第一章能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1.(2020年吉林长春模拟)命题“若x2<1，则－1
A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B.若－1C.若x>1或x<－1，则x2>1
D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1
2．命题p：x＝π是y＝|sin
x|的一条对称轴，q：2π是y＝|sin
x|的最小正周期，下列复合命题：①p∧q；②p∨q；③?p；④?q.其中真命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题￢p是真命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
4．已知命题p：?x∈R，cos
x≤1，则￢p为( )
A．?x∈R，cos
x≥1
B．?x∈R，cos
x≥1
C．?x∈R，cos
x＞1
D．?x∈R，cos
x＞1
5．(2019年广东肇庆期末)原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．(2019年河北石家庄模拟)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．下列四个选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a>b，q：a2>b2
B．p：a>b，q：2a>2b
C．p：0D．p：ax2＋bx＋c>0，q：＋＋a>0
9．(2019年河南郑州校级月考)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤0
B．a≥0
C．a≤1
D．a≥1
10．(2019年安徽合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体．p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11.(多选题)有以下命题，其中是真命题的是( )
A.“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题
B.“面积相等的两个三角形全等”的否命题
C.“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题
D.“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题
12.(多选题)给出下列说法，其中正确的是( )
A.“若x＋y＝，则sin
x＝cos
y”的逆命题是假命题
B.“在△ABC中，sin
B>sin
C是B>C的充要条件”是真命题
C.“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D.命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．若“x2>1”是“x14．(2019年湖南长沙期末)若命题“?x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
15.下列说法正确的是 .(填序号)
①若p是q的充分不必要条件，则
16．已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)当c<0时，若ac>bc，则a18．(12分)已知c>0，c≠1，设命题p：函数y＝cx在R上单调递减．命题q：不等式x2－x＋c>0的解集为R.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．
19．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别指出四种命题的真假．
(1)设a，b∈R，若a＋b>0，ab>0，则a>0，b>0；
(2)当2m＋1>0时，若>0，则m2－5m＋6<0.
20.(12分)在数列{an}中，若a－a＝k(n≥2，n∈N
，k为常数)，则称{an}为“X数列”.
求证：一个等比数列为“X数列”的充要条件是其公比为1或－1.
21．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足
(1)若a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设a≠1，不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
PAGE第一章能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1.(2020年吉林长春模拟)命题“若x2<1，则－1A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B.若－1C.若x>1或x<－1，则x2>1
D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【答案】D
【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若，则的形式，所以“若x2<1，则－12．命题p：x＝π是y＝|sin
x|的一条对称轴，q：2π是y＝|sin
x|的最小正周期，下列复合命题：①p∧q；②p∨q；③?p；④?q.其中真命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【解析】由正弦函数的图象和性质，可知命题p为真，q为假，所以②p∨q，④?q为真．
3．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题￢p是真命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
【答案】C
【解析】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故￢p是假命题，命题p是全称命题．故选C．
4．已知命题p：?x∈R，cos
x≤1，则￢p为( )
A．?x∈R，cos
x≥1
B．?x∈R，cos
x≥1
C．?x∈R，cos
x＞1
D．?x∈R，cos
x＞1
【答案】C
【解析】命题p：?x∈R，cos
x≤1，则￢p：?x∈R，cos
x＞1.故选C．
5．(2019年广东肇庆期末)原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】原命题：若c＝0则不成立．由等价命题同真同假知其逆否命题也为假．由ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真．由等价命题同真同假知否命题也为真．∴有2个真命题．
7．(2019年河北石家庄模拟)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cos
ωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin
φ＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件．故p是q的充要条件．故选A．
8．下列四个选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a>b，q：a2>b2
B．p：a>b，q：2a>2b
C．p：0D．p：ax2＋bx＋c>0，q：＋＋a>0
【答案】D
【解析】a2>b2?|a|>|b|?
/
a>b，所以A不正确.2a>2b?a>b，则p是q的充要条件，所以B不正确．当0p，即p是q的充分不必要条件，所以C不正确.＋＋a>0?ax2＋bx＋c>0(x2显然大于0)，故q?p，但p?/
q，所以p是q的必要不充分条件．故选D．
9．(2019年河南郑州校级月考)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤0
B．a≥0
C．a≤1
D．a≥1
【答案】A
【解析】∵x∈，∴f(x)≥2＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4.当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a.依题意得f(x)min≥g(x)min，∴a≤0.故选A．
10．(2019年安徽合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体．p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如果A，B在等高处的截面积恒相等，则A，B的体积相等，因此有p?q，但q?p不一定成立．把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等．故p是q的充分不必要条件．故选A．
11.(多选题)有以下命题，其中是真命题的是( )
A.“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题
B.“面积相等的两个三角形全等”的否命题
C.“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题
D.“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题
【答案】ABC
【解析】对于A，原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；对于B，原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；对于C，若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；对于D，由A∩B＝B，得B?A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题.故选ABC.
12.(多选题)给出下列说法，其中正确的是( )
A.“若x＋y＝，则sin
x＝cos
y”的逆命题是假命题
B.“在△ABC中，sin
B>sin
C是B>C的充要条件”是真命题
C.“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D.命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”
【答案】ABD
【解析】对于A，“若x＋y＝，则sin
x＝cos
y”的逆命题是“若sin
x＝cos
y，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sin
x＝cos
y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，A正确；对于B，在△ABC中，由正弦定理得sin
B>sin
C?b>c?B>C，B正确；对于C，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故C错误；对于D，根据否命题的定义知D正确.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．若“x2>1”是“x【答案】－1
【解析】因为x2>1?x<－1或x>1.所以a≤－1，即a的最大值为－1.
14．(2019年湖南长沙期末)若命题“?x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】[2,6]
【解析】由题意可知命题“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0.解得2≤m≤6.
15.下列说法正确的是 .(填序号)
①若p是q的充分不必要条件，则
16．已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
【答案】∪[1，＋∞)
【解析】由关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，知00的解集为R，则解得a>.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故或即a∈∪[1，＋∞)．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)当c<0时，若ac>bc，则a解：逆命题：当c<0时，若abc(真命题)；
否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≥b(真命题)；
逆否命题：当c<0时，若a≥b，则ac≤bc(真命题)．
18．(12分)已知c>0，c≠1，设命题p：函数y＝cx在R上单调递减．命题q：不等式x2－x＋c>0的解集为R.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．
解：∵y＝cx在R上单调递减，∴0＜c＜1.
∴命题p：0＜c＜1.
∵不等式x2－x＋c＞0的解集为R，
∴Δ＝(－)2－4c＜0.解得c＞.∴命题q：c＞.
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q恰好一真一假．
∴或解得0＜c≤或c>1.
综上所述，实数c的取值范围是∪(1，＋∞)．
19．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别指出四种命题的真假．
(1)设a，b∈R，若a＋b>0，ab>0，则a>0，b>0；
(2)当2m＋1>0时，若>0，则m2－5m＋6<0.
解：(1)原命题“设a，b∈R，若a＋b>0，ab>0，则a>0，b>0”是真命题(因为由ab>0知a，b同号，再由a＋b>0知a，b同正号，即a>0，b>0)．
逆命题“设a，b∈R，若a>0，b>0，则a＋b>0，ab>0”是真命题(因为两正数的和与积为正数)．
否命题“设a，b∈R，若a＋b≤0或ab≤0，则a≤0或b
≤
0”是真命题(否命题与逆命题同真同假)．
逆否命题“设a，b∈R，若a≤0或b≤0，则a＋b≤0或ab≤0”是真命题(逆否命题与原命题同真同假)．
(2)由2m＋1>0，得m>－.
由>0，得m<－3或m>.
又由m>－，得m>.
由m2－5m＋6<0，得2由此可知，原命题可变为“若m>，则2逆命题：“当2m＋1>0时，若m2－5m＋6<0，则>0”即是“若2”，是真命题．
否命题：“当2m＋1>0时，若≤0，则m2－5m＋6≥0”．
∵否命题与逆命题真假性相同，
∴否命题为真命题．
逆否命题：“当2m＋1>0时，若m2－5m＋6≥0，则≤0”．
∵逆否命题与原命题真假性相同，
∴逆否命题为假命题．
20.(12分)在数列{an}中，若a－a＝k(n≥2，n∈N
，k为常数)，则称{an}为“X数列”.
求证：一个等比数列为“X数列”的充要条件是其公比为1或－1.
证明：设数列{an}是等比数列，且an＝a1qn－1(q为公比且q≠0).
①若{an}为“X数列”，则有a－a＝aq2n－2－aq2n－4＝aq2n－4(q2－1)＝k(k为与n无关的常数)，所以q2＝1，即q＝1或q＝－1.
②若一个等比数列{an}的公比q＝1，则an＝a1，进而a－a＝0，所以{an}为“X数列”；
若一个等比数列{an}的公比q＝－1，则an＝(－1)n－1a1，进而a－a＝(－1)2n－2a－(－1)2n－4a＝0，所以{an}为“X数列”.
综上，一个等比数列为“X数列”的充要条件是其公比为1或－1.
21．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足
(1)若a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，∴a由得2(1)若a＝1，则A＝{x|1若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是A∩B＝{x|2(2)若?p是?q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，即q?p，p?/
q.
∴B?A．∴a≤2<3<3a.解得1∴实数a的取值范围是(1,2]．
22．(12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设a≠1，不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max.得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
由a≠1得3a≠a＋2.
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B，∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)．
②当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立，
∴3a≥2，此时a∈.
综合①②，可得a∈∪(1，＋∞)．
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