课时素养评价十二 数学归纳法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为
( )
A.f(n)+n+1
B.f(n)+n
C.f(n)+n-1
D.f(n)+n-2
【解析】选C.边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是
( )
A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(其中k∈N+)
B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(其中k∈N+)
C.假设n=k时正确,再推n=k+1时正确(其中k∈N+)
D.假设n=k时正确,再推n=k+2时正确(其中k∈N+)
【解析】选B.因为n为正奇数,所以n=2k-1(k∈N+).
3.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取
( )
A.2
B.3
C.5
D.6
【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得.
4.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上
( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
【解析】选D.当n=k时,左端=1+2+3+…+k2.当n=k+1时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
故当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.用数学归纳法证明不等式1+++……+>成立,起始值应取为n=________.?
【解析】用等比数列求和公式可得>整理得2n>128?n>7,所以n=8.
答案:8
6.(2020·余姚高二检测)若f(n)=1+++…+(n∈N+),用数学归纳法验证关于f(n)的命题时,第一步计算f(1)=________;第二步“从n=k到n=k+1时”,
f(k+1)=f(k)+________.?
【解析】f(1)=1+=;
假设当n=k时,f(k)=1+++…+,
那么,当n=k+1时,f(k+1)=1+++…++++,
f(k+1)=f(k)+++.
答案: ++
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N+).
【证明】(i)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立.
(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,
即(k+1)(k+2)…(k+k)
=2k·1·3·5…(2k-1),
那么当n=k+1时,
左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)
=2k·1·3·5…(2k-1)(2k+1)·2
=2k+1·1·3·5…(2k-1)(2k+1)
=2k+1·1·3·5…[2(k+1)-1].
这就是说当n=k+1时等式也成立.
由(i)(ii)可知,对所有n∈N+等式成立.
8.用数学归纳法证明对一切,n∈N+,1+++…+≥.
【证明】(i)当n=1时,左边=1,右边==1,不等式成立.
(ii)假设当n=k时,不等式成立,
即1+++…+≥,
则当n=k+1时,
要证1+++…++≥,
只需证+≥.
因为-=-
==≤0,
所以+≥,
即1+++…++≥,
所以当n=k+1时不等式成立.
由(i)(ii)知,不等式对一切n∈N+都成立.
(15分钟·30分)
1.(5分)对于不等式
(i)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(ii)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即( )
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
【解析】选D.在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.
2.(5分)用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边
( )
A.增加了一项
B.增加了两项,
C.增加了B中两项但减少了一项
D.以上各种情况均不对
【解析】选C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,所以增加了两项,,少了一项.
3.(5分)平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+________.?
【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.
答案:k+1
4.(5分)用数学归纳法证明…1+>(k>1),则当n=k+1时,左端应乘上__________,这个乘上去的代数式共有因式的个数是________.?
【解析】因为分母的公差为2,所以乘上去的第一个因式是,最后一个是,根据等差数列通项公式可求得共有+1=
2k-2k-1=2k-1项.
答案:… 2k-1
5.(10分)已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N+)且点P1的坐标为(1,-1).
(1)求过点P1,P2的直线l的方程.
(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N+,点Pn都在(1)中的直线l上.
【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.
所以b2==.a2=a1·b2=.
所以点P2的坐标为,
所以直线l的方程为2x+y=1.
(2)①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,2ak+bk=1成立,
则当n=k+1时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1
=(2ak+1)===1,
所以当n=k+1时,命题也成立.
由①②知,对于n∈N+,都有2an+bn=1,
即点Pn在直线l上.
(2020·南阳高二检测)设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N+.
(1)当n=1,2,3,4时,试比较与1的大小;
(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.
【解析】(1)因为f(1)=12=1,g(1)=21=2,
所以f(1)因为f(2)=23=8,g(2)=32=9,
所以f(2)因为f(3)=34=81,g(3)=43=64,
所以f(3)>g(3),>1.
因为f(4)=45=1
024,g(4)=54=625,
所以f(4)>g(4),>1.
(2)猜想:当n≥3,n∈N+时,有>1.
证明:①当n=3时,猜想成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N+)时猜想成立,=>1.
当n=k+1时,==·>.
因为(k+1)2=k2+2k+1>k(k+2)>0,
所以>1,则>1,
即>1,所以当n=k+1时,猜想成立,由①②知,当n≥3,n∈N+时,有>1.
PAGE课时素养评价十一 数列的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533-1606)所著的《算法统宗》中,有许多用诗歌形式表达的数学问题,如八子分棉歌:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传.”则此问题(第八数)的答案为(单位:斤)
( )
A.150
B.167
C.184
D.201
【解析】选C.设第一子分a1斤棉,则{an}是公差为17的等差数列,由题意得8a1+×17=996,
解得a1=65(斤),所以a8=65+7×17=184(斤).
2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食年产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为
( )
A.y=360
B.y=360×1.04x
C.y=
D.y=360
【解析】选D.根据题意,得x年后粮食年产量为360(1+4%)x=360×1.04x,人口总量为(1+1.2%)x=1.012x;所以x年后年人均粮食占有量为:
y=360×=360×.
3.公元前1650年的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题:“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中,第一人分得玉米
( )
A.斗
B.斗
C.斗
D.斗
【解析】选B.由题可得:每人所得玉米数构成公比为的等比数列.且数列的前10项和为10,设首项为a,则有=10,
所以a==.
4.(多选题)《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中正确的是
( )
A.甲付的税钱最多
B.乙、丙两人付的税钱不超过甲
C.乙应出的税钱约为32
D.丙付的税钱最多
【解析】选ABC.由题意,按比例,甲钱最多,付的税钱最多;丙钱最少,付的税钱最少;可知A正确,D不正确.乙、丙两人共持钱350+180=530<560,故乙、丙两人付的税钱不超过甲,可知B正确.乙应出的税钱为100×≈32.可知C正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.用火柴棒按如图的方法搭三角形:
则第100个图形所用火柴棒数为____.?
【解析】由图形可知,第一个图形用3根火柴棒,以后每一个比前一个多两根火柴棒,是等差数列,数列的首项为3,公差为2,an=3+(n-1)×2=2n+1,
即第n个使用火柴棒数为2n+1,
则第100个图形所用火柴棒数为:2×100+1=201.
答案:201
6.某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年,其总花费(含购买费用)为________万元;当n=________时该渔船年平均花费最低(含购买费用).?
【解析】因为第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元,则第n年捕捞所需费用为4+2(n-1)=2n+2,所以总花费为·n+100=n2+3n+100;
平均花费==n++3≥2+3=23,当且仅当n2=100,即n=10时,平均花费最小.
答案:n2+3n+100 10
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是20年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为a.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)该森林今后最多还能砍伐多少年?
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1-x)20=a,即(1-x)20=,解得:x=1-.
(2)设从今年开始,最多可以砍n年,
由题意得a(1-x)n≥a,
即(1-x)n≥,可得≥,
所以≤,解得n≤30,所以今后最多还能砍伐30年.
8.(2020·武汉高二检测)一种药在病人血液中的量保持1
500
mg以上才有疗效;而低于500
mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2
500
mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过多少小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.(附:lg
2≈0.301
0,lg
3≈0.477
1,精确到0.1
h)
【解析】设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药,
由题意,可得500≤2
500×(1-20%)x≤1
500,
整理得0.2≤0.8x≤0.6,所以log0.80.6≤x≤log0.80.2,
因为log0.80.6===≈2.3,
log0.80.2==≈7.2,
解得2.3≤x≤7.2,应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药.
(15分钟·30分)
1.(5分)“孪生素数猜想”是数学史上著名的未解难题,早在1900年国际数学家大会上,由德国数学家希尔伯特提出.所谓“孪生素数”是指相差为2的“素数对”,例如3和5.从不超过20的素数中,找到这样的“孪生素数”,将每对素数作和.从得到的结果中选择恰当的数,构成一个等差数列,则该等差数列的所有项之和为
( )
A.72
B.68
C.56
D.44
【解析】选A.根据定义列举出不超过20的孪生素数为3和5,5
和7,11和13,17和19,它们的和依次为8,12,24,36,构成等差数列的三个数分别是12,24,36,它们的和是72.
2.(5分)(2020·海东高二检测)1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2
020这2
020个数中,能被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a20=
( )
A.181
B.191
C.201
D.211
【解析】选B.由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(n∈N+),故a20=10×(20-1)+1=191.
3.(5分)我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问五、六两节欲均容各多少?”意思是下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,且每一节容量变化均匀,问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中,最下面一节容量是________升,九节总容量是__________升.?
【解析】设由下到上九节容量分别记为a1,a2,…,a9,则a1,a2,…,a9成等差数列,
设公差为d,且a1+a2+a3=4,a6+a7+a8+a9=3,
所以3a1+3d=4,4a1+26d=3,解得a1=,d=-,
所以S9=9×+=.
答案:
4.(5分)2018年5月至2019年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫迅速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8
000倍,引发了蝗灾,到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只.则经过________天能达到最初的16
000倍(参考数据:ln
1.05≈0.048
8,
ln
1.5≈0.405
5,ln
1
600≈7.377
8,ln16
000≈9.680
3).?
【解析】设过x天能达到最初的16
000倍,
由已知N0(1+0.05)x=16
000N0,即1.05x=16
000,
所以x=≈198.4,又x∈N,所以过199天能达到最初的16
000倍.
答案:199
【加练·固】
某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%,如果存款到期不取出继续留存于银行,银行自动将本金及80%的利息(利息须交纳20%利息税,由银行代交)自动转存一年期定期储蓄.某人以一年期定期储蓄存入银行20万元,则5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为______元(精确到1元).?
【解析】由题意,1年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200
000×(1+2.25%×80%)=200
000×1.018;2年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200
000×(1+2.25%×80%)×(1+2.25%×80%)=200
000×1.0182;
…所以5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200
000×1.0185=218
659.769≈218
660.
答案:218
660
5.(10分)某化工厂一种溶液的成品,生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质,过滤初期溶液含杂质为2%,每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少,记过滤次数为x(x∈N+)时溶液杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)按市场要求,出厂成品杂质含量不能超过0.1%,问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求?(参考数据:lg
2=0.301,lg
3=0.477)
【解析】(1)由题意得
y=2%×=×,x∈N+.
(2)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求,
则×≤0.1%,即≤,
所以x≥=≈7.4,又x∈N+,所以x≥8,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
某企业2018年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元,2019年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(2019年为第一年)的利润为500万元(n为正整数).
(1)设从2019年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式;
(2)依上述预测,从2019年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
【解析】(1)依题设,
An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)
=490n-10n2,
Bn=500-600=500n--100.
(2)Bn-An=-(490n-10n2)
=10n2+10n--100=10[n(n+1)--10],
因为数列在(0,+∞)上为递增数列,
当1≤n≤3时,n(n+1)--10≤12--10<0;
当n≥4时,n(n+1)--10≥20--10>0,
所以当n≥4时,Bn>An.所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
PAGE课时素养评价九 等比数列的前n项和
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·来宾高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a3-8,且S3=13,则a2=
( )
A.-3
B.3
C.-
D.3或-
【解析】选D.设公比为q,易知q≠1.
由得,
解得或,当时,a2=a1q=3;
当时,a2=a1q=-,
所以a2=3或a2=-.
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于
( )
A.2
B.4
C.
D.
【解析】选C.S4=,a2=a1q,
所以==.
3.设f(n)=2+24+27+…+23n+1
(n∈N+),则f(n)等于
( )
A.(8n-1)
B.(8n+1-1)
C.(8n+2-1)
D.(8n+3-1)
【解析】选B.f(n)=2+24+27+…+23n+1
==(8n+1-1).
4.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=
( )
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·肇庆高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3=-1,S3=-3,则a1=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a3=-1,S3=-3,当q=1时,显然满足,
此时a1=-1,
当q≠1时,,整理可得,2q2-q-1=0,解得,q=1(舍)或q=-,a1=-4.
综上,a1=-1或-4.
答案:-1或-4
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为________.?
【解析】显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),
又Sn=(2x·3n-1),所以x=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.等比数列{an}中,a1=2,a7=4a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=126,求m.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,
所以q2==4,所以q=±2,
所以an=2n或an=-(-2)n.
(2)由(1)知Sn==2n+1-2
或Sn==[1-(-2)n],所以2m+1-2=126或[1-(-2)m]=126(舍去),解得m=6.
8.(2020·海淀高二检测)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn<100,求n的最大值.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为a2=1,a5=8,所以q3==8,故q=2,
所以an=a2qn-2=2n-2.
(2)由(1)知,a1=,
所以Sn==(2n-1)<100,
则2n<201,由于27=128,28=256.
所以n的最大值为7.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·绍兴高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=2S10,则=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.由S5=2S10,可知q≠1,
则=2×,
整理可得,2q10-q5-1=0,
解得q5=-或q5=1(舍),
则==-.
2.(5分)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1
000m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1
000m,此时乌龟便领先他100
m;当阿基里斯跑完下一个100
m时,乌龟仍然领先他10
m;当阿基里斯跑完下一个10
m时,乌龟仍然领先他1
m……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2
m时,乌龟爬行的总距离(单位:m)为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5===.
3.(5分)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=________.?
【解析】因为a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,a7+a8+a9,…成等比数列,所以S15==11.
答案:11
4.(5分)如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为________.?
【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,根据题意,设得到的第n个等边三角形的面积为an,则{an}是以a1=×22=为首项,以q=为公比的等比数列,因为公比q≠1,
故这10个三角形的面积和为
S10===.
答案:
5.(10分)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a4=30,试求:
(1)a1和公比q;
(2)前6项的和S6.
【解析】(1)根据题意,在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,则有a1·a2·a3==27,即a2=3,
a2=3时,a4=30-a2=27,
有q2==9,即q=±3,
若q=3,则a1==1,
若q=-3,则a1==-1,
综上,a1=1,q=3或a1=-1,q=-3.
(2)当q=3,a1=1时,前6项的和S6==364;
当q=-3,a1=-1时,
前6项的和S6==182.
一个热气球在第一分钟上升了30
m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的.这个热气球上升的高度能超过150
m吗?
【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项a1=30,公比q=的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn=a1+a2+…+an==
=150×<150,
即这个热气球上升的高度不可能超过150
m.
PAGE课时素养评价八 等比数列的性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2
019=3,则a1
010的值为
( )
A.9
B.
C.±
D.3
【解析】选B.因为数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2
019=3,
所以,所以a1
010=1×q1
009=.
2.(2020·郑州高二检测)记等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,则公比q=
( )
A.
B.或-2
C.2
D.
【解析】选B.因为等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,
依题意,2a2-5a2q=3a2q2,
即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,
解得q=或q=-2.
3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是
( )
A.3或27
B.36
C.9
D.15
【解析】选A.设此三数为3,a,b,
则解得或
所以这个未知数为3或27.
4.(多选题)(2020·连云港高二检测)已知等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,则
( )
A.数列{2an+an+1}是等比数列
B.数列{an+1-an}是等比数列
C.数列{anan+1}是等比数列
D.数列{log2|an|}是递减数列
【解析】选BC.因为等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,
所以an=1×(-2)n-1=(-2)n-1.
由此可得2an+an+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;
an+1-an=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{an+1-an}是等比数列,B正确;
anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{anan+1}是等比数列,C正确;
log2|an|=log22n-1=n-1,故数列{log2|an|}是递增数列,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足log2an+1-log2an=1,则=________.?
【解析】因为log2an+1-log2an=1,所以=2,
所以数列{an}是公比q为2的等比数列,
所以=q2=4.
答案:4
【加练·固】
已知数列{an}满足an+1=3an,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=
( )
A.5 B.6 C.8 D.11
【解析】选D.根据题意,数列{an}满足an+1=3an,则数列{an}为等比数列,且其公比q=3,
若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,
则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)
=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.
6.已知公比为q的等比数列{an}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=________.?
【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,
a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以=,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=.
答案:2或
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
(1)若d=1且S5=a1a9,求数列{an}的通项公式;
(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.
【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,
所以5a1+×1=a1(a1+8),
解得a1=-5,或a1=2,
当a1=-5时,an=-5+n-1=n-6,
当a1=2时,an=2+n-1=n+1.
(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,
当d≠0,a1=-4d时,
q====.
8.(2020·武汉高二检测)若等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.
(1)求数列{an}的首项a1和公比q;
(2)若an>n+100,求n的取值范围.
【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,
所以,解得q=2,a1=1.
(2)由(1)可得an=2n-1,因为an>n+100,即2n-1>n+100,验证可得,n≥8,n∈N+.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·崇左高二检测)在等比数列{an}中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11=
( )
A.4
B.8
C.16
D.32
【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,
所以q3==2,
因为a2+a5=a2(1+q3)=3,
所以a2=1,则a11=a2q9=1×23=8.
2.(5分)两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=
( )
A.512
B.32
C.8
D.2
【解析】选A.因为A9=a1a2a3…a9=,
B9=b1b2b3…b9=,所以==512.
3.(5分)在正项等比数列{an}中,an+1【解析】因为数列{an}是正项等比数列,
且a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,
联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,
因为an+1所以q2==,所以==.
答案:
【加练·固】
已知数列{an}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为________.?
【解析】由等比数列{an}的性质可得,a3a11=,
由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=.
则tan(a1a13)=tan=tan=.
答案:
4.(5分)在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.?
【解析】因为=,所以x=1.
因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.
所以y=5×,z=6×.
所以x+y+z=1+5×+6×==2.
答案:2
5.(10分)已知等比数列{an},a1a2=-,a3=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
若a1a2=-,则q=-,
若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,
解可得:=1,则a1=1,则有q=-,
故an=.
(2)根据题意,an=,
则ak=,ak+1=,
ak+2=;则有
ak+ak+1-2ak+2=+-
2==0,
则有ak+ak+1=2ak+2,故ak,ak+2,ak+1成等差数列.
1.在等比数列{an}中,a1=8,+16=8,则a9的值为________.?
【解析】=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,所以+16·=8,
即+16q2=8,解得q2=,
所以a9=a1q8=8×=.
答案:
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.
【解析】(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,
且Sn=2an-3n(n∈N+).
所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,
n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,
n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3×n,
所以Sn+1=2an+1-3×(n+1),
两式相减,得an+1=2an+3,
bn=an+3,bn+1=an+1+3,
所以===2,
得bn+1=2bn(n∈N+),且b1=6,
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列,
所以bn=6×2n-1,
所以an=bn-3=6×2n-1-3=3(2n-1).
【加练·固】
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N+).
(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式;
(2)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,a2=a,bn=ana
n+1,b3=12,
所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,
又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,
所以d=1,a=2,所以an=n.
(2){an}不能为等比数列,理由如下:
因为bn=anan+1,{bn}是公比为a-1的等比数列,
所以===a-1,
所以a3=a-1,
假设{an}为等比数列,
由a1=1,a2=a得a3=a2,
所以a2=a-1,
所以此方程无解,
所以数列{an}一定不为等比数列.
PAGE课时素养评价七 等比数列的定义
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=
( )
A.3
B.9
C.27
D.36
【解析】选C.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若2a2为3a1和a3的等差中项,则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,
解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.
2.(2020·海淀高二检测)公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=
( )
A.8
B.10
C.12
D.16
【解析】选A.公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=q(a3+a5)=2×4=8.
3.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8则an=
( )
A.2n-1
B.2n
C.3n-1
D.3n
【解析】选A.若a6=8a3=8,
所以a2q4=8a2q=8,所以a2=q,q3=8,
即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.
4.(2020·泉州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增,且a1·a3=36,a1+a2+a3=26,则a4=
( )
A.24
B.36
C.48
D.54
【解析】选D.由a1·a3==36,an>0,得a2=6,
因为a1+a2+a3=26,所以a1+a3=20,
因为a1二、填空题(每小题5分,共10分)
5.正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q=________.?
【解析】因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,所以,
解得q=3.所以{an}的公比q=3.
答案:3
6.已知递增等比数列{an}满足a2+a3=6a1,则{an}的前三项依次是________.(填出满足条件的一组即可)?
【解析】因为等比数列的项an≠0,故由a2+a3=6a1得,q+q2=6,所以q=2或q=-3,
若q>1,则a1>0时即可满足等比数列{an}递增,
若q<0,则{an}为摆动数列.不满足递增.
取a1=1,则{an}的前三项依次是1,2,4.
答案:1,2,4(填首项为正数,公比为2的等比数列均可)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在等比数列{an}中
(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;
(2)若a4=2,a7=8,求an.
【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,
q==-3,所以a5=405.
(2)因为所以
由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,
于是a1==,所以an=a1qn-1=.
8.在等比数列{an}中a3=32,a5=8,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若an=,求n.
【解析】(1)因为a5=a3q2,所以q2==.
所以q=±.
当q=时an=a3qn-3=32×=28-n;
当q=-时,an=a3qn-3=32×=
(-1)n+1·28-n.
所以an=28-n或an=(-1)n+1·28-n.
(2)当an=时28-n=或32×
=,
解得n=9.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7=
( )
A.16
B.64
C.128
D.256
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a6+a4=2(a3+a1),
所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.
则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.
2.(5分)(2020·吉林高二检测)长久以来,人们一直认为黄金分割比例是最美的,人们都不约而同地使用黄金分割,如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例(≈0.618称为黄金分割比例),这样的矩形称为黄金矩形,黄金矩形有一个特点:如果在黄金矩形中不停地分割出正方形,那么余下的部分也依然是黄金矩形,已知图中最小正方形的边长为1,则矩形ABCD的长为________(结果保留两位小数)
( )?
A.10.09
B.11.85
C.9.85
D.11.09
【解析】选D.根据题意,如图:若图中最小正方形的边长为1,即HP=1,则矩形HPLJ中,LP=HJ==,则在矩形HJIF中,HF==,
同理:FC=,DC=,
则BC=≈11.09.
3.(5分)(2020·桂林高二检测)已知等比数列{an}中,a1=3,=a4,则a5=________.?
【解析】因为a1=3,=a4,所以(3q2)2=3q3,解可得q=,所以a5=3×=.
答案:
4.(5分)在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=________.?
【解析】因为数列{an}中,a2=,a3=,
且数列{nan+1}是等比数列,
2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,
所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以nan+1=2n,解得an=.
答案:
【加练·固】
等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg
an}的通项公式为________.?
【解析】因为a5=a4q,所以q=2,
所以a1==,
所以an=·2n-1=2n-3,
所以lg
an=(n-3)lg
2.
答案:lg
an=(n-3)lg
2
5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,
两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:
an+1-1=(an-1).又因为cn=an-1,
所以cn+1=cn,
又因为a1+a1=1,即a1=,
所以c1=a1-1=-1=-,
所以数列{cn}是以-为首项、为公比的等比数列;
(2)由(1)可知cn=an-1=-·=-,
所以an=1-.
1.(多选题)(2020·临沂高二检测)已知数列{an}是正项等比数列,且+=,则a5的值可能是
( )
A.2
B.4
C.
D.
【解析】选ABD.依题意,数列{an}是正项等比数列,所以a3>0,a7>0,a5>0,
所以=+≥2=,因为a5>0,
所以上式可化为a5≥2,当且仅当a3=,a7=时等号成立.
2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,则d==4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2,
故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N+).
设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.
c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,
设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2.
则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1
=4-2n-1(n∈N+).当n<3时,bn+1-bn>0,bn即b1当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6
所以k=3或k=4.
PAGE课时素养评价六 等差数列习题课
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),则m的值是
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
因为Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),
所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,
m+d=25,联立解得m=5,d=2.
2.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为
( )
A.11
B.99
C.120
D.121
【解析】选C.因为an==-,
所以Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120.
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|
的值为
( )
A.61
B.62
C.65
D.67
【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,
所以an=
由通项公式得a1所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.
4.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2
km,以后每分钟通过的路程增加2
km,在达到离地面240
km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( )
A.10分钟
B.13分钟
C.15分钟
D.20分钟
【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=·n=240,解得n=15或n=-16(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则a5=______,an=________.?
【解析】因为Sn=3+2n,
所以a5=S5-S4=3+25-(3+24)=16.
a1=S1=5,
n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3+2n)-(3+2n-1)=2n-1,
当n=1时,上式不成立,所以an=
答案:16
6.(2020·南通高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和.若S9=-a5,a1>0,则使得an>Sn的n的最小值为________.?
【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-a5,所以S9=9a5=-a5,所以S9=-a5=0,
所以a1+4d=0,a1=-4d,
由an>Sn,得a1+(n-1)d>na1+d,
即-4d+(n-1)d>-4nd+d,
因为d<0,所以整理得n2-11n+10>0,
解得n>10,所以n的最小值为11.
答案:11
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知解得a1=1,d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)bn===
所以Tn
=
==-.
8.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式.
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解析】(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由S9=-a5得a1=-4d,
故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
【加练·固】
若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【解析】因为等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,
所以an=13+(n-1)×(-4)=17-4n,
等差数列{an}的前n项和Sn=13n+×(-4)=15n-2n2,
由an=17-4n>0,得n<,
a4=17-16=1,a5=17-4×5=-3,
因为Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,
所以n≤4时,Tn=Sn=15n-2n2,
n≥5时,Tn=-Sn+2S4=2n2-15n+56.
所以Tn=
(15分钟·25分)
1.(5分)已知数列{an}:,+,++,+++,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为
( )
A.4
B.4
C.1-
D.-
【解析】选A.因为an===,所以bn===4.
所以Sn=41-+-+-+…+-=4.
【加练·固】
一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于
( )
A.12 B.16 C.9 D.16或9
【解析】选C.an=120°+5°(n-1)=5°n+115°,an<180°,所以n<13,n∈N+,由n边形内角和定理得(n-2)×180=120n+×5,解得n=16或n=9,又n<13,n∈N+,所以n=9.
2.(5分)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是
( )
A.若S5=S9,则必有S14=0
B.若S5=S9,则必有S7是Sn中的最大项
C.若S6>S7,则必有S7>S8
D.若S6>S7,则必有S5>S6
【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:
对于A,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,则a7+a8=0,
S14===0,A正确;
对于B,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,又由a1>0,则必有S7是Sn中的最大项,B正确;
对于C,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,又由a1>0,必有d<0,则a8=S8-S7<0,必有S7>S8,C正确;
对于D,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,而a6的符号无法确定,故S5>S6不一定正确,D错误.
3.(5分)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=________.?
【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①
当n≥2,n∈N+时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1
=(n-1)n(n+1),②
①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),
所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N+).
又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,
所以an=3(n+1),n∈N+.
答案:3(n+1)(n∈N+)
4.(10分)数列{an}满足an=6-(n∈N+,n≥2).
(1)求证:数列是等差数列.
(2)若a1=6,求数列{lg
an}的前999项的和S.
【解析】(1)数列{an}满足,an=6-(n∈N+,n≥2),所以-=-=
=,所以数列是等差数列.
(2)因为a1=6,所以=.
由(1)知:=+=,
所以an=,所以lg
an=lg
3+lg(n+1)-lg
n.
所以数列{lg
an}的前999项和S=999lg
3+(lg
2-lg
1+lg
3-lg
2+…+lg
1
000-
lg
999)
=999lg
3+lg
1
000=999lg
3+3.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N+),则S21的值为________.?
【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,
由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,
则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=+=231.
答案:231
2.首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.则d的取值范围为
( )
A.d≤-2或d≥2
B.-2≤d≤2
C.d<0
D.d>0
【解析】选A.由S5S6+15=0,
则(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
整理可得,2+9a1d+10d2+1=0有解,
故Δ=81d2-8(1+10d2)≥0,
解可得,d≥2或d≤-2.
PAGE课时素养评价五 等差数列的前n项和
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=
( )
A.-12
B.-10
C.10
D.12
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为
( )
A.84
B.108
C.144
D.156
【解析】选B.由等差数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10也构成等差数列,
所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,
所以2(48-12)=12+S15-48,解得S15=108.
【加练·固】
在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为
( )
A.9 B.12 C.16 D.17
【解析】选A.由等差数列的性质知S4,
S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,
不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,
于是求得b3=5,b4=7,b5=9,
即a17+a18+a19+a20=b5=9.
3.(2020·徐州高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a14=-8,S9=-9,则S18=
( )
A.-162
B.-1
C.3
D.-81
【解析】选D.根据题意,等差数列{an}中,
S9==9a5=-9,解可得a5=-1,
又由a14=-8,则S18===-81.
4.若等差数列{an}满足a5=11,a12=-3,{an}的前n项和Sn的最大值为M,则lg
M=
( )
A.1
B.2
C.10
D.100
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
则7d=a12-a5=-3-11=-14,故d=-2,
所以an=a12+(n-12)d=-3-2(n-12)=21-2n,
所以当1≤n≤10时,an>0;
当n≥11时,an<0,当n=10时,Sn最大,
最大值为M=S10===100,
所以lg
M=lg
100=2.
【加练·固】
{an}为等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,S6>S7>S5,则下列结论中不正确的是
( )
A.d<0
B.S11>0
C.S12<0
D.S13<0
【解析】选C.S6>S7>S5,则d<0,a6>0且a7<0,所以S11==>0,
S13==<0,S12===6(a6+a7),因为S7=S5+a6+a7>S5,所以a6+a7>0,所以S12>0,故选项C错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=________.?
【解析】设等差数列的公差为d.
因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,
根据等差数列通项公式:an=a1+d,
可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,
整理可得:6d=6,解得:d=1.
根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,n∈N+,
可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25.
答案:25
6.(2020·南京高二检测)已知等差数列{an}中,a3-2a4=-1,a3=0,则{an}的前10项和是________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因为a3-2a4=-1,a3=0,
所以0-2(0+d)=-1,a1+2d=0,
解得d=,a1=-1,
则{an}的前10项和S10=-10+×=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.等差数列{an}中,已知a1+a2=5,S4=14.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
则由a1+a2=5,S4=14得,
即
解得a1=2,d=1,所以an=2+(n-1)=n+1.
(2)由(1)可知,Sn=a1+a2+…+an
=na1+=.
8.已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项an.
(2)求{an}前n项和Sn的最大值及相应的n的值.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a2=1,a5=-5,
所以
解得
所以an=3-2(n-1)=5-2n.
(2)由an≥0,解得n≤2.5,
数列{an}的前2项和最大,且最大值为3+1=4.
(15分钟·30分)
1.(5分)在等差数列{an}中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为
( )
A.9
B.10
C.11
D.12
【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,①
an+an-1+an-2+an-3=60,②
又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
所以①+②得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.③
Sn==100.④
将③代入④中得n=10.
2.(5分)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0,a7<0,则
( )
A.a6>0
B.-C.Sn<0时,n的最小值为13
D.数列中的最小项为第六项
【解析】选ABC.根据题意,等差数列{an}中,S12>0,即S12===6(a6+a7)>0,
又a7<0,则a6>0,A正确;
已知a3=12,且a6>0,a7<0,a6+a7>0,
则有,
解可得-根据题意,S13==13a7<0,而S12>0,
故Sn<0时,n的最小值为13,C正确;
数列中,由上面分析可知d<0,所以数列{an}是递减的等差数列,当1≤n≤6时,an>0;当n≥7时,an<0;
当1≤n≤12时,Sn>0;当n≥13时,Sn<0,
所以当1≤n≤6时,>0;
当7≤n≤12时,<0;
当n≥13时,>0,故数列中的最小项不是第六项,D错误.
3.(5分)(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.?
【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,
所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),
所以====4.
答案:4
【加练·固】
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=________.?
【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.
答案:4
4.(5分)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=4S5=100,则数列{an}的通项公式为________.?
【解析】设公差为d,由S10=4S5=100,
可得,解得a1=1,d=2,
故an=2n-1(n∈N+).
答案:an=2n-1(n∈N+)
5.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.
(1)求通项an.
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
【解析】(1)由a3=10,S6=72,得
所以an=4n-2.
(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.
由得≤n≤,
因为n∈N+,所以n=15.所以{bn}的前15项为负值,
所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.
1.已知数列{an}是等差数列,且an>0,若a1+a2+…+a100=500,则a50·a51的最大值为________.?
【解析】a1+a2+…+a100=500=,
a50+a51=10.又an>0.
则a50·a51≤=25,
当且仅当a50=a51=5时取等号.
答案:25
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;
(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
则所以
所以an=4-6(n-1)=10-6n,
Sn=na1+d=7n-3n2.
(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2
=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)
=-6n2-6n+4,
若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.
PAGE“课时素养评价”四 等差数列的性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(2020·扬州高二检测)在等差数列{an}中,若a3=-6,a7=a5+4,则a1等于
( )
A.-10
B.-2
C.2
D.10
【解析】选A.因为数列{an}是等差数列,a7=a5+4,
所以a5+2d=a5+4(d是公差),解得d=2,
因为a3=a1+2d=-6,即a1+4=-6,解得a1=-10.
【加练·固】
已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是
( )
A.2
B.3
C.6
D.9
【解析】选B.由题意2n+m=8,2m+n=10,两式相加得3m+3n=18,m+n=6,所以m和n的等差中项是3.
2.(多选题)若{an}是公差不为0的等差数列,则下列数列为等差数列的有
( )
A.{an+an+1}
B.{}
C.{an+1-an}
D.{2an}
【解析】选ACD.设等差数列{an}的公差为d.对于A,
(an+an+1)-(an-1+an)
=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),
所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;
对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)
=d(an+an+1)≠常数,所以{}不是等差数列;
对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为常数列;
所以{an+1-an}为等差数列;
对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列.
3.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为
( )
A.13
B.14
C.15
D.16
【解析】选C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{an},且a2+a5+a8=15,
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,
由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=
5+10×1=15.
4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为
( )
A.12
B.8
C.6
D.4
【解析】选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=
2a8+2a8=4a8=32,所以a8=8,又d≠0,所以m=8.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10=,则
tan(a3+a9)的值为________.?
【解析】因为数列{an}为等差数列,
a2+a6+a10=,
所以a2+a6+a10=3a6=,解得a6=,
所以a3+a9=2a6=,
所以tan(a3+a9)=tan=.
答案:
6.(2020·杭州高二检测)已知各项都不为0的等差数列{an}满足a2-2+a10=0,则a6的值为________.?
【解析】因为各项都不为0的等差数列{an}满足a2-2+a10=0,即2a6-2=0,则a6=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数.
【解析】设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
由①,得a=.代入②,得d=±.
所以四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
8.已知数列{an}为等差数列,且公差为d.
(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
【解析】(1)等差数列{an}中,
a15=8,a60=20,
解得d=,a65=a60+5d=20+=.
(2)数列{an}为等差数列,
且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,
解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.
a5=a2+3d,
即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=
( )
A.7
B.14
C.21
D.7(n-1)
【解析】选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.
2.(5分)设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是
( )
A.a=-b
B.a=3b
C.a=-b或a=3b
D.a=b=0
【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=,所以=,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.
3.(5分)在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(··…·)=________.?
【解析】在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20.
答案:20
4.(5分)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.?
【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,
则
解得a=3,d=4或a=3,d=-4.
所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.
所以这三个数的积为-21.
答案:-21
5.(10分)已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).
(1)若a20=30,求公差d;
(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.
【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,
所以d=2.
(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),
a30=10,
当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈.
1.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于
( )
A.-182
B.-78
C.-148
D.-82
【解析】选D.a3+a6+a9+…+a99
=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)
=(a1+a4+…+a97)+2d×33
=50+2×(-2)×33=-82.
【加练·固】
若等差数列{an}的首项a1=5,am=3,则am+2等于
( )
A.13 B.3-
C.3-
D.5-
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
因为a1=5,am=3,所以d==.
所以am+2=am+2d=3+=3-.
2.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?
【解析】(1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N+.
所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
所以数列{bn}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d′=-20,所以bn=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1,n∈N+,
所以当n=110时,m=4×110-1=439,
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
【加练·固】
已知两个等差数列{an}和{bn},且{an}为2,5,8,…,{bn}为1,5,9,…,它们的项数
均为40项,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?
【解析】由已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为:an=3n-1,bm=4m-3(m,n∈N+,且1≤n≤40,1≤m≤40).
令an=bm,得3n-1=4m-3,
即n==,
令2m-1=3t,因为(2m-1)∈N+且为奇数,
所以t∈N+且为奇数,所以m=,n=2t.
又因为1≤n≤40,1≤m≤40,
所以所以
故≤t≤20,又t∈N+且为奇数,
所以它们共有10个数值相同的项.
PAGE“课时素养评价”二 数列中的递推
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.数列,,,,…的递推公式可以是
( )
A.an=(n∈N+)
B.an=(n∈N+)
C.a1=,an+1=an(n∈N+)
D.a1=,an+1=2an(n∈N+)
【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为a1=,an+1=an(n∈N+).
2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=
( )
A.-3
B.-11
C.-5
D.19
【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,
a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.
3.(多选题)如果{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为
( )
A.an=2n+3
B.an=-n2-3n+1
C.an=
D.an=1+log2n
【解析】选AD.A是n的一次函数,一次项系数为2,所以为递增数列;
B是n的二次函数,二次项系数为-1,且对称轴为n=-,所以为递减数列;
C是n的指数函数,且底数为,是递减数列;
D是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.
【加练·固】
在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是
( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0]
【解析】选C.因为{an}是递减数列,
所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.
4.已知数列{an},a1=1,ln
an+1-ln
an=1,则数列{an}的通项公式是
( )
A.an=n
B.an=
C.an=en-1
D.an=
【解析】选C.因为ln
an+1-ln
an=1,所以ln=1.所以=e.由累乘法可得an=en-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.?
【解析】因为an=nan-1,且n≥2,所以
当n=2时,a2=2a1=2;
当n=3时,a3=3a2=6;
当n=4时,a4=4a3=24;
当n=5时,a5=5a4=120.
故a5=120.
答案:120
6.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.?
【解析】由题意a1a2a3=32,a1a2=22,
a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,
则a3==,a5==.故a3+a5=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1=1,an+1=an+(n∈N+).
(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+).
【解析】(1)a1=1,a2=,a3==2,a4=.猜想an=.
(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式an.
【解析】因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,
所以a1=S1=2×12-3×1+1=0,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]
=4n-5.
n=1时,4n-5=-1≠a1,
所以{an}的通项公式an=(n∈N+).
(15分钟·30分)
1.(5分)已知,在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2
012=
( )
A.3
B.-3
C.6
D.-6
【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,
…
故知{an}是周期为6的数列,
所以a2
012=a2=6.
2.(5分)已知数列{an}满足an=若对于任意的n∈N+都有an( )
A.(1,4)
B.(2,5)
C.(1,6)
D.(4,6)
【解析】选A.因为对于任意的n∈N+都有an所以应满足解得1故实数a的取值范围是(1,4).
3.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn=n2+n(n∈N+),则S3=________,数列{an}的通项公式an=________.?
【解析】由Sn=n2+n,所以S3=9+3=12.
当n=1时,a1=S1=1+1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,得a1=2成立,所以an=2n.
答案:12 2n
4.(5分)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
(1)该数列有无限多个正数项.
(2)该数列有无限多个负数项.
(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值.
(4)-70是该数列中的一项.
其中正确说法的序号为________.?
【解析】令-2n2+13n>0,得0令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-(舍去).
即-70是该数列的第10项,所以(4)正确.
答案:(2)(4)
5.(10分)已知数列{an}满足a1=,n≥2时,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公式.
【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.
所以n≥2时,=+++…+=2+
=n+1.所以=n+1,所以当n≥2时,an=.当n=1时,a1=也适合上式,所以an=(n∈N+).
1.(2020·辛集高二检测)已知an=(n∈N+),则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是
( )
A.a1,a50
B.a1,a44
C.a45,a50
D.a44,a45
【解析】选D.an==1+,
因为442=1
936,452=2
025,
所以n≤44时,数列{an}单调递减,且01.
所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44,a45.
2.设an=n2-2kn+6(n∈N+,k∈R)
(1)证明:k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件;
(2)若对任意的n∈N+,≥1,求k的取值范围.
【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2kn+6)=2n+1-2k>0,
解得k<,所以k<.
所以k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件.
(2)因为对任意的n∈N+,≥1,
所以n+-2k≥1,即n+≥2k+1,
因为n+≥5,
所以2k+1≤5,所以k≤2.
所以k的取值范围是k≤2.
PAGE“课时素养评价”一 数列的概念
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.下列叙述正确的是
( )
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列是递增数列
【解析】选D.对于A,数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列,故A错误;对于B,数列0,1,2,3,…可以表示为{n-1},n∈N+,故B错误;对于C,数列0,1,0,1,…是摆动数列,故C错误;对于D,数列,-==>0,故数列是递增数列,故D正确.
2.数列,,,,…的一个通项公式是
( )
A.an=
B.an=
C.an=-
D.an=1-
【解析】选C.因为=1-,=-,
=-,=-.所以推断an=-.
【加练·固】
数列0,,,,,…的一个通项公式是
( )
A.an=
B.an=
C.an=
D.an=
【解析】选C.已知数列可化为:0,,,,,…,故an=.
3.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3等于
( )
A.70
B.28
C.20
D.8
【解析】选C.因为a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.
4.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则
( )
A.3不是数列{an}中的项
B.3是数列{an}的第2项
C.3是数列{an}的第6项
D.a3<0
【解析】选BC.令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3可以是该数列的第2项,也可以是该数列的第6项.a3=9-24+15=0.
【加练·固】
在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的
( )
A.第100项 B.第12项
C.第10项
D.第8项
【解析】选C.因为an=,令=0.08,解得n=10或n=(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.数列,,,,…的第10项是________.?
【解析】由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为an=,当n=10时,a10==.
答案:
6.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为________.?
【解析】由an=19-2n>0,得n<.
因为n∈N+,所以n≤9.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+.
(1)写出它的第10项.
(2)判断是不是该数列中的项.
【解析】(1)a10==.
(2)①当n为偶数时,an=,
令=,化简得8n2-33n-35=0,
解得n=5.而n=5为奇数,
所以不是该数列中的偶数项.
②当n为奇数时,an=-,
令-=,化简得8n2+33n+31=0,
解得n=不是整数,所以不是该数列中的奇数项.
综上,不是该数列中的项.
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项.
(2)-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是否是该数列的一项呢?如果是,应是哪一项?
【解析】(1)a4=3×42-28×4=-64;
a6=3×62-28×6=-60.
(2)由3n2-28n=-49得n=7或n=(舍去),
所以-49是该数列的第7项;
由3n2-28n=68得n=-2或n=,均不合题意,所以68不是该数列的项.
(15分钟·30分)
1.(5分)对任意的an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象可能是
( )
【解析】选A.据题意,由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足.
2.(5分)已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则an=________,a17=________.?
【解析】由已知得a8=8k-5=11,解得k=2,
所以an=2n-5,所以a17=2×17-5=29.
答案:2n-5 29
3.(5分)数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为________.?
【解析】注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=
答案:an=
【加练·固】
数列,,,,,…的一个通项公式为________.?
【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25,…故分母可用n2+1表示,若分子各项都加1为:16,25,36,49,64,…故分子可用(n+3)2-1表示,故其通项公式可为an=.
答案:an=
4.(5分)如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为________.?
【解析】我们把图案按如下规律分解:
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.
答案:an=4n+2
【加练·固】
图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有________根.?
【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;
第2个图形中,火柴棒有4+3根;
第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;
第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根;
…
第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.
答案:3n+1
5.(10分)在数列{an}中,an=.
(1)求数列的第7项.
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.
(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?
【解析】(1)a7==.
(2)因为an==1-,
所以0(3)令<<,则故n=1,即在区间内有且只有1项a1.
1.已知数列{an}的通项公式为an=5n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为________.?
【解析】数列{an}的通项公式为an=5n+1,
其数据符合平方的数有:16,36,81,121,196,256,…,
数列{bn}的通项公式为bn=n2,
当n=4,6,9,11,14,16,…时符合上面各个数.
数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为256.
答案:256
2.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-,a2=-.
(1)求{an}的通项公式;
(2)-是{an}中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列?
【解析】(1)因为an=pn+q,又a1=-,a2=-,
所以解得
因此{an}的通项公式是an=-1(n∈N+).
(2)令an=-,即-1=-,
所以=,n=8.故-是{an}中的第8项.
(3)由于an=-1,且随n的增大而减小,
因此an的值随n的增大而减小,故{an}是递减数列.
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