模块素养评价
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z满足zi=3+4i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.由zi=3+4i得z===4-3i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，-3)，该点位于第四象限.
2.演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y=lox是对数函数，所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
【解析】选A.对数函数y=logax(a>0且a≠1)，当a>1时是增函数，当0
3.(1)已知p3+q3=2，求证p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2.
(2)已知a，b∈R，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是( )
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确；(2)的假设错误
D.(1)的假设错误；(2)的假设正确
【解析】选D.“≤”的反面是“>”，故(1)错误.“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少有一个根的绝对值大于或等于1”，故(2)正确.
4.已知复数z满足：(2+i)z=1-i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为( )
A.-i
B.+i
C.-i
D.+i
【解析】选B.由(2+i)z=1-i，得z===-i，所以=+i.
【加练·固】
若复数z=，为z的共轭复数，则()2
017=( )
A.i
B.-i
C.-22
017i
D.22
017i
【解析】选B.由已知，z===i，可得=-i，则()2017=[(-i)4]504·(-i)=-i.
5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=
，3=
，4=
，5=
，…，则按照以上规律，若9=
具有“穿墙术”，则n=( )
A.25
B.48
C.63
D.80
【解析】选D.由2
=
，3
=，4=，5=，…，得若9=具有“穿墙术”，则n=92-1=80.
6.已知函数f(x)=x2+bx+c(b，c∈R)，F(x)=，若F(x)的图像在x=0处的切线方程为y=-2x+c，则函数f(x)的最小值是( )
A.2
B.1
C.0
D.-1
【解析】选C.因为f′(x)=2x+b，所以F(x)=，F′(x)=，又F(x)的图像在x=0处的切线方程为y=-2x+c，所以得所以f(x)=(x+2)2≥0，f(x)min=0.
7.要证：a2+b2-1-a2b2≤0，只需证明( )
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(-a2+1)(b2-1)=-(a2-1)(b2-1)≤0.
所以要证a2+b2-1-a2b2≤0.只需证(a2-1)(b2-1)≥0.
8.若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞)上的最大值为，则a的值为( )
A.
B.
C.+1
D.-1
【解析】选D.f′(x)==，
当x>时，f′(x)<0，f(x)是减少的，
当-0，f(x)是增加的，
当x=时，令f(x)==，=<1，不合题意.
所以f(x)max=f(1)==，a=-1.
9.观察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，则式子3?5是第( )
A.22项
B.23项
C.24项
D.25项
【解析】选C.两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3?5为和为8的第3项，所以为第24项.
10.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，则数列(n∈N
)的前n项和是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，所以m=2，a=1，所以f(x)=x2+x，即f(n)=n2+n=n(n+1)，所以数列(n∈N
)的前n项和为：
Sn=+++…+=++…+=1-=.
11.已知曲线C1：y2=tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：y=ex+1+1也相切，则t的值为( )
A.4e2
B.4e
C.
D.
【解析】选A.由y=，得y′=，则切线斜率为k=，所以切线方程为y-2=，即y=x+1.设切线与曲线y=ex+1+1
的切点为(x0，y0).由y=ex+1+1，得y′=ex+1，则由=，得切点坐标为，故切线方程又可表示为y--1=，即y=x-ln
++1，所以由题意，得-ln
++1=1，即ln=2，解得t=4e2.
12.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，则( )
A.当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值
【解析】选C.当k=1时，f′(x)=ex·x-1，f′(1)≠0.
所以x=1不是f(x)的极值点.
当k=2时，f′(x)=(x-1)(xex+ex-2)
显然f′(1)=0，且x在1的左边附近f′(x)<0，
x在1的右边附近f′(x)>0，所以f(x)在x=1处取到极小值.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.已知函数f的导函数为f′，且函数f=x2+ax·f′的图像在点处的切线斜率为-2，则a=_________.?
【解析】由f=x2+ax·f′，得f′=2x+af′，
所以f′=2+af′，依题意，得-2=2-2a，所以a=2.
答案：2
14.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是_______.?
【解析】依题意可知函数f(x)在(-∞，+∞)上是单调减函数，所以f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，则Δ=4a2-12≤0，解得-≤a≤.
答案：[-，]
15.观察下列算式，猜测由下列算式提供的一般法则，用适当的数学式子表示它.
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
…
则这个式子为__________________________________.?
【解析】观察由前5个等式归纳得到第n个等式的右边是n3，左边都是正奇数的和，设第n个等式的左边的首项为an，则a2-a1=2，a3-a2=4，a4-a3=6，a5-a4=8，…，an-an-1=2n-2，由累加法，得an-a1=n2-n，an
=n2-n+1，则第n个等式为(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.
答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3
16.用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1+++…+，则当n=k+1时，左边应是n=k时的左边加上_______________________.?
【解析】用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1+++…+，先假设n=k时，命题的左边是f(k)=1+++…+，则当n=k+1时，左边应是1+++…+++=f(k)++.
答案：+
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z1=2-3i，z2=.
求：(1)z1+.(2)z1·z2.(3).
【解析】z2=====1-3i.
(1)z1+=(2-3i)+(1+3i)=3.
(2)z1·z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i.
(3)====+i.
18.(12分)已知在正数数列{an}中，前n项和为Sn，且2Sn=an+，用数学归纳法证明：an=-.
【证明】(1)当n=1时a1=S1=?=1?a1=1，1=-=1，结论成立.
(2)假设当n=k时，结论成立，即ak=-，
Sk===.
则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=-，+2ak+1-1=0，
因为ak+1>0，所以ak+1=-，所以当n=k+1时，结论也成立，
由(1)(2)知，对于一切正整数n，结论都成立.
19.(12分)如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值.
【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0，x2=1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx==-=.
又由此可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标x3=0，x4=1-k，
所以=(x-x2-kx)dx==(1-k)3.
又S=，所以(1-k)3=，所以k=1-.
【误区警示】本题容易忽视计算直线与抛物线的交点坐标，导致无法利用定积分计算面积，另外，开方计算也容易出现化简方面的错误.
20.(12分)已知a>5，求证：-<-.
【证明】要证-<-，
只需证+<+，
只需证(+)2<(+)2，
只需证2a+5+2<2a+5+2，
只需证<，
只需证a2+5a因为0<6恒成立，所以-<-成立.
21.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值.
(2)证明：当x>0时，x2【解析】(1)由f(x)=ex-ax，得f′(x)=ex-a.
因为f′(0)=1-a=-1，所以a=2.所以f(x)=ex-2x，f′(x)=ex-2.
令f′(x)=0，得x=ln
2.
当x2时，f′(x)<0，f(x)是减少的；
当x>ln
2时，f′(x)>0，f(x)是增加的，
所以当x=ln
2时，f(x)取得极小值，
极小值为f(ln
2)=2-2ln
2=2-ln
4，f(x)无极大值.
(2)令g(x)=ex-x2，则g′(x)=ex-2x.
由(1)，得g′(x)=f(x)≥f(ln
2)=2-ln
4>0，
所以g(x)在R上是增加的.
因为g(0)=1>0，
所以当x>0，g(x)>g(0)>0，即x222.(12分)已知函数f(x)=ln
x+(x-1)2.
(1)判断f(x)的零点个数.
(2)若函数g(x)=ax-a，当x>1时，g(x)的图像总在f(x)的图像的下方，求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)=ln
x+(x-1)2的定义域为(0，+∞)，f′(x)=+x-1，
因为+x≥2，所以f′(x)≥1>0，f(x)在(0，+∞)上为增加的，
又f(1)=0，所以f(x)在(0，+∞)上只有一个零点.
(2)由已知，当x>1时，(x-1)2+ln
x-ax+a>0恒成立.
令h(x)=(x-1)2+ln
x-ax+a，则h′(x)=x+-1-a.
当a≤1时，因为h′(x)=x+-1-a>1-a≥0，
所以h(x)在(1，+∞)上为增加的.又h(1)=0，所以h(x)>0恒成立.
当a>1时，h′(x)=，
令φ(x)=x2-(1+a)x+1，则Δ=(1+a)2-4=(a+3)(a-1)>0.
令φ(x)=0的两根分别为x1，x2且x1因为x1+x2=1+a>0，x1·x2=1>0，所以0当x∈(1，x2)时，φ(x)<0，所以h′(x)<0，
所以h(x)在(1，x2)上是减少的，又h(1)=0，
所以当x∈(1，x2)时，h(x)<0不合题意.所以a的取值范围为(-∞，1].
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(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z满足zi=3+4i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y=lox是对数函数，所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
3.(1)已知p3+q3=2，求证p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2.
(2)已知a，b∈R，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是( )
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确；(2)的假设错误
D.(1)的假设错误；(2)的假设正确
4.已知复数z满足：(2+i)z=1-i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为( )
A.-i
B.+i
C.-i
D.+i
【加练·固】
若复数z=，为z的共轭复数，则()2
017=( )
A.i
B.-i
C.-22
017i
D.22
017i
5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=
，3=
，4=
，5=
，…，则按照以上规律，若9=
具有“穿墙术”，则n=( )
A.25
B.48
C.63
D.80
6.已知函数f(x)=x2+bx+c(b，c∈R)，F(x)=，若F(x)的图像在x=0处的切线方程为y=-2x+c，则函数f(x)的最小值是( )
A.2
B.1
C.0
D.-1
7.要证：a2+b2-1-a2b2≤0，只需证明( )
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
8.若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞)上的最大值为，则a的值为( )
A.
B.
C.+1
D.-1
9.观察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，则式子3?5是第( )
A.22项
B.23项
C.24项
D.25项
10.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，则数列(n∈N
)的前n项和是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知曲线C1：y2=tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：y=ex+1+1也相切，则t的值为( )
A.4e2
B.4e
C.
D.
12.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，则( )
A.当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.已知函数f的导函数为f′，且函数f=x2+ax·f′的图像在点处的切线斜率为-2，则a=_________.?
14.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是_______.?
15.观察下列算式，猜测由下列算式提供的一般法则，用适当的数学式子表示它.
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
…
则这个式子为__________________________________.?
16.用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1+++…+，则当n=k+1时，左边应是n=k时的左边加上_______________________.?
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z1=2-3i，z2=.
求：(1)z1+.(2)z1·z2.(3).
18.(12分)已知在正数数列{an}中，前n项和为Sn，且2Sn=an+，用数学归纳法证明：an=-.
19.(12分)如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值.
20.(12分)已知a>5，求证：-<-.
21.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值.
(2)证明：当x>0时，x222.(12分)已知函数f(x)=ln
x+(x-1)2.
(1)判断f(x)的零点个数.
(2)若函数g(x)=ax-a，当x>1时，g(x)的图像总在f(x)的图像的下方，求a的取值范围.
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