(共21张PPT)
八年级下册
7.4
勾股定理的逆定理
1、用文字语言说出勾股定理。
2、说出它的逆命题，并判断它的逆命题是真命题还是假命题？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
？
知识回顾
据说古埃及人曾经用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道为什么吗？
探索勾股定理的逆定理
3
4
5
请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
3
2
4
2
5
2
+
=
直角三角形
（1）探索并证明勾股定理的逆定理。
（2）能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形.
（3）能灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
（4）了解勾股数组的概念，能举例说明怎样的三个数是勾股数组。
（5）体会数形结合的思想.
学习目标
认真看课本P56—P58例2以上的内容：
1、了解勾股定理的逆定理的一般性的证明。
2、看例1时注意归纳例题的解题步骤
6分钟后比谁能仿照例题做对习题。
自学指导
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1)a=25，b=20，c=15____
，
_____
;
(2)a=13，b=14，c=15____
_____
;
(4)
a:b:
c=3:4:5
_____
，
_____
;
是
是
不是
是
∠
A=900
∠
B=900
∠
C=900
(3)
a=1
b=2
c=
___
，
_____
;
自学检测
a
b
c
勾股定理的逆定理
∵a2+b2=c2
∴ΔABC为直角三角形
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的判定方法：
1、定义（角）：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、勾股定理的逆定理（边）：如果三角形的三边长a、b、c（c为最大边）满足
，则这个三角形是直角三角形
归纳总结
认真学习课本P58页例2，并注意其解题格式。
2分钟后，比谁能正确做对习题。
自学指导
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可能是
(
)
3:4:7
B.
5:12:13
C.1:2:4
D.1:3:5
将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是
(
)
是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.
可能是钝角三角形
D.
不可能是直角三角形
B
A
自学检测
三角形的三边分别是a,b,c,
且满足等式(a+b)2-c2=2ab,
则此三角形是
(
)
A.
直角三角形
B.
是锐角三角形
是钝角三角形
D.
是等腰直角三角形
已知?ABC中BC=41,
AC=40,
AB=9,
则此三角形为_______三角形,
______是最大角.
5.
以?ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,
则这个三角形是______三角形.
A
直角
直角
∠
A
A
D
C
B
四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且∠ABC=900,求这个四边形的面积.
13
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
7.
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个
零件符合要求吗？
8.已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝900，AB＝3，BC＝12，CD＝13，AD＝4,求四边形ABCD的面积?
B
A
D
C
S四边形ABCD=36
仔细阅读课本P58页史海漫游。
1、了解什么是勾股数组。
2、记住常见的勾股数组。
2分钟后，比谁能正确做对习题。
自学指导
1、满足_______的三个____叫做勾股数组。
如3，4，
____；6，8，
_____等。
2、下列几组数中是勾股数组的是（
）
A.
6,
8,
9
B.
3,
-4,
5
C.
1.5
,
2,
2.5
D.
9,
40,
41
自学检测
3，4，5；
5，12，13；6，8，10； 10，24，26；
9，12，15；
7，24，25；
8，15，17；
9，40，41；
以小组为单位，每位同学自己找一组勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。
1.通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
2.请你总结一下，判断一个三角形是否是直角三角形，都有哪些方法？
课堂小结
如果三角形的三边长a，b，c满足a2
+b2=c2
，
那么这个三角形是直角三角形
满足a2
+b2=c2的三个正整数，称为勾股数
勾股定理的逆定理
在?ABC中,
a，b，c为三边长,其中
c为最大边,
若a2
+b2=c2,
则?ABC为直角三角形;
若a2
+b2>c2,
则?ABC为锐角三角形;
若a2
+b2则?ABC为钝角三角形.
祝同学们学习进步！勾股定理与逆定理
一．选择题（共12小题）
1．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．
5
B．
C．
D．
5或
2．已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6=0的两根，则此直角三角形的斜边长为（ ）
A．
B．
3
C．
D．
3
3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）
A．
7
B．
6
C．
5
D．
4
4．如下图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．
﹣4和﹣3之间
B．
3和4之间
C．
﹣5和﹣4之间
D．
4和5之间
第4题图
第5题图
第7题图
5．已知，如上图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．
3cm2
B．
4cm2
C．
6cm2
D．
12cm2
6．已知直角三角形的周长为12，其斜边为5，则三角形的面积为（ ）
A．
12cm2
B．
6cm2
C．
8cm2
D．
10cm2
7．如上图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是（ ）
A．
S1+S2=S3
B．
C．
S1+S2＞S3
D．
S1+S2＜S3
8．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．
6
B．
8
C．
D．
9．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A．
48
B．
60
C．
76
D．
80
第9题图
第11题图
第12题图
10．下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．
1cm，2cm，3cm
B．
2cm，4cm，5cm
C．
6cm，8cm，10cm
D．
11．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）
A．
12m
B．
13m
C．
16m
D．
17m
12．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
二．填空题（共6小题）
13．如下图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 _________ ．
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
14．如上图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是 _________ ．
15．如上图，正方形A的面积是 _________ ．
16．如上图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是 _________ 厘米．
17．如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为 _________ cm．
第17题图
第18题图
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为 _________ ．
三．解答题（共5小题）
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
20．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．
21．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
22．一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积．
23．已知a，b，c为三角形的三边，若a=2，b=3，当c为何值时，△ABC是：
（1）锐角三角形？
（2）直角三角形？
（3）钝角三角形？
参考答案与试题解析
1-5
DCCAC
6-10
BADCC
11-12
DC
13、
14、5
15、36
16、6
17、
18、6
19．解答：
解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
20．解答：
解：过点F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．
21．解答：
证明：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2．
22．解答：
解：∵平行四边形的两条对角线的长分别是12和6，∴两条对角线的长的一半分别是6和3，∵62+（3）2=81=92，∴两对角线的一半与边长构成的三角形是直角三角形，∴此平行四边形是菱形，面积=×12×6=36．
23．解答：
解：（1）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形，即c2＜22+32=13，∴c＜，∵a＜b＜c∴3＜c＜．∴当3＜c＜时，△ABC是锐角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＞，∵a＜c＜b，∴＜c＜3，∴当＜c＜3，时，△ABC是锐角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＞，∵c＜a＜b，∴＜c＜2（舍去），∴当＜c＜3，或3＜c＜时，△ABC是锐角三角形；（2）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形，即c2=22+32=13，∴c=，∴当c=时，△ABC是直角三角形，②a＜c＜b当a2+c2=b2时，△ABC是直角三角形，即c2=b2﹣a2=32﹣22=5，∴c=，∴当c=时，△ABC是直角三角形，③c＜a＜b当c2+a2=b2时，△ABC是直角三角形，即c2=b2﹣a2=32﹣22=5，∴c=，∴当c=时，△ABC是直角三角形，∴当c=或时，△ABC是直角三角形；（3）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形，即c2＞22+32=13，∴c＞，∵a＜b＜c∴c＞．∴当c＞时，△ABC是钝角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＜，∵a＜c＜b，∴2＜c＜，∴当2＜a＜，时，△ABC是钝角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＜，∵c＜a＜b，∴0＜c＜2，∴当0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形，∴当c＞或当2＜a＜或0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形．
