第三章空间向量与立体几何
3.2立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法（4）——求线线角、线面角
【学习目标】
（1）掌握用向量法求异面直线所成的角；
（2）掌握用向量法求直线与平面所成的角；
（3）能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些求角的问题.
【学习重点】
异面直线所成的角，直线与平面所成的角的向量求法；
【知识准备】
（一）知识链接
1．将异面直线在空间平行移动到相交时所夹的 角，叫两异面直线所成的角，它的取值范围为 求异面直线所成角的方法是
2．如图，直线，，
则即为斜线与平面的夹角.
当过点的直线平行于时，它们成
当过点的直线垂直于时，它们成
所以取值范围为
3．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用 表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为 ；
（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
【合作探究】
（一）探究知识
问题1：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角呢？
在上取方向向量，在上取方向向量，,的
夹角满足
问题2：假设，的夹角为，那么，的夹角是否就为，的夹角呢？
因为，的夹角范围为 ，的夹角范围为 ，所以
归纳总结：异面直线所成的角，与两直线方向向量间的夹角满足或，即.
问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？
在上取方向向量，取平面的法向量，由于，的方向关系，有以下两种情形：
设线面角为，=，
而，因此求线面角通常转化为求线线角，常用向量的数量积解决.
归纳总结：设为线面角,再求出平面的法向量与直线的方向向量所成的角.若为锐角，则；若为钝角，则，即.
（二）典型例题
例1：一条线段夹在一直二面角的两个半平面内，与两个半平面所成角都是，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小.
解法一：（基向量法）
不妨设这条线段长为2，则点到二面角的棱的距离，点到二面角的棱的距离，，.
解法二：（坐标法）
如图建立直角坐标系，设长度为2，则
N（1，0，0），（0，，0），（0，，1），
，，
与所成角为.
【总结提高】
（一）学习小结
1．异面直线，的方向向量为，，则与所成的角即为、所成的夹角或其补角；
2．要求直线与平面所成的角，先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角，然后用计算出结果即可；
3．求角过程中注意定义中角的取值范围，对所得的数量积作相应的调整，注意运用图象.
（二）当堂检测
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均错
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．30° B．60°
C．150° D．以上均错
3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是DD1，B1C1的中点，P是棱AB上的动点，则A1M与PN所成的角是________．
（三）课后作业
1.和所在的平面互相垂直，且，，求：
（1）直线与直线所成角的大小；
（2）直线与平面所成角的大小.
.
2．如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
O
B
A
EMBED Equation.DSMT4
Q
A
C
D
B
z
x
y
O第三章空间向量与立体几何
3.2立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法（2）-----平面间平行及垂直关系
【学习目标】
1．进一步熟悉直线的方向向量、平面的法向量的概念；
2．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的平行关系;
3．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题.
【学习重点】
1、把握利用向量方法解决立体几何问题的方法与步骤。
2、建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。
【知识准备】
知识链接
1、空间中直线的位置
空间中任意一条直线的位置可以由 及 确定.
2、空间中面的位置
空间中平面的位置可以由 确定，或者用 表示空间中平面的位置.
3、平面的法向量
法向量：直线， 叫做平面的法向量.
【合作探究】
（预习课本103～104页，完成以下内容）
探究知识
探究一：如何利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直位置关系？
一、平行关系
线线平行 线面平行
面面平行
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.
二、垂直关系
线线垂直 线面垂直
面面垂直
（二）典型例题
例1：设分别是l1,l2的方向向量，判断l1,l2的位置关系：
①＝(2,3，－1)，＝(－6，－9,3)．
②＝(5,0,2)，＝(0,4,0)．
(2)设、分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
①＝(1，－1,2)，＝(3,2，)．
②＝(0,3,0)，＝(0，－5,0)．
解 (1)①∵＝(2,3，－1)，＝(－6，－9,3)，
∴＝－ ，∴∥，∴l1∥l2.
②∵＝(5,0,2)，＝(0,4,0)，∴ ＝0，∴⊥b，∴l1⊥l2.
(2)①∵＝(1，－1,2)，＝(3,2，)，
∴·＝3－2－1＝0，∴⊥，∴α⊥β.
②∵＝(0,3,0)，＝(0，－5,0)，∴＝－v，∴∥，∴α∥β.
例2：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明：
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(0,1,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝，
＝.
设平面ODC1的法向量为＝(x0，y0，z0)，
则 得
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴＝(1,1，－1)．
又 ·＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴⊥，∴B1C∥平面ODC1.
反思： 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与共线；二是说明能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直．
【总结提升】
（一）学习小结
1．平行关系的常用证法
＝λ.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．
2．垂直关系的常用证法
（1）要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
（2）要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
（3）要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
（二）当堂检测
1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
2．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
3.设平面的法向量为(1,2,－2)，平面的法向量为(－2,－4,k)，若∥，则k=__ __；
若⊥，则k=_______.
4.已知 l∥ ，且l的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1, ,2),则m=__ _.
5.若l的方向向量为(2,1,m)，平面 的法向量为(1, ,2)，且l⊥，则m=_______.
（三）课后作业
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
l
l
m
l
l
m第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其加减运算
【学习目标】
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法．
2．会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律．
3．通过对空间向量的研究学习，进一步培养数形结合、等价转化的思想．
4．通过实例体会向量语言或运算在解决数学问题中的工具作用．
【学习重点】
空间向量的概念及加减法运算
【知识准备】
(一)知识链接
平面向量的概念
（1）平面向量的定义：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量
的 或 ．
（2）平面向量的表示方法：
①几何表示法: 向量用 表示；
②字母表示法：用小写字母a、b等表示， 记为 ；
用有向线段起点与终点的字母表示，记为 ．
（3）零向量、单位向量的概念：
①长度为 的向量叫零向量，记作．的方向是 ．我们规定与
任一向量平行．
②长度为 的向量，叫单位向量．
（4）相等向量和相反向量：
① 且 的向量叫相等向量．向量与相等，记作＝；
②与向量 而 的向量，称为的相反向量．记为 ．
（5）共线向量与平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫 ，向量、、平行，记作 ；
②平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可平移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
平面向量的运算法则
（1）向量加法的运算法则： 、 ．
（2）向量减法的运算法则： ．
推广: 平面向量加法的折线法则： ．
平面向量加法的运算律
【合作探究】
（预习课本84、85页，完成下列内容）
（一）探究知识
探究任务：空间向量的相关概念和运算：
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
新知1：⑴空间向量的定义：在空间，既有 又有 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 ．
（2）零向量、单位向量概念：
①长度为 的向量叫零向量，记作．
②模为 的向量称为单位向量．
（3）相等向量和相反向量：
① 且 的向量叫相等向量．向量与相等，记作 ；
②与向量 而 的向量，称为的相反向量．记为 ．
（4）空间向量的表示方法：
①几何表示法: 空间向量用 表示；
②字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．如图向量也可以记作 其模记为 ．
特别提醒：（1）平面向量与空间向量的联系与区别；
（2）向量的书写必须规范．
问题：空间向量的加减运算怎样表示？与平面向量的加减运算是否相同？
新知2：在空间，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．所以类似于平面向量，我们定义空间向量的加法和减法运算（如图）
加法运算： ，
减法运算： ，
推广: 空间向量加法的折线法则： ．
新知3.空间向量的加法运算律
加法交换律：
加法结合律：
【总结提升】
一、学习总结
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．
4．表示的是由减数的终点指向被减数的终点的一条有向线段．
二、当堂检测
1、如果向量、、满足＝＋则（ ）
（A）＝＋ （B）＝
（C）与同向 （D）与同向
2、 如图，在三棱柱中，M是的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）；
（2）；
（3）．
三、课后作业
1．判断下列各命题的真假：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A．＋＋＋＝0 ?B.＋＋＋＝0
?
C.＋＋＋＝0 D.－＋＋＝0
3、已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）；
（2）；
（3）．
A(起点)
B
（终点）
O
A
B
C
O
A
B
C
A1
B1
A
M
B
C1第三章 空间向量与立体几何
1.1空间向量及其运算
3.1.2空间向量的数乘运算
【学习目标】
1.掌握空间向量数乘运算及其运算律并会用图形说明表示；
2.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
3.学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
【学习重点】
1.空间向量的数乘运算及运算律．
2.应用向量解决立体几何问题．
【知识准备】
（一）知识链接
1.平面向量中长度和方向规定如下：
(1)|λ|＝_____________________
(2)当λ＞0时，λ与________；
当λ＜0时，λ与_______；
当λ＝0时，λ＝__________.
2.平面向量数乘的运算律
数乘分配律：_______________
数乘交换律：_______________
数乘结合律：_______________
3.平面向量共线的充要条件：_______________________
【合作探究】
（预习课本86～88页，完成下列内容）
探究知识
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有怎样的位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：
空间向量的共线
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零
向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l
上的充要条件是：
反思：充分理解两个向量是共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.
探究任务二：空间向量的共面
问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？
新知：
1.共面向量： 同一平面的向量.
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O，有
试一试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与 A,B,C共面吗？
反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与 A,B,C共面，则 .
二、模仿练习
例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？
变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t＝
例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使
求证：E,F,G,H四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
【总结提升】
一、学习总结：
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说共线时，表示的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说∥时，也具有同样的意义．
(2)“共线”这个概念具有自反性∥，也具有对称性，即若∥，则∥.
(3)如果应用上述结论判断所在的直线平行，还需说明 (或)上有一点不在 (或)上．
＝λ或＝μ即可．也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点共线．
2．向量共面的充要条件的理解
(1)＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
二、当堂检测
1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（ ）
A. 有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量.
2. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .
4. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则 .
5. 在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为＝x＋y＋z．其中正确命题的个数为 （ ）.
A．0 B.1 C.2 D.3
三、课后作业
1. 若，，若，求实数.
2.已知两个非零向量不共线, . 求证：共面．
O
E
C
D
A
B
G
F
H第一章 常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件
1.2.1充分条件与必要条件
【学习目标】
1．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义；
2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；
3．培养学生的抽象慨括和逻辑推理的意识．
【学习重难点】
重点：理解充分条件和必要条件的概念。
难点：理解必要条件的概念。
【知识准备】
（一）知识链接
1、四种命题
命题 表述形式
原命题 若p，则q
逆命题
否命题 若，则
逆否命题
2、四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；
注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。
（二）练一练
判断下列命题的真假：
（1）若x＞1，则-3x＜-3；
（2）若x=1，则-3x+1=0；
（3）若x是无理数，则是无理数；
【合作探究】
（一）探究任务：
1、认识符号“”的含义
符号“”叫做推断符号。
上述练一练中（1）是真命题，也就是说x＞1成立能推出-3x＜-3成立，我们就说x＞1能推出
-3x＜-3，记作x＞1-3x＜-3。
定义：一般的，“若p，则q”是真命题，是指由p经过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作 ，并且说p是q的 ，q是p的 。
（2）是假命题，也就是说x=1推不出-3x+1=0
如果“若p，则q”是假命题，那么由p推不出q，记作，此时，我们就说p不是q的 ，q也不是p的 。
2、充分条件和必要条件的概念
1.命题“若，则”
（1）判断该命题的真假；
（2）改写成“若，则”的形式，则
： ：
（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着：
2.命题“若,则”
（1）判断该命题的真假；
（2）改写成“若，则”的形式，则
： ：
（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着：
新知：一般地，“若，则”为真命题，是指由 通过推理可以得出.我们就说,由推出,记作,并且说是的 ,是的
试一试：用符号“”与“”填空：
（1） ；
（2） 内错角相等 两直线平行；
（3） 整数能被6整除 的个位数字为偶数；
（4） .
（二）典型例题
例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若，则；
（2）若，则在上为增函数；
（3）若为无理数，则为无理数.
例2 下列“若，则”形式的命题中哪些命题中的是必要条件？
（1）若，则；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（3）若，则
小结：判断命题的真假是解题的关键.
【总结提升】
（一）学习总结
对于“若p，则q”形式的命题，判断p是否是q的充分条件，或者q是否为p的
必要条件，只需要判断命题的真假即可。
（二）当堂检测
1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.
A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直
2.，下列各式中哪个是“”的必要条件？（ ）.
A. B. C. D.
3.平面平面的一个充分条件是（ ）.
A.存在一条直线 B.存在一条直线
C.存在两条平行直线
D.存在两条异面直线
4.:,：，是的 条件.
5. ：两个三角形相似；：两个三角形全等， 是的 条件.
（三）课后作业
1. 判断下列命题的真假
（1）“”是“”的充分条件；（2）“”是“”的必要条件.
2. 已知满足条件，满足条件.(1)如果,那么是的什么条件 (2)如果,那么是的什么条件
3．判断下列命题的真假：
若x＞1，则-3x＜-3；
若x=1，则-3x+1=0；
若x是无理数，则是无理第三章空间向量与立体几何
3.2立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法（3）---两点间距离及二面角问题
【学习目标】
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的二面角的计算方法.
【学习重点】
空间两点间距离求法及空间图形的二面角的计算方法.
【知识准备】
复习1：已知，，且，求.
复习2：二面角、二面角的平面角的有关概念
二面角：从一条直线出发的两个 组成的空间图形.
二面角的平面角：在二面角的棱l上任取一点O，以O为垂足，在
半平面和内分别作垂直于棱l 的射线OA和OB，则射线OA和
OB构成的角∠AOB叫做二面角的平面角．
特别地，平面角是直角的二面角叫 .二面角的取值范围是
【合作探究】
（预习教材P105~ P107，找出疑惑之处.）
探究知识
探究任务一：用向量求空间线段的长度
问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式求出线段长度.
例1：已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离．
解：过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．
则由方法一知DE＝FB＝，
EF＝，∴D，B，
∴＝，
| |＝ ＝.
反思：求两点间的距离或某线段的长度的方法：
(1)把此线段用向量表示，然后用|通过向量运算去求|a|.
(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝求解．
探究任务二：用向量求空间图形中的二面角
例2：如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．
解 以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面EBD的一个法向量为＝(x，y，1)，
因为＝(0,2,1)，＝(3,3,0)，
由 得，
所以， 于是＝(，－，1)．
又因为平面ABE的一个法向量为 ＝(1,0,0)，
所以，cos〈，〉＝＝.
所以，二面角A－BE－D的余弦值为.
反思： 几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．
【总结提升】
（一）学习小结
1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式；
2.二面角的向量求法：
(1)法向量法：用法向量法求二面角时，注意结合图形确定二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一进一出，二面角等于法向量的夹角”）
(2)方向向量法：用方向向量法求二面角时，应先在二面角的二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两直线，再利用直线方向向量计算；
3.解空间图形问题时,可以分为三步完成:
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
（二）当堂检测
1. 已知，则 .
2. 已知，则的夹角为 .
3. 若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
4. 将锐角为边长为的菱形沿较短的对角线折成的二面角，则间的距离是（ ）
A. B. C. D.
5.正方体中棱长为，,是的中点，则为（ ）
A. B. C. D.
6.若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的
度数是________．
（三）课后作业
1.如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.
2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离.
3.若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A—PB—C的余弦值．第三章 立体几何与空间向量
3.2立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法（1）-----方向向量与法向量
【学习目标】
1、了解利用向量表示空间中点、线、面的位置的方法；
2、理解直线的方向向量和平面的法向量的定义；
3、能够利用方向向量和法向量判断简单几何体间的位置关系；
4、初步掌握利用向量解决立体几何问题的方法与步骤。
【学习重点】
1、利用方向向量和法向量判断简单几何体间的位置关系的方法与步骤。
2、建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。
【知识准备】
(一) 知识链接
前面,我们把
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
1．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使 ．
2．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
【合作探究】
（预习课本102~103页，完成下列内容）
（一）探究知识
问题1：.如何确定一个点在空间的位置？
新知1：在空间中，取 作为基点，空间任一点P的位置可用向量表示，故
为点P的位置向量.
问题2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
新知2:空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.
对于直线l上的一点P，存在实数t使得 此方程称为直线的向量参数方程.这样点A和向量不仅可以确定直线l的位置，还可以具体写出l上的任意一点.
EMBED Equation.DSMT4
问题3:给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
新知3:空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.
对于平面上的任一点P,存在有序实数对(x,y)，使得 这样，点O与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点.
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平
面的法向量)表示空间中平面的位置.
问题4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
新知4：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 ，如果⊥，那么向量叫做平面的 .
所以，给定一点A和一个向量，那么过点A，以向量为
法向量的平面是完全确定的.
注意：1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有
（二）模仿练习
例1. 已知两点A(1,－2,3)，B(2,1, －3)，求A，B连线与三坐标平面的交点.
例2 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
＝(1，－2，－4)，＝(1，－2，－4)，
设平面α的法向量为＝(x，y，z)．
依题意，应有·= 0，·? = 0.
即，解得.令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为＝(2,1,0)．
反思：用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．
练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.
【总结提高】
(一)课堂小结
用待定系数法求平面法向量的步骤：
(1)建立适当的坐标系．
(2)设平面的法向量为＝(x，y，z)．
(3)求出平面内两个不共线向量的坐标＝(a1，b1，c1)，＝(a2，b2，c2)．
(4)根据法向量定义建立方程组.
(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.
（二）当堂检测
1. 已知A（3，5，2），B（-1，2，1），把按向量＝(2,1,1)平移后所得的向量是( )
A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1) C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0)
2．从点A(2，－1,7)沿向量＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17) C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
3.已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是________________．
4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且＝(1,1,1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．
（三）课后作业
1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC的中点， 求平面EDB的一个法向量.
l
l
a
A
PP
E
x
A
C
B
z
y
D第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.5空间向量运算的坐标表示
【学习目标】
1.掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标；
2.掌握空间向量坐标运算的规律；
【学习重点】
空间向量坐标运算的规律
【知识准备】
（一）知识链接
复习平面向量的坐标表示及运算律：
（1）若（分别是轴上同方向的两个单位向量），则的坐标为 ；
（2）若，，则
＋=
－=
=
·=
∥= ， ；
⊥ =0
（3）若，，则．
（二）问题引入：
如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？
【合作探究】
（预习课本95～96页，完成下列内容）
（一）探究新知．
若，，
1、空间向量的加法、减法，数乘及数量积运算
＋= －=
= ·=
2、空间两向量平行 ∥= ， ，= ；
3、空间两向量垂直 ⊥ =0
4、向量的模（长度）公式= =
5、空间两向量的夹角公式 ==
注意：①若=1，则与同向；②若=-1，则与反向；
③若=0，则⊥.
思考：当及时，与的夹角在什么范围内？
6、空间两点间的距离公式
若，，则＝
=
试一试
1、求下列两个向量的夹角的余弦
（1）， （2），
2、求下列两点间的距离
（1）A(1,1,0) B(1,1,1) （2）C(-3,1,5) D(0,-2,3)
（二）模仿练习
例1．设=(1,5，－1)，＝(－2,3,5)．
(1)若∥，求k；
(2)若⊥，求k.
解 (1) ＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．
因为∥，所以＝＝，解得k＝－.
(2)因为⊥，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
反思：以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)，则∥ x1＝λx2且y1＝λy2，且z1＝λz2(λ∈R)；⊥ x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
例2:如图，在正方体中，点E、F分别是，为的中点，求证：EF⊥.
练习：如图正方形中，点M是AB的中点，求与CM所成的余弦值.
【总结提升】
一、归纳总结
通过本节学习，应掌握空间向量的运算规律；会根据两个向量的坐标，判断两个向量的垂直或共线；会应用这些知识解决简单的立体几何问题.
思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.
二、当堂检测
1.下列各组向量中不平行的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.若向量则这两个向量的位置关系是__ ________
三、课后作业
1.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A.2 B. C.或 D.或
2. ( http: / / wxc. / )已知向量，若，则 ；若则______
3. ( http: / / wxc. / )已知向量若则实数___ ，_______
4.若向量，则__________________ ( http: / / wxc. / )
5.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标及AB的长度；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件
6.在三棱柱中，底面是正三角形，底面，.求证：
A
B
D
C
M
C
A
C'
A'
B'
z
x
y
B
O第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.3空间向量的数量积运算
【学习目标】
1．理解空间向量的夹角和数量积的意义和性质.
2．能用向量的数量积表示夹角和长度.
【学习重点】
1．两个向量的数量积的计算方法及其应用.
2．如何将立体几何问题转化为向量的计算问题.
【知识准备】
一、知识链接
1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即 = ，并规定与任何向量的数量积0
2．平面向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与 的乘积.
3．两个向量的数量积的性质
设、为两个非零向量且夹角为，是与同向的单位向量
(1) = = ； (2) =
(3)当与同向时， = ；当与反向时， = ,特别地=
(4)cos = ； (5)|| ≤ ||||
【合作探究】
（预习课本90～92页，完成以下内容）
一、探究知识
探究任务：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 .
试一试：
⑴ 范围: ; =0时, ;=π时, .
⑵ 成立吗？ .
⑶ ，则称与互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
思考：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
⑵ （选0还是）
⑶ 你能说出的几何意义吗？
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量，则．
（2） ．
（3） ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）
思考：
⑴ 吗？举例说明.
⑵ 若，则吗？举例说明.
⑶ 若，则吗？为什么？
二、模仿练习
例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
例2 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值
试一试
1. 已知向量满足，，，则____.
2. , 则的夹角大小为_____.
【总结提高】
一、学习总结
空间两个向量的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：，这里表示空间两向量所成的角(0≤≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用⊥ 证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用，，求两直线的夹角．(3)利用|，求解有关线段的长度问题．
二、当堂检测
1. 下列命题中：①若，则，中至少一个为，②若且，则，③，④正确有个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知中，所对的边为，且,,则=
4. 已知，，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 .
5. 已知向量满足，，，则____
三、课后作业
1. 已知空间四边形中，，，求证：.
2. 已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, 线段,如果AB＝a，BD＝b，AC＝c,求C、D间的距离.
C
A
B
D
c
a
b第三章 空间向量与立体几何
3.2立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法（5）——点到平面及异面直线间距离
【学习目标】
1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在立体几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
【学习重点】
点到平面的距离及两异面直线间距离的计算公式及应用.
【知识准备】
1．异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
2．异面直线的画法：
【合作探究】
探究知识
探究任务一：点到平面的距离的求法
问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示
分析:过作⊥于O,
连结OA,则
d=||=
∵⊥,
∴∥.
∴cos∠APO=|cos|
∴d =|||cos|==
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则
d =
试试：在棱长为1的正方体中，
求点到平面的距离.
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.
典型例题
例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
变式：如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.
小结：求点到平面的距离的步骤：
⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；
⑵ 求平面的一个法向量的坐标；
⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；
⑷ 代入公式求出距离.
探究任务二：两条异面直线间的距离的求法
例2 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且
.已知，求公垂线的长.
变式：已知直三棱柱的侧棱,底面中, ，且,是的中点,求异面直线与的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.
【总结提升】
（一）学习小结
1.空间点到直线的距离公式
2.两条异面直线间的距离公式
（二）当堂检测
1. 在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为 ；
2. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是 ；
3. 在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是 ；
4. 在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是 ；
5. 在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是 .
（三）课后作业
1.在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．
2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，求异面直线AB与EB1的距离．
A
B
C
D
P
A
D
B
C
M
N
E
a
m
n
A
F
b第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
【学习目标 】
1. 了解空间向量基本定理及其意义；
2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示并会再简单问题中选用空间三个不共面向量做为基底表示其它向量；
【学习重、难点】
重点：空间向量基本定理．
难点：理解空间向量基本定理．
【知识准备】
知识链接
1.平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在唯一实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解.
2．平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的 ，即＝ .
【合作探究】
（预习课本92～94页，完成以下内容）
一、探究知识
探究任务一：空间向量的正交分解
问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？
新知：
1.空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.
2.空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得.
思考：空间任意一个向量的基底有 个.
3.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用表示.
4.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量，且设为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量的坐标，记着 .
5.设A，B，则＝ .
试一试：
1. 设，则向量的坐标为 .
2. 若A，B，则＝ .
二、模仿练习
例1：已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:
⑴ ⑵.
例2：已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求 的坐标．
解 ∵PA=AB=AD=1，
且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设 ＝i，＝i， ＝j，＝k.
以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵ ＝＋＋
＝－ ＋＋
＝－＋＋(－＋＋)
= ＋＝k＋
＝i＋k，
∴ ＝ .
反思:空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．
【总结提升】
一、学习小结
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2．对于＝(1－t)＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底{}除了应知道不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是.
4．建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.
二、当堂检测
1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 设、、为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是
3. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .
三、课后作业
1. 已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.
2. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.
B
C
D
G第三章 空间向量与立体几何
空间向量与立体几何小结
【学习目标】
（1）熟练掌握空间向量的四种运算（包括坐标形式）
（2）能灵活选择向量法、坐标法解决立体几何问题。
【学习重点】
（1）利用向量解决立体几何问题
（2）法向量的确定，角的转化
【知识准备】
1．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法：
(1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的 是共线向量．
(2)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的 垂直，即⊥
(3)线面平行
①证明直线的方向向量与平面的 垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线 是共线向量，
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．
(4)线面垂直
①证明直线方向向量与平面法向量 ；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的 平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题
2．运用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成角
利用公式cos〈，〉＝，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是 ，
(2)求线面角
①先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；
②借助平面的法向量，先求出直线方向向量与 的夹角φ.即可求出直线与平面所成的角θ其关系是＝.
(3)求二面角
①利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱 的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；
②求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小 ．
3．运用空间向量求空间距离
(1)点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的 ．
(2)点与面的距离
点与面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个 ； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．
(3)两异面直线的距离
可以么转化为点与面的距离来求解。
问题一： 空间非零向量、， ＝ ，
⊥ ； ＝ ；
∥ 存在实数λ使 .
问题二： 设＝(a1，a2，a3)， ＝(b1，b2，b3)，则
(1) ＝ . ＝
(2) cos〈，〉＝
(3) ⊥ (4) ∥
【题型探究】
一、空间向量的线性运算
向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理．
例1：已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面
二、利用空间向量解决平行与垂直问题
利用向量可以解决空间中的平行与垂直关系，是常见的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系使用向量会变得很简捷，将几何证明与计算转化为纯代数运算，也使问题得以简化．
例2：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.
(1)求证：直线EF∥AC1；
(2)若EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体．
三、利用空间向量求角度与距离问题
利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点．解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量，并用它们表示空间中的角及距离，所有空间距离问题用向量求时，有着相同的表现形式．应加强理解与掌握，求角时，要弄清向量夹角与所求角的关系．
例3：如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP⊥平面ABCD，，
且AP＝AB＝a，M，N分别为BP、AC的中点．
(1)求证MN⊥CD； (2)求二面角M－BN－C的大小的余弦值．第三章 立体几何与空间向量
3.2立体几何中的向量方法
立体几何中的几何方法（6）-----综合问题
【学习目标】
1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.
【学习重点】
掌握利用空间向量解决综合性问题的方法.
【知识准备】
线线平行 线面平行
面面平行
线线垂直 线面垂直
面面垂直
3.空间点到直线的距离公式
4.两条异面直线间的距离公式
【合作探究】
（预习教材P107－110，完成下列内容）
（一）知识要点
1. 空间向量的运算及其坐标运算：
空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.
2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具
①平行与垂直的判断
②角与距离的计算
（二）典型例题
例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？
小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.
例2 如图，在直三棱柱中，,点M是的中点，求证：.
例3：四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值．
【总结提升】
（一）学习小结
1.空间向量的运算与平面向量的方法相同；
2.向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.
3.若二面角两个面的法向量分别是，二面角为，
则，而.
（二）当堂检测
1.已知，且，则k＝ ；
2. 已知，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3.空间两个单位向量与的夹角都等于，则
4.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为 .
5. 正方体的棱长为，,N是的中点，则＝（ ）
A. B. C. D.
（三）课后作业
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD.
2.如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；
(2)求点B到平面OCD的距离．
B
C
A
M第一章 常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件
1.2.2充要条件
【学习目标】
1．正确理解充分条件、必要条件和充要条件3个概念，并能在判断、论证中正确运用；
2．增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.
【学习重难点】
重点：充分条件、必要条件和充要条件的概念．
难点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用．
【知识准备】
一、知识链接
⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？
⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴p：x>2，q：x>1；
⑵p：x>1,q：x>2；
⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；
⑷p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.
⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.
【合作探究】
（预习课本11页，完成以下内容）
（一）探究知识
⒈什么是充要条件？
如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，p既是q的 ，p又是q的 ，我们就说，p是q的充分必要条件，简称 .（当然此时也可以说q是p的充要条件）
例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件.
说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”. “pq”有时也用“pq”；
⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.
⒉几个相关的概念
若pq，但pq，则说p是q的 ；
若pq，但pq，则说p是q的 ；
若pq，且pq，则说p是q的 .
例如，“x>2”是“x>1”的 条件；“x>1”是“x>2”的 条件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的 条件.
⒊充要条件的判断方法
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：
⑴确定条件是什么，结论是什么；
⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；
⑶确定条件是结论的什么条件.
4.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？
答：有两种说法：⑴若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）.
在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.
⑵若pq，说明p的真值集合q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）.
(二)典型例题
例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.
⑵p：同位角相等；q：两直线平行.
⑶p：x=3；q：x2=9.
⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.
解：⑴∵(x-2)(x-3)=0x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，
∴p是q的 ；
⑵∵同位角相等两直线平行，∴p是q的 ；
⑶∵x=3x2=9， x=3x2=9，∴p是q的 ；
⑷∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
∴p是q的 .
【总结提升】
一、学习总结
本节主要学习了推断符号“”的意义，充要条件的概念，以及判断充要条件的方法.
判断充要条件的依据是：既有pq，又有qp.
二、当堂检测
1、设原命题：若，则 中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题
的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
2、在△中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、设集合,那么“,或”是“”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、设，则是的 （ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
5、一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
三、课后作业
1、下列四个命题中
①“”是“函数的最小正周期为”的充要条件；
②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件；
③ 函数的最小值为
其中假命题的为 （将你认为是假命题的序号都填上）
2、已知 “”和“”，
则“”是“”的___________________条件
“”是“”的___________________条件
3、求证：函数是偶函数的充要条件是
4、已知； 若是的
充分非必要条件，求实数的取值范围。
