八年级数学春季专题一 勾股定理与逆定理拓展 学案

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2021春八年级数学专题讲义
专题一
勾股定理与逆定理的思维提升
一、勾股定理中的常考题型
题型1
利用勾股定理求三角形中的边角问题
【例1】如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F连接CE，EF，CF，得到△CEF.且CD=1，AF=2，CF=3.
求CE的长.
【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8.
（1）求证：∠BAC=90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，
请直接写出BP的长.
题型2
利用勾股定理中的方程思维求线段长
【例3】如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，求DE的长.
题型3
利用勾股定理解决实际问题
【例4】（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
【例5】如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少？
二、勾股定理中的拓展题型
题型4
利用勾股定理求最短距离
【例6】如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为
.
题型5
利用勾股定理证明图形中的线段关系
【例7】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E，
求证：AC2＝AE2-BE2
．
题型6
利用勾股定理求动点中的线段长
【例8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.
题型7
利用勾股定理解三角形中的综合图形问题
【例9】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，DE垂直平分AB，分别交AB，BC与点D，E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.
（1）求PD的长度；
（2）连接PC，求PC的长度.
【例10】已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于点N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：OM=ON；
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当ENBD时，求证：四边形DENM是菱形；
（3）在（2）的条件下，若正方形边长为4，求EC的长．
【配题练习】
1.将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，
如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是（???
）
A.????????????????????
B.????????????????????
C.????????????
D.?
2.如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，则点E的坐标为________．
第2题图
第3题图
第4题图
3.如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，且AH:AE=3:4，那么AH等于
．
4.如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2=DE2，则∠A的度数为
.
5.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为
.
6.如图，四边形ABCD中AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°．试求∠BAD的度数．
7.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上取一点E，连结BE.将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，求CE的长.
8.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
9.图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60°，
∠ACB=15°，AC=40cm，求支架BC的长.（结果精确到1cm，参考数据：
，
，
）
??????
10.意大利著名画家达?芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2
．
（1）请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
（2）请利用达?芬奇的方法证明勾股定理．
答案解析部分
一、勾股定理中的常考题型
【例1】【答案】
解：
四边形
是矩形，
，
，
，
，，
中，
，
，
，
根据勾股定理得
，
，
∴矩形
中，
，
是
的中点，
，
中，
，
，
，
根据勾股定理得，
.
【例2】【答案】
（1）证明：
∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，CD＝8，
∴
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AD2＋BD2＝20.
同理可得：
AC2＝CD2＋AD2＝80.
∵BC＝CD＋BD＝10，
∴BC2＝100.
∴AC2＋AB2＝100＝BC2.
∴△ABC是直角三角形.
∴∠BAC＝90°.
（2）解：若
为等腰三角形，BP的长可从以下三种情况进行计算：
①当BP＝AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB＝
，
∴BP＝AB＝
；
②当BP＝AP时，
∵△ABC是直角三角形，
∴
∠B＋∠C＝90°，∠BAP＋∠PAC＝90°.
∵∠B＝∠BAP，
∴∠C＝∠PAC.
∴AP＝PC.
∴BP＝
BC＝5.
③当AP＝AB时，
∵AD⊥BC，∴
BP＝2BD＝4.
综上所述：BP的长为
或5或4.
【分析】（1）先利用勾股定理算出AB2及AC2，根据
AC2＋AB2＝100＝BC2利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（2）
若为等腰三角形，分三种情况：①当BP＝AB时，②当BP＝AP时，③当AP＝AB时，据此分别解答即可.
【例3】【答案】
解：如图，连接AE，
∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∵
，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x.
∵G为BC中点，BC＝6，
∴CG＝3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9＝（x+3）2
，
解得x＝2.
则DE＝2.
【例4】【答案】
解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，
根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4
解得：x=3.75.
答：湖水深3.75尺.
【例5】【答案】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，∠BAD=90°，BD=
=
=15米，
在Rt△EBD中，∠EBD=90°，ED＝
＝
＝17米.
故点D到灯E的距离是17米.
二、勾股定理中的拓展题型
【例6】
【例7】【答案】
证明：∵
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴
，
∵DE⊥AB，∴
，
∴
，
∴
．
【例8】
【例9】
【例10】【答案】
（1）证明：∵DH⊥AE，
∴∠DHA＝90°，
∴∠NAH+∠ANH＝90°，
∵∠ODN+∠DNO＝90°，∠ANH＝∠DNO，
∴∠ODN＝∠NAH，
在
和
中，
?，
∴
（AAS），
∴OM＝ON；
（2）证明：
正方形
，
?
?
由（1）可知，
，
∴OM＝ON，
∴∠NMO＝45°＝∠CDO，
∴ED∥NM，
∵EN∥DM，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴平行四边形DENM是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，
∴AC＝
，
∵四边形DENM是菱形，
∴AH是DN的垂直平分线，
∴AN＝AD＝4，
∴NC＝
，
∵EN∥DM，
∴∠ENC＝∠DOC＝90°，
∵∠ECN＝45°，
∴EC＝
．
【配题练习】
1.【答案】
D
2.【答案】
3.【答案】
6
4.【答案】
135
5.【答案】
10
6.【答案】
135°
7.【答案】
8.【答案】解：由题意，AB=15，AC=DE=9，CD=AE=2，BD⊥AC，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
，
∴BD=BC+CD=14（米），
答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．
9.【答案】
解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，
∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵AC=40cm，
∴在Rt△ACD中，AD=
AC=20cm，
∴CD=
cm，
∴在Rt△BCD中，BC=
cm，
∴支架BC的长为49cm.
10.【答案】
（1）解：
?
（2）解：由
?得
?
?所以
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