苏教版选修2-2第一章导数及其应用复习教案

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类型一 导数的概念及几何意义
导数的背景和概念以及求简单函数的导数的方法，是“导数”内容的基础，高考对“导
数”的考查，第一个层次就是考查导数的概念，求导公式和求导法则，它可能以选择题或填空题的形式出现，也可能在解答题中出现．
导数的引入，也拓宽了解决解析几何问题的思路．导数的几何意义是曲线
y＝f（x）上的点在处切线的斜率，解析几何的许多最值问题也可以借助导数法得到很好的解决．因此，在复习的过程中，应注意设计典型的例题，引导学生进行探究和训练，帮助学生深刻地体会和认识导数的应用价值．
例1、曲线在点（0，0）处的切线的倾斜角为___________．
【思路】由导数的几何意义可知，曲线在点（0，0）处的切线的斜率即为函数
在x＝0处的导数值，据此可得切线的倾斜角．
【解析】 因为，所以曲线在点（0，0）处的切线的斜率，则切线的倾斜角为．
【点评】 解决与曲线的切线有关的问题，一定要明确“在某点”与“过某点”的区别．
变式题：
曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积是___________．
【答案】
【解析】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，则切线方程为，即，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A（1，0）、，则切线于坐标轴围成的三角形OAB的面积为．
类型二 利用导数的研究函数的单调性、求函数的最值、极值
应用导数研究函数单调性的基本方法，往往涉及分类讨论思想、数形结合思想等，考
查综合应用数学知识解决问题的能力，因此，在复习应用导数求函数单调性的相关问题时，要注意加强对前面章节知识的复习和巩固，强化小综合的应用问题，拓展解决问题的思路．
借助于导数研究函数的极值、最值简洁明快，充分体现了利用导数解题的优越性，是高考考查的一个重要方面．同学们复习时要注意取得极值的条件和求最值的方法．
例2．设，讨论定义在的函数的单调性．
【思路】由于求导后，导函数含有参数，所以如何有条理的分类讨论是解决本题的关键．
【解析】
（1）若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
（2）若时，则
（ⅰ）若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
（ⅱ）若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．
（ⅲ）若，则当时， ，单调递减； 当时，，单调递增；当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调增区间是、，单调减区间是；
当时，的单调增区间是，单调减区间是；
当时，的单调增区间是，单调减区间是、．
【点评】导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等．
例3、已知函数在点处取得极小值，其导函数的图象经过（－1，0），（5，0），如图，
求：（1）的值；（2）a，b，c的值．
【思路】本题属于对函数的逆向考查，已知极值求参数问题，对于函数极大（小）值的条件，一定要既考虑，又考虑点左右两侧导函数值的正负．
【解析】
观察图象，我们可发现当或时，，
此时，f（x）为减函数；当时，，此时，f（x）为增函数．列表如下：
x －1 5
－ 0 ＋ 0 －
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
因此，在x＝－1处函数取得极小值，结合已知，可得＝－1.
（2）由（1）知，即，再结合的图象可知，方程
＝0的两根分别为－1，5，那么即，
结合，得a＝1，b＝－4，c＝－5.
【点评】本题将函数的解析式、极值、函数单调性，及二次方程根与系数的关系融为一体，涉及知识点较多，只有细心运算，才能确保结论的正确性．
变式题 函数在x＝1时有极值10，则a的值为_________.
【解析】，由于当x＝1时函数取得极值10，
故必有……（1），……（2），
联立（1）（2），得a＝－3或a＝4，但当a＝－3时，b＝3，
此时，虽有，但由极值定义可知当x＝1时函数值不是极值，故a＝4.
类型三 导数在实际问题中的应用
能用导数的方法求解科学技术、经济活动以及生产与生活实际中的有关使利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题，了解导数在解决实际问题中的作用，是新课程对导数提出的教学要求之一，也是新课程的高考要求考生必须掌握的内容之一．在复习教学中，要注意运用学生熟悉的数学问题以及生产、生活实际中的问题，使学生充分感受导数在解决数学问题和实际问题中的应用，帮助学生增强数学应用的意识．
例4．烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染. 已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比.（比例系数为k）.若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y.
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由.
【思路】解决应用问题的关键是建立正确的函数模型，再借助导数的工具作用求解．
【解析】（Ⅰ）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，，可得BC=20-x；
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：
，
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得
；
令，得；
又，∴.
∵当时，；当时，，
∴当时，y取最小值.
故存在点C，当km时，该点的烟尘浓度最低.
【点评】在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：（1）设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围（即函数定义域）；（2）依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；（3）求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；（4）通过单调性确定出函数的最值点以及最值．
变式题：某厂生产某产品x吨的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品吨数x成反比，生产100吨这种单价为50万元的产品，产量定为多少时总利润最大？
【解析】设单价为a万元，产品总利润为y万元．则，由，得k＝250000，
所以，而y＝ax－C（x），即，
得（），则，令，得x＝25，
当025时，，此时函数递减．
因此，当x＝25时，y有最大值，即产量定为25吨时，总利润最大，其利润为万元．
类型四 导数在方程、不等式中的应用
例5、已知函数 (x>0)在处取得极值，其中a,b,c为常数．
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围．
【思路】（1）由函数在处取得极值，从而得到，进而求得的值；由（1）的结论，利用导数讨论函数的单调区间；（3）对任意x>0，不等式恒成立即是，这样利用导数求得在上的最小值即可．
【解析】（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．
【点评】本小题主要考查函数的单调性及极值、最值，考查运用导数研究函数单调性及极值、最值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．求解中利用了恒成立的结论：在[a,b]上恒成立，只须；在[a,b]上恒成立，只须．
变式题： 设函数.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式| f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ）
令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值=
当x=3a时，极小值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①
∵0∴a+1>2a.
∴上是减函数.
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于
又
∴
高考零距离
1、（2011，广东理12）12.函数在 处取得极小值.
2、（2011，湖南文7）．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：，所以
。
3、（2011，福建文10）．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
答案：D
4．（2011，江苏12）.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
答案：
解析：设则，过点P作的垂线
，
，所以，t在上单调增，在单调减，.
本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.
5、（2011，安徽理（16）(本小题满分12分)
设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
分析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
解：对求导得 ①
（I）当，若
综合①,可知
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以,是极小值点,是极大值点.
（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知
在R上恒成立，因此由此并结合，知
6．（2011，江苏19）.（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.
答案：
因为函数和在区间上单调性一致，所以，
即
即实数b的取值范围是
由
若,则由,,和在区间上不是单调性一致,
所以.
;又.
所以要使,只有,
取,当时, 因此
当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即，
设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切
点设为
则；
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即，
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意，
当时，由题意：
综上可知，。
解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题.
导数
定积分
导数的概念
导数的运算
导数的应用
定积分的概念
微分与积分的关系
实际背景
A
B
·
C