1．6 三角函数模型的简单应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
应用数学建模提升数学运算学会数据分析
授课提示：对应学生用书第38页
[基础认识]
知识点 利用三角函数模型解释自然现象
阅读教材P60～64，思考并完成以下问题
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．
现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
提示：三角函数．
知识梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：
[自我检测]
1．弹簧振子的振幅为2
cm，在6
s内振子通过的路程是32
cm，由此可知该振子振动的( )
A．频率为1.5
Hz
B．周期为1.5
s
C．周期为6
s
D．频率为6
Hz
答案：B
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin
，则当t＝
s时，电流强度I为( )
A．5
A
B．2.5
A
C．2
A
D．－5
A
答案：B
授课提示：对应学生用书第38页
探究一 三角函数模型在物理中的应用
[阅读教材P584题]电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin，t∈[0，＋∞)．
(1)求电流i变化的周期、频率、振幅及其初相；
(2)当t＝0，，(单位：s)时，求电流i.
解析：(1)T＝＝，f＝＝50，A＝5，φ＝.
(2)当t＝0时，i＝5sin
＝；
t＝时，i＝5sin＝5；
t＝时，i＝5sin＝0.
[例1] 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
[解析] (1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3
cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
cm.
③小球来回摆动一次需要1
s(即周期)．
方法技巧 处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪探究 1.已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解析：(1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝，
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意，周期T≤，即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N
，
故所求最小正整数ω＝943.
探究二 三角函数在实际生活中的应用
[阅读教材P60例1]方法步骤：(1)分析图象、最高点、最低点、周期值．
(2)求各个标量A、ω、φ、b.
[例2] 下表是某地一年中10天的白昼时间统计表：(时间精确到0.1小时)
日期
1月1日
2月28日
3月21日
4月27日
5月6日
6月21日
8月13日
9月20日
10月25日
12月21日
日期位置序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间y(小时)
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图(如图)；
(2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)
(3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
[解析] (1)散点图如图．
(2)由散点图知白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系近似为y
＝Asin(ωx＋φ)＋t(A>0，ω>0，|φ|<π)．
由题意知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即ymax＝19.4，ymin＝5.4.
由19.4－5.4＝14，得A＝7.
由19.4＋5.4＝24.8，得t＝12.4.
又∵T＝365，∴ω＝.
当x＝172时，＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又∵|φ|<π，∴φ＝－.
∴y＝7sin＋12.4(1≤x≤365，x∈N
)．
(3)由y>15.9，得sin>，
∴＋2kπ<－<＋2kπ(k∈Z)，
＋＋365k
又∵1≤x≤365，x∈N
，∴111∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．
方法技巧 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式．
(4)利用函数解析式，根据条件进行预测和调控，以便为决策和管理提供依据．
跟踪探究 2.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos
ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据(1)的结论，判断一天的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解析：(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，即振幅A为.∴y＝cost＋1.
(2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，
∴cost＋1>1，∴cost>0，
∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，∴令k分别为0，1，2，得0≤t<3或9∴规定时间上午8：00至晚上20：00之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9：00至下午15：00.
授课提示：对应学生用书第40页
[课后小结]
1．三角函数模型
如果某种现象的变化具有周期性，根据三角函数的性质，我们可以根据这一现象的特征和条件，利用三角函数知识建立数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的数学模型——三角函数模型．
2．三角函数应用题的三种模式
(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．
(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数解析式，再解决其他问题．
(3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．
[素养培优]
三角函数中的数学建模与数据分析
[典例] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋b)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[解析] (1)描出所给点如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－.
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.
PAGE1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中，ω，φ，A对图象的影响．2.掌握y＝sin
x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
应用直观想象发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第31页
[基础认识]
知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
阅读教材P49～52，思考并完成以下问题
(1)由y＝sin
x的图象如何作出y＝cos
x的图象？
提示：由y＝sin
x的图象向左平移个单位长度得到y＝cos
x的图象．
(2)如何由y＝sin
x的图象上五点变换得到y＝sin的图象上五点？
提示：
0
1
0
－1
0
sin
x中x
0
π
π
2π
sin中x
－
π
π
π
每个点向左平移个单位长度．
(3)如何由y＝sin
x图象上五点变换得到y＝sin图象上五点？
提示：
y
0
1
0
－1
0
sin
x中x
0
π
π
2π
sin中x
π
π
π
π
每个点向右平移个单位长度
知识梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin
x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．
知识点二 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
思考并完成以下问题
(1)函数y＝sin
x，y＝sin
2x和y＝sinx的周期分别是什么？
提示：T1＝2π，T2＝π，T3＝4π.
(2)周期变化对图象有什么影响？
提示：周期变小，图象压缩；周期变大，图象伸长．
(3)y＝sin
2x的图象相对于y＝sin
x，x∈(0，2π)的图象有什么变化？
y＝sinx的图象相对于y＝sin
x，x∈(0，2π)的图象有什么变化？
提示：y＝sin
x，x∈(0，2π)的图象缩小到倍得到y＝sin
2x.
y＝sin
x，x∈(0，2π)的图象扩大到2倍得到y＝sinx.
知识梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩小(当ω>1时)或扩大(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
知识点三 A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考并完成以下问题
(1)y＝2sin
x、y＝sin
x的最大值、最小值各是多少？
提示：2及－2，及－.
(2)y＝2sin
x的最大值及相应的x值与y＝sin
x，x∈[0，2π]有什么关系？
提示：都是x＝时，取最大值，y＝2sin
x的最大值是y＝sin
x最大值的2倍．
(3)y＝2sin
x的最小值及相应的x值与y＝sin
x，x∈[0，2π]有什么关系？.
提示：都是当x＝π时，取最小值，y＝2sin
x的最小值是y＝sin
x最小值的2倍．
知识梳理 (1)如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩小(当0(2)函数y＝sin
x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关系
正弦曲线y＝sin
x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：
y＝sin
x的图象y＝sin(x＋φ)的图象
y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思考 由y＝sin
x先变周期，再左右平移，有怎样的变换量．
提示：y＝sin
x的图象
y＝sin
ωx
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)
[自我检测]
1．函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos
ωx，则ω的值为( )
A．2 B. C．4 D.
答案：B
2．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案：D
授课提示：对应学生用书第33页
探究一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象
[阅读教材P53例1]方法步骤：列表、描点、连线．
[例1] 已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
[解析] (1)列表：
x
－
＋
0
π
2π
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
方法技巧 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点．
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象．
跟踪探究 1.已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图象．
解析：(1)∵x∈，
∴2x－∈.
列表如下：
x
－
－π
－
π
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点，连线，如图所示：
探究二 三角函数的图象的平移变换
[教材P571(1)]y＝cos
xy＝cos，故选C.
[例2] (1)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
[解析] y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos.故选B.
[答案] B
(2)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是( )
A. B.
C.
D.
[解析] 由于f(x)的图象过点P，所以sin
θ＝，又－<θ<，所以θ＝.
故f(x)＝sin，
g(x)＝sin＝sin，
又g(x)的图象过点P.
所以sin＝，经验证可知B选项正确．
[答案] B
(3)说明由函数y＝sin的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝sin的图象．
[解析] 令x＋＝t，即x＝t－，则y＝sin＝sin
t，y＝sin＝sin.
∵y＝sin的图象是由y＝sin
t的图象向右平移个单位长度而得到，
∴将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象．
方法技巧 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin
ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A，ω及名称相同的结构．
(2)找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为.
(3)明确平移的方向．
延伸探究 1.将本例(1)改为：要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：y＝sin
2x＝cos
y＝cos＝cos.
答案：A
2．将本例(3)改为：由函数y＝sin经过怎样的变换得到y＝sin
x＋1的图象？
解析：由y＝sin向右平移个单位得到y＝sin
x的图象，再向上平移1个单位得到y＝sin
x＋1的图象．
探究三 三角函数图像的伸缩变换
[教材P571(2)]y＝cos
xy＝cos，故选A.
[例3] (1)将函数y＝sin
x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
[解析] 先将y＝sin
x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．
[答案] C
(2)将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数________的图象．
[答案] y＝sin
方法技巧 三角函数图象伸缩变换的方法
方法一：y＝A1sin
ω1x
y＝A2sin
ω1xy＝A2sin
ω2x.
方法二：y＝A1sin
ω1x
y＝A1sin
ω2xy＝A2sin
ω2x.
延伸探究 3.若将本例(2)中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其他条件不变，则可得到函数解析式为________．
答案：y＝5sin
4．若将本例(2)中得到的新函数的图象，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍，得到的解析式是什么？
答案：y＝sin
探究四 图象变换的综合应用
[教材P53例1]方法步骤：先左右平移，再把横坐标伸缩，再纵坐标伸缩．
[例4] (1)把y＝sin
x图象上的所有点向左平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来的倍，再向上平移1个单位长度得到的函数的单调减区间为________．
[解析] 由y＝sin
x变换后得到y＝sin＋1，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.
[答案] ，k∈Z
(2)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
[解析] y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos
x.
所以f(x)＝3cos
x.
方法技巧 1.已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
2．已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
跟踪探究 2.若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析：由题意可得平移后所得函数的解析式为y＝sin＝sin，则有－2φ＝kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝－－(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值，为.
答案：π
3．要得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sinx的图象进行怎样的变换？
解析：法一：y＝sinx的图象y＝sin
2x的图象y＝sin的图象．
法二：y＝sinx的图象
y＝sin的图象
y＝sin的图象.
授课提示：对应学生用书第34页
[课后小结]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法
五点法：
①列表；
②描点；
③连线．
变换法：
方法一(先平移后伸缩) 方法二(先伸缩后平移)
注意：两种变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：
(1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度．
(2)先周期变换后相位变换，平移个单位长度．
(3)若是异名函数变换，要先变为同名函数．
[素养培优]
1．平移变换错误(平移方向及平移单位长度)
[典例] 把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为________．
易错分析 平移变换时，把5x看作变换对象．实际上解答本题问题时，弄清一条原则：平移是针对x而言的，而不是针对x及系数一个整体来说的．
自我纠正
[解析] 先把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象．
[答案] y＝sin
2．审题不清，致变换主体认错
[典例] 要得到y＝sin的图象，只需将y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
易错分析
此题不仔细审题，误认为是由y＝sin得y＝sin.
自我纠正
[解析] ∵y＝sin＝cos＝cos，∴此函数的图象向右平移个单位长度得到y＝cos＝cos＝sin的图象．
[答案] B
3．混淆图象上点的变换与解析式的变换
[典例] 函数y＝3sin图象向左平移后，其上点A平移后的对应点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
易错分析 此题易错在：根据“左加右减”的法则，误认为＋＝，错选为D.
自我纠正
[解析] 由A向左平移.
其横坐标为－＝，即对应点为，故选A.
[答案] A
1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．2.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.
应用直观想象应用数学建模发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第35页
[基础认识]
知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的物理意义
阅读教材P54～55，思考并完成以下问题
(1)在“简谐运动”的实验中，漏斗离开平衡位置的最大距离及摆动一次的时间，用函数y＝Asin(ωx＋φ)中的哪些量体现？
提示：A与T.
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是多少？周期如何求．
提示：最大值A，T＝.
知识梳理 A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅．
T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期．
f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率．
ωx＋φ：ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
思考并完成以下问题
类比y＝sin
x的性质可得出y＝Asin(ωx＋φ)的哪些性质？
函数y＝3sin(x∈R)的值域、周期、对称中心、对称轴、单调区间是什么？
提示：值域[－3，3]，T＝＝π.
令2x＋＝kπ，k∈Z，x＝π－，k∈Z，对称中心，k∈Z.
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，x＝π＋，k∈Z，对称轴x＝π＋，k∈Z.
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴单调增区间，k∈Z；
2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，单调减区间为，k∈Z.
知识梳理
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
[自我检测]
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
答案：A
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝
B．A＝3，T＝
C．T＝，T＝
D．A＝，T＝
答案：D
授课提示：对应学生用书第36页
探究一 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[阅读教材P54例2]方法步骤：(1)从图象看，振幅A，周期T；(2)求ω和φ；(3)写解析式．
[例1] 如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．
[解析] 由图象知A＝5.
由＝－π＝，得T＝3π，
∴ω＝＝.∴y＝5sin.
下面用两种方法求φ：
法一(单调性法)：
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴＋φ∈(k∈Z)．
由5sin＝0，得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.
法二(最值点法)：
将最高点坐标代入y＝5sin，
得5sin＝5，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.故y＝5sin.
方法技巧 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪探究 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：由图易知A＝2，因为周期T满足＝－，所以T＝π，ω＝＝2.由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)．结合各选项可知函数的解析式为y＝2sin(2x－)．
答案：A
探究二 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
[例2] 已知点P(1，)是曲线f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)上的一个最高点，且f(9－x)＝f(9＋x)，x∈R，曲线在(1，9)内与x轴有唯一一个交点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求f(x)的对称中心．
[解析] (1)∵点P(1，)是曲线f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)上的一个最高点，∴A＝，且x＝1是曲线的一条对称轴．
∵f(9－x)＝f(9＋x)，x∈R，∴x＝9也是曲线的一条对称轴．
又曲线在(1，9)内与x轴有唯一一个交点，∴x＝1，x＝9是曲线的两条相邻对称轴，
∴＝9－1＝8，T＝16，
∴＝16，ω＝，
∴f(x)＝sin.
∵点P(1，)是曲线上的一个最高点，
∴×1＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
∴函数解析式为f(x)＝sin，x∈R.
(2)令x＋π＝kπ，(k∈Z)
∴x＝8k－3，k∈Z，
对称中心为(8k－3，0)，k∈Z.
方法技巧 函数的性质与其图象特征紧密相关
图象的最高点与最低点体现了函数的最值，函数的对称轴过最高点或最低点，函数的对称中心的横坐标是函数的零点，对称轴与对称中心体现了周期性．
跟踪探究 2.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解析：(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，k∈Z，
令＋－＝，k∈Z.
得φ＝kπ＋，k∈Z，
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是(k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
授课提示：对应学生用书第37页
[课后小结]
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式，关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
(4)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b型，(A>0)
A＝，b＝.
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
[素养培优]
1．复合三角函数的解析式及相关问题
[典例] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
[解析] 法一：由图象知A＝2，
T＝＝2＝π，
解得ω＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)．
又因为点在图象上，所以有sin＝1，由此得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以y＝2sin＝2sin，故选A.
法二：由图象知A＝2，根据五点画图法，曲线y＝2sin(ωx＋φ)上点，分别与正弦曲线y＝sin
x上的点，对应，所以有－＋φ＝－，＋φ＝，解得ω＝2，φ＝－，故选A.
[答案] A
2．已知函数在区间上的最值情况，求ω的取值范围
[典例] 已知函数f(x)＝2sin
ωx(ω>0)在上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
[解析] 令f(x)＝2sin
ωx＝－2得sin
ωx＝－1，则ωx＝－＋2kπ(k∈Z)，解得x＝－＋，所以函数f(x)＝2sin
ωx离原点最近的最小值点是－，依题意，f(x)在上的最小值是－2，所以－∈，则－≥－，解得ω≥，故ω的最小值等于.
[答案]
3．已知函数的对称中心或对称轴，求ω的取值范围
[典例] 已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，则ω有( )
A．最小值2
B．最大值2
C．最小值1
D．最大值1
[解析] 因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小，故选A.
[答案] A
4．已知函数在区间上的单调性，求ω的取值范围
[典例] 已知函数f(x)＝2sin
ωx，其中常数ω>0.若f(x)在单调递增，求ω的取值范围．
[解析] 因为函数f(x)＝2sin
ωx的周期T＝，所以是f(x)的一个单调递增区间．
又f(x)在单调递增，所以?，于是有－≤－，≥.
又ω>0，解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
PAGE1．4.3 正切函数的性质与图象
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期．2.掌握正切函数y＝tan
x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.
应用直观想象发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第29页
[基础认识]
知识点一 正切函数的性质
阅读教材P42～44，思考并完成以下问题
根据诱导公式二、三及正切线，可得出正切函数哪些性质？
(1)由正切函数的定义得出定义域是什么？
提示：.
(2)由公式二tan(π＋x)＝tan
x，可得出y＝tan
x的什么性质？
提示：周期性．
(3)由公式三tan(－x)＝－tan
x可得出y＝tan
x的什么性质？
提示：是奇函数．
(4)当x大于－且无限接近－时，正切线AT趋近________．
当x小于且无限接近时，正切线AT趋近________．可得y＝tan
x的值域为________．
提示：－∞ ＋∞ R
知识梳理 函数y＝tan
x的性质.
定义域
值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间k∈Z内都是增函数
思考 正切函数在整个定义域内是增函数吗？
提示：不是．
知识点二 正切函数的图象
思考并完成以下问题
如何根据正切线作正切函数的图象？
(1)利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？
提示：①作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．
②把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．
③描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．
④连线，得到如图①所示的图象．
①
⑤根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan
x，x∈R且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
②
(2)我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan
x，x∈的简图吗？怎样画？
提示：能，三个关键点：，(0，0)，，两条平行线：x＝，x＝－.
知识梳理 (1)正切函数的图象
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
思考 正切函数y＝tan
x的对称中心坐标是什么？
提示：k∈Z.
[自我检测]
1．比较大小：tan________tan.
答案：>
2．函数y＝tan
x的值域是________．
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
授课提示：对应学生用书第29页
探究一 正切函数的定义域、值域问题
[阅读教材P44～45例6]方法步骤：整体思想．
[例1] (1)函数y＝3tan的定义域为________；
[解析] －≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠－π－4kπ，k∈Z.
[答案]
(2)函数y＝tan，x∈的值域是________．
[解析] 当－－<2x－<，
∴tan[答案] (－∞，1)
(3)求y＝tan2x＋4tan
x－1的值域．
[解析] 令t＝tan
x，则t∈R，故y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，所求的值域为[－5，＋∞)．
方法技巧
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
(3)求含有正切函数的复合函数的值域(或最值)的基本方法是换元法，换元后转化为以前所学过的函数值域问题，或利用正切函数的单调性来求解．
延伸探究 1.将本例(1)变为y＝tan
2x，其定义域为________．
解析：2x≠kπ＋，k∈Z，∴x≠π＋，k∈Z.
答案：
2．将本例(2)变为：求y＝tan，x∈的值域．
解析：y＝tan＝－tan.
∵x∈，∴2x－≤.
由正切函数的单调性质，得0≤tan≤，故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0]．
3．将本例(3)增加条件，x∈，其他条件不变，求值域．
解析：∵t＝tan
x，x∈，∴t∈[－1，1]
y＝(t＋2)2－5，在t∈[－1，1]上为增函数．
当x＝－1，ymin＝－4，当x＝1时，ymax＝4，
∴值域为[－4，4]．
探究二 正切函数的单调性问题
[阅读教材P44例6]
角度1 求正切函数的单调区间
[例2] 求函数y＝3tan的单调递减区间．
[解析] y＝3tan＝－3tan，
由kπ－<－∴y＝3tan的单调递减区间为，k∈Z.
角度2 比较大小
[例3] 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小．
(1)tan
167°与tan
173°；
(2)tan与tan.
[解析] (1)∵90°<167°<173°<180°，
又y＝tan
x在90°∴tan
167°173°.
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan.
又0<<<，
函数y＝tan
x，x∈是增函数，
∴tan即tan角度3 解正切不等式
[例4] 求函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域．
[解析] 由题意得
即－1≤tan
x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan
x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
方法技巧 1.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
3．求解形如tan
x>a的不等式，先解出内的解集，然后再加周期．
跟踪探究 1.下列不等式中，正确的是( )
A．tan>tan
B．tanC．tanD．tan>tan
解析：tan＝tantan＝tan∵tan＝tan，tan＝tan，
tan>tan，∴tan>tan；
∵tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan，
tan>tan，∴tan答案：D
2．函数y＝3tan的单调区间为________．
解析：y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，
得－＋所以y＝3tan的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
3．不等式tan
x－≥0的解集为________．
解析：由tan
x－≥0，得tan
x≥.
如图，利用图象知，所求解集为
(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
探究三 正切函数综合问题
[例5] 设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
[解析] (1)∵ω＝，
∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
方法技巧 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan
x的对称中心为，k∈Z.
对于y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
跟踪探究 4.画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．
解析：f(x)＝tan|x|化为
f(x)＝
根据y＝tan
x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示．
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈Z)；单调减区间为，，(k∈Z)．
授课提示：对应学生用书第31页
[课后小结]
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．对于y＝tan
x，不能认为其在定义域上为增函数，应为在每个区间(k∈Z)内为增函数．不能写成闭区间，且无减区间．
3．正切函数图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．正切函数的图象无对称轴．
[素养培优]
1．忽视正切函数的定义域
[典例] 解不等式tan
x≤－1.
易错分析 此题易忽视其定义域，
k∈Z，而错写为：.
自我纠正
[解析] ∵当x∈时，tan＝－1.
∴tan
x≤tan，
∴－又∵T＝kπ，
∴不等式解集为.
2．理解错正切函数的对称中心坐标
[典例] 函数f(x)＝tan(x＋φ)(φ<0)的对称中心为，则φ的最大值为________．
易错分析 将φ＝tan
x的对称中心设为是(kπ，0)而错解为φ＝－π.
自我纠正
[解析] ∵为y＝tan(x＋φ)的对称中心
∴tan＝0.∴－＋φ＝π，k∈Z.
∴φ＝π＋，当k＝－1时，φmax＝－π.
[答案] －π
3．正切函数周期与弦函数周期混淆
[典例] 函数y＝tan
ωx与y＝4两个交点间的距离为，则ω＝________．
易错分析 此题易错有两点，一是y＝tan
x与y＝sin
x的周期混淆为.二是只有一个ω>0的情况的值而丢解．
自我纠正
[解析] 由题意得y＝tan
ωx的最小正周期为，
∴T＝＝，
∴ω＝±2.
[答案] ±2
4．正切函数图象的相对位置画错
[典例] 在区间[－2π，2π]内，函数y＝tan
x与函数y＝sin
x的图象交点的个数为( )
A．3 B．5 C．7 D．9
易错分析 此题易把y＝sin
x与y＝tan
x的图象的位置关系画错：认为上，两者有三个交点，错选为D.
自我纠正
[解析] 时，两者只有一个交点(0，0)，其余的交点为(π，0)，(2π，0)，(－π，0)，(－2π，0)，选B.
[答案] B
PAGE1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3.掌握函数y＝sin
x，y＝cos
x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
应用直观想象发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第23页
[基础认识]
知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性
阅读教材P34～35，思考并完成以下问题
三角函数的正弦值、余弦值的“周而复始”体现了什么性质．
(1)由诱导公式一：sin(x＋2kπ)＝sin
x，cos(x＋2kπ)＝cosx(x∈R)都适合函数的特征：f(x＋T)＝f(x)，这是什么函数？
提示：周期函数．
(2)函数y＝sin
x及y＝cos
x(x∈R)的周期是多少？
提示：周期是2kπ(k∈Z且k≠0)．
知识梳理 (1)函数的周期性
①对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
(2)y＝sin
x与y＝cos
x都是周期函数，2kπ(k≠0，k∈Z)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π．
知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
(阅读教材P36～37，思考并完成以下问题
正弦函数、余弦函数图象有哪些对称性？
(1)y＝sin
x(x∈R)的图象关于(0，0)对称吗？为什么？
提示：对称：由sin(－x)＝－sin
x可知，若(x，y)是y＝sin
x上的点，则(－x，－y)也是图象上的点．
(2)由cos(－x)＝cos
x(x∈R)可看出y＝cos
x有什么对称性．
提示：关于y轴对称．
知识梳理 (1)对于y＝sin
x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin
x，所以正弦函数y＝sin
x是奇函数，正弦曲线关于(0，0)对称．
(2)对于y＝cos
x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos
x，所以余弦函数y＝cos
x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
(3)y＝sin
x(x∈R)的对称中心坐标为(kπ，0)k∈Z，也是轴对称图形，对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)．
(4)y＝cos
x(x∈R)的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，对称中心坐标为k∈Z.
[自我检测]
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案：A
2．函数y＝sin
x＋2的最小正周期为________．
答案：2π
授课提示：对应学生用书第24页
探究一 求三角函数的周期
[教材P35例2]方法步骤：利用周期定义和诱导公式求解．
角度1 三角函数的周期性
[例1] 求下列函数的周期．
(1)y＝2sin(x∈R)；
(2)y＝|sin
2x|(x∈R)．
[解析] (1)法一：令u＝3x－，∵x∈R，∴u∈R.
函数y＝2sin
u的最小正周期是2π，就是说变量u至少要增加到u＋2π，函数y＝2sin
u(u∈R)的值才能重复取得．
而u＋2π＝3x－＋2π＝3－，所以自变量x至少要增加到x＋，函数的值才能重复取得，从而函数y＝2sin(x∈R)的周期为.
法二：利用公式可知，函数y＝2sin(x∈R)的周期T＝＝.
(2)作出y＝|sin
2x|(x∈R)的图象，如图所示：
由图象可得，函数y＝|sin
2x|(x∈R)的周期为.
方法技巧 求三角函数的周期的方法
(1)定义法：对于定义域内每一个x是否存在非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)，若存在，则T是它的一个周期．
(2)公式法：形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0)的函数的周期T＝；正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)，(其中A≠0，ω≠0，ωx＋φ≠kπ＋(k∈Z))的周期T＝.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直接判断．
延伸探究 1.将本例(1)变为：求函数y＝sin的最小正周期．
解析：令z＝2x＋，因为x∈R，所以z∈R.
函数f(x)＝sin
z的最小正周期是2π，
即变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sin
z(z∈R)的值才能重复取得．
而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，所以函数f(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是π.
2．将本例(2)改为：求函数y＝|1＋sin
x|的最小正周期．
解析：∵y＝|1＋sin
x|＝1＋sin
x，∴T＝2π.
角度2 三角函数周期性的应用
[例2] (1)已知函数f(x)＝cosx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)的值为________．
[解析] ∵f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，f(3)＝cos
π＝－1，f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，f(6)＝cos
2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理可得，每连续六项的和均为0，
即周期为6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－－1＝－1.
[答案] －1
(2)已知函数f(x)＝cosx，则满足f(x)＝的x的集合为________．
[解析] 设t＝x，当t∈[0，2π)时，cos
t＝，t＝或t＝π.
∴x＝，∴x＝1，x＝π，∴x＝5
∵f(x)的周期为6.∴x＝1＋6k或x＝5＋6k，k∈Z，
即所求的集合为{x|x＝1＋6k或x＝5＋6k，k∈Z}．
[答案] {x|x＝1＋6k或x＝5＋6k，k∈Z}
方法技巧 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．
延伸探究 3.若将本例(1)的函数改为f(x)＝sin，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)＝________．
解析：f(1)＝sin＝cos，
f(2)＝sin＝－sin，
f(3)＝sin＝－cos，
f(4)＝sin＝sin，
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
f(x)的周期T＝4.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
019)＝504×(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝－sin＝－.
答案：－
4．若将本例(2)改为：求使cosx＝1的x的集合为________．
解析：使cosx＝1，有x＝0，∴x＝0.
∴{x|x＝6k，k∈Z}．
答案：{x|x＝6k，k∈Z}
探究二 三角函数的奇偶性
[例3] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos＋x2sin
x；
(2)f(x)＝＋.
[解析] (1)f(x)＝sin
2x＋x2sin
x，
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin
2x－x2sin
x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由得cos
x＝.
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
方法技巧 判断函数奇偶性应把握好两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
跟踪探究 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)．
解析：(1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1x<1.
解得定义域为.
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin
x)－lg(1－sin
x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
探究三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例4] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
x|
C．y＝sin
D．y＝cos
[答案] D
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，求f的值．
[解析] ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝.
∴f＝.
方法技巧 三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使更全面的研究函数图象特征．
延伸探究 5.(1)若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解析：f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.
(2)若将本例3(2)条件不变，求f＋f的值．
解析：∵T＝π，∴f＝f(0)＝sin
0＝0，
f＝f＝f＝sin＝.
∴f＋f＝.
授课提示：对应学生用书第25页
[课后小结]
1．对于周期的理解
(1)定义是对定义域中的每一个x值来说的，只要有个别的x值不满足f(x＋T)＝f(x)，就不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f＝f(2x)，则是f(2x)的周期．
(3)并不是所有周期函数都存在最小正周期．
例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小数，故f(x)没有最小正周期．
(4)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N
)一定也是周期．
(5)在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT(k∈Z，且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．
[素养培优]
1．判定奇偶性，忽略定义域
[典例] 函数f(x)＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
易错分析 不考虑定义域，错选为A.
自我纠正
[解析] 由1－sin
x≠0可知sin
x≠1，∴x≠2kπ＋(k∈Z)，
定义域不关于(0，0)对称，为非奇非偶函数．
[答案] D
2．忽略最小正周期的定义
[典例] 函数y＝sin的最小正周期是，则a＝________．
易错分析 对最小正周期理解错，只求出a＝3.
自我纠正
[解析] 由＝，∴|a|＝3，∴a＝±3.
[答案] ±3
3．画错图象导致周期求错
[典例] 下列函数中不是周期函数的是________．
①y＝sin；②y＝cosx＋1；③y＝sin|x|；
④y＝sin
x＋cos
x.
易错分析 此题易错为：不考虑周期定义或画图象不准确，而判断错，错选为④.
自我纠正
[解析] ①，②是周期函数，周期分别为π，4π.
④是周期函数，周期为2π.
③不是周期函数，由图象知，(－π，π)与(π，3π)的图象重复．
[答案] ③
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小．3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第26页
[基础认识]
知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
阅读教材P37～38，思考并完成以下问题
正弦函数y＝sin
x，余弦函数y＝cos
x，x∈R，有最值吗？值域如何？
(1)y＝sin
x，x∈[0，2π]图象的最高点坐标、最低点坐标是多少？
提示：、.
(2)y＝cos
x，x∈[0，2π]图象的最高点、最低点坐标是多少？
提示：(0，1)、(2π，1)，(π，－1)．
(3)如果sin
x＝1，cos
x＝1，(x∈R)，x的值是多少？sin
x＝－1，cos
x＝－1呢？
提示：x＝2kπ＋，k∈Z，x＝2kπ，k∈Z.x＝π＋2kπ，k∈Z，x＝π＋2kπ，k∈Z.
知识梳理 可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是R．
对于正弦函数y＝sin
x，x∈R，有：
当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取得最大值1；
当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cos
x，x∈R，有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝2kπ＋π，k∈Z时，取得最小值－1.
y＝sin
x，x∈R的值域为[－1，1]．
y＝cos
x，x∈R的值域为[－1，1]．
知识点二 正弦、余弦函数的单调性
思考并完成以下问题
y＝sin
x，y＝cos
x都有单调变化，单调区间如何表示？
(1)观察正弦函数y＝sin
x，x∈的图象，正弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：单调递增―→，k∈Z单调递增，
单调递减―→，k∈Z单调递减．
(2)观察余弦函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：[－π，0]单调递增―→[－π，＋2kπ，2kπ]，k∈Z单调递增
[0，π]单调递减―→[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z单调递减．
知识梳理
正弦函数
余弦函数
图象
单调性
在，(k∈Z)上递增，在，(k∈Z)上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上递减
[自我检测]
1．在下列区间中，使y＝sin
x为增函数的是( )
A．[0，π] B.
C.
D．[π，2π]
答案：C
2．函数y＝sin
x，x∈[0，π]的值域为________．
答案：[0，1]
授课提示：对应学生用书第27页
探究一 正弦函数、余弦函数的单调性
[阅读教材P39～40例5]方法步骤：(1)换元．(2)代入．(3)求解．
[例1] (1)下列函数，在上是增函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x
[解析] 当x∈时，2x∈[π，2π]，y＝cos
2x为增函数．
[答案] D
(2)求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
[解析] y＝1＋sin＝－sin＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin的单调减区间为，，.
方法技巧 单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin
x或y＝cos
x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；放入y＝sin
x或y＝cos
x的单调减区间内，可求得函数的减区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin
x或y＝cos
x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的减区间；放入y＝sin
x或y＝cos
x的单调减区间内，可求得函数的增区间．
延伸探究 1.本例(2)函数不变，去掉x∈[－4π，4π]，求单调减区间．
解析：y＝－sin＋1.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
故减区间为(k∈Z)．
2．将本例(2)的函数改为y＝1＋cos，其他条件不变，求减区间．
解析：y＝1＋cos.
令2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋≤x≤4kπ＋π，k∈Z.
又∵x∈[－4π，4π]，
当k＝0时，≤x≤π，
当k＝－1时，－π≤x≤－π，
∴减区间为，.
探究二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
[阅读教材P39例4]方法步骤：(1)转化变量；(2)寻找函数；(3)比较大小．
[例2] 比较下列各组数的大小：
(1)sin与－cos；
(2)sin与sin.
[解析] (1)sin＝cos，
－cos＝cos.
∵－＝>0，
∴0<π－<－<π.
∵y＝cos
x在[0，π]上递减，
∴cos即sin<－cos.
(2)∵cos＝sin，∴0∵y＝sin
x在(0，1)内递增，
∴sin方法技巧 比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小．
跟踪探究 比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)cos
与sin
.
解析：(1)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin，
∵y＝sin
x在上是增函数，
∴
sin(2)cos＝cos＝cos，sin＝sin＝sin＝sin＝cos，
∵0<<<π，且y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cos>cos，即cos>sin.
探究三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题
[阅读教材P38～39例3]方法步骤：(1)确定自变量的取值；(2)确定角的取值范围；(3)利用范围求最值．
角度1 简单的正、余弦函数的值域问题
[例3] 求函数y＝2sin，x∈的值域．
[解析] ∵－∴0<2x＋<，∴0∴0<2sin≤2.
∴函数y＝2sin在上的值域是(0，2]．
角度2 与正、余弦函数有关的复合函数的值域问题
[例4] 函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
[解析] f(x)＝sin2x＋cos
x－，
f(x)＝1－cos2x＋cos
x－，
令cos
x＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋t＋
＝－＋1，
则当t＝时，f(x)取最大值1.
[答案] 1
角度3 含参数的最值问题
[例5] 若函数y＝a－bcos
x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4acos
bx的最值和最小正周期．
[解析] ∵y＝a－bcos
x(b>0)，
∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.
由解得
∴y＝－4acos
bx＝－2cos
x，
∴函数y＝－4acos
bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
方法技巧 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数值域问题，应先根据x的范围确定ωx＋φ的范围，再根据正弦函数的图象或单调性写出函数的值域；(2)求形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)＝at2＋bt＋c在闭区间[－1，1]上的值域问题．
延伸探究 3.将例3条件改为x∈，求函数的最值．
答案：ymax＝2，ymin＝0
4．将例3改为y＝2cos，x∈，求值域．
解析：由－≤x≤得，0≤2x＋≤π，
∴cosπ≤cos≤cos
0，
∴－1≤2cos≤2，
即函数值域为[－1，2]．
5．将例4改为：求函数y＝2cos2x＋5sin
x－4的值域．
解析：由已知得y＝2(1－sin2x)＋5sin
x－4＝－2sin2x＋5sin
x－2.
设sin
x＝t，
则y＝－2t2＋5t－2＝－2＋，t∈[－1，1]．
∴当t＝－1时，ymin＝－9；
当t＝1时，ymax＝1.
∴函数y＝2cos2x＋5sin
x－4的值域为[－9，1]．
授课提示：对应学生用书第28页
[课后小结]
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．
4．正弦函数、余弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性充分结合，利用数形结合思想，直观想象来解决综合问题．
[素养培优]
正、余弦函数性质的综合应用
[典例] (1)函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的最小值为( )
A.
B.
C．2
D．3
[解析] 由题意，知当x＝时，函数f(x)取得最大值，则sin＝1，所以＝2kπ＋(k∈Z)，所以ω＝6k＋，k∈Z.又ω>0，所以ωmin＝，故选A.
[答案] A
点评 单调区间与最值、对称轴有联系．此题在x＝处取最大值，关于x＝对称．
(2)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
[解析] ∵f(x)在上具有单调性，
∴≥－，∴T≥.
又－＝又∵f＝－f，
∴f(x)的图象与对称轴x＝相邻的一个对称中心的横坐标为＝，
∴T＝－＝，∴T＝π.
[答案] π
点评 此题体现了单调性、对称性、周期性；由单调性求周期的范围，由对称性求周期．
PAGE1．4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线．3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
应用直观想象发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第20页
[基础认识]
知识点一 正弦函数、余弦函数及图象画法
阅读教材P30～32，思考并完成以下问题
如果以x为自变量，正弦函数、余弦函数的解析式怎么写？如何用图象来表示？
(1)在单位圆中，x表示任意角，y表示函数值(正弦值、余弦值)，y与x用什么关系式来表示？
提示：y＝sin
x，y＝cos
x(x∈R)．
(2)通过“简谐运动的图象”的试验，能直观地体会正弦函数、余弦函数怎样的图象特征？
提示：波浪型，周而复始的特征．
(3)课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？
提示：用正弦线精准刻画，将[0，2π]内各角的正弦线平移到x轴相应位置，最后将点用光滑曲线连接．
(4)如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？
提示：将正弦函数的图象向左平移个单位长度而得到．
知识梳理 (1)任意给定一个实数x，有唯一确定的值sin
x(或cos
x)与之对应，由这个对应法则所确定的函数y＝sin__x(或y＝cos__x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域为R．
(2)利用正弦线画函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象如图．
将函数y＝sin
x，x∈[0，2π)的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象，如图．
(3)根据诱导公式cos
x＝sin，把正弦函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度即得余弦函数y＝cos
x的图象，如图．
(4)正弦函数y＝sin
x，x∈R和余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
知识点二 “五点法”作图
思考并完成以下问题
正弦[0，2π]的图象可否描出几个特殊点得到？
(1)对于y＝sin
x，x∈[0，2π]，利用三角函数定义
计算sin
0，sin，sin
π，sinπ，sin
2π的值．
提示：分别为0，1，0，－1，0.
(2)描出的点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，符合y＝sin
x，x∈[0，2π]内的特征吗？
提示：符合y＝sin
x，x∈[0，2π]内的特征．
(3)对于y＝cos
x，x∈[0，2π]，可选哪些点？
提示：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
知识梳理 (1)用“五点法”作函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象的步骤：
①列表：
x
0
π
2π
y＝sin
x
0
1
0
－1
0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0，2π]上的简图．
(2)余弦函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
思考 由作图可看出y＝sin
x(x∈R)，y＝cos
x(x∈R)的图象形状相同，能否认为两者是相同的函数吗？
提示：y＝sin
x与y＝cos
x不是相同的函数．
[自我检测]
1．用“五点法”作y＝2sin
2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
答案：B
2．下列图象中，y＝－sin
x在[0，2π]上的图象是( )
答案：D
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 “五点法”作图的应用
[教材P32～33例1]方法步骤：列表、描点(或平移)．
[例1] 作出下列函数的图象．
(1)y＝1－cos
x，x∈[－2π，2π]；
(2)y＝.
[解析] (1)描点，，，，，连线可得函数在[0，2π]上的图象，关于y轴作其对称图形可得函数在[－2π，2π]上的图象，如图所示．
(2)y＝可化为y＝|sin
x|，
则y＝
如图象如图所示．
方法技巧 1.作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin
x或y＝cos
x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
2．平移法、翻折法：首先作出y＝sin
x，y＝cos
x的图象，作y＝sin(x＋φ)图象根据左右平移：“左＋右－”．作y＝sin
x＋b的图象，根据上下平移“上＋下－”．作y＝|sin
x|的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方．作y＝－sin
x的图象，将y＝sin
x的图象关于x轴对称．
跟踪探究 1.用“五点法”作函数y＝1－cos
x(0≤x≤2π)的简图．
解析：列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
0
1
2
1
0
描点，并用光滑的曲线连接起来，如图．
2．利用正弦或余弦函数图象作出y＝的图象．
解析：由于y＝＝|cos
x|，因此只需作出y＝|cos
x|的图象即可，而y＝|cos
x|可由y＝cos
x将x轴下方的图象翻折到x轴上方，图象如下：
探究二 利用正弦、余弦函数图象解不等式
[教材P40练习1]观察正弦曲线，写出满足sin
x>0的区间．
提示：(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.
角度1 解三角不等式
[例2] 利用正弦曲线，求满足x≤的x的集合．
[解析] 首先作出y＝sin
x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin
x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin
x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观点图象可知，在[0，2π]上，当x≤成立．
所以x≤的解集为
.
角度2 求与三角函数有关的定义域
[例3] 求函数f(x)＝lg
sin
x＋的定义域．
[解析] 由题意，得x满足不等式组
即
作出y＝sin
x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
方法技巧 1.用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集．
2．与三角函数有关的定义域，一般要构造三角不等式或其他代数不等式，结合图象求交集．
跟踪探究 3.使不等式－2sin
x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
4．求函数y＝的定义域．
解析：为使函数有意义，需满足即0x≤.
由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为
.
(1)
(2)
授课提示：对应学生用书第22页
[课后小结]
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin
x＋b的图象的步骤
3．把y＝sin
x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos
x的图象，通过这种方法作图简便易行，但函数间必须有联系.是平移的最小距离．
4．正弦、余弦曲线形状相同，位置不同，均向左右无限延伸，与x轴有无数个交点，正弦曲线关于原点对称，而余弦曲线关于y轴对称．
5．画图时要注意图象的对称性和凹凸方向，切忌把图象画成折线．
[素养培优]
1．三角函数与其他函数的交点问题
[典例] 方程sin
x＝的解的个数为________．
[解析] 这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合思想，转化为函数y＝sin
x的图象与函数y＝图象的交点个数问题，借助图形直观求解．
当x≥4π时，≥>1>sin
x，此时两图象无交点；
当0＝，从而当4π>x>0时，有3个交点．由对称性知，当x<0时，有3个交点．加上x＝0处的交点，一共有7个交点．
[答案] 7
2．利用三角函数图象位置求参数
[典例] 方程sin＝在[0，π]上有两实根，求实数m的取值范围．
[解析] 作出y1＝sin，y2＝的图象，如图，由图象可知，要使y1＝sin，y2＝在区间[0，π]上有两个不同的交点，应满足≤<1，即≤m<2.
故m的取值范围为[，2)．
PAGE1．3 三角函数的诱导公式(一)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用．2.理解诱导公式的推导过程．3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象
授课提示：对应学生用书第15页
[基础认识]
知识点 诱导公式二、三、四
阅读教材P23～24，思考并完成以下问题
如果已知α的函数值，可否求出π＋α、π－α及－α的函数值？
(1)给定一个角α，π－α的终边与α终边有什么关系？
提示：关于y轴对称．
(2)π＋α与α的终边有什么关系？
提示：关于原点对称．
(3)－α与α的终边有什么关系？
提示：关于x轴对称．
(4)若α＝，则π＋α＝π，那么sinπ，cosπ，tanπ与的函数值有什么关系？
提示：利用三角函数线可得sinπ＝－sin，cosπ＝－cos，tanπ＝tan.
(5)若α＝，则π－α＝π，那么sinπ，cosπ，tanπ与的函数值有什么关系？
提示：sinπ＝sin，cosπ＝－cos，tanπ＝－tan.
(6)若α＝，则－α＝－.sin，cos，
tan与的函数值有什么关系？
提示：sin＝－sin，cos＝cos，tan＝－tan.
知识梳理 (1)
公式二
公式三
公式四
sin(π＋α)＝－sin
α
sin(－α)＝－sin
α
sin(π－α)＝sin
α
cos(π＋α)＝－cos
α
cos(－α)＝cos
α
cos(π－α)＝－cos
α
tan(－α)＝－tan
α
tan(π－α)＝－tan
α
tan(π＋α)＝tan
α
(2)共同特点(语言叙述)
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
思考 公式中的α是任意角可以吗？
提示：对任意角都成立．
[自我检测]
1．已知tan
α＝4，则tan(π－α)等于( )
A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π
答案：C
2．sin
585°的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
授课提示：对应学生用书第16页
探究一 已知角，利用诱导公式求值
[教材P24例1]方法步骤：选用合适公式化为锐角的三角函数值．
[例1] 求下列各式的值：
(1)sin·cos·tan；
(2)sin(－1
920°)＋cos(－1
560°)．
[解析] (1)原式＝sin·cos·tan
＝sin·cos·tan
＝sin·cos·tan
＝··tan
＝××1＝.
(2)原式＝－sin
1
920°＋cos
1
560°
＝－sin(360°×5＋120°)＋cos(360°×4＋120°)
＝－sin(180°－60°)＋cos(180°－60°)
＝－sin
60°－cos
60°＝－－＝－.
方法技巧 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角转化为0°到360°之间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
跟踪探究 1.计算sin
1
320°－tan(－945°)．
解析：∵sin
1
320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin
240°＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－.
tan(－945°)＝－tan
945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan
225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.
∴sin
1
320°－tan(－945°)＝－－(－1)＝1－.
探究二 已知三角函数值，求其他三角函数值
[教材P29B组第2题]已知sin(π＋α)＝－，计算sin(5π－α)的值．
解析：由sin(π＋α)＝－sin
α，
∴sin
α＝，
sin(5π－α)＝sin(4π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin
α＝.
[例2] 已知cos(75°＋α)＝，α为第三象限角，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值为________．
[解析] cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．
又cos(75°＋α)＝，α为第三象限角，
故sin(75°＋α)＝－＝－，
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－＋.
[答案]
方法技巧 (1)解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
跟踪探究 2.已知cos＝，求cos－sin2的值．
解析：∵cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2
＝1－＝，
∴cos－sin2
＝－－＝－.
探究三 利用诱导公式化简
[教材P25例2]方法步骤：逐个三角函数依次化简，然后代入化简．
[例3] 化简下列各式：
(1)；
(2).
[解析] (1)原式＝
＝＝－＝－tan
α.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝－1.
方法技巧 三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan.
跟踪探究 3.化简下列各式：
(1)；
(2).
解析：(1)原式＝
＝
＝
＝－1.
(2)原式＝＝＝tan
α.
授课提示：对应学生用书第17页
[课后小结]
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
其程序如下：
即：负化正，大化小，化到锐角为终了．
2．诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
3．化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
[素养培优]
1．分类讨论思想在化简求值中的应用
在利用诱导公式进行三角函数式的化简、求值时，应注意公式中符号的选项，运用公式时，把角α看成锐角，如果出现kπ±α(k∈Z)的形式，需对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限．
[典例] 化简cossin(k∈Z)．
[解析] (分类讨论)
当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝cossin
＝－cossin＝－cossin
＝－cossin＝－×＝－.
当n＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝cossin
＝cossin＝－cossin
＝－×＝－.
∴原式＝－.
2．函数思想在化简求值中的应用
化简、求值时，借助函数，利用函数性质来转化．
[典例] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin
x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B. C．0 D.
[解析] ∵f(x＋π)＝f(x)＋sin
x，
∴f＝f＋sin
＝f＋sin＋sin
＝f＋sin＋sin＋sin.
∵∈[0，π)，∴f＝0，
∴f＝0＋sin＋sin＋sin
＝sin＋sin＋sin
＝sin－sin＋sin＝.
[答案] A
1．3 三角函数的诱导公式(二)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
发展逻辑推理应用数学抽象提升数学运算
授课提示：对应学生用书第18页
[基础认识]
知识点 诱导公式五、六
阅读教材P26，思考并完成以下问题
类比公式一～四可得sin、cos与α的函数值有什么关系？
(1)若α
为锐角，＋α的终边在第几象限？－α的终边与α的终边有什么关系？
提示：第二象限，关于y＝x对称．
(2)若α＝终边上有点，则sin＝________，cos＝________，与α的函数值有什么关系？
提示：sin＝sin＝cos
α＝.
cos＝cos＝－sin
α＝－.
(3)若α＝终边上有点，则sin＝________，cos＝________．
提示：sin＝sin＝cos＝.
cos＝cos＝sin＝.
知识梳理 (1)诱导公式五sin＝cos__α，
cos＝sin__α．
诱导公式六sin＝cos__α，
cos＝－sin__α．
(2)公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
(3)sin＝－cos__α，cos＝－sin__α，
sin＝－cos__α，cos＝sin__α．
[自我检测]
1．已知sin
α＝，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
答案：C
2．若cos(2π－α)＝，则sin等于( )
A．－
B．－
C.
D．±
答案：A
授课提示：对应学生用书第18页
探究一 利用诱导公式化简、求值
[教材P27例4]方法步骤：利用公式一～六化简每个三角函数．
[例1] (1)已知sin＝，则cos的值是________．
[解析] 因为＋＝，
所以cos＝cos＝sin
＝.
[答案]
(2)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．
[解析] 法一：因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ<θ－<2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－.
法二：因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，
所以tan＝＝＝－＝－.
[答案] －
(3)化简：.
[解析] 原式＝＝＝tan
α.
方法技巧 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
延伸探究 1.将本例(1)改为：已知sin＝，则cos的值为________．
解析：cos＝cos＝sin＝.
答案：
2．将本例(2)改为＋＝________．
解析：原式＝＋＝－sin
α＋sin
α＝0.
答案：0
探究二 利用诱导公式证明恒等式
[教材P26例3]方法步骤：利用诱导公式化简的方法．
[例2] 在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cossintan(C－π)<0，求证：
△ABC为钝角三角形．
[证明] (1)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，
∴＝－，
∴cos＝cos＝sin，
∴cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.
(2)若cossintan(C－π)<0，
则(－sin
A)(－cos
B)tan
C<0，即sin
Acos
Btan
C<0.
∵在△ABC中，0A>0，
∴或∴B为钝角或C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
方法技巧 证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
跟踪探究 1.设tan＝m，
求证：＝.
证明：法一：左边＝
＝＝
＝＝右边，所以原等式成立．
法二：由tan＝m，得tan＝m，
左边＝
＝
＝＝＝＝右边，所以原等式成立．
探究三 诱导公式的综合应用
[教材P29B组第2题]方法步骤：选用合适的诱导公式化简求值．
[例3] 是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解析] 假设存在角α，β满足条件，
由题意得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴cos2α＝，∴cos
α＝±.
又α∈，∴cos
α＝.
由cos
α＝，cos
α＝cos
β，
得cos
β＝.
∵β∈(0，π)，∴β＝.
∴sin
β＝，
结合①可知sin
α＝，则α＝.
故存在α＝，β＝满足条件．
方法技巧 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
跟踪探究 2.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan
A－sin
A的值．
解析：(1)f(α)＝＝cos
α.
(2)因为f(A)＝cos
A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin
A＝＝，
所以tan
A＝＝，
所以tan
A－sin
A＝－＝.
授课提示：对应学生用书第19页
[课后小结]
1．这六组诱导公式可归纳为k·±α(k∈Z)的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，当k为偶数时，得角α的同名三角函数值，当k为奇数时，得角α的余名三角函数值，然后前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．
2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成内的三角函数值”这种方式求解．
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
3．诱导公式在△ABC中的变形
在△ABC中，常用到以下结论：
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos
C，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan
C，
sin＝sin＝cos，
cos＝cos＝sin
.
[素养培优]
1．根据“π”的系数讨论不全致解题不完备
[典例] 化简：sin－cos，k∈Z.
易错分析 此题易错于只对n为奇数，偶数两种情况讨论，还有其他情况仍符合诱导公式．
自我纠正
[解析] ①当n＝4k时(k∈Z)，
原式＝sin－cos
＝sin－cos＝sin－cos＝sin－cos＝sin－sin＝0.
②当n＝4k＋1时，
原式＝sin－cos＝sin－cos＝cos－cos＝0.
③当n＝4k＋2时，
原式＝sin－cos＝－sin＋sin＝0.
④当n＝4k＋3时，
原式＝sin－cos＝sin＋cos＝－cos＋cos＝0.
综上，sin－cos＝0.
2．忽视角的隐含范围丢解或增解
[典例] (1)在△ABC中，若sin(B＋C)＝sin(π－B)，cos(B＋C)＝cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
易错分析 此题易忽视角为三角形内角的隐含条件致多解．
自我纠正
[解析] 由已知，得sin
A＝sin
B，cos
A＝cos
B，
两式平方相加，得sin2A＋3cos2A＝2，即2cos2A＝1，
∴cos
A＝±.
若cos
A＝－，则cos
B＝－，此时A，B均为钝角，不符合题意．
∴cos
A＝，∴cos
B＝cos
A＝，
∴A＝，B＝，C＝π－(A＋B)＝.
(2)已知cos＝cos，sin＝－sin，0<α<π，0<β<π，求α，β.
易错分析 此题易忽视范围，而只认为为“锐角”而少解．
自我纠正
[解析] 由已知得sin
α＝sin
β，cos
α＝
cos
β.
两式平方相加得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，∴sin2α＝，
又0<α<π，∴sin
α＝，则α＝或.
当α＝时，cos
β＝cos
α＝.又0<β<π，∴β＝.
当α＝时，cos
β＝cos
α＝－.又0<β<π，∴β＝.
综上可得，α＝，β＝或α＝，β＝.
3．公式变换致错
[典例] 设f(sin
x)＝3－cos
2x，则f(cos
x)＝( )
A．3－cos
2x B．3－sin
2x
C．3＋cos
2x
D．3＋sin
2x
易错分析 正余弦关系变换出错，易错选为其他答案．
自我纠正
[解析] ∵cos
x＝sin
∴f(cos
x)＝f
＝3－cos
2＝3－cos(π－2x)＝3＋cos
2x.选C.
[答案] C
PAGE1．2.2 同角三角函数的基本关系
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2.理解同角三角函数的基本关系式．3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第13页
[基础认识]
知识点 同角三角函数的基本关系式
阅读教材P18～19，思考并完成以下问题
利用三角函数定义：sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝.可发现sin2α与cos2α之间、tan
α与sin
α、cos
α间有什么关系？
(1)计算①sin230°＋cos230°，②sin290°＋cos290°.
提示：值都是1.
(2)利用三角函数的定义，可得出sin2α＋cos2α＝______．
提示：x2＋y2＝1.
(3)利用三角函数线，可得出sin2α＋cos2α＝______．
提示：|PM|2＋|OM|2＝|OP|2＝1.
(4)利用三角函数定义，可得出tan
α与sin
α、cos
α的关系．
提示：tan
α＝＝.
知识梳理 同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan__α＝(α≠kπ＋，k∈Z)．
(3)由sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α．
(4)由tan
α＝可得sin
α＝tan__α·cos__α，
cos
α＝.
[自我检测]
1．若sin
α＝，且α是第二象限角，则tan
α的值为( )
A．－ B. C．± D．±
答案：A
2．已知sin
α＝，tan
α＝－，则cos
α＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
授课提示：对应学生用书第13页
探究一 利用同角三角函数的关系式求值
[教材P19例6]方法步骤：(1)确定α所在象限；
(2)代入公式计算．
角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
[例1] (1)已知tan
α＝，且α∈，则sin
α的值是( )
A．－ B. C. D．－
[解析] ∵tan
α＝，∴＝，即cos
α＝2sin
α.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝，
又∵α∈，∴sin
α<0，
∴sin
α＝－.
[答案] A
(2)若sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，则sin2θ－cos2θ＝________．
[解析] ∵sin
θ＋cos
θ＝，∴(sin
θ＋cos
θ)2＝，
∴sin
θcos
θ＝－.
∵θ∈(0，π)，∴cos
θ<0，
∴(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sinθcos
θ＝，
∴sin
θ－cos
θ＝，故sin2θ－cos2θ＝×＝.
[答案]
方法技巧 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin
α，cos
α，tan
α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α的等价转化，分析解决问题的突破口．
延伸探究 1.将本例(1)改为：若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：因为sin
α＝－，且α为第四象限角，
所以cos
α＝＝＝，
所以tan
α＝－，故选D.
答案：D
2．将本例(2)改为：已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，则tan
θ＝________．
解析：法一(平方关系)：因为sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝－.
由根与系数的关系，知sin
θ，cos
θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
因为θ∈(0，π)，所以sin
θ>0，cos
θ<0.
所以sin
θ＝，cos
θ＝－.所以tan
θ＝＝－.
法二：(方程思想)：解方程组得
或(舍)．故tan
θ＝－.
答案：－
角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
[例2] 已知cos
α＝－，求13sin
α＋5tan
α的值．
[解析] 法一：(平方关系)∵cos
α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
(1)若α是第二象限角，
则sin
α＝＝＝，
tan
α＝＝＝－，
故13sin
α＋5tan
α＝13×＋5×＝0.
(2)若α是第三象限角，则sin
α＝－＝－＝－，tan
α＝＝＝，
此时，13sin
α＋5tan
α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin
α＋5tan
α＝0.
法二：(切化弦)∵tan
α＝，
∴13sin
α＋5tan
α＝13sin
α＝13sin
α＝0.
方法技巧 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪探究 1.已知tan
α＝－，求sin
α，cos
α的值．
解析：∵，
∴sin
α＝±.
当α在第二象限时，sin
α＝，cos
α＝＝＝－；
当α在第四象限时，sin
α＝－，cos
α＝＝＝.
探究二 齐次式求值问题
[教材P22第3题]已知tan
α＝2，求的值．
解析：＝＝＝3.
[例3] 已知tan
α＝2，求下列代数式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋cos2α.
[解析] (1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
方法技巧 已知角α的正切求关于sin
α，cos
α的齐次式的方法
(1)关于sin
α，cos
α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin
α，cos
α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cos
α的n次幂，其式子可化为关于tan
α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan
α的式子，再代入求值．
延伸探究 3.此题改为：若已知＝.
求(1).
(2)sin2α－3sin
αcos
α＋1.
(3)＋.
解析：由＝得tan
α＝2.
∴(1)＝＝＝.
(2)sin2α－3sin
αcos
α＋1＝
＝＝＝.
(3)＋＝＝＝2tan2α＋2＝2×22＋2＝10.
探究三 三角函数式的化简与证明
[教材P19例7]方法步骤：从左证到右．
[例4] (1)化简：；
[解析] 原式＝
＝
＝＝＝1.
(2)求证：＝.
法一：(“1”的代换)
左边＝
＝
＝
＝＝＝右边，
∴等式成立．
法二：(切化弦)右边＝＝
＝
＝
＝＝＝左边．
∴等式成立．
方法技巧 1.三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪探究 2.(1)化简：
；
解析：原式＝
＝＝
＝－1.
(2)求证：＝.
证明：∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，∴原等式成立．
授课提示：对应学生用书第15页
[课后小结]
1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan
8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin
α或cos
α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin
α＋cos
α，sin
αcos
α，sin
α－cos
α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：
(1)“1”的代换；
(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；
(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；
(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．
[素养培优]
忽略角度范围，开方时忽略符号，造成增解或丢解
[典例] 若tan
α·sin
α<0，化简
＋.
易错分析 开方时不注意正、负，致错解或增解．
自我纠正
[解析] 由于tan
α·sin
α<0，则tan
α，sin
α异号，
∴α在第二或第三象限，∴cos
α<0，
原式＝＋
＝＋
＝＋＝－＝－.
PAGE1．2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.
提升数学运算运用直观想象
授课提示：对应学生用书第7页
[基础认识]
知识点一 任意角的三角函数
阅读教材P11～12，思考并完成以下问题
(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
那么sin
α、cos
α、tan
α如何用x，y或r表示？
提示：sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝＝.
(2)对确定的锐角α，sin
α，cos
α，tan
α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？
提示：不变．三角形相似，对应边成比例．
(3)当取|OP|＝1时，sin
α，cos
α，tan
α的值怎样表示？
提示：sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝.
(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin
α，cos
α，tan
α的表示变化吗？
提示：不变．仍是sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝.
知识梳理
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.
正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin
α
R
cos
α
R
tan
α
α≠kπ＋，k∈Z
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
阅读教材P13，思考并完成以下问题
根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
(1)当α的终边在第一象限时，P(x，y)．
提示：sin
α＝y>0，cos
α＝x>0，tan
α＝>0
(2)当α的终边在第二象限时，P(x，y)．
提示：sin
α＝y>0，cos
α＝x<0，tan
α＝<0.
(3)当α的终边在第三象限时，P(x，y)．
提示：sin
α＝y<0，cos
α＝x<0，tan
α＝>0.
(4)当α的终边在第四象限时，P(x，y)．
提示：sin
α＝y<0，cos
α＝x>0，tan
α＝<0.
知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
知识点三 诱导公式一
阅读教材P14，思考并完成以下问题
当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？
提示：sin
390°＝sin(360°＋30°)，
sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)，
故30°、390°、－330°终边相同．
知识梳理 诱导公式一
sin(α＋k·2π)＝sin
α，
cos(α＋k·2π)＝cos
α，
tan(α＋k·2π)＝tan
α，
其中k∈Z.
(1)当α的终边在y轴正半轴时，P(0，1)，则α＝＋2kπ，k∈Z．
sin
α＝sin＝sin
＝1．
cos
α＝cos＝cos
＝0．
(2)当α的终边在y轴负半轴时，P(0，－1)，
则α＝π＋2kπ，k∈Z．
sin
α＝sin＝sinπ＝－1．
cos
α＝cos＝cosπ＝0．
(3)当α的终边在x轴正半轴时，P(1，0)，
则α＝2kπ，k∈Z．
sin
α＝sin(2kπ＋0)＝sin
0＝0．
cos
α＝cos(2kπ＋0)＝cos
0＝1．
tan
α＝tan(2kπ＋0)＝tan
0＝0.
(4)当α的终边在x轴负半轴时，P(－1，0)，
则α＝2kπ＋π，k∈Z．
sin
α＝sin(2kπ＋π)＝sin
π＝0．
cos
α＝cos(2kπ＋π)＝cos
π＝－1．
tan
α＝tan(2kπ＋π)＝tan
π＝0．
[自我检测]
1．若α是第二象限角，则点P(sin
α，cos
α)在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
2．α的终边与单位圆交于点，则sin
α＝______，cos
α
＝________．
答案： －
授课提示：对应学生用书第8页
探究一 任意角的三角函数的定义及应用
[教材P12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值．
角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
[例1] (1)已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos
θ＝x，求sin
θ，tan
θ.
[解析] 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos
θ＝＝.
又∵cos
θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，
此时sin
θ＝＝，
tan
θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，
此时sin
θ＝＝，
tan
θ＝＝－3.
(2)已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin
α＋cos
α的值．
[解析] r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，
所以2sin
α＋cos
α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin
α＝＝－，cos
α＝＝.
所以2sin
α＋cos
α＝－＋＝－1.
角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
[例2] 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin
α＋的值．
[解析] 由题意知，cos
α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，
r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin
α＝＝＝－，
＝＝＝，
∴10sin
α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin
α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin
α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综上所述，10sin
α＋＝0.
方法技巧 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin
α＝，cos
α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪探究 1.已知点M是圆x2＋y2＝1上一点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos
α和tan
α的值．
解析：设点M的坐标为(x1，y1)．
故题意可知，sin
α＝－，即y1＝－.
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，即x＋＝1，
解得x1＝或x1＝－.
∴cos
α＝，tan
α＝－1，或cos
α＝－，tan
α＝1.
2．求的正弦、余弦、正切值．
解析：在直角坐标系中，∠AOB＝，P为终边上一点，可设为(1，1)，则OP＝.
∴sin＝＝，cos
＝＝，tan＝＝1.
探究二 三角函数值符号的判断
[教材P13例3]方法步骤：象限?符号
[例3] (1)若角θ同时满足sin
θ<0且tan
θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] sin
θ<0，则θ在第三、四象限或y轴的负半轴．
tan
θ<0，则θ在第二、四象限或x轴的负半轴．
其公共象限为第四象限，故选D.
[答案] D
(2)判断下列各式的符号：
①tan
191°－cos
191°；②sin
2·cos
3·tan
4.
[解析] ①因为191°是第三象限角；
所以tan
191°>0，cos
191°<0.
所以tan
191°－cos
191°>0.
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．
所以sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0.
所以sin
2·cos
3·tan
4<0.
(3)求函数y＝＋的值．
[解析] 当α在第一象限时，y＝＋＝2.
当α在第二象限时，y＝1－1＝0.
当α在第三象限时，y＝－1－1＝－2.
当α在第四象限时，y＝－1＋1＝0.
综上，y的值为0或－2或2.
方法技巧 三角函数值符号的判断问题
(1)由三角函数的定义可知sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键．
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
延伸探究 1.将本例(1)改为：若sin
αtan
α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：由sin
αtan
α<0可知sin
α，tan
α异号，
得α是第二或第三象限角．
由<0可知cos
α，tan
α异号，
得α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
答案：C
2．将本例(3)改为：函数y＝＋＋的值域为________．
解析：当α是第一象限角时，sin
α，cos
α，tan
α均为正值，
∴＋＋＝3.
当α是第二象限角时，sin
α为正值，cos
α，tan
α为负值，
∴＋＋＝－1.
当α是第三象限角时，sin
α，cos
α为负值，tan
α为正值，
∴＋＋＝－1.
当α是第四象限角时，sin
α，tan
α为负值，cos
α为正值，
∴＋＋＝－1.
综上可知，函数的值域为{－1，3}．
答案：{－1，3}
探究三 诱导公式一的应用
[教材P14例5]方法步骤：(1)将角改写为“2kπ＋α”的形式，α∈(0，2π)．
(2)利用公式求值．
[例4] 求下列各式的值：
(1)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)sin
750°；
(2)sin＋cos·tan
4π.
[解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
方法技巧 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
跟踪探究 3.求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin
810°＋tan
1
125°＋cos
420°.
解析：(1)原式＝cos＋tan＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin
90°＋tan
45°＋cos
60°＝1＋1＋＝.
授课提示：对应学生用书第10页
[课后小结]
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角的大小有关．
一般地结论是：α的终边上点P(x，y)：
首先求|OP|＝r＝，那么sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0)．
2．对公式一的理解
实质
终边相同的角的同名三角函数值相等
结构特征
1.公式的左右两边为同名三角函数2.公式左边的角为α＋2kπ，右边的角为α
作用
把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)间的角的三角函数值
[素养培优]
1．不讨论终边(点)的位置而致错
[典例] 已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
易错分析 此题只认为α的终边在第一象限而丢解．
自我纠正
[解析] 法一：(单位圆法)设直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得
①当角α的终边在第一象限时，cos
α＝x1＝，
sin
α＝y1＝，tan
α＝＝2.
②当角α的终边在第三象限时，
cos
α＝x2＝－，sin
α＝y2＝－，
tan
α＝＝2.
法二：(定义法)在直线y＝2x上任取一点P(t，2t)(t≠0)，则r＝＝|t|.
①若t>0，则r＝t，从而sin
α＝＝，
cos
α＝＝，tan
α＝＝2.
②若t<0，则r＝－t，
从而sin
α＝＝－，cos
α＝＝－，
tan
α＝＝2.
2．数学计算失误
[典例] 已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．
易错分析 此题要先求|OP|时出错，认为|OP|＝5t.
自我纠正
[解析] 因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，
所以r＝|OP|＝＝5|t|.
当t>0时，α是第四象限角，r＝|OP|＝5t，
sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，tan
α＝＝＝－.
当t<0时，α是第二象限角，r＝|OP|＝－5t，
sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝－.
3．忽视象限符号致错
[典例] 若tan
α>0，则( )
A．sin
2α>0
B．cos
α>0
C．sin
α>0
D．cos
2α>0
易错分析 判断不出α、2α所在象限而盲目选答案．
自我纠正
[解析] ∵tan
α>0，∴α∈(k∈Z)，
∴α是第一、三象限角．
∴sin
α，cos
α都可正、可负，排除B，C.
而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，
∴2α是第一、二象限角或终边在y轴正半轴上的角，
∴sin
2α>0，而cos
2α可正、可负或者为零，故D不正确．
[答案] A
4．忽视公式一的特征致错
[典例] cosπ的值为________．
易错分析 构造不出公式一的特征而用公式，即
cosπ＝cos＝cos＝.
自我纠正
[解析] cosπ＝cos＝cosπ，
由于π在第三象限角平分线上，设点P(－1，－1)，
∴cosπ＝－.
[答案] －
1．2.1 任意角的三角函数(二)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第10页
[基础认识]
知识点 三角函数线
阅读教材P15～17，思考并完成以下问题
在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin
α，cos
α，tan
α与MP，OM，AT的关系吗？
当α的终边不在坐标轴上时
(1)以M为起点，P为终点，规定当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正方向且表示正值，当MP与y轴反向时，MP的方向为负方向且表示负值，那么，sin
α可否用线段MP表示？
提示：MP＝y＝sin
α.
(2)如果以O为起点，M为终点，规定OM方向与x轴同向时，表示正值，OM方向与x轴方向反向时，表示负值，那么，cos
α与OM有什么关系？
提示：OM＝x＝cos
α.
(3)如果以A为起点，T为终点，AT方向与y轴方向相同时表示正值，AT方向与y轴方向相反时表示负值，那么tan
α与AT有什么关系？
提示：tan
α＝AT＝.
知识梳理 如图为角α的三种三角函数，则sin
α＝MP，cos
α＝OM，tan
α＝AT.
有向线段MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线．
思考 有向线段MP与线段MP有什么不同？
提示：有向线段MP就是由M指向P，规定了起点和终点，有方向．
线段MP只是两点M、P间的线段，无方向．
[自我检测]
1．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线为PM，正切线为A′T′
B．正弦线为MP，正切线为A′T′
C．正弦线为MP，正切线为AT
D．正弦线为PM，正切线为AT
答案：C
2．当x∈[0，2π]时，不等式sin
x≥的解集为______．
答案：
授课提示：对应学生用书第11页
探究一 三角函数线及其作法
[例1] 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－；(2).
[解析]
正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
方法技巧 三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.
跟踪探究 (1)作出－的正弦线；
(2)作出的正切线．
解析：(1)作出－的正弦线MP，如图所示．
(2)作出π的正切线AT如图所示．
探究二 利用函数线比较大小
[教材P69第11题]比较大小：sin
378°21′，tan1
111°.
解析：sin
378°21′＝sin
18°21′
tan
1
111°＝tan
31°，
tan
31°>sin
31°>sin
18°21′，
故tan
1
111°>sin
378°21′.
[例2] 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)tan与tan.
[解析] 如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin＝MP，tan＝AT；
的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin＝M′P′，tan＝AT′，
由图可见，MP>M′P′>0，AT所以(1)sin>sin，
(2)tan方法技巧 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．
延伸探究 1.本例改为比较cosπ和cosπ的大小．
解析：由例题解析图可知，cosπ＝OM，cosπ＝OM′.
且|OM|<|OM′|，又OM<0，OM′<0，∴OM′∴cosπ>cosπ.
探究三 利用三角函数线解不等式(组)
角度1 利用三角函数线解不等式
[例3] 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin
α≥；
(2)tan
α≥－1.
[解析] (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为.
(2)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT＝－1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，如图所示，所以α的取值集合是.
角度2 利用三角函数线求三角函数定义域
[例4] 求函数y＝lg＋的定义域．
[解析] 由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
角度3 利用三角函数线证明三角不等式
[例5] 若0<α<，证明：sin
α<αα.
[证明] 如图所示，在单位圆中画出三角函数线，连接AP，
∵S△OAP∴OA·MP即MP∴sin
α<αα.
方法技巧 1.利用三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边范围．
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．
(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．
2．求三角函数定义域的方法
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
延伸探究 2.将本例3变为：解不等式cos
α≤－.
解析：作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为
.
3．将本例4变为：求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域．
解析：∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－x<.如图，
∴x∈∪(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
∴函数的定义域为(k∈Z)．
授课提示：对应学生用书第12页
[课后小结]
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了．
4．当α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时α的正弦值、正切值为0，余弦值为±1.
当α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，α的余弦值为0，正切值不存在，正弦值为±1.
[素养培优]
1．比较三角函数大小，忽视三角函数线的方向
[典例] 用三角函数线比较cos
1
255°与cos
1
600°的大小．
易错分析 此题易错有两点，一是不将角度化为0°～360°，使角的象限找错；二是不考虑余弦线的方向，而只看线段长度．
自我纠正
[解析] cos
1
255°＝cos(3×360°＋175°)＝cos
175°，
cos
1
600°＝cos(4×360°＋160°)＝cos
160°.
如图，作175°、160°的余弦线OM1、OM2，
∴OM1∴cos
175°160°，
即cos
1
255°1
600°.
2．利用函数线求角的区域、角的方向转错
[典例] 已知－≤cos
θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
易错分析 此题易错有三点，一是把角的终边方向转错，使角区域求错，错写为－<θ<或π<θ<－π；二是角的终边不分虚实；三是丢掉2kπ.
自我纠正
[解析] 如图，在坐标中作出，－，π，－π的终边，OP1，OP2，OP3，OP4.适合题意的θ是从OP1逆时针转到OP3或从OP4逆时针转到OP2.故θ的范围为
.
PAGE1.1.2 弧度制
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
应用数学抽象提升数学运算应用数学建模
授课提示：对应学生用书第4页
[基础认识]
知识点一 角度制与弧度制
阅读教材P6－8，思考并完成以下问题
在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？还有不同的度量方法吗？
(1)半径为r，圆心角为90°的弧长是多少？与半径的比值是多少？
提示：弧长是πr、＝π.
(2)将半径变为2r，其结果有什么变化？有什么规律？
提示：弧长变大为πr，其比值＝不变，圆心角一定，弧长与半径的比值是定值．
知识梳理 (1)角度制和弧度制
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
知识点二 角度制与弧度制的换算
思考并完成以下问题
角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
(1)由知识点一可知，90°的圆心角的弧度数为多少？
提示：.
(2)180°的弧度数怎么换算？
提示：＝＝π.
(3)360°的弧度数怎么换算？
提示：＝＝2π.
知识梳理 (1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π
rad
2π
rad＝360°
180°＝π
rad
π
rad＝180°
1°＝
rad≈0.017__45
rad
1
rad＝°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
π
π
2π
思考 在弧度制下，角的集合与实数集之间有什么样的对应关系？
提示：一一对应．
知识点三 扇形的弧长及面积公式
思考并完成以下问题
(1)半径为r，的圆心角对的弧长为多少？扇形面积为多少？
提示：r，r2.
(2)半径为r，π的圆心角对的弧长为多少？扇形面积为多少？
提示：πr，r2.
(3)半径为r，的圆心角对的弧长为多少？扇形面积为多少？
提示：r，r2.
知识梳理 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝αR2＝lR
[自我检测]
1．若θ＝－5，则角θ的终边在( )
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
答案：D
2．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
答案：C
授课提示：对应学生用书第5页
探究一 角度与弧度的互化
[教材P7例1、例2]方法步骤：根据π＝180°进行换算．
[例1] 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
[解析] (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
方法技巧 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π
rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．
跟踪探究 1.把下列角度化成弧度：
(1)－150°＝________；(2)2
100°＝________；
(3)11°15′＝________；(4)112°30′＝________．
答案：(1)－ (2)π (3) (4)
2．把下列弧度化成角度：
(1)＝________；(2)－＝________；
(3)＝________；(4)－＝________．
答案：(1)30° (2)－300° (3)81° (4)－75°
探究二 用弧度表示角的集合
[教材P9习题第4题]用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合．
解析：第一象限角{α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}．
第二象限角{α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z}．
第三象限角{α|2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z}．
第四象限角{α|2kπ－<α<2kπ，k∈Z}．
[例2] 用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)，如图所示．
[解析] (1)330°角和60°角的终边分别对应－和，所表示的区域位于－与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为
.
(2)210°角和135°角的终边分别对应－和，所表示的区域位于－和之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为
.
(3)30°＝，210°＝，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为
∪
＝
∪
＝
.
方法技巧 根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
跟踪探究 3.已知角α＝2
010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解析：(1)2
010°＝2
010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ<0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
探究三 扇形的弧长及面积公式的应用
[教材P69第2题]在半径为15
cm的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积．(π取3.14，计算结果保留两个有效数字)
解析：已知r＝15
cm，θ＝54°＝×54＝，
∴l＝×15≈14.13(cm)．
∴扇形的周长为l＋2r≈14.13＋2×15≈44(cm)，
面积S＝lr≈×14.13×15≈1.1×102(cm2)．
[例3] (1)已知扇形的周长为4
cm，当它的半径为______，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r，则
2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1.
∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.
[答案] 1
cm 2 1
cm2
(2)一个扇形的面积为4
cm2，周长为8
cm，求扇形的圆心角及相应的弦长．
[解析] 如图，设扇形的半径为R，圆心角为α，
则有
解得取AB的中点C，连接OC，
则OC⊥AB，且∠AOC＝＝1，
∴AB＝2Rsin＝4sin
1.
故所求的圆心角为2弧度，其弦长为4sin
1.
方法技巧 扇形弧长、面积问题的解决方法
(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：
一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．
(2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解．
提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于R的二次函数，但要注意R的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0跟踪探究 4.已知扇形AOB的周长为10
cm.
(1)若这个扇形的面积为4
cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
(1)依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8
cm，此时，θ＝8
rad>2π
rad，舍去；
当r＝4时，l＝2
cm，此时，θ＝＝
rad.
(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2
＝－(r－)2＋(0当r＝时，S取得最大值，这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2
rad.
授课提示：对应学生用书第6页
[课后小结]
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π
rad”这一关系式．
易知：度数×
rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．
4．用度和弧度表示角时，二者不能混用，单位要统一．如不写为α＝2kπ＋30°，k∈Z.
[素养培优]
1．角度制与弧度制混用
[典例] 把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π)的形式为( )
A．－3π－π
B．－4π＋150°
C．－3kπ－30°
D．－4π＋π
易错分析 不理解2kπ＋α的隐含条件：π的系数为偶数2k，α有范围0≤α<2π，再者度量单位混用．
自我纠正
[解析] －570°＝－π＝－4π＋π，故选D.
[答案] D
2．用弧度表示角与实数不会对应
[典例] 集合A＝{α|－240°<α<240°}，第二象限角组成集合B，求A∩B.
易错分析 用坐标系表示象限角，易丢失部分交集．
自我纠正
[解析] 集合A＝，集合B＝，在数轴上表示集合A与集合B，如图．
易知A∩B＝.
PAGE1．1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解任意角的概念．2.掌握象限角及终边相同角的概念及其表示．3.会判断角的终边所在的象限.
应用直观想象应用数学抽象提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第1页
[基础认识]
知识点一 角的相关概念
阅读教材P2－4，思考并完成以下问题
初中学习角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．包括锐角、钝角、直角、平角、周角，范围是0°～360°.那么，你注意到射线的旋转方向了吗？
(1)假如手表慢了5分钟，怎样将它校准？
提示：将分针顺时针拨动5分钟，即顺时针转动30°.
(2)假如手表快了1.25小时，怎样将它校准？
提示：将分针逆时针转动一圈再转动三个数字，即逆时针转动450°.
知识梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
思考 (1)上述问题探究(1)中，分针转了多少度？
提示：－30°.
(2)探究(2)中，分针逆时针转动了多少度？如果顺时针校准，分针转了多少度？
提示：450°，－3
870°.
知识点二 象限角
思考并完成以下问题
(1)把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
提示：可能在第一、二、三、四象限或坐标轴上．
(2)锐角、钝角、直角、平角、周角的终边分别在什么位置？
提示：第一象限、第二象限、y轴的正半轴、x轴的负半轴、x轴的正半轴．
(3)α＝－30°、β＝－120°、γ＝270°的终边在什么位置？
提示：α的终边在第四象限、β的终边在第三象限、γ的终边在y轴的负半轴．
知识梳理 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角．
知识点三 终边相同的角
思考并完成以下问题
(1)假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
提示：终边相同，相差720°、360°.
(2)与60°的终边相同的角能写出多少个？如何表示？
提示：无数个．可用60°＋k·360°，(k∈Z)表示．
(3)角的终边分别在x轴的正半轴、负半轴、y轴的正半轴、负半轴上的角如何表示？
提示：k·360°、k·360°＋180°、k·360°＋90°、k·360°＋270°.
知识梳理 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考 结合象限角的定义及终边相同角的表示，用集合表示出象限角．
提示：象限角的集合表示
角α的终边所在象限
集合表示
第一象限
{α|k·360°<α第二象限
{α|k·360°＋90°<α第三象限
{α|k·360°＋180°<α第四象限
{α|k·360°＋270°<α[自我检测]
1．判断正误
(1)经过1小时，时针转过30°.( )
(2)终边与始边重合的角是零角．( )
(3)小于90°的角是锐角．( )
(4)钝角是第二象限角．( )
(5)第二象限角是钝角．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案：C
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 任意角概念的理解
[例1] 下列说法：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④小于90°的角都是锐角．
其中错误的为________(错误说法的序号都填上)．
[解析] ①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，故①不正确．
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，故②正确．
③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，故③不正确．
④锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，故④不正确．
[答案] ①③④
方法技巧 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．
跟踪探究 1.下列说法：
①钝角都是第二象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角．
其中正确说法的序号为________．(把正确说法的序号都写上)
解析：①正确；②不正确，如－300°的终边在第一象限；③不正确，如0°或负角．
答案：①
探究二 终边相同的角
[教材P4～5例2、例3]方法步骤：先写出0°～360°内的角，再写出终边相同的角．
角度1 求与已知角终边相同的角
[例2] 在与角10
030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．
[解析] 与10
030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10
030°(k∈Z)，
(1)由－360°030°<0°，
得－10
390°030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°030°<360°，
得－10
030°670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10
030°<720°，得－9
670°≤k·360°<－9
310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
方法技巧 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪探究 2.写出与α＝－1
910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．
解析：由终边相同的角的表示知，与角α＝－1
910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1
910°，k∈Z}．
∵－720°≤β<360°，
即－720°≤k·360°－1
910°<360°(k∈Z)，
∴3≤k<6(k∈Z)，故取k＝4，5，6.
当k＝4时，β＝4×360°－1
910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1
910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1
910°＝250°.
角度2 求终边在给定直线上的角的集合
[例3] 写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
[解析] 终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
方法技巧 求解终边在某条直线上的角的集合的思路
(1)若所求角β的终边在某条射线上，则其集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(2)若所求角β的终边在某条直线上，则其集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
延伸探究 1.将本题改为写出终边在直线y＝x上的角的集合．
解析：法一：终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．
综上，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
法二：如图，观察图形可知，终边在直线y＝x上的最小正角为60°，其终边每旋转180°便与直线重合，∴终边在y＝x上的角的集合为S＝{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}．
角度3 区域角的求解
[例4] 写出终边落在阴影部分的角的集合．
[解析] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即
{α|k·360°＋30°≤α方法技巧 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
若区域是对称的区域，两区域可合并．
延伸探究 2.将例4中区域改为如图所示的阴影，求终边落在阴影部分的角的集合．
解析：终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
∴终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
3．将例4中区域改为如图所示的阴影，求终边落在阴影部分的角的集合．
解析：在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
探究三 象限角及应用
[例5] (1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)，k∈Z，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°，k∈Z.所以180°－α为第一象限角．
[答案] A
(2)若α是第一象限角，问－α，2α，是第几象限角？
[解析] ∵α是第一象限角，∴k·360°<α①∵－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，
∴－α是第四象限角．
②∵2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α是第一、二象限角或终边在y轴非负半轴上的角．
③k·120°<法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，
n·360°<∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋120°<∴是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，
n·360°＋240°<∴是第三象限角，
综上可知：是第一、二或第三象限角．
法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一、二或第三象限角．
方法技巧 (1)判断象限角的步骤
①当0°≤α<360°时，直接写出结果；
②当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°<β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
(2)已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法
①用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨
论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角的终边所落在的区域．如此，角所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
延伸探究 4.在本例(1)中，90°－α是第几象限角．
解析：α是第二象限角，则－α为第三象限角．
∴90°－α为第四象限角．
5．在本例(2)中，是第几象限角．
解析：∵k·360°<α∴k·180°<当k为偶数时，为第一象限角．
当k为奇数时，为第三象限角．
授课提示：对应学生用书第4页
[课后小结]
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角；
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
(4)k∈Z这一条件不能少．
[素养培优]
1．角的集合间的关系
[典例] 设集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，C＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，D＝{β|β＝－135°＋k·360°，k∈Z}，E＝{α|α＝45°＋k·360°或α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则相等的集合是________．
[解析] 对于集合D，有β＝－135°＋k·360°＝－135°＋360°＋(k－1)·360°＝225°＋(k－1)·360°.∵k∈Z，∴k－1∈Z，即集合D可以表示为D＝{β|β＝225°＋n·360°，n∈Z}，∴B＝D.对于集合E，有α＝45°＋k·360°＝45°＋2k·180°或α＝225°＋k·360°＝45°＋180°＋2k·180°＝45°＋(2k＋1)·180°.由k∈Z，得2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，∴集合E可以表示为E＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}，∴C＝E.综上，相等的集合有B与D，C与E.
[答案] B与D，C与E
方法技巧 判断角的集合之间的关系一般有两种方法：一种方法是将各集合中表示角的式子化为同一种形式：这种方法要用到整数分类的有关知识；另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k赋值，并将角的终边画在坐标系中，直至重复出现相同位置的终边，根据各类集合中角的终边的情况，判断角的集合的关系．
2．角的对称问题
[典例] (1)若α，β两角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为________．
(2)已知角α，β的终边关于直线x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝________．
[解析] (1)因为α，β两角的终边在同一条直线上，所以α，β两角终边相同或互为反向延长线，即β与α或k·180°＋α(k∈Z)的终边相同，则β＝k·180°＋α，k∈Z.
(2)易知与－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的一个对应角为－45°＋15°＝－30°，∴β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
[答案] (1)β＝k·180°＋α，k∈Z
(2)－30°＋k·360°，k∈Z
规律方法
α与β的终边关系
α与β之间的关系
关于x轴对称
β＝－α＋k·360°(k∈Z)，即α＋β＝k·360°(k∈Z)
关于y轴对称
β＝180°－α＋k·360°(k∈Z)，即α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
关于原点对称
β＝α＋180°＋k·360°(k∈Z)，即β－α＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
关于直线y＝x对称
β＝90°－α＋k·360°(k∈Z)，即β＋α＝(4k＋1)·90°(k∈Z)
关于直线y＝－x对称
β＝－α－90°＋k·360°(k∈Z)，即β＋α＝(4k－1)·90°(k∈Z)
在一条直线上
β＝α＋k·180°(k∈Z)，即β－α＝k·180°(k∈Z)
互相垂直
β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)，即β－α＝(4k±1)·90°(k∈Z)
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