课时素养评价二十一 简单几何体的体积
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.直线y=x，x=1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是( )
A.π
B.
C.
D.1
【解析】选B.V=πx2dx=x3=.
2.由抛物线y=x2，x=0，x=2与x轴所围图形，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
【解析】选D.V=π(x2)2dx=x5=π.
3.定积分π(16-x2)dx等于( )
A.半径为4的球的体积
B.半径为4的四分之一球的体积
C.半径为4的半球的体积
D.半径为4的球面积
【解析】选C.因为π(16-x2)dx==64π-=π，
而半径为4的球的体积=π×43=，半径为4的半球的体积=π.
4.将由曲线y=-2，x=，x=2，y=0围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为( )
A.(21-6ln
2)π
B.π
C.π
D.(21-12ln
2)π
【解析】选B.所围成的平面图形如图中阴影部分所示.
所以所求体积为
V=πdx+πdx=πdx=πdx
=π=π=π.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.将曲线y=sin
x(x∈(0，π))及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_________ .?
【解析】所求体积V=πsin2xdx=πdx=ππ0
=π=.
答案：
6.曲线y2=10x(y≥0)，y2=16x(y≥0)与直线x=5围成的平面图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为_________.?
【解题指南】解决本题之前作图形，确定图形的组合关系后，再确定被积函数.
【解析】曲线方程可化为y=，y=4，
所求旋转体体积为
V=π(4)2dx-π()2dx=16π·-10π·=75π.
答案：75π
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积.
【解析】圆锥体体积
V=πdx==.
8.设两抛物线y=-x2+2x，y=x2所围成的图形为M，求：
(1)M的面积；
(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解析】如图，M为图中阴影部分.
(1)由-x2+2x=x2得x=0或1，所以图中M的面积为
[(-x2+2x)-x2]dx=(-2x2+2x)dx==.
(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
π[(-x2+2x)2-(x2)2]dx=π(-4x3+4x2)dx=π·=.
(15分钟·30分)
1.(5分)由y=，y=x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积可表示为( )
A.π(x-x2)dx
B.π(x2-x)dx
C.π(y2-y4)dy
D.π(y-y2)dy
【解析】选C.由得
由y=得x=y2，故V=π(y2-y4)dy.
2.(5分)四条曲线x2=2y，x=2，x=-2，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足的平面区域绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则( )
A.V1>V2
B.V1
C.V1=V2
D.无法确定
【解析】选A.第一个旋转体的体积为V1=π×22×2-πx2dy=8π-2πydy=4π，第二个旋转体的体积为半径为1的球，体积V2=π，所以V1>V2.
3.(5分)曲线y=与直线x=0，x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)=_________.?
【解析】V(t)=πdx
=(e2x+e-2x+2)dx
=
=
=(e2t+4t-e-2t).
答案：(e2t+4t-e-2t)
4.(5分)由曲线y=，直线x=0，x=1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成的几何体的体积是_________.?
【解析】体积V=πexdx=π(e-1).
答案：π(e-1)
5.(10分)古尔金第二定理：面积S绕不与它相交的轴旋转而成的旋转体，其体积等于面积S与这面积的重心所划出的圆周之长的相乘积.即面积S绕x轴旋转而成旋转体的体积，等于面积S与重心(ξ，η)所划出的圆周之长的相乘积，也即V=2πη·S=πy2dx.求抛物线x=y2，y=x2所围成面积S的重心坐标.
【解析】联立x=y2，y=x2解得x=0，1.
所以面积S=(-x2)dx=，
S绕x轴旋转而成旋转体体积为V=π(x-x4)dx=，
所以2πη·=，所以η=，
由x，y的对称性知ξ=η=，所以所求重心为.
1.一个半径为1的球可以看成是由曲线y=与x轴所围成区域(半圆)绕
x轴旋转一周得到的，则球的体积为_________.?
【解析】V=π(1-x2)dx=2π(1-x2)dx
=2π=π=π.
答案：π
2.过点P(1，0)作抛物线y=的切线，求该切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积.
【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0=.又y=，则y′=.
则切线方程为y-y0=(x-x0).且切线过点P(1，0).
所以代入上面方程，解得x0=3，则切点坐标为(3，1).所以切线方程为y=(x-1).
切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为V=πdx-π()2dx=-π=.
PAGE课时素养评价二十 平面图形的面积
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.如图所示，曲线y=x2-1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为
( )
A.|x2-1|dx
B.(1-x2)dx
C.(x2-1)dx
D.(x2-1)dx+(1-x2)dx
【解析】选A.由曲线y=|x2-1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2-1|dx.
2.由曲线y2=2x，y=x-4所围成的图形的面积为( )
A.6
B.
C.18
D.-18
【解析】选C.如图，由得交点坐标为(2，-2)，(8，4).
所以S=dy==18.
3.由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为，则m的值
为( )
A.2
B.3
C.1
D.8
【解析】选A.S=(m-)dx==m3-m3=，解得m=2.
4.已知函数f(x)的部分图像如图所示，向图中的矩形区域随机投入100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计的值约为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意设阴影部分的面积为S，则=，所以S=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_________.?
【解析】由题意知，所给题图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S=2(e-ex)dx=2(ex-ex)=2[e-e-(0-1)]=2.
又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为.
答案：
6.若函数f(x)=则f(x)与x轴围成封闭图形的面积为_____.?
【解析】函数f(x)=
则f(x)与x轴围成的封闭图形如图，
其面积为：×1×1+cos
xdx=+sin
x=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知曲线C1：y=x2与C2：y2=x在第一象限内的交点为P.
(1)求过点P且与曲线C1相切的直线方程l.
(2)求l与曲线C2所围图形的面积S.
【解题指南】(1)求出P点坐标，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标和切线斜率，代入点斜式方程.
(2)求出l与C2的交点坐标，使用定积分求出封闭图形的面积.
【解析】(1)解方程组得x=y=1，
所以P(1，1).设f(x)=x2，则f′(x)=2x，
设l与C1的切点为(x0，)，则切线斜率为k=f′(x0)=2x0，
所以l的方程为y-=2x0(x-x0)，
把P(1，1)代入l的方程得，x0=1，所以切线l方程为2x-y-1=0.
(2)解方程组得或
所以S=dy==.
8.过抛物线C：y=x2上的点P(1，1)处作曲线C的切线PT，求曲线C，切线PT及y轴所围成的平面图形的面积S.
【解析】如图，切线PT的斜率k=y′=2x，将x=1代入得k=2.
所以PT的方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.
所以S=[x2-(2x-1)]dx==.
(15分钟·30分)
1.(5分)求由曲线y=-，直线y=-x+2及y轴所围成的图形的面积错误的
为( )
A.(2-x+)dx
B.dx
C.(2-y-y2)dy
D.(4-y2)dy
【解析】选C.曲线y=-，直线y=-x+2及y轴所围成的图形如图中阴影部分所示：
则阴影部分的面积可表示为(2-x+)dx，可知A正确；根据对称性可知(2-x)dx=(x-2)dx，所以阴影部分的面积可表示为[0-(-)]dx=
dx，可知B正确；同理，根据对称性可知，阴影部分的面积可表示为(4-y2)dy，可知D正确.
2.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值
为( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
【解析】选C.因为函数f(x)=-x3+ax2+bx(a，b∈R)的图像如题图所示，它与x轴在原点处相切，所以f′(x)=-3x2+2ax+b，且f′(0)=b=0，则f(x)=-x3+ax2，
因为x轴与函数图像所围区域的面积为，所以由f(x)=-x3+ax2=0，
解得x=0或x=a，由题干图像可知a<0，则根据积分的几何意义可得-(-x3+ax2)dx=-=a4=，即a4=1，解得a=-1或a=1(舍去).
3.(5分)已知二次函数y=f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围成的面积为_________.?
【解析】根据f(x)的图像可设f(x)=a(x+1)·(x-1)(a<0).
因为f(x)的图像过点(0，1)，
所以-a=1，即a=-1.所以f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2.
所以S=(1-x2)dx=2(1-x2)dx=2=2×=.
答案：
4.(5分)计算：dx=_________.?
【解析】由定积分的几何意义知，dx表示圆(x-1)2+y2=4和x=1，x=3，y=0围成的图形的面积，所以dx=×π×4=π.
答案：π
5.(10分)如图，过点A(6，4)作曲线f(x)=的切线l.
(1)求切线l的方程；
(2)求切线l，x轴及曲线f(x)=所围成的封闭图形的面积S.
【解析】(1)f(x)定义域为[2，+∞)，f′(x)==，所以切线l的斜率k=f′(6)=，所以切线l的方程为y-4=(x-6)，即x-2y+2=0.
(2)令f(x)=0得x=2，
把y=0代入x-2y+2=0得x=-2，
所以封闭图形的面积S=dx-dx=-(4x-8=.
【加练·固】
已知曲线C：y=2x3-3x2-2x+1，点P，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.
【解析】设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y′=6x2-6x-2，
所以解得x0=0，所以切线l的斜率k=-2，
方程为y=-2，即y=-2x+1.
因此得或
故切线l与曲线C围成图形的面积为
S=|2x3-3x2-2x+1-(-2x+1)|dx=|2x3-3x2|dx==，
即所求面积为.
已知y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f′(x)=2x+2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求曲线y=f(x)与曲线y=-x2-4x+1所围成的图形的面积S.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意可得所以a=1，b=2，c=1，所以f(x)=x2+2x+1.
(2)由?x=-3或x=0，所以S=[(-x2-4x+1)-(x2+2x+1)]dx==9.
PAGE课时素养评价十九 微积分基本定理
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.dx等于( )
A.
B.
C.1
D.0
【解析】选A.dx==12-=.
2.若(2x+λ)dx=2，则λ等于( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
【解析】选B.因为(2x+λ)dx=(x2+λx)=1+λ，由题意得1+λ=2，所以λ=1.
3.已知自由落体的物体的运动速度v=gt，则当t从1到2时，物体下落的距离为( )
A.g
B.g
C.g
D.2g
【解析】选C.物体下落的距离s=gtdt，则有s=gt2=g(22-12)=g.
【加练·固】
一物体在力F(x)=4x-1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1处
运动到x=3处(单位：m)，则力F所做的功为( )
A.10
J
B.14
J
C.7
J
D.28
J
【解析】选B.由题意得，W=(4x-1)dx=(2x2-x)=14(J).
4.若a=x2dx，b=x3dx，c=sin
xdx，则a，b，c从小到大的顺序为( )
A.aB.bC.cD.c【解析】选D.因为=，=4，
=1-cos
2<2，故c二、填空题(每小题5分，共10分)
5.计算：(x2+sin
x)dx=_________.?
【解析】(x2+sin
x)dx==.
答案：
6.|x2-x|dx=_________.?
【解析】因为|x2-x|=
所以|x2-x|dx=(x2-x)dx+(x-x2)dx+(x2-x)dx
=++=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.计算定积分.
(1)(4-2x)(4-x2)dx.
(2)dx.
【解析】(1)(4-2x)(4-x2)dx=(2x3-4x2-8x+16)dx==.
(2)dx=dx=(x2-2x-3ln
x)=1-3ln
2.
【加练·固】
求下列定积分.
(1)dx.
(2)(cos
x+ex)dx.
【解析】(1)dx=xdx-x2dx+dx=-+ln
x
=-+ln
2=ln
2-.
(2)(cos
x+ex)dx=cos
xdx+exdx=sin
x+ex=1-.
8.已知f(x)=ax2+bx+c，且f(1)=2，f′(0)=0，f(x)dx=-4，求a，b，c的值.
【解析】由f(1)=2，得a+b+c=2.
①
f′(x)=2ax+b，又f′(0)=0，
所以b=0.
②
又f(x)dx=(ax2+bx+c)dx==-4，
即a+2c=-4.
③
联立①②③，得a=6，b=0，c=-4.
(15分钟·30分)
1.(5分)设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1，则f(-x)dx的值
等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为f′(x)=2x+1，所以m=2，a=1，
即f(x)=x2+x.所以f(-x)dx=(x2-x)dx=x2dx-xdx
=x3-x2=(8-1)-(4-1)=-=.
2.(5分)若f(x)=x2+2f(x)dx，则f(x)dx=( )
A.-1
B.-
C.
D.1
【解题指南】因为f(x)dx是一个常数，所以可根据微积分基本定理构造以f(x)dx为未知数的方程，解之可得.
【解析】选B.设f(x)dx=c，则c=(x2+2c)dx==+2c，
解得c=-.
3.(5分)函数f(x)=在区间[0，3]上的定积分为_________.?
【解析】由积分性质知f(x)dx
=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx
=x3dx+dx+2xdx
=x3dx+dx+2xdx
=++=+-+-=-++.
答案：-++
【加练·固】
计算：
f(x)=
求f(x)dx.
【解析】f(x)dx=sin
xdx+1dx+2(x-1)dx
=(-cos
x)+x+=1++(4-0)=7-.
4.(5分)已知f(a)=(2ax2-a2x)dx，则f(a)的最大值为_________.?
【解析】(2ax2-a2x)dx==a-a2.
即f(a)=a-a2=-+=-+，
所以当a=时，f(a)有最大值.
答案：
5.(10分)求定积分dx的值.
【解析】dx
=dx-9dx+3xln
3dx
=log3x-9×+3x
=log33-log31+9+33-3=19.
1.已知函数f(x)=max{x，x2}，则f(x)dx=_______.?
【解析】如图，可得f(x)=max{x，x2}=
所以f(x)dx=x2dx+xdx+x2dx=.
答案：
2.已知函数f(x)=求函数f(x)在区间[-2，2π]上的定积分.
【解析】由定积分的几何意义知x3dx=0，2xdx==π2-4，
cos
xdx=0，所以f(x)dx=x3dx+2xdx+cos
xdx=π2-4.
PAGE课时素养评价十八 定 积 分
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.定积分(-3)dx等于( )
A.-6
B.6
C.-3
D.3
【解析】选A.由定积分的几何意义可知(-3)dx表示由x=1，x=3，y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数，故(-3)dx=-6.
【加练·固】
已知xdx=2，则xdx等于( )
A.0
B.2
C.-1
D.-2
【解析】选D.可以根据定积分的几何意义进行判断.
2.下列结论不正确的是( )
A.若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx=0
B.若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx=2f(x)dx
C.若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D.若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
【解析】选D.对于A，因为f(x)是奇函数，所以图像关于原点对称，
所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，A正确；
对于B，因为f(x)是偶函数，所以图像关于y轴对称，B正确；C显然正确；
对于D，f(x)可以小于0，但必须有大于0的部分，
且f(x)>0的曲线与x轴围成的面积比f(x)<0的曲线与x轴围成的面积大，D不正确.
3.下列等式不成立的是( )
A.[mf(x)+ng(x)]dx=mf(x)dx+ng(x)dx
B.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-a
C.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dx
D.sin
xdx=sin
xdx+sin
xdx
【解析】选C.利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立.
4.定积分dx的值为( )
A.
B.9π
C.18π
D.
【解析】选A.因为dx表示圆x2+y2=9的面积的一半，所以dx=×π×32=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知定积分f(x)dx=8，且f(x)是偶函数，则f(x)dx的值为_________.?
【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，
所以f(x)dx=f(x)dx，
所以f(x)dx=2f(x)dx=16.
答案：16
6.若cos
xdx=1，则由x=0，x=π，f(x)=sin
x及x轴围成的图形的面积为_________ .?
【解析】由正弦函数与余弦函数的图像知：f(x)=sin
x，x∈[0，π]的图像与x轴围成的图形的面积等于g(x)=cos
x，x∈[0，]的图像与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案为2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.利用定积分的几何意义求下列定积分.
(1)dx.
(2)(x3+3x)dx.
【解题指南】对于(1)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(2)可根据被积函数的奇偶性求解.
【解析】(1)被积函数的图像是一个以原点为圆心，以R为半径的半圆，如图所示，所以dx=·πR2=.
(2)因为y=x3+3x在区间[-1，1]上为奇函数，图像关于原点对称，所以曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等.由定积分的几何意义知(x3+3x)dx=0.
8.利用定积分的几何意义证明下列等式成立.
(1)cos
xdx=2cos
xdx.
(2)sin
xdx=0.
【证明】(1)函数y=cos
x，x∈是偶函数，
所以曲线y=cos
x，x∈与x轴围成图形的面积S1等于曲线y=cos
x，
x∈与x轴围成图形的面积S2，于是由定积分的几何意义，
有cos
xdx=S1+S2=2S2=2cos
xdx.
(2)函数y=sin
x，x∈[-π，π]是奇函数，设曲线y=sin
x，x∈[-π，0]与x轴围成图形的面积为S1，设曲线y=sin
x，x∈[0，π]与x轴围成图形的面积为S2，易知S1=S2，从而由定积分的几何意义，有sin
xdx=-S1+S2=0.
(15分钟·30分)
1.(5分)与定积分|cos
x|dx相等的是( )
A.
B.cos
xdx
C.cos
xdx-cos
xdx
D.cos
xdx-cos
xdx
【解析】选D.因为被积函数f(x)=|cos
x|=
所以|cos
x|dx=cos
xdx+(-cos
x)dx=cos
xdx-cos
xdx.
2.(5分)由曲线y=ex和x=0，y=2围成图形的面积S表示为( )
A.exdx
B.2ln
2-exdx
C.(2+ex)dx
D.以上都不对
【解析】选B.如图所示，可先求得由x轴，x=0，x=ln
2和y=ex围成的曲边梯形的面积Ⅰ即为exdx，再由矩形面积2ln
2减去该曲边梯形面积可得所求面积S.
3.(5分)dx=_________.?
【解题指南】直接求解不容易，就应该考虑特殊图形，比如本题的图形就是圆的一部分.
【解析】dx表示圆(x-3)2+y2=1的四分之一的面积，如图阴影所示，面积S=π×12=，即dx=.
答案：
4.(5分)已知x2dx=，x2dx=，则dx=_________ .?
【解析】因为x2dx=x2dx+x2dx=+=，1dx=2，
所以dx=x2dx+1dx=+2=.
答案：
5.(10分)用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积.
【解析】解方程组
得交点的横坐标为x=0和x=3.
如图，
由y=x2-2x+3，x=0，x=3和y=0围成的曲边梯形的面积为(x2-2x+3)dx，由y=x+3，x=0，x=3和y=0围成的梯形的面积为(x+3)dx，所以所求图形(阴影)的面积为(x+3)dx-(x2-2x+3)dx=(-x2+3x)dx.
1.若dx=，则m=_________.?
【解析】根据定积分的几何意义dx表示圆(x+1)2+y2=1和直线x=-2，x=m和y=0围成的图形的面积，又dx=，为四分之一圆的面积，结合图形知m=-1.
答案：-1
2.计算dx.
【解析】由y=可知，x2+y2=1(y≥0)图像如图，
由定积分的几何意义知
dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和.
S弓形=×π×12-×1×1×sin
π=-，
S矩形=AB·BC=2××=，
所以dx=-+=+.
PAGE课时素养评价十七 定积分的背景——面积和路程问题
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.把区间[2，6]n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.区间[2，6]的长度为4，n等分后每个小区间的长度均为.
2.当n的值很大时，函数f(x)=x2在区间上的值可以用下列函数值近似代替的是( )
A.f
B.f
C.f
D.f(0)
【解析】选C.区间上的任意一个函数值都可近似代替这个区间对应的函数值.
3.对于汽车以v=v(t)在[0，t]内做直线运动经过的路程s，下列叙述正确的
是( )
A.将[0，t]n等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值
B.将[0，t]n等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值
C.将[0，t]n等分，n越大，求出的值近似替代s的精确度越高
D.将[0，t]n等分，当n越大时，求出的值就是s的准确值
【解析】选C.每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高.
4.已知自由落体运动的速度v=gt，则估计在时间区间[0，6]内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为( )
A.14g
B.15g
C.16g
D.17g
【解析】选D.由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在[16.2g，19.8g]内.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.由曲线y=与直线x=1，x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积的过剩估计值为_________(把区间[1，2]5等分).?
【解析】把区间[1，2]5等分，以每个小区间的左端点的函数值为小矩形的高，则过剩估计值为0.2×=×
=.
答案：
6.已知弹簧拉长0.02
m，需要98
N的力，则估计把弹簧拉长到0.1
m时所做的功的不足估计值为_________，估计误差不超过_________.(将弹簧拉长长度10等分)?
【解析】设拉弹簧所需的力F与弹簧拉长长度x之间的关系式为F=kx，
因为98=k×0.02，所以k=4
900(N/m)，所以F=4
900x(N)，
把弹簧拉长长度的范围[0，0.1]10等分，以每一小范围的左、右端点的力为小矩形的高，得到功的不足估计值s1和过剩估计值S1如下：
s1=4900×(0+0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09)×0.01
=22.05(J)，
S1=4900×(0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09+0.1)×0.01
=26.95(J)，
估计误差不会超过S1-s1=4.9(J).
答案：22.05
J 4.9
J
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.物体在力F的作用下从静止开始运动，力F的大小与位移s(m)的关系是：F(s)=3s+1，试估计物体运动5
m的过程中力F所做的功，并写出估计值的误差.(将区间5等分)
【解析】将[0，5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功，若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1
m，1～2
m，2～3
m，3～4
m，4～5
m段内运动时所受的力的平均大小.则得出功的过剩估计值为W1=[(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)+(3×5+1)]×1=50(J).若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1
m，1～2
m，2～3
m，3～4
m，4～5
m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2=[(3×0+1)+(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)]×1=35(J).无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15
J.
8.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
【解析】在时间区间[0，2]上等间隔地插入n-1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i=1，2，…，n)，其长度为Δt=-=.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1，2，…，n)，则显然有s=Δsi，取ξi=(i=1，2，…，n).于是Δsi≈v·Δt=·，sn=Δsi=·+4
=8+4.从而得到s的近似值：s≈sn.
s=sn==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12
km.
(15分钟·30分)
1.(5分)在求由直线x=a，x=b(aA.n个小曲边梯形的面积和等于S
B.n个小曲边梯形的面积和小于S
C.n个小曲边梯形的面积和大于S
D.n个小曲边梯形的面积与S之间的大小关系无法确定
【解析】选A.由题意可知A正确.
2.(5分)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A.在t1时刻，甲车在乙车前面
B.t1时刻后，甲车在乙车后面
C.在t0时刻，两车的位置相同
D.t0时刻后，乙车在甲车前面
【解析】选A.由图可知，曲线v甲，直线t=t0和t轴所围成图形的面积大于曲线v乙，直线t=t0和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C，D错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车，故B错误.
3.(5分)汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度
-2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值为_________.?
【解析】由题意知v(t)=v0+at=10-2t，令v(t)=0得t=5，即t=5时，汽车将停车.将区间[0，5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似代替每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值为
S=[10+(10-2×1)+(10-2×2)+(10-2×3)+(10-2×4)]×1=30(米).
答案：30米
4.(5分)已知某物体运动的速度为v=t，t∈[0，10]，若把区间10等分，则物体运动路程的过剩估计值为_________.?
【解析】取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，因为把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n=1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动路程的过剩估计值为S=1×(1+2+…+10)=55.
答案：55
5.(10分)求由曲线f(x)=2x，直线x=1，直线x=0及x轴所围成的平面图形的面积S时，将区间5等分，求过剩估计值.
【解析】(1)分割：将区间[0，1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形.
(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2.
(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为S1=(20.2+20.4+20.6+20.8+21)×0.2≈1.55.
1.一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5
s后停下，在这一过程中，汽车的
速度v(单位：m/s)是时间t的函数：v(t)=t2-10t+25(0≤t≤5).将滑行时间5
s平均分成5份，汽车在刹车过程中滑行距离的过剩估计值为_________，不足估计值为_________.?
【解析】分别用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽车在0～1
s，1～
2
s，2～3
s，3～4
s，4～5
s内的平均速度，求出滑行距离s1：
s1=[v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)]×1=55(m)，
由于v是下降的，所以显然s1大于s，我们称它为汽车在5
s内滑行距离的过剩估计值.如果用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代汽车在0～1
s，1～2
s，2～3
s，3～4
s，4～5
s内的平均速度，求出汽车在5
s内滑行距离的不足估计值s′1：s′1=[v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)]×1=30(m).
答案：55
m 30
m
2.一辆汽车的速度-时间图像如图所示，求此汽车在这1
min内行驶的路程.
【解题指南】根据变速运动物体路程的估计方法，本题所求的路程应为图像与x轴围成的图形的面积.
【解析】由速度—时间图像易知v(t)=
当t∈[0，10]时，s1=S△OAE=×10×30=150(m)，
当t∈(10，40]时，s2=S长方形ABDE=(40-10)×30=900(m)，
当t∈(40，60]时，s3=S△BDC=×20×30=300(m)，
故S=s1+s2+s3=1
350(m).
此汽车在这1
min内行驶的路程是1
350
m.
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