(共51张PPT)
第二章
平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
必备知识·自主学习
1.向量的定义与表示
(1)定义:既有_____又有_____的量叫做向量.
导思
(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等,这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别?
(2)如何形象、直观地表示既有大小,又有方向的量?
(3)“若a∥b,且b∥c,则a∥c”这个说法对吗?
大小
方向
(2)表示方法:
①几何表示法:用以A为起点,以B为终点作的有向线段____表示.
②字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c…表示向量,手写时,可写成带
箭头的小写字母
…
(3)向量的模:向量的大小叫做向量的_____或___,如a,
的模分别记作____,______.
长度
模
|a|
|
|
【思考】
(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性?只描述其中一个方面可以吗?
提示:向量不仅有大小,而且有方向.大小是代数特征,方向是几何特征.看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素,二者缺一不可.
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量?
提示:要准确画出向量,应先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.
2.特殊向量
(1)零向量:___________的向量叫做零向量,记作0.
(2)单位向量:____________________的向量叫做单位向量.
(3)相等向量:_________且_________的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作
a=b.
(4)平行向量或共线向量:方向___________的非零向量叫做平行向量,也叫做共
线向量.向量a平行于b,记作a∥b.规定_______平行于任何向量.
长度等于零
长度(或模)为1个单位
长度相等
相同或相反
零向量
方向相同
【思考】
(1)0与0相同吗?0是不是没有方向?
提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.
(2)若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系?
提示:若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.
(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?
提示:向量平行与几何中的平行不同,向量平行包括基线重合的情况,故也称向量共线.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.
( )
(2)任意两个单位向量都相等.
( )
(3)平行向量的方向相同或相反.
( )
(4)若
,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.
( )
提示:(1)×.两个有共同起点,且长度相等的向量,方向不一定相同,其终点也不
一定相同.
(2)×.任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.
(3)√.由平行向量的定义可知.
(4)×.若
,则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.
2.下列物理量:①位移;②力;③加速度;④路程;⑤密度.其中不是向量的
有
( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【解析】选B.①②③既有大小,又有方向,是向量;④⑤只有大小,没有方向,不是向量.
3.(教材二次开发:习题改编)如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则选项中与
相等的向量是
( )
【解析】选D.由题图知,与
相等的向量是:
关键能力·合作学习
类型一 向量的概念、零向量、单位向量(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.以下选项中,都是向量的是
( )
A.正弦线、海拔
B.质量、摩擦力
C.三角形的边长、体积
D.
余弦线、速度
2.下列说法中正确的是
( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
3.给出下列说法:
①零向量是没有方向的;
②零向量的方向是任意的;③单位向量的模都相等,
其中正确的是________(填上序号).?
【解析】1.选D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向,是向量;海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向,不是向量.
2.选D.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.
3.由零向量的方向是任意的,知①错误,②正确;由单位向量的模是1,知③正确.
答案:②③
【解题策略】
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
关键看它是否具备向量的两要素:
(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:两个单位向量的长度相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】下列说法正确的是
( )
A.有向线段
与
表示同一向量
B.两个有公共终点的向量是平行向量
C.零向量与任意向量共线
D.对任意向量a,
是一个单位向量
【解析】选C.向量
与
方向相反,不是同一向量,A错误;有公共终点的向量
的方向不一定相同或相反,B错误;当a=0时,
无意义,D错误;零向量与任何向
量都是共线向量,C正确.
类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.已知点O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,表示
出各向量,如图所示.
(1)与
相等的向量有________,与
相等的向量有________.?
(2)与
共线的向量有________.?
(3)与
的模相等的向量有________.?
2.(2020·包头高一检测)下列说法正确的是
( )
A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线
B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线
C.向量
与
是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线
D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
【解析】1.(1)根据相等向量的定义可知
=
,
=
.
(2)根据共线向量的定义可知,与
共线的向量为
(3)易知
答案:(1)
(2)
(3)
2.选D.当b=0时,A不对;如图,a=
,c=
,b与a,b与c均不共线,但a与c共线,
所以B错.
在?ABCD中,
与
共线,但A,B,C,D四点不共线,所以C错;若a与b有一个为零
向量,则a与b一定共线,所以a,b不共线时,一定有a与b都是非零向量.
【解题策略】
(1)寻找相等向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向且共线的.
(2)寻找共线向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.
(3)共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【补偿训练】
1.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O,EF是过点O且平行于AB
的线段,在所标的向量中:
(1)写出与
共线的向量.
(2)写出与
方向相同的向量.
(3)写出与
,
的模相等的向量.
(4)写出与
相等的向量.
【解析】等腰梯形ABCD中,AB∥CD∥EF,AD=BC.
(1)题图中与
共线的向量有
(2)题图中与
方向相同的向量有
(3)题图中与
的模相等的向量为
,与
的模相等的向量为
.
(4)题图中与
相等的向量为
.
2.四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两
个交点作为向量,则与
平行且长度为
的向量个数有________个.?
【解析】如图所示,满足与
平行且长度为
的向量有
,共8个,
答案:8
类型三 向量的表示与应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 几何应用?
【典例】如图的方格由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成,方格纸中有定
点A,点C为小正方形的顶点,且|
|=
,画出所有的向量
.
【思路导引】起点为A,只需确定模与方向即可.
【解析】画出所有的向量
,如图:
【变式探究】
如图所示,在四边形ABCD中,
N,M分别是AD,BC上的点,且
.
求证:
【证明】因为
所以|
|=|
|,且AB∥CD,
所以四边形ABCD是平行四边形.所以|
|=|
|,且DA∥CB.
又因为
与
的方向相同,
所以
=
.同理可证四边形CNAM是平行四边形,
所以
=
.因为|
|=|
|,|
|=|
|,
所以|
|=|
|,DN∥MB,即
与
的模相等且方向相同,
所以
=
.
角度2 实际应用?
某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了10
米到
达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量
(2)求
的模.
【思路导引】可先选定向量的起点及方向,并根据其长度作出相关向量.可把
放在直角三角形中求得|
|.
【解析】(1)作出向量
,如图所示:
(2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10
米,CD=10米,
所以BD=10米.可知△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,
所以AD=
=5
(米),
所以|
|=5
.
【解题策略】
(1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.
(2)利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但需说明两向量所在的基线无公共点.用平行向量可证明(判断)直线平行,但证明直线平行时,除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点.
【题组训练】
1.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1)
,使|
|=4
,点A在点O北偏东45°.
(2)
,使|
|=4,点B在点A正东.
(3)
,使|
|=6,点C在点B北偏东30°.
【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方
格数与纵向小方格数相等.又|
|=4
,小方格边长为1,所以点A距点O的横向
小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量
如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向处,且|
|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方
格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量
如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°处,且|
|=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C
距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3
≈5.2,于是点C位置可以确定,
画出向量
如图所示.
2.四边形ABCD中,
=
,且|
|=|
|,tan
D=
,则四边形ABCD的形状
为________.?
【解析】因为在四边形ABCD中,
=
,所以AB
DC,所以四边形ABCD是平行
四边形.
因为tan
D=
,所以∠B=∠D=60°.又|
|=|
|,所以△ABC是等边
三角形,所以|
|=|
|,所以四边形ABCD是菱形.
答案:菱形
【补偿训练】
如图所示,平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,
D,O},向量集合T={
|M,N∈S,且M,N不重合}.试求集合T中元素的个数.
【解析】由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有
20个,即
由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即
又集合元素具有互异性,故集合T中的
元素共有12个.
1.下列说法正确的是
( )
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度是0
C.长度相等的向量叫相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
【解析】选B.对A,由于0与任意向量平行,所以A错误;对B,零向量的长度是0,正确;对C,长度相等的向量方向不一定相同,故C错误;对D,共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.
课堂检测·素养达标
2.下列命题中,正确的是
( )
A.|a|=|b|?a=b
B.|a|>|b|?a>b
C.a=b?a∥b
D.|a|=0?a=0
【解析】选C.两个向量模相等,方向不一定相同,向量不一定相等,A错;向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,B错;向量相等,方向相同,一定是共线向量,C正确;若|a|=0?a=0,故D错.
3.设M是等边△ABC的中心,则
是
( )
A.有相同起点的向量
B.相等的向量
C.模相等的向量
D.平行向量
【解析】选C.由正三角形的性质知,|MA|=|MB|=|MC|.所以
4.(教材二次开发:习题改编)已知如图的方格纸(每个方格的单位长度为1).
(1)画出
,使|
|=3,点A在点O的正西方向.
|
|=3
,点B在点O北偏西45°方向.
(2)求出|
|的值.
【解析】(1)依题意,结合向量的表示可知,所画向量如图所示.
(2)由图知,△AOB是等腰直角三角形,
所以
5.如图,是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以
从A处跳到A1处,用向量
表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量
表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
【解析】如图,马在B处只有3步可走,马在C处有8步可走,人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.(共52张PPT)
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
必备知识·自主学习
1.相反向量
定义:如果两个向量_________,_________,那么称这两个向量是相反向量.
性质:
(1)对于相反向量有:a+(-a)=__.
(2)若a,b互为_________,则a=-b,a+b=0.
(3)零向量的相反向量仍是_______.
导思
(1)相反向量与相反数一样吗?你能作出向量a与b的差a-b吗?
(2)向量减法有哪些运算法则?
长度相等
方向相反
0
相反向量
零向量
【思考】
有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“长度相等”是多余的,对吗?
提示:不对,相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解,不是仅方向相反,还必须长度相等.
2.向量的减法
(1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
(2)作法:在平面内任取一点O,作
=a,
=b,则向量a-b=____,如图所示.
(3)几何意义:a-b可以表示为从向量b的_____指向向量a的_____的向量.
终点
终点
【思考】
(1)由向量减法的定义,你认为向量的减法与加法有何联系?
提示:向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-
=
,
就可以把减法转化为加法.
(2)由向量减法作图方法,求差的两个向量的起点是怎样的?差向量的方向如何?
提示:求差的两个向量是共起点的,差向量连接两向量终点,方向指向被减向量.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两向量首尾相连,和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点.
( )
(2)向量a-b,当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向
量.
( )
(3)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.
( )
(4)向量
与向量
是相反向量.
( )
提示:(1)√.由向量加法的三角形法则知正确.
(2)√.由向量减法法则知正确.
(3)×
.由平行向量与相反向量的定义可知,相反向量必为平行向量,平行向量不一定是相反向量.
(4)√.向量
与向量
长度相等,方向相反.
2.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,D是BC的中点,设
=c,
=b,
=a,
=d,则d-a=________.?
【解析】d-a=d+(-a)=
+
=
=c.
答案:c
3.设b是a的相反向量,则下列说法正确的有________.?
①a与b的长度必相等;
②a∥b;
③a与b一定不相等;
④a是b的相反向量.
【解析】因为0的相反向量是0,故③不正确.其他均正确.
答案:①②④
关键能力·合作学习
类型一 向量减法的几何意义(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·济南高一检测)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
2.如图,O为△ABC内一点,
=a,
=b,
=c.求作:
(1)b+c-a;(2)a-b-c.
【解析】1.方法一:如图所示,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,
则
=a+b,再作
=c,则
=a+b-c.
方法二:如图所示,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,
则
=a+b,再作
=c,连接OC,则
=a+b-c.
2.如图所示,以
,
为邻边作?OBDC,连接OD,AD,则
=
+
=b+c,
所以,(1)b+c-a=
-
=
.
(2)a-b-c=a-(b+c)=
-
=
.
【解题策略】
(1)作两向量的差的步骤.
(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后用加法a+(-b)即可.
(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用.
【补偿训练】
1.如图所示,已知向量a,b,c,求作a-b-c.
【解析】如图所示,以A为起点分别作向量
和
,使
=a,
=b.
连接CB,得向量
,再以C为起点作向量
,使
=c.连接DB,得向量
.
则向量
即为所求作的向量a-b-c.
2.试根据图中给出的向量,确定a,b,c,d的方向(用箭头表示),使a+b=
,
c-d=
,并画出b-c和a+d.
【解析】因为a+b=
,c-d=
,
所以
如图所示,
作平行四边形OBEC,平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得
b-c=
,a+d=
.
类型二 向量的加减法运算(逻辑推理、直观想象)
【题组训练】
1.在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则
等于( )
2.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,|
|2=16,|
|=|
|,
则|
|=( )
A.8
B.4
C.2
D.1
3.化简:(1)
(2)
【解析】1.选D.如图所示,
2.选C.由|
|=|
|可知
与
垂直,故△ABC为直角三角形,
AM为斜边BC的中线,所以|
|=2.
【解题策略】
1.向量减法运算的常用方法
2.向量加法与减法的几何意义的联系
如图所示,平行四边形ABCD中,若
=a,
=b,则
=a+b,
=a-b.
【补偿训练】
1.化简下列各式:
(1)(
)+(-
).
(2)
【解析】(1)方法一:原式=
=
.
方法二:原式=
(2)方法一:原式=
方法二:原式=
2.下列各式中不能化简为
的是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.选项A中,
=
;
选项B中,
选项C中,
类型三 向量加减运算几何意义的应用(数学建模、逻辑推理)
角度1 利用已知向量表示未知向量?
【典例】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且
试用向量a,b,c表示向量
【思路导引】由平行四边形的性质可知
=c,由向量的减法可知:
=
,由向量的加法可知
=
.
【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,
所以
故
【变式探究】
本例中的条件“B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内
一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?
【解析】如图,
因为四边形ACDE是平行四边形,
所以
角度2 求解或证明几何问题?
【典例】已知非零向量a,b满足|a|=
+1,|b|=
-1,且|a-b|=4,则|a+b|的
值为________.?
【思路导引】作出图形,利用向量的加减法几何意义求解.
【解析】如图,
=a,
=b,
则|
|=|a-b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,则|
|=|a+b|.由于(
+1)2+(
-1)2=42.
故|
|2+|
|2=|
|2,
所以△OAB是以∠AOB为90°的直角三角形,从而OA⊥OB,所以?OACB是矩形.根据
矩形的对角线相等有|
|=|
|=4,即|a+b|=4.
答案:4
【解题策略】
1.解决用已知向量表示未知向量问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤如下:
(1)由题意作出相对应的几何图形,构造有关向量.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则,对向量的加、减法进行运算.
(3)构造三角形(一般是直角三角形),利用三角形的边、角关系解题.
【题组训练】
1.如图,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知
=a,
=b,
=c,
=e,用a,b,c,e表示向量
.
【解析】在△OBE中,有
=e-c,
在△ABO中,
=e-c-a,
在△ABD中,
=a+b,
所以在△OAD中,
=e-c-a+a+b=e-c+b.
2.如图所示,已知
试用a,b,c,d,e,f表示:
【解析】(1)因为
(2)因为
所以
=b+f-a-c.
(3)因为
所以
备选类型 向量加减运算的三角不等式(数学建模、逻辑推理)
【典例】已知向量a,b,那么|a|-|b|与|a±b|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系?
【思路导引】(1)零向量的运算性质.
(2)向量加(减)法的三角形法则.
【解析】它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
(1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.
(2)当a,b不共线时,作
=a,
=b,则a+b=
,如图(1)所示,根据三角形的
性质,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
(3)当a,b非零且共线时,①当向量a与b同向时,作法同上,如图(2)所示,此时|a+b|=|a|+|b|.②当向量a,b反向时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图(3)所示,此时|a+b|=|a|-|b|.
综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
【解题策略】
1.平面向量加减法的几何意义:平行四边形ABCD中,若
=a,
=b,则
=a+b,
=a-b.
2.类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【补偿训练】
(2020·本溪高一检测)已知菱形ABCD的边长为2,则向量
的模为________;|
|的取值范围是________.?
【解析】因为
又|
|=2,
所以
答案:2 (0,4)
1.下列等式:
①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a-b=a+(-b),其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.根据向量的加减运算易知①②③④均正确.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:练习改编)
在△ABC中,向量
可表示为
( )
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
【解析】选C.由向量的减法与加法可得②③④正确.
3.如图,在四边形ABCD中,设
=a,
=b,
=c,则
等于
( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
【解析】选A.
=a+c-b=a-b+c.
4.如图,在正六边形ABCDEF中,与
相等的向量有_______.
(填序号)?
【解析】因为
所以填①.
答案:①
5.在平行四边形ABCD中,
=a,
=b,先用a,b表示向量
和
,并回答:
当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?
【解析】由向量加法的平行四边形法则,得
=a+b,
=
-
=a-b.
当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线相等,四边形ABCD为矩形;
当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形;
当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.(共46张PPT)
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
必备知识·自主学习
导思
(1)向量与实数可以求积,那么向量和实数可以进行加
减运算吗?数乘向量与实数的乘积等同吗?
(2)平面向量共线定理是什么?如何利用向量证明三点
共线?
1.向量的数乘运算
定义:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作
λa.
规定:(1)|λa|=
________.
|λ||a|
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向_____;当λ<0时,λa的方向与a的方向_____;
当λ=__时,λa=0.
相同
相反
0
【思考】
(1)定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息?
提示:数乘向量的结果仍是一个向量,它既有大小又有方向.
(2)若把
|λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗?为什么?
提示:不可以,当λ<0时不成立.
2.向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,则
(1)λ(μa)=
________;?
(2)(λ+μ)a=________;?
(3)λ(a+b)=________.?
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
【思考】
这里的条件“λ,μ为实数”能省略吗?为什么?
提示:不能,数乘向量中的λ,μ都是实数,只有λ,μ都是实数时,运算律才成立.
3.共线向量与向量的线性运算
(1)共线向量定理:
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有_________实数λ,使得b=λa.
(2)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
唯一一个
【思考】
(1)共线向量定理中的“a≠0”是否多余,能去掉吗?
提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,则λ不存在.
(2)反之,“若存在一个实数λ,使b=λa(a≠0),则a与b共线”成立吗?
提示:成立.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
a的方向与a的方向相同,且
a的模是a的模的
倍.
( )
(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的
.
( )
(3)a与-λa的方向相反.
( )
(4)若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb.
( )
提示:(1)√.因为
>0,所以
a与a同向.
因为|
a|=
|a|,所以
a的模是a的模的
倍.
(2)√.因为-3<0,所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.6a与a方向相同且|6a|=
6|a|,所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的
.
(3)×.当λ<0时,a与-λa的方向相同.
(4)×.
若b=0时不成立.
2.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于
( )
A.
10d
B.
-10d
C.
20d
D.
-20d
【解析】选B.
2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.
3.(教材二次开发:练习改编)点C在线段AB上,且
=
,则
=______?
,
=______?
.
【解析】因为C在线段AB上,且
=
,
所以
与
方向相同,
与
方向相反,且
所以
答案:
关键能力·合作学习
类型一 向量的线性运算(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·彰化高一检测)化简4(a-b)-5(a+b)-b=
( )
A.a-2b
B.a
C.-a-6b
D.-a-10b
2.设向量a=3i+2j,b=2i-j,则
+(2b-a)=________.?
3.已知向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,试用向量a,b表示向量x,y.
【解析】1.选D.原式=4a-4b-5a-5b-b=-a-10b.
2.原式=-
a+
b=-
(3i+2j)+
(2i-j)=-
i-5j.
答案:-
i-5j
3.由题知3x-2y=a ①,-4x+3y=b ②.
由①×3+②×2,得x=3a+2b.
代入①,得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b.
【解题策略】向量线性运算的方法
(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【补偿训练】
1.已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
【解析】将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.
与5x+2y=a相加得11x=a+2b,即x=
a+
b.
所以y=3x-b=3
-b=
a-
b.
2.(2020·攀枝花高一检测)化简下列各式.
(1)3(5a+b)-9
(2)
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
【解析】(1)原式=15a+3b-9a-3b=6a.
(2)原式=
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
类型二 利用已知向量表示相关向量(数学运算、直观想象)
【典例】1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=
AB,BE=
BC.若
=λ1
+λ2
(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.?
2.如图所示,已知?ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且
=e1,
=e2,试用
e1,e2表示
【思路导引】充分利用三角形、四边形结合向量加法、减法法则求解.
【解析】1.由已知
所以
从而λ1+λ2=
.
答案:
2.设
=x,则
=
x,
=e1-
x,
=
e1-
x,
又
=x,由
,得x+
e1-
x=e2,
解方程得x=
e2-
e1,即
=
e2-
e1,由
=-
,
=e1-
x,得
=-
e1+
e2.
【解题策略】
(1)由已知量表示未知量时,要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.
(2)当直接表示较困难时,应考虑利用方程(组)求解.
【跟踪训练】
1.如图,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,已
知
试用a,b表示
和
【解析】方法一:连接CN,则AN?
DC,
所以四边形ANCD是平行四边形.
又因为
所以
所以
方法二:因为
即:
所以
又因为在四边形ADMN中有
即:
所以
2.如图,以向量
为边作?OADB,
用a,b表
示
【解析】因为
所以
又
所以
即有
类型三 向量共线定理及应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 求参数问题?
【典例】设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)
共线,当且仅当λ的值为
( )
A.0
B.-1
C.-2
D.-
【思路导引】利用向量共线定理解答.
【解析】选D.因为向量a与b共线,所以存在唯一实数u,使b=ua成立.即e1+λe2
=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以
解得λ=
【变式探究】
本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m,n∈R)”其
他条件不变,试求m+n的值.
【解析】因为向量a与b共线,所以存在唯一实数u,使b=ua成立.即2me1+ne2=
u(2e1-e2)=2ue1-ue2.
所以
所以m+n=0.
角度2 三点共线问题?
【典例】已知e1,e2是两个不共线的向量,若
=2e1-8e2,
=e1+3e2,
=
2e1-e2,求证:A,B,D三点共线.
【思路导引】利用共线向量定理求解.
【证明】因为
=e1+3e2,
=2e1-e2,
所以
=e1-4e2.
又
=2e1-8e2=2(e1-4e2),
所以
=2
,所以
∥
.
因为AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.
【解题策略】
向量共线定理:b与a(a≠0)共线?b=λa是一个等价定理,因此用它既可以证明点共线问题,也可以根据共线求参数的值.
证明三点共线,往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线,必须说明构造的两个向量有公共点,否则两向量所在的基线可能平行,解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分.
【题组训练】
1.(2020·滨州高一检测)已知非零向量e1,e2不共线.
(1)如果
=e1+e2,
=2e1+8e2,
=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
【解析】(1)因为
=e1+e2,
=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5
.
所以
共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线,
所以存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,只
能有
所以k=±1.
2.如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=
BD,求证:
M,N,C三点共线.
【证明】
因为
所以
由①,②可知
即
又因为MC,MN有公共点M,所以M,N,C三点共线.
【拓展延伸】
关于A,B,C三点共线条件的变形式
平面上三点A,B,C共线的充要条件是:存在实数α,β,使得
其
中α+β=1,O为平面内任意一点.
【拓展训练】
已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若
求x+y的值.
【解析】设
所以x+y=1+λ-λ=1.
【补偿训练】
设D为△ABC所在平面内一点,
则
( )
【解析】选A.
1.下列说法正确的是
( )
A.2a与a不能相等
B.2|a|>|a|
C.2a∥a
D.|2a|≠1
【解析】选C.对A,当a=0时,有2a=a;对B,当|a|=0时,有2|a|=|a|;对C,显然正确;
对D,当|a|=
时有|2a|=1.综上可知C正确.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:练习改编)
等于
( )
A.a-
b+2c
B.5a-
b+2c
C.a+
b+2c
D.5a+
b
【解析】选A.
=(3a-2a)+
+(c+c)=a-
b+2c.
3.在△ABC中,点P是AB上一点,且
则t的值为
( )
【解析】选A.由题意可得
又
所以t=
.
4.若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为________.?
【解析】由向量数乘定义可知,2x-1>0,即x>
.
答案:x>
5.设V是平面向量的集合,映射f:V→V满足f(a)=
则对任意的a,b∈V,
λ∈R.求证:f(|a|·a)=f(a).
【证明】若a=0,则f(|a|·a)=f(a)=0;
若a≠0,则f(|a|·a)=
|a|·a=
a,
且f(a)=
a,所以f(|a|·a)=f(a).
综上可得对任意向量a,均有f(|a|·a)=f(a)成立.(共60张PPT)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
必备知识·自主学习
导思
(1)如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任意向量a能否用e1,e2表示?根据是什么?
(2)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么?当非零向量a与b共线时,它们的夹角是多少?
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_______向量,那么对于这一平面内的
_____向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________.
(2)基底:_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
不共线
任意
λ1e1+λ2e2
不共线
【思考】
定理中的“不共线”能否去掉?
提示:不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.
2.向量的夹角
定义:已知两个非零向量a和b,作
=a,
=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹
角(如图所示).
(1)范围:向量a与b的夹角的范围是_______________.
(2)当_______时,a与b同向;当_________时,a与b反向.
(3)如果a与b的夹角是_____,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
0°≤θ≤180°
θ=0°
θ=180°
90°
【思考】
(1)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点,它们存在夹角吗?
提示:存在.
(2)求两向量夹角的解题步骤是怎样的?
提示:一作二证三算.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为该平面内所有向量的基底.
( )
(2)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d.
( )
(3)基底向量可以是零向量.
( )
提示:(1)×.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.
(2)×.当e1与e2共线时,结论不一定成立.
(3)×.基底向量是不共线的,一定是非零向量.
2.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,
=c,
=b,若点D满足
以b与c作为基底,则
=( )
【解析】选C.因为
所以
3.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是
( )
A.60°
B.120
°
C.30°
D.150°
【解析】选A.平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,
则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.
关键能力·合作学习
类型一 平面向量基本定理的理解(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·济南高一检测)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是
( )
①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;
②对于平面α内任意向量a,使a=λe1+μe2成立的实数对(λ,μ)有无穷多个;
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则
④若存在实数λ,μ,使得λe1+μe2=0则λ=μ=0.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
2.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:
其中可作为这个平行四边形所在
平面的一组基底的是
( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
3.设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.
【解析】1.选B.由平面向量的基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平面向量的基本定理可知,若平面的基底确定,那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于③,当λ1=λ2=0或μ1=μ2=0时,结论不成立.
2.选B.①
不共线;②
则
共线;③
不共线;
④
则
共线.由平面内向量基底的概念知,只有不共线的两个
向量才能构成一组基底,故①③满足题意.
3.假设存在唯一实数λ,使c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.
由a,b不共线得,
所以这样的λ是不存在的,从而c,d不共线,
所以c,d能作为基底.
【解题策略】
对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理告诉我们,在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.
(2)对于固定的e1,e2(向量e1与e2不共线)而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.
【补偿训练】
已知平面向量e1,e2是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,
则x-y=________.?
【解析】因为平面向量e1,e2是一组基底,所以向量e1,e2不共线,所以
解得x-y=3.
答案:3
类型二 向量的夹角(直观想象、数学运算)
【题组训练】
1.已知
则
的夹角为________.?
2.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为________.?
3.在△ABC中,AB=
,BC=1,AC=2,D是AC的中点.求:
(1)
与
夹角的大小.
(2)
与
夹角的大小.
【解析】1.由已知得,
显然
可见
共线,且是反向共线,故
的夹角为180°.
答案:180°
2.由向量运算的几何意义知a+b,a-b是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线.
如图,因为|a|=|b|=|a-b|,所以∠BOA=60°.
又因为
=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以a与a+b的夹角是
30°.
答案:30°
3.(1)如图所示,在△ABC中,AB=
,BC=1,AC=2,
所以AB2+BC2=(
)2+1=22=AC2,
所以△ABC为直角三角形.
因为tan
A=
,所以A=30°.
又因为D为AC的中点,所以∠ABD=∠A=30°,
=
.
在△ABD中,∠BDA=180°-∠A-∠ABD=180°-30°-30°=120°,所以
与
的
夹角为120°.
(2)因为
=
,所以
与
的夹角也为120°.
【解题策略】
求两向量的夹角,若无图形,需作出图形,明确要求的角;当两向量起点不同时,可采用平移或作延长线的方法使两个向量的起点相同,找到向量的夹角,再结合平面几何知识求解.
【补偿训练】
1.在△ABC中,∠C=90°,BC=
AB,则
的夹角是
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.如图,作向量
则∠BAD是
的夹角,在△ABC中,因为
∠C=90°,BC=
AB,所以∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.
2.在等边△ABC中,向量
与向量
的夹角为________,E为BC中点,则向
量
与
的夹角为________.?
【解析】因为△ABC为等边三角形,所以∠ABC=60°.
如图所示延长边AB至点D,使AB=BD,所以
=
.
所以∠DBC为向量
与
的夹角,且∠DBC=120°.
因为E为BC中点,所以AE⊥BC.所以
与
的夹角为90°.
答案:120° 90°
3.已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角又是多少?
【解析】如图所示,作
且∠AOB=60°.
以
为邻边作平行四边形OACB,
则
=a+b,
=a-b.因为|a|=|b|=2,
所以平行四边形OACB是菱形,又∠AOB=60°,
所以
的夹角为30°,
的夹角为60°.
即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°.
类型三 用基底表示向量(直观想象、数学运算)
角度1 线性运算法?
【典例】若D点在三角形ABC的边BC上,且
=4
=r
+s
,则3r+s的值为
( )
【思路导引】利用三角形或平行四边形法则.
【解析】选C.如图,因为
=4
=r
+s
,
所以
所以r=
,s=
-
,所以3r+s=
.
【变式探究】
已知在△ABC中,
P是BN上的一点.若
则实数m的值
为
( )
【解析】选C.设
则
所以
解得
角度2 向量方程组法?
【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c.
【思路导引】利用向量方程组法,设c=xa+yb,用待定系数法求出x,y.
【解析】因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,
则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.
又因为e1,e2不共线,所以
解得
所以c=a-2b.
【解题策略】
平面向量基本定理的作用及注意点
(1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.
(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量.
【题组训练】
1.(2020·焦作高一检测)设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,
则实数x,y的值分别为
( )
A.0,0
B.1,1
C.3,0
D.3,4
【解析】选D.因为向量e1与e2不共线,
所以
解得
2.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为以
a,b为基向量的线性组合,即e1+e2=________.?
【解析】设e1+e2=ma+nb(m,n∈R),因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.因为e1与e2不共线,
所以
所以
所以e1+e2=
答案:
3.在平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N为BC的中点,设
(1)以b,d为基底表示
.
(2)以m,n为基底表示
.
【解析】如图所示
【拓展延伸】
平面向量基本定理的推广定理
平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一.
【拓展训练】
如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若
=a,
=b,用a,b表示
=
( )
【解析】选D.易知
设
则由平行四边形法则可得
由于E,G,F三点共线,
则2λ+2λ=1,即λ=
,从而
从而
【补偿训练】
如图,在△AOB中,
=a,
=b,设
=2
,
=3
,而OM与BN相交于点P,
试用a,b表示向量
.
【解析】
因为
共线,令
则
又设
1.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中不能作为一组基底的是
( )
A.e1,e1+e2
B.e1-2e2,e2-2e1
C.e1-2e2,4e2-2e1
D.2e1+e2,e1+e2
【解析】选C.因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),从而e1-2e2与4e2-2e1共线,故C选项符合题意.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:复习参考题改编)如图,在矩形ABCD中,若
=5e1,
=3e2,
则
=
( )
A.
(5e1+3e2)
B.
(5e1-3e2)
C.
(3e2-5e1)
D.
(5e2-3e1)
【解析】选A.
3.(2020·济宁高一检测)如图,M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点,
若
则
=________.?
【解析】由题意知,
所以
答案:
4.在等腰Rt△ABC中,AB⊥AC,则
的夹角是________.?
【解析】作线段AB的延长线AD,则∠DBC是
的夹角,
∠DBC=180°-∠ABC=180°-45°=135°.
答案:135°(共64张PPT)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
必备知识·自主学习
导思
(1)在平面内,规定e1,e2为基底,那么一个向量关于e1,e2的分解是
唯一的吗?
(2)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位
向量i、j作为基底,任作一向量
=x
i+yj,那么(x,y)与A点
的坐标相同吗?如果向量
也用(x,y)表示,那么这种向
量
与实数对(x,y)之间是否一一对应?
(3)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何求a+b,a-b,λa的坐标?若
A(x1,y1),B(x2,y2),你能求出
的坐标吗?
1.平面向量坐标的相关概念
【思考】
(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系?
提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).
(2)向量的坐标就是其终点的坐标吗?
提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.
2.平面向量的坐标运算
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则:
(1)a+b=
____________,
(2)a-b=
____________,
(3)λa=
___________.
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差,数乘向量的积的坐标等于数乘向量的相应坐标.
(4)向量坐标的几何意义:
如图所示,在平面直角坐标系中,
若A(x1,y1),则
=(x1,y1),
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1).
【思考】
(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=
(y1+y2,x1+x2)”可以吗?
提示:不可以,两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标,纵坐标之和作为和向
量的纵坐标.
(2)“若A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x1-x2,y1-y2)”对吗?
提示:不对,应该用终点坐标减去始点坐标.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.
( )
(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.
( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.
( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同.
( )
提示:(1)×.两个终点不同的向量可能是相等向量,它们的坐标相同.
(2)√.根据向量的坐标表示,当始点在原点时,终点与始点坐标之差等于终点坐标.
(3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
(4)×.当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标等于(终)点的坐标.
2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于
( )
A.2a
B.-2a
C.
a
D.-
a
【解析】选B.由题知3x-2x+2a=0所以x=-2a.
3.(教材二次开发:练习改编)已知A(3,1),B(2,-1),则
的坐标是
( )
A.(-2,-1)
B.(2,1)
C.(1,2)
D.(-1,-2)
【解析】选C.
=(3,1)-(2,-1)=(1,2).
关键能力·合作学习
类型一 向量的坐标表示(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·青岛高一检测)已知
=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为
( )
A.(1,8)
B.(-1,8)
C.(3,2)
D.(-3,2)
2.如图所示,在正方形ABCD中,O为中心,且
=(-1,-1),则
=________;
=________;
=________.?
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,
分别计算出它们的坐标.
【解析】1.选B.设B的坐标为(x,y),
=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),
所以
解得
所以点B的坐标为(-1,8).
2.如题干图,
=-(-1,-1)=(1,1),
由正方形的对称性可知,B(1,-1),所以
=(1,-1),同理
=(-1,1).
答案:(1,-1) (1,1) (-1,1)
3.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),
则a1=|a|cos
45°=
a2=|a|sin
45°=
b1=|b|cos
120°=
b2=|b|sin
120°=
c1=|c|cos(-30°)=
c2=|c|sin(-30°)=4×
=-2.
因此a=(
,
),
c=(2
,-2).
【解题策略】
求向量坐标的方法
(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.
(2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
【补偿训练】
1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|
|=6,∠xOA=150°,向量
的坐标为
________.?
【解析】设点A(x,y),则x=|
|cos
150°=6cos
150°=-3
,
y=|
|sin
150°=6sin
150°=3,
即A(-3
,3),所以
=(-3
,3).
答案:(-3
,3)
2.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D
为AC的中点,分别求向量
,
,
,
的坐标.
【解析】如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),
C(2cos
60°,2sin
60°),
所以C(1,
),
所以
=(2,0),
=(1,
),
3.如图,已知在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.如图,求点B
和点D的坐标和
与
的坐标.
【解析】由题意知B,D分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点.
设B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函数的定义,得
x1=cos
30°=
,y1=sin
30°=
,所以B
.
x2=cos
120°=-
,y2=sin
120°=
,
所以D
所以
类型二 向量的坐标运算(直观想象、数学运算)
【题组训练】
1.已知点A(0,1),B(3,2),向量
=(-3,-3),则向量
( )
A.(3,2)
B.(-3,-2)
C.(-1,-2)
D.(1,2)
2.已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.
3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且
求M,N及
的坐标.
【解析】1.选B.因为A(0,1),B(3,2),所以
=(3,1),
所以
2.a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).
3.方法一:由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
可得
=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以
=3(1,8)=(3,24),
=2(6,3)=(12,6).设M(x1,y1),N(x2,y2),
则
=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20;
=(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2,
所以M(0,20),N(9,2),
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
方法二:设点O为坐标原点,则由
可得
从而
所以
=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
即点M(0,20),N(9,2),故
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
【解题策略】
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
【补偿训练】
1.已知M(3,-2),N(-5,-1),
则P点坐标为________.?
【解析】设P(x,y),
=(x-3,y+2),
=(-8,1).
所以
答案:
2.若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求
的坐标.
【解析】因为
=(-2,10),
=(-8,4),
=(-10,14),所以
+2
=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18).
-
=(-8,4)
-
(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
类型三 向量坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 利用坐标运算表示向量?
【典例】如图,已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,
设
=a,
=b,
=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用向量a,b表示向量c.
【思路导引】建立直角坐标系,由所给条件结合三角函数定义写出点A,B,C的坐
标.结合坐标运算公式可用待定系数法求得向量c.
【解析】如图,以O为原点、
为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角
函数的定义,得B(cos
150°,sin
150°),C(3cos
240°,3sin
240°).
即
又因为A(2,0),故a=(2,0),b=
,
c=
设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R).
所以c=-3a-3
b.
【变式探究】
本例条件不变，试用向量a，c表示向量b
【解析】如图,以O为原点、
为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角
函数的定义,得B(cos
150°,sin
150°),C(3cos
240°,3sin
240°).
即
又因为A(2,0),
故a=(2,0),b=
设b=λ1a+λ2c(λ1,λ2∈R).
所以
角度2 利用坐标运算求参数?
【典例】已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=2
,且
∠AOC=
.设
(λ∈R),则λ=________.?
【思路导引】由题意画出图形,根据向量线性运算法则对条件
“
”适当转化,再应用向量坐标运算解决.
【解析】如图,过C作CE⊥x轴于点E,
由∠AOC=
知,|OE|=|CE|=2,
所以
所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=
.
答案:
【解题策略】
(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b?x1=x2且y1=y2.
(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.
(3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出相应系数.
【题组训练】
1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若
(λ∈R),试求λ为何值时,
(1)点P在一、三象限角平分线上.
(2)点P在第三象限内.
【解析】设点P的坐标为(x,y),则
=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
因为
(1)若P在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,所以λ=
,
所以λ=
时,点P在一、三象限角平分线上.
(2)若P在第三象限内,则
所以λ<-1.当λ<-1时,点P在第三象限内.
2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及
是否存在t值,使四边形OABP
为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【解析】因为
=(1,2),
=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).
所以
=(3-3t,3-3t).
若四边形OABP为平行四边形,则
,
所以
该方程组无解.
故不存在t值使四边形OABP成为平行四边形.
【拓展延伸】
线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
的点,且满足
=λ,即
=λ
,则点P的坐标为
【拓展训练】
证明上述命题的正确性.
【证明】设点P(x,y),
由
=λ
,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),
当λ≠-1时,
则P点坐标为
特别地,①当λ=1时,点P坐标为
,这就是线段P1P2的中点坐标公式;
②若λ<0,则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上,点P的坐标不变.
【补偿训练】
已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分
的比
λ的值.
【解析】设P(x,y),则由
=λ
及定比分点坐标公式得:(x,y)=
,
又因为P点在直线l上,所以
所以λ=-
.
1.(2020·包头高一检测)下列说法正确的有
( )
①向量的坐标即此向量终点的坐标.
②位置不同的向量其坐标可能相同.
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标.
④相等的向量坐标一定相同.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
课堂检测·素养达标
【解析】选C.向量的坐标是其终点坐标减去起点对应坐标,故①错误;②正确;③正确;④正确.
2.已知
=a,且
则λa等于( )
【解析】选A.因为
3.(教材二次开发:练习改编)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则2a-3b等于
( )
A.(0,7)
B.(12,7)
C.(-1,7)
D.(12,3)
【解析】选B.2a-3b=(6,10)-(-6,3)=(12,7).
4.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则
=________.?
【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
所以
=(2,3),
=(-3,3).
所以
=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案:(-4,9)
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆
上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,
求
的坐标.
【解析】设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧
长为2,半径为1,∠ABP=
=2.
设P(x,y),则x=2-1×cos
=2-sin
2,y=1+1×sin
=1-cos
2,所以
的坐标为(2-sin
2,1-cos
2).(共62张PPT)
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
必备知识·自主学习
导思
(1)两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标条件能表示
为
吗?
(2)如果两个非零向量共线,那么怎样通过其坐标判断它们是
同向还是反向呢?
平面向量共线的坐标表示
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线,当且仅当存在实数λ,使______.
(2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=_________,
当且仅当________=0时,向量a,b(b≠0)共线.
a=λb
λ(x2,y2)
x1y2-x2y1
【思考】
把x1y2-x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以吗?怎样记忆此公式的表达格式?
提示:写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,这一公式可简记为:纵横交错积相减.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)向量(-1,3)与向量(-2,6)共线.
( )
(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.
( )
(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线.
( )
提示:(1)√.因为(-2,6)=2(-1,3),所以向量(-1,3)与向量(-2,6)共线.
(2)×.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.
(3)√.向量共线的条件.
2.下列向量组中,不共线的向量组是
( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=
【解析】选B.A选项中,e1=0e2,C中,e2=2e1,D中,e2=
e1,两向量都共线,只有B
中不共线.
3.(教材二次开发:习题改编)已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=________.?
【解析】因为a∥b,所以-4-x=0,即x=-4,
所以a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).
答案:(-2,-1)
关键能力·合作学习
类型一 向量共线的判定与证明(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.若向量a=(
,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是
( )
A.(
,-1)
B.(-1,-
)
C.(-
,-1)
D.(-1,
)
2.下列各组向量是平行向量的有________.(填序号)?
①a=
b=(-2,-3);
②a=(0.5,4),b=(-8,64);
③a=(2,3),b=(3,4);
④a=(2,3),b=
3.已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断
是否共线?如果共线,它们
的方向是相同还是相反?
【解析】1.选D.方法一:因为a+2b=(
,-3),
所以
×
-(-1)×(-3)=0.所以(-1,
)与a+2b是共线向量.
方法二:因为a+2b=(
,-3)=-
(-1,
),
所以向量a+2b与(-1,
)是共线向量.
2.①
所以a∥b.
②0.5×64-4(-8)=32+32=64≠0,所以a,b不平行.
③2×4-3×3=8-9=-1≠0,所以a,b不平行.
④2×2-3×
=4+4=8≠0,所以a,b不平行.
答案:①
3.
=(0,4)-(2,1)=(-2,3),
=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
因为(-2)×(-6)-3×4=0.所以
,
共线.
又
=-2
,所以
,
方向相反.
综上,
与
共线且方向相反.
【解题策略】
(1)向量共线的判定方法.
(2)要判定两直线平行,先判定两向量平行,再说明两向量上的相关点不共线.
【补偿训练】
1.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量
共线的单位向量是
( )
A.(3,-4)
B.
C.(-6,8)
D.
【解析】选B.因为
=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知,A,B,C选
项中的向量均与
共线,但A,C中向量不是单位向量.
2.已知点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量
与
平行吗?直线AB与直
线CD平行吗?
【解析】因为
=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),
=(2-1,7-5)=(1,2),
因为2×2-1×4=0,所以
∥
.
又
=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),
=(2,4),2×4-2×6≠0,
所以
与
不平行.
所以A,B,C不共线,AB与CD不重合.
所以直线AB与CD平行.
类型二 利用向量共线的坐标求参数(直观想象、数学运算)
【题组训练】
1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为
( )
A.
B.2
C.-
D.-2
2.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为
( )
A.-3
B.2
C.4
D.-6
3.若向量a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b.
(1)若u=3v,求x.
(2)若u∥v,求x,并判断u与v是同向还是反向.
【解析】1.选D.ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),
由ma+4b与a-2b共线,有-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.
2.选D.因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4),所以4(x+3)-(x-6)=0,解得x=-6.
3.因为a=(1,1),b=(x,1),所以u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3);v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1).
(1)u=3v?(2x+1,3)=3(2-x,1)?(2x+1,3)=(6-3x,3)?2x+1=6-3x.解得x=1.
(2)u∥v?(2x+1)×1-3(2-x)=0.
解得x=1.所以u=(3,3),v=(1,1),
所以u=3v,所以u与v同向.
【解题策略】
(1)已知向量共线求参数问题中,参数一般设置在两个位置:一是在向量坐标中含有;二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示.解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式求解.
(2)利用向量平行的条件处理求值问题的思路.
①利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解.
②利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
【补偿训练】
1.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=
( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选B.由题意可得a+λb=(1+λ,2).由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4-3×2=0,解得λ=
.
2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则
等于
( )
A.-
B.
C.-2
D.2
【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1).
由ma+nb与a-2b共线,得
所以
3.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
【解析】方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
所以
解得k=λ=-
.
当k=-
时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-
a+b=-
(a-3b),
因为λ=-
<0,所以ka+b与a-3b反向.
方法二:由题知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=-
.
这时ka+b=
=-
(a-3b).
所以当k=-
时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
类型三 向量共线的几何应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 由向量共线求交点的坐标?
【典例】如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.
【思路导引】先设出点P的坐标,然后利用共线条件求解.
【解析】方法一:设
=t
=t(4,4)=(4t,4t),
则
=
-
=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=
-
=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由
,
共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
解得t=
.所以
=(4t,4t)=(3,3),所以P点坐标为(3,3).
方法二:设P(x,y),则
=(x,y),
=(4,4).
因为
,
共线,所以4x-4y=0.①
又
=(x-2,y-6),
=(2,-6)且向量
,
共线,
所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②
解①②组成的方程组,得x=3,y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
【变式探究】
如图,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.
【解析】设
=λ
=λ(11-1,6-2)=(10λ,4λ).易得
=(-11,1),
所以
=(10λ-11,4λ+1).
又
=(-8,4),而
共线,
所以4×(10λ-11)+8×(4λ+1)=0,解得λ=
.
设点P的坐标为(xp,yp),所以
=(5,2)=(xp-1,yp-2),
所以
即
故点P的坐标为(6,4).
角度2 三点共线问题?
【典例】已知A(1,-3),B
,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是
( )
A.(-9,1)
B.(9,-1)
C.(9,1)
D.(-9,-1)
【思路导引】设出点C的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量
由向量共线的条件结合选项求解.
【解析】选C.设点C的坐标是(x,y),
因为A,B,C三点共线,所以
∥
.
因为
=
-(1,-3)=
=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),
所以7(y+3)-
(x-1)=0,整理得x-2y=7,
经检验可知点(9,1)符合要求.
【解题策略】
(1)三点共线问题的实质是向量共线问题,其解题思路是:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线,由于两向量过同一点,所以两向量所在的直线必重合,即三点共线.
(2)求解直线或线段的交点问题,常规方法为写出直线或线段对应的直线方程,建立方程组求解,而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量,且思路简单明快.
【题组训练】
1.(2020·南充高一检测)已知A(1,1),B(2,-4),C(x,-9),且
∥
,
则x=
( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
【解析】选C.由已知得
=(1,-5),
=(x-1,-10),因为
∥
,
所以-10+5(x-1)=0,解得x=3.
2.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.?
【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),则
=(x-1,y-2)=b.
由
又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,所以
答案:
3.(2020·临沂高一检测)已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系.
(2)若
=2
,求点C的坐标.
【解析】(1)若A,B,C三点共线,则
与
共线.
=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),
=(a-1,b-1),
所以2(b-1)-(-2)(a-1)=0,所以a+b=2.
(2)若
=2
,则(a-1,b-1)=(4,-4),
所以
所以
所以点C的坐标为(5,-3).
【拓展延伸】
若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线?(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)
(y2-y1)或(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)或(x3-x2)(y3-y1)=(x3-x1)(y3-y2).
【拓展训练】
证明上述命题的正确性.
【证明】若三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线,则有
=λ
,从而
(x2-x1,y2-y1)=λ(x3-x2,y3-y2),
即(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),
显然由
=μ
,也可得到(x2-x1)(y3-y1)
=(x3-x1)(y2-y1)或由
=γ
,得到(x3-x2)(y3-y1)=(x3-x1)(y3-y2).
当这些条件中有一个成立时,A,B,C三点共线.
1.下列满足平行的一组向量是
( )
A.a=(1,-4),b=(504,-2
016)
B.a=(2,3),b=(4,-6)
C.a=(1,2),b=(-1
008,2
016)
D.a=(-1,4),b=(3,12)
【解析】选A.a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb(b≠0),经验证,只有A选项满足条件.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:习题改编)若A(2,-3),B(-2,5),C(6,y)三点共线,则y=
( )
A.11
B.-11
C.6
D.-6
【解析】选B.
=(-4,8),
=(4,y+3).
因为
∥
,所以-4(y+3)-32=0,所以y=-11.
3.已知向量a=(x,1),b=(1,x)方向相同,则x=________.?
【解析】依题意知a=λb(λ>0),
所以(x,1)=(λ,λx).所以
解得λ=1,x=1.
答案:1
4.设a=
b=
且a∥b,则锐角α=________.?
【解析】因为a∥b,所以
得到sin
α=
,而α为锐角,所以
α=45°.
答案:45°
5.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的
延长线上,且
,求点N的轨迹方程.
【解析】如图所示,设M(x0,y0),N(x,y),
由
,得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).
所以
代入方程(x-3)2+(y-3)2=4,整理得x2+y2=1.
所以所求的轨迹方程为x2+y2=1.(共71张PPT)
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
必备知识·自主学习
导思
(1)向量的数量积a·b与数乘向量的区别是什么?与实数乘法ab的区别是什么?
(2)对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗?
1.向量的数量积的定义
已知条件
向量a,b是非零向量,它们的夹角为θ
定义
数量______________叫做a与b的数量积(或内积)
记法
a·b=
______________
规定
零向量与任一向量的数量积为__
|a||b|cosθ
|a||b|cosθ
0
【思考】
(1)把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗,为什么?
提示:不可以,数量积是两个向量之间的乘法,在书写时,一定要严格,必须写成“a·b”的形式.
(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗?
提示:向量的数量积运算结果不是向量,是一个实数.
2.向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念.
如图所示:
=a,
=b,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1=
_________.?
_________叫做向量b在a方向上的投影,
_________叫做向量a在b方向上的投
影.?
|b|cosθ
|b|cosθ
|a|cosθ
(2)数量积的几何意义.
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的________与b在a的方向上的
_____________的乘积.?
长度|a|
投影|b|cosθ
【思考】
(1)
“向量b在a方向上的投影”与“向量a在b方向上的投影”是同一回事吗?
提示:不是,当两向量夹角为θ时,向量b在a方向上的投影为|b|cos
θ,向量a在b方向上的投影为|a|cos
θ.
(2)投影一定是一个正数,对吗?
提示:不对,当θ为锐角时,投影为正值;当θ为钝角时,投影为负值;当θ为直角时,投影为0.
3.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.
(1)垂直的条件:a⊥b?________
(2)当a与b同向时,a·b=
_______;
当a与b反向时,a·b=
________.
(3)模长公式:a·a=
____或|a|=
a·b=0.
|a||b|
-|a||b|
|a|2
(4)夹角公式:cos
θ=
.
(5)|a·b|≤_______.
|a||b|
【思考】
(1)对于任意向量a与b,“a⊥b?a·b=0”总成立吗?
提示:当向量a与b中存在零向量时,总有a·b=0,但是向量a与b不一定垂直,即a⊥b?a·b=0,但a·b=0?/
a⊥b.
(2)当“cos
θ=
”为负值时,说明向量a与b的夹角为钝角,对吗?
提示:不对,cos
θ=
=
-1时,向量a与b的夹角为180°.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
【思考】
“若a·b=a·c,则b=c”成立吗?
提示:不成立.如a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c,但b=c不一定相等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量的数量积是向量.
( )
(2)向量b在a方向上的投影可以记为|b|cos
θ.
( )
(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
( )
(4)a·(b·c)=(a·b)·c.
( )
提示:(1)×.两个向量的数量积没有方向,是实数,不是向量.
(2)√.
(3)√.
(4)×.a·(b·c)与a共线,(a·b)·c与c共线,当a与c不共线时,a·(b·c)≠(a·b)·c.
2.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则
=
( )
A.20
B.-20
C.20
D.-20
【解析】选B.
=|
||
|cos
120°=5×8×
=-20.
3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为
( )
【解析】选C.由条件可知,cos
θ=
又因为0≤θ≤π,
所以θ=
关键能力·合作学习
类型一 向量数量积及几何意义(逻辑推理、数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
( )
A.4
B.3
C.2
D.0
2.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,
则
=
( )
3.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足
=5,
=6,a·b=-6,则cos
=
( )
【解析】1.选B.
a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
2.选D.
因为菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,
所以
=2×2×cos
60°=2,
又因为
3.选D.由a·(a+b)=
+a·b=25-6=19,
又
所以cos=
【解题策略】
求平面向量数量积的方法
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b
=|a||b|cos
θ.求解时要注意灵活使用数量积的运算律.
(2)若所求向量的模与夹角未知,应先选取已知模与夹角的两个向量作为基底,表示出所求向量,再代入运算.
(3)求投影的两种方法:①b在a方向上的投影为|b|cos
θ(θ为a,b的夹角),a在
b方向上的投影为|a|cos
θ.②b在a方向上的投影为
,a在b方向上的投影
为
.
【补偿训练】
1.(2020·广州高一检测)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作
AE⊥BD,垂足为E,则
=
( )
【解析】选D.由题意知,
2.已知单位向量e1,e2的夹角为
,a=2e1-e2,则a在e1上的投影是________.?
【解析】设a与e1的夹角为θ,则a在e1上的投影为|a|cos
θ=
=a·e1
=(2e1-e2)·e1=2
-e1·e2=2-1×1×
答案:
3.(1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角θ为60°,求:
①a·b;②(2a-b)·(a+3b).
(2)设正三角形ABC的边长为
,
求a·b+b·c+c·a.
【解析】(1)①a·b=|a||b|cos
θ=2×3×cos
60°=3.
②(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×22+5×3-3×32=-4.
(2)因为|a|=|b|=|c|=
,且a与b,b与c,c与a的夹角均为120°,
所以a·b+b·c+c·a=
×
×cos
120°×3=-3.
类型二 与向量模有关的问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足
则
( )
A.a⊥b
B.
C.a∥b
D.
2.已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=
,则|b|=________.?
3.已知|a|=|b|=2,a·b=-2,若|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是________.?
【思路导引】1.利用向量运算及模的几何意义.
2、3利用向量模的公式a2=|a|2.
【解析】1.选A.由|a+b|=|a-b|平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b.
2.因为|2a+b|=
,所以(2a+b)2=10,
所以4a2+4a·b+b2=10.
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1,
所以4×12+4×1×|b|×
+|b|2=10,
整理得|b|2+2
|b|-6=0,
解得|b|=
或|b|=-3
(舍去).
答案:
3.因为|c-a-b|=1=|c-(a+b)|≥|c|-|a+b|,所以|c|≤1+|a+b|.
又因为|a|=|b|=2,a·b=-2,
所以|c|≤3.
同理|c-a-b|=1=|c-(a+b)|≥|a+b|-|c|,可得|c|≥|a+b|-1=2-1=1,
故有1≤|c|≤3.
答案:
【解题策略】
(1)利用数量积求模问题,是数量积的重要应用,解决此类问题的方法是对向量
进行平方,即利用公式:a·a=a2=|a|2或|a|=
,将向量运算转化为实数
运算.
(2)拓展公式:
=a2±2a·b+b2=|a|2±2a·b+|b|2.
【跟踪训练】
1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=__________.
?
【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos
60°+4|b|2=22+4×2×1×
+4×1=12,所以|a+2b|=2
.
答案:2
2.已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5
,|a-b|=5
,则|a|=________.?
【解析】由已知有
将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|=
.
答案:
3.(2017·浙江高考)已知向量a,b满足
,则
的最小值是
____________________,最大值是______________.?
【解析】设a与b的夹角为θ,
所以令
所以y2=10+
(-1≤cos
θ≤1),所以y2∈
,
所以y∈
答案:4 2
类型三 向量坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 求向量的夹角?
【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与
b的夹角为
( )
【思路导引】利用夹角公式:cos
θ=
计算.
【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以
a·b=b2,所以
又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为
,故选B.
【变式探究】
若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.
【解析】设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,
所以|a|2=9|b|2.
又|a|=|a+2b|,
所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b
=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cos
θ
=13|b|2+12|b|2cos
θ,
即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos
θ,
故有cos
θ=-
.
角度2 向量垂直的应用?
【典例】已知非零向量m,n的夹角为θ,且满足4|m|=3|n|,cos
θ=
.
若n⊥(t
m+n),则实数t的值为
( )
A.4
B.-4
C.
D.-
【思路导引】利用向量垂直的充要条件求参数.
【解析】选B.由4|m|=3|n|,
可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(t
m+n),
所以n·(t
m+n)=n·t
m+n·n
=t|m|·|n|cos
θ+|n|2
=t×3k×4k×
+(4k)2
=4tk2+16k2=0.
所以t=-4.
【解题策略】
1.求向量夹角的基本步骤
2.向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b?a·b=0,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.
【题组训练】
1.在四边形ABCD中,
=0,则四边形ABCD是
( )
A.矩形
B.菱形
C.直角梯形
D.等腰梯形
【解析】选B.因为
即一组对边平行且相等,
=0,即对角线互相垂
直,所以四边形ABCD为菱形.
2.已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为
( )
【解析】选C.设a与b的夹角为θ,
因为a⊥(2a+b),
所以a·(2a+b)=0,
所以2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos
θ=0,
因为|b|=4|a|,
所以2|a|2+4|a|2cos
θ=0,
所以cos
θ=-
,
因为θ∈[0,π],
所以θ=
π.
3.(2020·济宁高一检测)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3
代入上式,得a·b=-6,
所以
又0≤θ≤π,所以θ=
.
(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=13,所以|a+b|=
.
【拓展延伸】利用数量积解决夹角问题
两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当
a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),
还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时).因此,要注意夹角θ的范围θ∈[0,π],
当cos
θ>0时,θ∈
;当cos
θ<0时,θ∈
,当cos
θ=0时,θ=
.
【拓展训练】
已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为________.?
【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=
+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为
0°,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围为k>0且k≠1.
答案:(0,1)∪(1,+∞)
【补偿训练】
将本题中的条件“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求k的取值范围.
【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角,
所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=
+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0.
当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围是k<0且k≠-1.
1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是
( )
A.e1·e2=1
B.e1·e2=-1
C.|e1·e2|=1
D.|e1·e2|<1
课堂检测·素养达标
【解析】选C.设e1与e2的夹角为θ,则e1·e2=|e1||e2|cos
θ=±1.
所以|e1·e2|=1.
2.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.设a,b的夹角为θ.由题意a·c=a·(a+b)
=|a|2+|a||b|cos
θ=0.
所以cos
θ=-
.所以向量a,b的夹角为120°.
3.(教材二次开发:习题改编)已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°.则(a-b)·(a+b)=________;(2a+b)·(a-b)=________.?
【解析】(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91.
因为|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°,
所以a·b=10×3×cos
120°=-15,
所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=200+15-9=206.
答案:91 206
4.已知向量a与b的夹角为θ,定义a×b为a与b的“向量积”,且a×b是一个向量,
它的长度|a×b|=|a||b|sin
θ,若|u|=2,
|u+v|=2
,(u+v)·u=6,求|u×(u+v)|.
【解析】设u与u+v的夹角为θ,
由题意知
得sin
θ=
,由定义知|u×(u+v)|=|u|·|u+v|sin
θ
=2×2
×
=
2
.(共57张PPT)
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
必备知识·自主学习
1.平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a·b=________.
导思
(1)已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
如何用a,b的坐标表示a·b?|a|,|b|分别用坐标怎样表示?
(2)已知向量a=(x,y),与a共线的向量的坐标条件是什么?与
a垂直的向量的坐标条件又是什么?
x1x2+y1y2
【思考】
向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?
提示:公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”,在解题时要注意坐标的顺序.
2.向量的模与夹角的坐标表示
(1)向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a|=_________.
两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则
=__________________.
(2)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则
cos
θ=
=________________.
【思考】
(1)
|
|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一样吗?为什么?
提示:|
|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的,实际上
|
|即为A,B两点间的距离.
(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积大于0,有cos
θ>0,则两向量的夹角为
锐角.这种说法对吗?
提示:不对,当两向量的数量积大于0即cos
θ>0时,θ为锐角或零角.
3.向量垂直与共线的条件
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)a⊥b?__________.
(2)a∥b?__________.
x1x2+y1y2=0
x1y2-x2y1=0
【思考】
向量垂直与共线的条件很相近,你觉得怎样记忆比较好呢?
提示:两者比较接近,可以对比记忆,分别简记为:垂直是横横纵纵积相反,共线是纵横交错积相等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
( )
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0.
( )
(3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为180°.
( )
(4)若两个向量的数量积小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.
( )
提示:(1)√.由向量数量积的定义可知正确.
(2)×.a⊥b?x1x2+y1y2=0.
(3)×.因为当x1y2-x2y1=0时,向量a,b的夹角可能为0°或180°.
(4)×.因为两向量的夹角有可能为180°.
2.已知a=(1,-1),b=(2,3),则a·b=
( )
A.5
B.4
C.-2
D.-1
【解析】选D.a·b=(1,-1)·(2,3)=1×2+(-1)×3=-1.
3.(教材二次开发:习题改编)已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为
________.?
【解析】因为a·b=3×5+4×12=63,
|a|=
=5,|b|=
=13,
所以a与b夹角的余弦值为
=
答案:
关键能力·合作学习
类型一 数量积的坐标运算(数学抽象、数学运算)
【题组训练】
1.(2020·宜宾高一检测)已知向量a=(1,m),b=(2,-1),若(a-b)·b=-1,则实数
m=
( )
A.2
B.
C.-
D.-2
2.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,
则
的取值范围是
( )
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
3.已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.
【解析】1.选D.向量a=(1,m),b=(2,-1),
则a-b=(-1,m+1),又(a-b)·b=-1,
即-1×2-1×(m+1)=-1,解得m=-2.
2.选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),
=
(x,y),
=(2,0),所以
=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标
为-1,所以-1<6.
3.(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),
则有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).
(2)因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,
所以a(b·c)=0·a=0,
(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).
【解题策略】
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.
(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.
【补偿训练】
1.已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则a·b=____,a·(a-b)=________.?
【解析】a·b=(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1,
a-b=(-4,0),a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=4.
答案:1 4
2.已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c=
________.?
【解析】设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
答案:
3.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则
的值为________;
的最大值为________.?
【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),
B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则
=(t,-1),
=(0,-1),所
以
=(t,-1)·(0,-1)=1.
因为
=(1,0),所以
=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故
的最大值为1.
答案:1 1
类型二 平面向量的模(直观想象、数学运算)
【题组训练】
1.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则
△ABC的形状为
( )
A.直角三角形
B.
等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.
以上均不正确
2.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于________.?
3.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为
,向量b满
足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是________.?
【解析】1.选C.
=(3,-1),
=(-1,-3),
=(-4,-2),所以|
|=
,
|
|=
,|
|=
,
所以|
|=|
|,且|
|2+|
|2=|
|2=20,
所以△ABC为等腰直角三角形.
2.a+b=(x-1,y+2)=(1,3),所以x=2,y=1,所以a=(2,1).所以a-2b=(4,-3),所以
|a-2b|=
=5.
答案:5
3.设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),
则由=
得,a·e=|a|·|e|cos
,x=
所以y=±
x,由b2-4e·b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,|a-b|的最小值为
圆心(2,0)到直线y=±
x的距离减去半径,为
-1.
答案:
-1
【解题策略】向量模的问题的解题策略
(1)字母表示的运算:利用公式:a·a=a2=|a|2或|a|=
将向量运算转化
为实数运算.
(2)坐标表示的运算:若a=(x,y),则|a|=
【补偿训练】
若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a-b|的最小值为________.?
【解析】因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a-b=(2x-1,3-x)-(1-x,2x-1)
=(3x-2,4-3x),
所以|a-b|=
所以当x=1时,|a-b|取最小值为
.
答案:
类型三 数量积坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 夹角、垂直的求解与证明?
【典例】已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD.
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余
弦值.
【思路导引】
(1)要证明AB⊥AD,只需证明
=0.
(2)对角线所夹锐角即为
与
的夹角(或其补角).
【解析】(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
=(1,1),
=(-3,3),
所以
=1×(-3)+1×3=0,所以
⊥
,
即AB⊥AD.
(2)因为
⊥
,四边形ABCD为矩形,
所以
,设C点的坐标为(x,y),
则由
=(1,1),
=(x+1,y-4),
得
所以C点的坐标为(0,5),
从而
=(-2,4),
=(-4,2),
且
=8+8=16,设
与
的夹角为θ,
则cos
θ=
所以矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为
.
【变式探究】
若本例改为:已知点A(-1,3),B(1,1),C(4,4),D(3,5).
(1)求证:四边形ABCD是直角梯形.
(2)求∠DAB的余弦值.
【解析】(1)
=(2,-2),
=(1,-1),
=(3,3),
所以
=2
,所以
∥
.
又因为
=2×3+(-2)×3=0,所以
又因为|
|≠|
|,所以四边形ABCD为直角梯形.
(2)因为
=(4,2),
=(2,-2),
所以
又因为
=2×4+(-2)×2=4,
所以cos∠DAB=
角度2 利用夹角、垂直求参数(或范围)?
【典例】已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,
(1)ka-b与a+2b垂直.
(2)ka-b与a+b的夹角为120°.
【思路导引】(1)分别求出ka-b与a+2b,利用两向量垂直的坐标公式求k;
(2)分别求出|ka-b|、|a+b|与(ka-b)·(a+b),结合题中已知夹角,利用夹角公式求k.
【解析】因为a=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),
a+2b=(1,1)+(0,-4)=(1,-3).
a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).
(1)因为ka-b与a+2b垂直,所以k-3k-6=0,
所以k=-3.
即当k=-3时,ka-b与a+2b垂直.
(2)因为|ka-b|=
,|a+b|=
,(ka-b)·(a+b)=
(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而ka-b与a+b的夹角为120°,
所以cos
120°=
,
即
化简整理,得k2+2k-2=0,解之得k=-1±
.
即当k=-1±
时,ka-b与a+b的夹角为120°.
【解题策略】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|=
计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos
θ=
求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值.
2.非零向量a,b垂直问题的解决办法
涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b?a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
【题组训练】
1.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.?
【解析】因为向量a=(1,2),b=(4,2),
所以c=ma+b=(m+4,2m+2),
所以a·c=m+4+2(2m+2)
=5m+8,
b·c=4(m+4)+2(2m+2)
=8m+20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角,
所以
所以
解得m=2.
答案:2
2.已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得:
(1)a与b的夹角为直角.
(2)a与b的夹角为钝角.
(3)a与b的夹角为锐角.
【解析】设a与b的夹角为θ,
则a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角,
所以a·b=0,
所以1+2λ=0,
所以λ=-
.
(2)因为a与b的夹角为钝角,
所以cos
θ<0且cos
θ≠-1,
所以a·b<0且a与b不共线反向.
由a·b<0得1+2λ<0,
故λ<-
,
由a与b共线得λ=2,
故a与b不可能反向,
所以λ的取值范围为
(3)因为a与b的夹角为锐角,
所以cos
θ>0,且cos
θ≠1,
所以a·b>0且a,b不共线同向.
由a·b>0,得λ>-
,
由a与b同向得λ=2,
所以λ的取值范围为
∪(2,+∞).
【拓展延伸】
1.线段垂直的坐标关系
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐标平面内的三个点,则
⊥
?(x3-
x1)·(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.
2.向量共线的条件
由cos
θ=
可知,若θ=0°或180°,则cos
θ=±1,则有x1x2
+y1y2=
,利用此结论也可以判断两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
是否共线.
【拓展训练】
已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|
|与点D的
坐标.
【解析】设点D的坐标为(x,y),则
=(x-2,y+1),
=(-6,-3),
=(x-3,
y-2).因为点D在直线BC上,即
与
共线,
所以存在实数λ,使
=λ
,
即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),所以
所以x-3=2(y-2),即x-2y+1=0①.
又因为AD⊥BC,所以
·
=0,
即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,
所以-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0②.
由①②可得
即D点坐标为(1,1),
=(-1,2),
所以|
|=
综上,|
|=
,D(1,1).
备选类型 函数中的向量问题(直观想象、数学运算)
【典例】求函数y=3
的最大值.
【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平
面向量的数量积公式类似,建立向量模型,尝试利用|a·b|≤|a||b|求解.
【解析】因为
所以-2≤x≤5,
y=
设p=(3
,1),q=(
),
则|p|=
,|q|=
,p·q≤|p|·|q|=
当且仅当p与q平行且方向相同时不等式取等号,即
解之得,当x=
时,ymax=
.
【解题策略】
平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;
②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
【跟踪训练】
在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,点P是△ABC所在平面上的任意一点,则
的最小值为
( )
A.1
B.2
C.-2
D.-1
【解析】选C.以点D为坐标原点,DA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0),A(0,2).
连接PD,设点P的坐标为(x,y),则
=(-x,2-y),
=(-x,-y),故
=2(x2+y2-2y),
2(x2+y2-2y)=2[x2+(y-1)2]-2≥-2,当且仅当x=0,y=1时等号成立.
所以
的最小值为-2.
1.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|等于
( )
A.4
B.2
C.8
D.8
【解析】选D.易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以
|c|=
课堂检测·素养达标
2.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,
=(1,-2),
=
(2,1),则
·
=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.
=
+
=(3,-1),故
·
=(2,1)·(3,-1)=6-1=5.
3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a=(1,
),b=(-2,2
),则a与b的夹角
是
( )
【解析】选C.设a与b的夹角为θ,则cos
θ=
=
因为θ∈[0,π],所以θ=
.
4.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是
________.?
【解析】因为a与b的夹角为锐角,所以0<
<1,
即0<
<1,
解得λ<-
或0<λ<
或λ>
.
答案:
5.求证:(x1x2+y1y2)2≤(
)(
).
【证明】由待证不等式出发,联想向量a,b的数量积a·b=x1x2+y1y2,于是设
a=(x1,y1),b=(x2,y2),且它们的夹角为θ,则:a·b=|a|·|b|cos
θ≤|a|·|b|,
得:x1x2+y1y2≤
·
,即(x1x2+y1y2)2≤(
)(
).(共58张PPT)
2.5 平面向量应用举例
必备知识·自主学习
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步法”
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
导思
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题?用向量方法解决平面几何问题的“三步法”是什么?
(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题?
【思考】
(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题?
提示:平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.
(2)这里的“向量运算”主要指哪些运算?
提示:向量的线性运算及数量积运算.
2.向量在平面几何中的应用
(1)证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2
-x2y1=0.
(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(3)求夹角问题,用夹角公式:cos
θ=
(θ为a与b的夹
角).
(4)计算线段长度,常用模长公式:|AB|=|
|=
【思考】
用向量解决几何问题时,需要选择合适的基底,怎样选择合适的基底?
提示:所选择基向量的长度和夹角应该是已知条件中的.
3.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.
【思考】怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题?
提示:把其转化为平面向量问题,利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形,则有
=0.
( )
(2)若
∥
,则直线AB与CD平行.
( )
(3)若
∥
,则A,B,C三点共线.
( )
(4)物理学中的功是一个向量.
( )
提示:(1)×.因为△ABC为直角三角形,∠B并不一定是直角,有可能是∠A或∠C
为直角.
(2)×.向量
∥
时,直线AB∥CD或AB与CD重合.
(3)√.
(4)×.功是一个标量,是力F与位移s的数量积.
2.(教材二次开发:习题改编)若向量
=(2,2),
=(-3,-1)分别表示两个力
F1,F2,则|F1+F2|为
( )
A.(
,0)
B.(-
,0)
C.
D.-
【解析】选C.F1+F2=(2,2)+(-3,-1)=(-1,1),则|F1+F2|=
所以|F1+F2|=
.
3.如图,在平行四边形ABCD中,
=(1,2),
=(-3,2),则
=
________.?
【解析】因为
=(-1,2),所以
=(-1,2)·(1,2)=
-1+4=3.
答案:3
关键能力·合作学习
类型一 平面向量在几何证明中的应用(直观想象、数学建模)
【题组训练】
1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是
( )
A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形
2.已知点O,P在△ABC所在平面内,且
则点O,P依次是△ABC的
( )
A.重心,垂心
B.
重心,内心
C.外心,垂心
D.
外心,内心
3.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
【解析】1.选B.因为
=(8,0),
=(8,0),所以
=
,因为
=(4,
-3),所以|
|=5,而|
|=8,故为邻边不相等的平行四边形.
2.选C.
由|
|=|
|=|
|,知点O为△ABC的外心;因为
所以
=0,
所以
=0,所以
,所以CA⊥PB.同理,
AP⊥BC,所以点P为△ABC的垂心.
3.方法一:设
=a,
=b,
则|a|=|b|,a·b=0,
又
所以
=-
a2-
a·b+
=-
|a|2+
|b|2=0.
故
⊥
,即AF⊥DE.
方法二:建立平面直角坐标系如图,设正方形的边长为2,
则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
=(2,1),
=(1,-2).
因为
·
=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以
⊥
,即AF⊥DE.
【解题策略】
利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题.
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线.
②利用向量的模证明线段相等.
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法.
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
【补偿训练】
若
=3e,
=5e,且|
|=|
|,则四边形ABCD的形状为________.
?
【解析】由
=3e,
=5e,得
∥
,|
|≠|
|,
又因为ABCD为四边形,所以AB∥DC,|AB|≠|DC|.
又|
|=|
|,得|AD|=|BC|,所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案:等腰梯形
类型二 数量积坐标运算的应用(直观想象、数学运算)
【典例】已知在四边形ABCD中AD∥BC,AB=2
,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB
的延长线上,且AE=BE,求
的值.
【思路导引】方法一:利用几何关系,选取合适的基向量,利用向量法解决问题.
方法二:建系,根据几何关系得出B、D坐标,求出直线BE,AE方程,联立求出点E坐
标,再利用数量积公式求出
的值.
【解析】方法一:向量法
因为AE=BE,AD∥BC,∠A=30°,
所以在等腰三角形ABE中,∠BEA=120°,
又AB=2
,所以AE=BE=2,
所以
方法二:坐标法
建立如图所示的平面直角坐标系,
∠DAB=30°,AB=2
,AD=5,
则B(2
,0),D
因为AD∥BC,∠BAD=30°,
所以∠ABE=30°,
因为AE=BE,所以∠BAE=30°,
所以直线BE的斜率为
,
其方程为y=
直线AE的斜率为-
,其方程为y=-
x.
所以E(
,-1).
【解题策略】
1.用向量法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底,向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.
(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|=
2.向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
【跟踪训练】
1.如图,已知△ABC的面积为
,|AB|=2,
=1,则AC边的长为________.?
【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设点C的坐标为(x,y),
因为|AB|=2,所以B点坐标是(2,0),所以
=(2,0),
=(x-2,y).
因为
=1,所以2(x-2)=1,所以x=
.
又S△ABC=
,所以
·y=
.所以y=
,
所以C点坐标为
,从而
,
所以
故AC边的长为
.
答案:
2.设点O是△ABC的外心,|AB|=13,|AC|=12,则
=________.?
【解析】设{
}为平面内一组基底.如图所示,O为△ABC的外心,设M为BC
的中点,连接OM,AM,OA,
则易知OM⊥BC.又
所以
(其中
)
×(122-132)=-
.
答案:-
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值为________.?
【解析】方法一:如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是BC,AC边的中点,BC=4,AC=6.
则CD=2,CE=3,
所以|
|=
=6×3+0+0+2×4=26.设
的夹角为θ,
则cos
θ=
故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为
.
方法二:如图(2)所示,建立直角坐标系,点C为原点,两直角边所在直线为坐标
轴.D,E分别为BC,AC的中点,
所以A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),
则
=(2,-6),
=(4,-3),
所以
=2×4+(-6)×(-3)=26,
设
的夹角为θ,
则cos
θ=
故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为
.
答案:
【拓展延伸】
1.直线的方向向量:直线上的向量以及与它平行的向量都称为直线的方向向量.
2.直线的法向量:如果向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量.
【注意】(1)已知直线l的方向向量,可以用向量平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程.
(2)已知直线的法向量,可以由向量垂直的条件写出直线方程.对应直线Ax+By+C=0,它的方向向量为v=(-B,A),它的法向量为n=(A,B).
【拓展训练】
过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为
( )
A.
2x+y-7=0
B.
2x+y+7=0
C.
x-2y+4=0
D.
x-2y-4=0
【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则
⊥a,
即(x-2)×2+(y-3)×1=0,即2x+y-7=0.
【补偿训练】
经过点P(-2,0)且平行于a=(0,3)的直线方程为________.?
【解析】设M(x,y)为直线上任一点,
则
∥a,所以3(x+2)=0,所以x=-2
答案:x=-2
类型三 平面向量在物理中的应用(逻辑推理、数学建模)
【典例】1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为
20
N,当它们的夹角为120°时,合力大小为
( )
A.40
N
B.10
N
C.20
N
D.10
N
2.在风速为75(
)km/h的西风中,飞机以150
km/h的航速向西北方向飞
行,求没有风时飞机的航速和航向.
3.已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50
N,一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20
m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g取10
m/s2)
【思路导引】先把物理量转化为向量,再用向量法求解,最后再转化为物理量.
【解析】1.选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.
由题意,易知|F|=
|F1|,|F|=20
N,
所以|F1|=|F2|=10
N.
当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,
因此,|F合|=|F1|=10
N.
2.设ω=风速,νa=有风时飞机的航行速度,νb=无风时飞机的航行速度,νb=
νa-ω.如图所示.
设|
|=|νa|,|
|=|ω|,|
|=|νb|,
作AD∥BC,CD⊥AD于D,BE⊥AD于E,则∠BAD=45°.
设|
|=150,则|
|=75(
),
所以
从而|
|=150
,∠CAD=30°,
所以|νb|=150
km/h,方向为北偏西60°.
3.如图所示,设木块的位移为s,重力为G,则WF=F·s=|F|·|s|cos
30°=
50×20×
=500
(J),|G|=8×10=80(N).
将力F分解,它在竖直方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin
30°=50×
=
25(N),
所以摩擦力f的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1(N),
因此Wf=f·s=|f||s|·cos
180°
=1.1×20×(-1)=-22(J).
即F和f所做的功分别为500
J和-22
J.
【解题策略】
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示.
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决.
(3)结果还原为物理问题.
【跟踪训练】
两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)
(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求F1,F2分别对该质点做的功.
【解析】设物体在力F作用下的位移为s,
则所做的功为W=F·s.
由题意知,
=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
F1=(1,1),F2=(4,-5).
F1做的功W1=F1·s=F1·
=(1,1)·(-13,-15)
=-28(J).F2做的功W2=F2·s=F2·
=(4,-5)·(-13,-15)=23(J).
1.已知△ABC,
·
<0,则△ABC的形状为
( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.由已知得,∠A为钝角,故为钝角三角形.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:习题改编)已知三个力f1=(-1,-2),f2=(0,3),f3=(4,5)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4=
( )
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(-3,-6)
D.(3,6)
【解析】选C.由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)=(-3,-6).
3.
在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是
( )
【解析】选B.BC中点为
所以|
|=
.
4.(2020·上饶高一检测)一个重50
N的物体从倾斜角为30°,斜面上1
m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是________.?
【解析】W=G·s=|G|·|s|·cos
θ=50×1×cos
60°
=25
J.
答案:25
J
5.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形
的面积为
,求α与β的夹角θ的取值范围.
【解析】如图,向量α与β在单位圆O内,由于|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β
为邻边的平行四边形的面积为
,
故β的终点在如图所示的线段AB上(α∥
,且圆心O到AB的距离为
),因此
夹角θ的取值范围为
.(共28张PPT)
阶段提升课
第三课 平
面
向
量
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 平面向量的线性运算及其应用?
1.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m?n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a?b,那么向量b等于
( )
【解析】选A.设b=(x,y),由新定义及a+b=a?b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),
所以向量b=
.
2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若
其中
λ,μ∈R,求λ+μ的值.
【解析】选择
作为平面向量的一组基底,
则
又
【方法技巧】
(1)向量的线性运算主要是运用它们的运算法则、运算律,解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题,而理解相关概念,用基底或用坐标表示向量是基础.
(2)向量是一个有“形”的几何量,因此在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析判断求解,特别是平行四边形法则和三角形法则的应用.
题组训练二 平面向量数量积的运算?
1.已知a=(2,-1),a+2b=(6,3),若b·c=14,|c|=5,则向量c的坐标为________.?
【解析】因为2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),
所以b=(2,2).设c=(x,y),
则由题可知
解得
所以c=(3,4)或c=(4,3).
答案:(3,4)或(4,3)
2.已知|a|=1,|b|=
.
(1)若a∥b,求a·b.
(2)若a,b的夹角为60°,求|a+b|.
(3)若(2a-b)⊥b,求a与b的夹角.
【解析】(1)若a∥b,则a与b的夹角为0或π.
所以a·b=|a||b|cos
0=1×
×1=
或a·b=|a||b|·cos
π=-
.
(2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos
60
°+|b|2=1+2×1×
×
+2=3+
,
所以|a+b|=
(3)设a与b的夹角为θ.若(2a-b)⊥b,则(2a-b)·b=0,
即2a·b-b2=0,
所以2|a||b|cos
θ-|b|2=0,
即2×
cos
θ-2=0,
所以cos
θ=
又0≤θ≤π,所以θ=
【方法技巧】向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·|b|cos.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.
题组训练三 平面向量的平行与垂直?
1.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
【解析】选A.因为
=(8,-4),
=(2,4),
所以
·
=8×2+(-4)×4=0,
所以
⊥
,所以∠BAC=90°,
故△ABC是直角三角形.
2.已知向量
与
的夹角为120°,且|
|=3,|
|=2.若
且
则实数λ的值为________.?
【解析】由
知
=0,
即
=(λ
)·(
)
=(λ-1)
=(λ-1)×3×2×
-λ×9+4=0,解得λ=
.
答案:
【方法技巧】
1.证明共线问题常用的方法
(1)向量a,b(a≠0)共线?存在唯一实数λ,使b=λa.
(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线?x1y2-x2y1=0.
(3)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.
2.证明平面向量垂直问题的常用方法
a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量.
题组训练四 平面向量的模、夹角?
1.设|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,则|3a+b|的值为________.?
【解析】方法一:因为|3a-2b|=3,
所以9a2-12a·b+4b2=9.
又因为|a|=|b|=1,所以a·b=
.
所以|3a+b|2=(3a+b)2
=9a2+6a·b+b2
=9+6×
+1=12.
所以|3a+b|=2
.
方法二:设a=(x1,y1),b=(x2,y2).
因为|a|=|b|=1,
所以
因为3a-2b=(3x1-2x2,3y1-2y2),
所以|3a-2b|=
所以x1x2+y1y2=
.
所以|3a+b|=
答案:2
2.已知平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:
(1)|2
|.
(2)
与
夹角的余弦值.
(3)与
垂直的单位向量的坐标.
【解析】(1)由题意可得,
=(-1,1),
=(1,5),
所以2
=(-1,7),
所以|2
|=
(2)设
与
的夹角为θ,
则cos
θ=
(3)设与
垂直的单位向量的坐标为(x,y),因为
·(x,y)=(2,4)·(x,y)
=2x+4y=0,且x2+y2=1,
所以要求的向量的坐标为
【方法技巧】
1.夹角问题
求向量a,b夹角θ的步骤:
(1)求|a|,|b|,a·b;
(2)求cos
θ=
(夹角公式);
(3)结合θ的范围[0,π]确定θ的大小.因此求向量的夹角先转化为求向量夹
角的余弦值,再结合夹角的范围确定夹角的大小.
2.有关向量的模长问题
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=
(2)若向量a无坐标,则利用平方法,即|a|2=a2;
|a±b|2=a2±2a·b+b2.
题组训练五 平面向量在几何和物理方面的应用?
1.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m)( )
A.(-2,4)
B.(-30,25)
C.(10,-5)
D.(5,-10)
【解析】选C.5秒后点P的坐标为(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).
2.如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:
(1)PA=EF.
(2)PA⊥EF.
【证明】(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,|
|=λ,
则A(0,1),
因为
所以
故PA=EF.
(2)因为
故PA⊥EF.
【方法技巧】
(1)向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.
(2)利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量,通过向量运算,解释几何性质.
(3)物理应用:速度、位移、力、功.