2020-2021学年湘教版（2012）初中数学八年级下册 1.4 角平分线的性质 课件（25张）

角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
角平分线的概念
一条射线 将 一个角 分成为两个相等的角，这条射线就叫做这个角的角平分线。
回顾与思考
角平分线的性质
复习回顾：
1）什么是点到直线的距离？

②直线外一点到直线上的所有点的连线中，
垂线段的长度，叫做点到直线的距离
动动手：
那么现在请同学们画出一个角的角平分线。
A
O
B
量一量：
A
O
B
C
1）在角平分线OC上取几点P1、P2 ,
2）作P1D⊥OA；
P1E ⊥OB ；
P2F ⊥ OA；
P2G ⊥ OB；
3）量一量，
你能发现什么？
P1D与P1E；P2F与P2G关系
●
●
E
G
F
D
?
?
?
?
A
B
O
P
D
E
3
4
C
1
2
如图，（1）沿角平分线OC折叠，使∠AOB的边OB与OA重合
（2）∵ PD⊥OA ， ,PE⊥OB ， ∴∠PDO＝∠PEO=90° 又∵∠1=∠2所以∠3＝∠4，
从而在沿OC的折叠下，射线PE与射线PD重合，
于是点E与点D重合，所以PD＝PE
已知：点P是∠AOB角平分线上的任意一点， PD⊥OA，垂足为D,PE⊥OB,垂足为E
求证：PD=PE
性质定理的证明
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
1 ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ( )
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
BD CD
热身
练习
判断以下所填结论正确与否
2 ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
BD CD
热身
练习
判断以下所填结论正确与否
3 如图所示，OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问：PE=PD吗?为什么?
O
A
B
E
D
C
P
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等。
热身
练习
你能回答以下问题吗？
4 如图所示，OC是∠AOB 的平分线，P 是OC上任意一点,PE⊥OA，垂足为E，DP⊥OC，垂足为P。问：PE=PD吗?为什么?
5 ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ， （ ）
DB
DC
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
热身
练习
判断以下所填结论正确与否
通过前面的练习，觉得自己有什么收获吗？
老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去
B
A
D
O
P
E
C
性质应用所具备的条件：
角的平分线；
点在该平分线上；
该点到角两边的垂直距离。
性质的结论：
两垂直距离相等。
性质的书写格式：
OP 是 ∠AOB的平分线
\
PD = PE
（角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。）
∵
老师提醒：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
提升认识
1、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线 ，
A
B
C
DE⊥AB，垂足为E，
E
图中相等的线段有哪些？为什么？
D
∵ ∠C=90° （已知）
∴ DC⊥BC（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA（已知）
∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
答： (1) DE=DC
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?
角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径
例题
(2)BE=BC
3
1
2
4
1 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为_________。
2.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积
做一做
5
解：∵ ∠A=90° （已知）
∴ DA⊥AB（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA DE⊥BC（已知）
∴ DE=AD=6（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
E
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，试问点P到三边AB，BC，CA的距离相等吗？为什么？
A
C
N
P
B
M
F
E
D
∵ BM是∠ABC的平分线 P在BM上
又 PE⊥BC PD⊥AB
∴ PE=PD
同理 PE=PF
∴ PE=PD=PF
老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去
你能用一句话概括这个结论吗？这一结论和我们前面学习的哪个结论类似？
拓展
如图，P为△ABC中∠A的外角平分线上任一点，且PE⊥BA，PD ⊥AC，E，D分别是垂足，试探索BE+PD与PB的大小关系．
∵ AP是△ABC中∠A的外角平分线，
PE⊥BA，PD ⊥AC，(已知）
∴ PD＝PE．（角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等）
又 ∵ BE＋PE>PB（三角形任意两边之和大于第三边）
∴ BE＋PD>PB（等量代换）
A
C
P
B
D
E
解：
动脑筋
我来发言
对自己说：我这节课的收获是……
对同学说：我觉得这节课中的知识要注意
　　 　　　的地方是……
对老师说：我还有这些地方感到困惑……
课堂小结
谢谢 再见
教材130页 练习1，2
及习题A组 1，2
课后
作业
公路BC
B
C
公路AC
公路AB
A
批发
市场
位置？
学以
致用
如图，三条公路AB，BC，AC围成了一个三角形区域，今要在这三角形区域内建一果品批发市场，出于运输方面的考虑，要使果品市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
对自己说，你有什么收获？
对同学说，你有什么温馨提示？
对老师说，你还有什么困惑？
畅所欲言
课堂小结
1、这节课主要研究了什么问题？得出了哪些结论？
2、你有何体会？
A
B
C
P
三角形ABC的角平分线AP,BP相交于P点，试问P点到三条公路边的距离相等吗？为什么？
A
B
C
公路BC
公路AC
公路AB
批发
市场
F
E
N
老师期望:
养成用数学解释生活的习惯.
学以
致用
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
下课了!
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
1△ABC有多少外角平分线？
练 习
2.角的平分线具有怎样的性质？
六 条
角平分线上的点到角两边距离相等
A
B
C
D
F
E
拓展
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
老师期望:
养成用数学解释生活的习惯.
C●
D●
A
B
O