3．2 简单的三角恒等变换
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
提升数学运算发展逻辑推理应用数学抽象
授课提示：对应学生用书第80页
[基础认识]
知识点 半角公式
阅读教材P139～140，思考并完成以下问题
我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？
(1)根据上述结果，试用sin
α，cos
α表示sin，cos，tan.
提示：由sin
α＝±
，
cos
α＝±
中，将α换为得，
sin＝±
，cos＝±
.
(2)利用tan
α＝和二倍角公式又能得到tan与sin
α，cos
α怎样的关系？
提示：tan＝±
.
知识梳理 半角公式：
sin＝±__，
cos＝±__，
tan＝±__．
[自我检测]
1．若cos
α＝，α∈(0，π)，则cos的值为( )
A. B．－ C．± D．±
答案：A
2．已知2π<θ<4π，且sin
θ＝－，cos
θ<0，则tan的值等于( )
A．－3
B．3
C．－
D.
答案：A
授课提示：对应学生用书第80页
探究一 三角函数式的求值
[教材P139例1]方法步骤：用“整角”的函数值求“半角”的函数值．
[例1] 已知α为钝角，β为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，求cos与tan的值．
[解析] 因为α为钝角，β为锐角，sin
α＝，sin
β＝，所以cos
α＝－，cos
β＝，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.
因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<.
所以cos＝＝＝.
由0<<，得sin＝＝.
所以tan＝＝.
方法技巧 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
跟踪探究 1.已知cos
α＝－，且180°<α<270°，求tan的值．
解析：法一：∵180°<α<270°，∴90°<<135°，
∴tan<0，
∴tan＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<α<270°，
∴sin
α＝－
＝－＝－，
∴tan＝＝＝－2.
或tan＝＝＝－2.
探究二 三角恒等式的化简
[教材P146A组5(2)题]化简：sin
40°(tan
10°－)．
解析：原式＝sin
40°·
＝
＝－＝－＝－1.
[例2] 化简：(0<α<π)．
[解析] ∵tan＝，∴(1＋cos
α)tan＝sin
α.
又∵cos＝－sin
α，且1－cos
α＝2sin2，
∴原式＝＝
＝－.
∵0<α<π，∴0<<.
∴sin>0.
∴原式＝－2cos.
方法技巧 三角函数式化简的方法：
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中，“幂降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升幂．
跟踪探究 2.化简.
解析：
＝
＝＝＝1.
探究三 三角恒等式的证明
[教材P140例2]方法步骤：从左→右(右→左)，由繁→简．
[例3] 证明：＝.
[证明] 左边＝
＝
＝＝＝.
右边＝＝，
所以左边＝右边，
即等式成立．
方法技巧 证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪探究 3.求证：＝.
证明：要证原式，可以证明
＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan
2θ，
右边＝＝tan
2θ，
∴左边＝右边，
∴原式得证．
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
[教材P141例4]方法步骤：①设角度；②建关系；③化简求值．
[例4] 如图，现要在一块半径为1
m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式．
(2)求S的最大值及相应的θ角．
[解析] (1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E(图略)，则四边形QEDP为矩形．
由扇形半径为1
m，得PD＝sin
θ，OD＝cos
θ.
在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，MN＝OD－OE＝cos
θ－sin
θ，S＝·sin
θ＝sin
θcos
θ－sin2θ，θ∈.
(2)S＝sin
2θ－·
＝sin
2θ＋cos
2θ－
＝sin－.
∵θ∈，∴2θ＋∈，
∴sin∈，
∴当θ＝时，Smax＝(m2)．
方法技巧 此类题以角度为变量，利用几何性质、三角函数定义建立关系，然后化简，研究性质．
跟踪探究 4.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
解析：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin
α，
OB＝Rcos
α，
∴l＝OA＋OB＋AB＝R＋Rsin
α＋Rcos
α
＝R(sin
α＋cos
α)＋R＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，即当α＝时，△OAB的周长最大．
授课提示：对应学生用书第82页
[课后小结]
1．三角函数求值问题的解题思路
(1)“给角求值”问题一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如两角的和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”问题，即给出某些角的三角函数值，求另外一些三角函数的值，解决这类求值问题的关键是结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意相关各角的范围，或根据问题的具体特点，从变换已知条件和被求式的角度入手，进行双向变换，实现角度的统一，然后利用代入法将已知条件代入被求式，从而达到求值的目的．
2．化简三角函数式的基本思路
三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面．其基本方法是统一角和统一三角函数的名称．常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等．在具体实施的过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名称、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．
3．证明三角恒等式的基本思路
三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样，主要证明方法有：从左证到右，从右证到左，左右归一或变更命题．选择哪一种证法的依据是“化繁为简”．在确定了“化繁为简”的目标后，还应注意：
强化化异为同的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，寻找它们之间的联系，再利用三角公式进行恒等变换，使之相互转化，其常用方法用：直推法、代入法、换元法等．
[素养培优]
三角恒等变换“四种策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan
45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋
cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
[典例] 化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos
2α·cos
2β.
[解析] 法一：(从“角”入手，化复角为单角)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二：(从“名”入手，化异名为同名)
原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos
2α·cos
2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos
2α·cos
2β
＝cos2β－sin2α·cos
2β－cos
2α·cos
2β
＝cos2β－cos
2β
＝－cos
2β
＝－cos
2β＝.
法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos
2α·cos
2β
＝(1＋cos
2α·cos
2β－cos
2α－cos
2β＋1＋cos
2α·cos
2β＋cos
2α＋cos
2β)－cos
2α·cos
2β
＝＋cos
2α·cos
2β－cos
2α·cos
2β＝.
法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)
原式＝(sin
α·sin
β－cos
α·cos
β)2＋2sin
α·sin
β·cos
α·cos
β－cos
2α·cos
2β
＝cos2(α＋β)＋sin
2α·sin
2β－cos
2α·cos
2β
＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)
＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.
归纳总结 三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换．
PAGE3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第78页
[基础认识]
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
阅读教材P132～133，思考并完成以下问题
能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin
2α，cos
2α，tan
2α的公式吗？
(1)在公式Sα＋β中，如果β＝α，有怎样的结果？
提示：当β＝α时，sin(α＋β)＝sin
2α＝sin
αcos
α＋cos
αsin
α＝2sin
αcos
α.
(2)在公式Cα＋β中，如果β＝α，有怎样的结果？
提示：cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β，
当β＝α时，cos
2α＝cos2α－sin2α.
(3)在Tα＋β中，如果β＝α，有怎样的结果？
提示：T(α＋β)＝tan(α＋β)＝，
当β＝α时，tan
2α＝.
知识梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数
公式
简记
正弦
sin
2α＝2sin__αcos__α
S2α
余弦
cos
2α＝cos2α－sin2α
C2α
正切
tan
2α＝
T2α
思考 在cos
2α＝cos2α－sin2α中，结合sin2α＋cos2α＝1.有怎样的变形？
提示：cos
2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
[自我检测]
1．已知cos
x＝，则cos
2x等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案：D
2．sin
15°sin
75°的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
授课提示：对应学生用书第79页
探究一 二倍角公式的正用
[教材P133例5、例6]方法步骤：(1)求“单角”的函数值．
(2)用“单角”表示“倍角”，代入公式．
[例1] 化简＋(α为第二象限角)．
[解析] 原式＝＋
＝|cos
α|＋|sin
α|＝(sin
α－cos
α)
＝2sin.
方法技巧 直接将S2α、C2α、T2α变为单角“α”的表达形式．
跟踪探究 已知sin
α＝，α∈，求sin
2α，cos
2α，tan
2α的值．
解析：∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝－＝－＝－，
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
tan
2α＝＝－.
探究二 二倍角公式的逆用、变形用
[教材P135练习5(4)题]求2cos2
22.5°－1.
解析：原式＝cos
45°＝.
[例2] 求下列各式的值：
(1)；
(2)2cos
105°cos
15°；
(3)；
(4)－cos2.
[解析] (1)
＝cos2－sin2＝cos＝.
(2)2cos
105°cos
15°＝2cos(90°＋15°)cos
15°
＝2(－sin
15°)cos
15°＝－2sin
15°cos
15°
＝－sin
30°＝－.
(3)＝×＝×tan
30°＝.
(4)－cos2＝－＝－cos＝－.
方法技巧 根据三角函数的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时变换出特殊角，获得三角函数式的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征．
延伸探究 将本例(2)变为：求sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°的值．
解析：法一：∵sin
10°sin
50°sin
70°
＝
＝＝
＝＝＝，
∴sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°＝.
法二：原式＝cos
20°cos
40°cos
80°
＝
＝＝
＝·＝.
授课提示：对应学生用书第79页
[课后小结]
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍(n∈N
)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
(1)1＋cos
2α＝2cos2α；(2)cos2α＝；
(3)1－cos
2α＝2sin2α；(4)sin2α＝.
[素养培优]
二倍角公式的使用技巧与提升
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
(5)利用“1”的恒等变形，如tan
45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
(6)注意降幂、升幂的应用：
降幂：cos2α＝，sin2α＝.
升幂：1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α
1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2；1－sin
2α＝(sin
α－cos
α)2.
[典例] 1.已知α∈(0，π)，化简：
＝________．
[解析] 原式＝
因为α∈(0，π)，所以cos>0，
所以原式
＝
＝·
＝cos2－sin2＝cos
α.
[答案] cos
α
2．化简：.
[解析] 法一：原式＝
＝＝
＝tan
θ.
法二：原式＝
＝
＝＝tan
θ.
3．函数f(x)＝sinsin
x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
[解析] (1)f(x)＝sinsin
x－cos2
x
＝cos
xsin
x－(1＋cos
2x)
＝sin
2x－cos
2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，
从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．
PAGE3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第74页
[基础认识]
知识点一 两角和的余弦公式
阅读教材P128，思考并完成以下问题
如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
若α＋β＝α－(－β)，
则cos(α＋β)＝_________________________________________________.
提示：cos
αcos(－β)＋sin
αsin(－β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
知识梳理 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β．
知识点二 两角和与差的正弦公式
阅读教材P11～12，思考并完成以下问题
如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
(1)由sin
α＝cos可知．
sin(α＋β)＝cos＝cos＝________．
(2)sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝________．
提示：(1)sin
αcos
β＋cos
αsin
β (2)sin
αcos
β－cos
αsin
β
知识梳理
内容
两角和的正弦
两角差的正弦
简记符号
S(α＋β)
S(α－β)
公式形式
sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β
sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β
[自我检测]
1．cos
75°＝________．
答案：
2．sin
72°cos
18°＋cos
72°sin
18°＝________．
答案：1
授课提示：对应学生用书第75页
探究一 给角求值
[教材P130例4]方法步骤：(1)逆用公式：将非特殊角转化为特殊角求值；(2)正用公式：将非特殊角拆分为特殊角求值．
[例1] 求值：·cos
10°＋sin
10°tan
70°－2cos
40°.
[解析] 原式＝＋－2cos
40°
＝－2cos
40°
＝－2cos
40°
＝－2cos
40°
＝－2cos
40°
＝
＝＝2.
方法技巧 解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪探究 化简：sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝______．
解析：原式＝sin
14°cos
16°＋cos
14°sin
16°＝sin(14°＋16°)＝.
答案：
探究二 给值求值
[教材P129例3]方法步骤：(1)先求展开中所需的三角函数值；(2)展开所求代入求值．
[例2] 已知<α<，0<β<，cos＝－，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
[解析] 因为<α<，所以<＋α<π.
因为cos＝－，所以sin＝.
因为0<β<，所以<＋β<π.
因为sin＝，所以cos＝－.
因为＋＝π＋α＋β，
所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]
＝－sin
＝－sincos－cossin
＝－×－×＝.
方法技巧 给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围．
延伸探究 1.本例条件不变，求cos(α＋β)的值．
解析：cos(α＋β)＝－cos[π＋(α＋β)]＝
－cos＝
－
＝－＝－.
2．本例条件不变，求cos(α－β)的值．
解析：cos(α－β)＝sin＝sin－
＝sincos－cos
sin＝×－×＝.
授课提示：对应学生用书第75页
[课后小结]
1．公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)C(α＋β)S(α＋β)
S(α－β)．
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．
2．两角和差公式与诱导公式的关系
两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin·cos
α－cos
sin
α＝－cos
α.
3．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin
90°，＝cos
60°，＝sin
60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．
[素养培优]
辅助角公式
形如asin
x＋bcos
x的式子的化简：asin
x＋bcos
x＝·sin(x＋φ).这样做有利于三角函数式的化简，更是确定三角函数性质的常用工具．
其实质是：把代数式中sin
x，cos
x的系数看作同一个角的正、余弦值，逆用C(α±β)或S(α±β)而化为一角一函数，如：
(1)sin
x±cos
x＝sin；
(2)cos
x±sin
x＝cos；
(3)sin
x±cos
x＝2sin；
(4)cos
x±sin
x＝2cos.
[典例] 1.化简：(1)sin
15°－cos
15°＝________；
(2)sin
α＋cos
α＝________．
[解析] (1)原式＝sin
15°cos
60°－cos
15°sin
60°
＝sin(15°－60°)＝－sin
45°
＝－.
(2)原式＝2
＝2
＝2sin.
[答案] (1)－ (2)2sin
2．当函数y＝sin
x－cos
x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝________．
[解析] y＝2＝2sin，
∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤2π－，
∴当x－＝时，ymax＝2.
即x＝π.
[答案] π
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第76页
[基础认识]
知识点 两角和与差的正切公式
阅读教材P129，思考并完成以下问题
怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
(1)由sin(α＋β)和cos(α＋β)，如何求tan(α＋β)?
如何用tan
α、tan
β表示tan(α＋β)?
提示：tan(α＋β)＝＝.
＝.
(2)由sin(α－β)和cos(α－β)如何求tan(α－β)？如何用tan
α、tan
β表示tan(α－β)?
提示：tan(α－β)＝＝＝.
知识梳理
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
思考 T(α＋β)与T(α－β)之间有什么关系？
提示：将T(α＋β)中的β换为－β可得T(α－β)．
[自我检测]
1．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B．－ C．3 D．－3
答案：A
2．若tan＝2，则tan
α的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：A
授课提示：对应学生用书第77页
探究一 正切公式的正用与逆用
[教材P129～130例3、例4]方法步骤：正用：将某一角写成和、差型，直接展开．
逆用：构造公式展开特征，形成某一角的正切．
[例1] 求下列各式的值：
(1)tan
105°；
(2).
[解析] (1)tan
105°＝tan(60°＋45°)
＝
＝＝－2－.
(2)
＝
＝＝tan(15°－45°)
＝tan(－30°)
＝－.
方法技巧 1.直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是Tα±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．
2．对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．
跟踪探究 1.若tan
α＝，tan(α＋β)＝，则tan
β＝( )
A. B. C. D.
解析：tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
答案：A
2.＝________．
解析：∵tan
60°＝，
∴原式＝＝＝＝－1.
答案：－1
探究二 正切公式的变形应用
[教材P146A组4(2)题]求tan
20°＋tan
40°＋tan
20°·tan
40°的值．
解析：∵tan
60°＝＝，
∴tan
20°＋tan
40°＝－tan
20°tan
40°，
∴tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝.
[例2] (1)求值：tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°＝________．
(2)(1＋tan
21°)(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)(1＋tan
24°)．
[解析] (1)法一：tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°
＝tan
60°(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°＝.
法二：∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝.
∴－tan
23°tan
37°＝tan
23°＋tan
37°.
∴tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°＝.
(2)∵(1＋tan
21°)(1＋tan
24°)＝1＋tan
21°＋tan
24°＋tan
21°tan
24°
＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan
21°tan
24°)＋tan
21°tan
24°
＝1＋(1－tan
21°tan
24°)tan
45°＋tan
21°tan
24°
＝1＋1－tan
21°tan
24°＋tan
21°tan
24°＝2.
同理可得(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)＝2，
∴原式＝2×2＝4.
方法技巧 两角和的正切公式的常用变形形式
(1)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)．
(2)1－tan
αtan
β＝.
(3)tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)．
(4)tan
αtan
β＝1－.
跟踪探究 3.若锐角α，β满足(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝4，求α＋β.
解析：∵(1＋tan
α)(1＋tan
β)
＝1＋(tan
α＋tan
β)＋3tan
αtan
β＝4，
∴tan
α＋tan
β＝(1－tan
αtan
β)．
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°.
∴α＋β＝60°.
4．求值：(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)…(1＋tan
44°)．
解析：(1＋tan
1°)(1＋tan
44°)＝2，
∴(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)…(1＋tan
44°)
＝(1＋tan
1°)(1＋tan
44°)(1＋tan
2°)(1＋tan
43°)…(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)＝222.
授课提示：对应学生用书第77页
[课后小结]
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan
α与tan
β的和或差，分母为1与tan
αtan
β的差或和．
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．应用公式T(α±β)时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan＝1，tan＝，tan＝等．
特别要注意tan＝，
tan＝.
(3)公式的变形应用
只要用到tan
α±tan
β，tan
αtan
β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
特别提醒：tan
α＋tan
β，tan
αtan
β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．
[素养培优]
1．忽略角的范围导致增解
(1)首先根据角的三角函数值和给定的角的范围，求角的另一三角函数值，然后再求值．
(2)当涉及和、差角时，一定要准确求出和、差的范围．
[典例] 已知sin
α＝，且α为锐角，tan
β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
易错分析 ①忽略α锐角条件，求cos
α时出现两值．
②忽略α＋β的范围致错．
自我纠正
[解析] sin
α＝，且α为锐角，则cos
α＝，tan
α＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又因为α＋β∈，所以α＋β＝.
[答案] B
2．使用T(α±β)时或变形公式时，其特征致错
(1)记准公式的结构和符号规律．
(2)将“tan
α±tan
β”、“tan(α＋β)”和“tan
α·tan
β”看成一个整体，知其中两个可求第三个．
[典例] 化简：tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°＝________．
易错分析
(1)不会变形找不到特征．(2)特征用错．
自我纠正
[解析] tan
30°＝tan(20°＋10°)＝，
∴＝，
∴tan
20°＋tan
10°＝1－tan
20°tan
10°，
原式＝tan
10°tan
20°＋(tan
20°＋tan
10°)＝1.
[答案] 1
PAGE3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1 两角差的余弦公式
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
直观想象数学运算逻辑推理
授课提示：对应学生用书第72页
[基础认识]
知识点 两角差的余弦公式
阅读教材P124～127，思考并完成以下问题
如何用α，β的正、余弦值来表示cos(α－β)呢？
(1)计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．
①cos
45°cos
45°＋sin
45°sin
45°＝__________；
②cos
60°cos
30°＋sin
60°sin
30°＝________；
③cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝________；
④cos
150°cos
210°＋sin
150°sin
210°＝________．
猜想：
cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝________，
即______________________________．
提示：①1＝cos
0° ②＝cos
30° ③0＝cos
90° ④＝cos
60° cos(α－β) cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
(2)单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
提示：A(cos
α，sin
α)、B(cos
β，sin
β)，∠AOB＝α－β.
(3)·＝________．
提示：·＝(cos
α，sin
α)·(cos
β，sin
β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
·＝||||cos∠AOB＝cos(α－β)．
知识梳理 C(α－β)：cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β．
思考 (1)对任意α，β都有cos(α－β)＝cos
α－cos
β吗？
提示：不是．
(2)存在α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cos
β吗？
提示：存在．
[自我检测]
1．计算coscos＋cossin的值是( )
A．0 B.
C.
D.
答案：C
2．已知α是锐角，sin
α＝，则cos＝________．
答案：
授课提示：对应学生用书第73页
探究一 正用两角差的余弦公式求值
[教材P126～127例1、例2]方法步骤：(1)构造两角差；(2)按公式展开，代入求值．
1．给角求值
[例1] cos(－15°)的值是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] cos(－15°)＝cos
15°＝cos(45°－30°)
＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
＝×＋×
＝，故选D.
[答案] D
跟踪探究 1.＝________．
解析：原式＝
＝
＝cos
15°＝.
答案：
2．给值求值
[例2] 已知sin
α＝，α∈，cos
β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)．
[解析] ∵α∈，sin
α＝，∴cos
α＝－.
又β在第三象限且cos
β＝－，∴sin
β＝－.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－×＋×＝－＝－.
延伸探究 若把例题改为：已知sin
α＝，α∈，cos(α＋β)＝－，α＋β为第三象限角，求cos
β.
解析：由题意得cos
α＝－，sin(α＋β)＝－.
cos
β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×－×＝－.
方法技巧 正用公式cos(α－β)，即展开：
常把某一角写为两角差的形式，如：15°＝45°－30°或15°＝60°－45°，α＝(α＋β)－β，2β＝(α＋β)－(α－β)等．
跟踪探究 2.已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
解析：∵α，β∈且cos
α＝，
cos(α＋β)＝－，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin
α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
探究二 逆用公式求值
[教材P132练习5(2)题]求cos
72°cos
12°＋sin
72°sin
12°的值．
解析：cos
72°cos
12°＋sin
72°sin
12°＝cos(72°－12°)＝cos
60°＝.
[例3] 求下列各式的值．
(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；
(2)sin
20°cos
110°＋cos
160°sin
70°；
(3)sin＋cos.
[解析] (1)原式＝cos[α－35°－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝.
(2)原式＝－cos
70°cos
70°－sin
70°sin
70°
＝－cos(70°－70°)＝－1.
(3)原式＝2
＝2
＝2cos＝2cos＝2×＝.
方法技巧 逆用公式C(α－β)，即“合并”使之成为“差角”余弦，为此要变形成为“cos
αcos
β＋sin
αsin
β”型，往往利用诱导公式或特殊值化为三角函数值．
跟踪探究 3.cos
263°cos
203°＋sin
83°sin
23°的值为( )
A．－ B. C. D．－
解析：∵cos
263°＝cos(180°＋83°)＝－cos
83°，
cos
203°＝cos(180°＋23°)＝－cos
23°，
∴原式＝cos
83°cos
23°＋sin
83°sin
23°＝cos(83°－23°)＝cos
60°＝.
答案：B
4．求值：cos＋sin＝________．
解析：原式＝coscos＋sinsin＝cos＝cos＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第74页
[课后小结]
对于公式C(α－β)
(1)公式的结构特点
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的α，“”相当于公式中的β.
(3)公式的灵活应用
公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形应用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝－等．
[素养培优]
1．利用拆角创造条件，将所求角拆分为已知角的“差”型
[典例] 设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.
[解析] 由题意得α－∈，－β∈
所以sin＝
＝＝，
cos＝＝＝.
所以cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
2．利用特殊值变角，将某个实数变为特殊角的三角函数值
[典例] 函数f(x)＝sin
x＋cos
x－3的最大值为______．
[解析] f(x)＝sin
x＋cos
x－3，
＝－3.
＝cos－3.
∵cos的最大值为
∴f(x)的最大值为－3.
[答案] －3
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