(x)=.
因为f(x)0，即函数g(x)在定义域内单调递增，
因为f(0)=2，所以g(0)=f(0)=2，所以不等式f(x)>2ex等价于g(x)>g(0).
因为函数g(x)在定义域内单调递增.所以x>0，所以不等式的解集为(0，+∞)，所以选C.
8.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1+25ln
5
B.8+25ln
C.4+25ln
5
D.4+50ln
2
【解析】选C.由v(t)=0得t=4，所以刹车距离
s=v(t)dt=dt==4+25ln
5.
9.已知y=f(x)是可导函数，如图，直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=( )
A.-1
B.0
C.2
D.4
【解析】选B.由已知，曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-，所以f′(3)=-，因为g(x)=xf(x)，所以g′(x)=f(x)+xf′(x)，所以g′(3)=f(3)+3f′(3).又由图知f(3)=1，所以g′(3)=1+3×=0.
10.若y=(sin
t+cos
t·sin
t)dt，则y的最大值是( )
A.1
B.2
C.-
D.0
【解析】选B.先将sin
tcos
t化简为sin
2t.
y=dt==-cos
x-cos
2x+
=-cos
2x-cos
x+=-(cos
x+1)2+2.当cos
x=-1时，ymax=2.
11.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a，a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围
是( )
A.[-5，0)
B.(-5，0)
C.[-3，0)
D.(-3，0)
【解析】选C.由题意，得f′(x)=x2+2x=x(x+2)，故f(x)在(-∞，-2)，(0，
+∞)上是增加的，在(-2，0)上是减少的，作出其图像如图所示，令x3+x2-=-得，x=0或x=-3，则结合图像可知，解得a∈[-3，0).
12.若函数y=f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin
x
B.y=ln
x
C.y=ex
D.y=x3
【解析】选A.设曲线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则由导数几何意义可知，两条切线的斜率分别为k1=f′(x1)，k2=f′(x2).若函数具有T性质，则k1·k2=f′(x1)·f′(x2)=-1.A项，f′(x)=cos
x，显然k1·k2=
cos
x1·cos
x2=-1有无数组解，所以该函数具有T性质；B项，f′(x)=(x>0)，显然k1·k2=·=-1无解，所以该函数不具有T性质；C项，f′(x)=ex>0，显然k1·k2=·=-1无解，所以该函数不具有T性质；D项，f′(x)=3x2≥0，显然k1·k2=3×3=-1无解，所以该函数不具有T性质.综上，选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.计算(x3cos
x)dx=_________.?
【解析】因为y=x3cos
x为奇函数，所以(x3cos
x)dx=0.
答案：0
14.f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则a的取值范围是_________.?
【解析】由f′(x)=3x2-3>0，解得单调递增区间为(-∞，-1)，(1，+∞)，由f′(x)<0得单调递减区间为(-1，1).要有3个不同零点需满足解得a∈(-2，2).
答案：(-2，2)
15.已知(x2+m)dx=1，则函数f(x)=logm(2x-x2)的单调递减区间是_________.?
【解析】因为(x2+m)dx=1，所以=1，解得m=，
故f(x)=(2x-x2)，
设g(x)=2x-x2=x(2-x)，令g(x)>0，解得0而g(x)的图像的对称轴为x=1，
故g(x)在(0，1]上单调递增，在(1，2)上单调递减，
又0故函数f(x)的单调递减区间是(0，1].
答案：(0，1]
16.已知函数f(x)=ax-ln
x，若f(x)>1在区间(1，+∞)内恒成立，则实数a的范围为_________.?
【解析】由已知a>在区间(1，+∞)内恒成立.
设g(x)=，所以g′(x)=-<0(x>1)，
所以g(x)=在区间(1，+∞)上是减少的，
所以g(x)因为g(1)=1，所以<1在区间(1，+∞)内恒成立，所以a≥1.
答案：[1，+∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数f(x)=x3-x2+x+1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.
【解析】因为(1，2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点，
设过点(1，2)处的切线的斜率为k，则k=f′(1)=(3x2-2x+1)x=1=2，
所以过点(1，2)处的切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.
y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图：
由可得交点A(2，4)，O(0，0).
所以y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积
S=(2x-x2)dx==4-=.
18.(12分)设函数f(x)=ln
x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值.
【解析】函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)=-+a.
(1)当a=1时，f′(x)=，所以f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为
(，2).
(2)当x∈(0，1]时，f′(x)=+a>0，
即f(x)在(0，1]上是增加的，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)=a，因此a=.
19.(12分)已知函数f(x)=e2x-1-2x.
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)证明：当x∈R时，f(x)≥0恒成立.
【解析】(1)函数f(x)=e2x-1-2x，定义域为R，f′(x)=e2x-1×(2x-1)′-2=2e2x-1-2.
(2)由题意f′(x)=2e2x-1-2，x∈R，x，f′(x)，f(x)当x∈R时变化如表：
x
f′(x)
-
0
+
f(x)
减少
极小值
增加
当x=时f(x)取得极小值也是最小值，而f=0，故f(x)≥0恒成立.
20.(12分)已知f(x)=xln
x，g(x)=-x2+ax-3.
(1)对一切x∈(0，+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围.
(2)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有ln
x>-恒成立.
【解析】(1)由题意知2xln
x≥-x2+ax-3对一切x∈(0，+∞)恒成立，
则a≤2ln
x+x+.
设h(x)=2ln
x+x+(x>0)，则h′(x)=，
①当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)是减少的；
②当x∈(1，+∞)时，h′(x)>0，h(x)是增加的，
所以h(x)min=h(1)=4，因为对一切x∈(0，+∞)，
2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min=4，
即实数a的取值范围为(-∞，4].
(2)问题等价于证明xln
x>-(x∈(0，+∞)).
又f(x)=xln
x，f′(x)=ln
x+1，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减少的；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的，所以f(x)min=f=-.
设m(x)=-(x∈(0，+∞))，则m′(x)=，易知m(x)max=m(1)=-，
从而对一切x∈(0，+∞)，ln
x>-恒成立.
21.(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式.
(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解题指南】适当选定变量，把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，利用导数求函数最值.
【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即n=-1，
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256+(2+)x=+m+2m-256(0(2)由(1)知，f′(x)=-+m=(-512).
令f′(x)=0，得=512，所以x=64，当0(0，64)上是减少的；
当640，f(x)在区间(64，640)上是增加的.所以f(x)在x=64处取得最小值，
此时n=-1=-1=9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
22.(12分)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数，a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值.
(2)求证：当a>ln，且x>0时，>x+-3a.
【解析】(1)由f(x)=ex-3x+3a知，f′(x)=ex-3.
令f′(x)=0，得x=ln
3，
于是根据x值列表分析f′(x)的符号和函数f(x)的单调性和极值点：
x
(-∞，ln
3)
ln
3
(ln
3，+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以f(x)的递减区间是(-∞，ln
3)，递增区间是(ln
3，+∞)，
f(x)在x=ln
3处取得极小值，
极小值为f(ln
3)=eln
3-3ln
3+3a=3(1-ln
3+a).f(x)无极大值.
(2)待证不等式等价于ex-x2+3ax-1>0，
设g(x)=ex-x2+3ax-1，x>0，则g′(x)=ex-3x+3a，x>0.
由(1)及a>ln=ln
3-1知，g′(x)的最小值为g′(ln
3)=3(1-ln
3+a)>0.
所以g(x)在(0，+∞)上为增函数，
因为g(0)=0，所以当x>0时，g(x)>0，
即ex-x2+3ax-1>0，即>x+-3a.
PAGE单元素养评价(三)(第三、四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(ex+2x)dx=( )
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
2.已知函数f(x)=(2x-x2)ex，则( )
A.f()是f(x)的极大值也是最大值
B.f()是f(x)的极大值但不是最大值
C.f(-)是f(x)的极小值也是最小值
D.f(x)没有最大值也没有最小值
3.设f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，则导函数f′(x)的图像可能
是( )
4.若x=1是函数f(x)=ax+ln
x
的极值点，则( )
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0
5.若S1=dx，S2=(ln
x+1)dx，S3=xdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A.S1B.S2C.S1D.S36.函数f(x)=2x3+9x2-2在区间[-4，2]上的最大值和最小值分别为( )
A.25，-2
B.50，14
C.50，-2
D.50，-14
7.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为( )
A.(-∞，0)
B.(-∞，2)
C.(0，+∞)
D.(2，+∞)
8.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1+25ln
5
B.8+25ln
C.4+25ln
5
D.4+50ln
2
9.已知y=f(x)是可导函数，如图，直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=( )
A.-1
B.0
C.2
D.4
10.若y=(sin
t+cos
t·sin
t)dt，则y的最大值是( )
A.1
B.2
C.-
D.0
11.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a，a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围
是( )
A.[-5，0)
B.(-5，0)
C.[-3，0)
D.(-3，0)
12.若函数y=f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin
x
B.y=ln
x
C.y=ex
D.y=x3
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.计算(x3cos
x)dx=_________.?
14.f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则a的取值范围是_________.?
15.已知(x2+m)dx=1，则函数f(x)=logm(2x-x2)的单调递减区间是_________.?
16.已知函数f(x)=ax-ln
x，若f(x)>1在区间(1，+∞)内恒成立，则实数a的范围为_________.?
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数f(x)=x3-x2+x+1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.
18.(12分)设函数f(x)=ln
x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值.
19.(12分)已知函数f(x)=e2x-1-2x.
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)证明：当x∈R时，f(x)≥0恒成立.
20.(12分)已知f(x)=xln
x，g(x)=-x2+ax-3.
(1)对一切x∈(0，+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围.
(2)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有ln
x>-恒成立.
21.(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式.
(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
22.(12分)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数，a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值.
(2)求证：当a>ln，且x>0时，>x+-3a.
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