(共48张PPT)
专题一
力与运动
第4讲 万有引力定律及其应用
[建体系·论要点]______________________知识串联__熟记核心要点
思维导图
考情分析
[研考向·提能力]_____________________考向研析__掌握应试技能
[典例1] (2020·浙江省名校联合体高三下学期3月第二次联考)2020年，我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为T，之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为G，则火星的质量M和火星的半径R分别为( )
[答案] A
B
D
AC
3．两种特殊卫星
(1)近地卫星
①轨道半径等于地球半径。
②卫星所受万有引力F＝mg。
③卫星向心加速度a＝g。
(2)同步卫星
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
B
A．A与B运行的周期相同
B．A与B受到的向心力大小相同
C．正常运行时A比C的动能小
D．正常运行时A比C的机械能大
答案：ACD
A
C
A
(4)质量相同的航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(5)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
[典例3]
(多选)(2020·四川成都七中二诊)2020年3月9日我国成功发射第54颗北斗导航卫星，意味着北斗全球组网仅差一步之遥。人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从近地圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则( )
A．卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于7.9
km/s
B．卫星在轨道Ⅱ上稳定运行时，经过A点时的速率比过
B点时小
C．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为
T1、T2、T3，则T1D．现欲将卫星由轨道Ⅱ变轨进入轨道Ⅲ，则需在B点通过点火减速来实现
AC
8.
(多选)(2020·福建龙岩高三上学期期末)2019年5
月17日23时48分，我国在西昌卫星发射中心用长征
三号丙运载火箭成功发射了第四十五颗北斗导航卫
星。如图所示，先将卫星送入近地圆轨道Ⅰ，当卫
星进入赤道上空P点时，控制火箭点火，使卫星进
入椭圆轨道Ⅱ，卫星到达远地点Q时，再次点火，卫星进入相对地球静止的轨道Ⅲ。下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ上的线速度大于在轨道Ⅲ上的线速度
B．卫星在轨道Ⅰ上的运动周期等于在轨道Ⅱ上的运动周期
C．卫星在轨道Ⅰ通过P点的加速度等于在轨道Ⅱ通过P点的加速度
D．卫星在轨道Ⅱ通过Q点的线速度小于在轨道Ⅲ通过Q点的线速度
答案：ACD
9．(多选)(2020·江西南昌安义中学月考)2019年1月3日10时26分，在反推发动机和着陆缓冲机构的“保驾护航”下，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面的预选着陆区。已知“嫦娥四号”的运行过程示意图如图所示，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”的发射速度可以小于第一宇宙速度
B．“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时必须减速
C．“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，周期减小
D．“嫦娥四号”在向月球着陆过程中始终处于失重状态
答案：BC
10.中国航天的发展一直偏重应用，而在纯科学
的空间天文与深空探测方面，过去长期是空白
的，所以中国航天局计划于2020年左右进行第
一次火星探测。之前美国已发射了凤凰号着陆
器降落在火星北极进行勘察，如图为凤凰号着
陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS(已知轨道Ⅱ为圆轨道)。关于着陆器，下列说法正确的是( )
A．在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速
B．在轨道Ⅱ上S点的速度小于在轨道Ⅲ上Q点的速度
C．在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点受到的万有引力相同
D．在轨道Ⅱ上由P到S的时间是其在轨道Ⅲ上由P到Q时间的2倍
答案：B
限时练?通高考
点击进入word....第4讲 万有引力定律及其应用
[建体系·论要点]__________________________________知识串联__熟记核心要点
思维导图
要点熟记
1.重力和万有引力的关系(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有G＝mg，其中g为星球表面的重力加速度。(2)考虑自转时，在两极上才有＝mg，而赤道上则有－mg＝mR。2.一个重要公式：黄金代换式GM＝gR2，应用于题目中没有给出引力常量G或天体质量M，而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况。3.万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(1)列出五个连等式：G＝ma＝m＝mω2r＝mr。(2)导出四个表达式：a＝G，v＝，ω＝，T＝。(3)定性结论：r越大，向心加速度a、线速度v、角速度ω均越小，而周期T越大。4.三类天体(1)近地卫星：G＝mg＝m。(2)同步卫星：G＝m(R＋h)()2(T＝24
h)。(3)双星：＝m1ω2r1＝m2ω2r2，r1＋r2＝L。5.卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F向小于F万，卫星做近心运动而轨道下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反。
[研考向·提能力]__________________________________考向研析__掌握应试技能
考向一 天体质量及密度的计算
1．两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由G＝mg求出M＝，进而求得ρ＝＝＝。
(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由G＝mr，可得出M＝。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝。
2．两点提醒
(1)利用G＝mr只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。
(2)注意区分轨道半径r和中心天体的半径R，计算中心天体密度时应用ρ＝而不是ρ＝。
[典例1] (2020·浙江省名校联合体高三下学期3月第二次联考)2020年，我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为T，之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为G，则火星的质量M和火星的半径R分别为( )
A．M＝，R＝
B．M＝，R＝
C．M＝，R＝
D．M＝，R＝
[解析] 探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面，则火星表面的重力加速度g＝，根据万有引力定律，对火星表面的物体有G＝m0g，探测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为T，则G＝m·2R，联立解得R＝，M＝，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
1.
(2020·四川成都高三诊断)2019年1月3日上午，“嫦娥四号”顺利着陆月球背面，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。已知地球和月球的半径之比为＝a，表面重力加速度之比为＝b，则地球和月球的密度之比为为( )
A.
B．
C.
D．
解析：设星球的密度为ρ，由G＝mg得GM＝gR2，ρ＝＝，联立解得ρ＝，则＝·＝，B正确。
答案：B
2．为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量。已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为( )
A.
B．
C.
D．
解析：对绕太阳公转的地球，根据万有引力定律得G＝mr，根据地球表面的万有引力近似等于重力，对地球表面物体m′有G＝m′g，两式联立得M＝，D正确。
答案：D
3．(多选)(2020·江西南昌模拟)下表是一些有关火星和地球的数据，利用万有引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是( )
信息序号
①
②
③
④
⑤
信息内容
地球一年约365天
地表重力加速度约为9.8
m/s2
火星的公转周期为687天
日地距离大约是1.5亿公里
地球半径约6
400
km
A.选择②⑤可以估算地球质量
B．选择①④可以估算太阳的密度
C．选择①③④可以估算火星公转的线速度
D．选择①②④可以估算太阳对地球的吸引力
解析：由G＝mg，解得地球质量M＝，所以选择②⑤可以估算地球质量，选项A正确；G＝mr()2，解得M＝，所以选择①④可以估算太阳的质量，由于不知太阳半径(太阳体积)，因而不能估算太阳的密度，选项B错误；根据开普勒定律，选择①③④可以估算火星公转轨道半径r，火星公转的线速度v＝ωr＝r，选项C正确；选择①②④可以估算地球围绕太阳运动的加速度，由于不知地球质量，不能估算太阳对地球的吸引力，选项D错误。
答案：AC
考向二 卫星运行参数的分析
1．一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
2．两条思路
(1)万有引力提供向心力，即G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
(2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
3．两种特殊卫星
(1)近地卫星
①轨道半径等于地球半径。
②卫星所受万有引力F＝mg。
③卫星向心加速度a＝g。
(2)同步卫星
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
[典例2] (2020·山东济南区县联考)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在2～3万亿之间。目前在银河系发现一颗类地行星，半径是地球半径的两倍，质量是地球质量的三倍。卫星a、b分别绕地球、类地行星做匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半径，则卫星a、b的( )
A．线速度之比为1∶
B．角速度之比为3∶2
C．周期之比为2∶
D．加速度之比为4∶3
[解析] 设地球的半径为R，质量为M，则类地行星的半径为2R，质量为3M，卫星a的运动半径为Ra＝2R，卫星b的运动半径为Rb＝3R，万有引力充当向心力，根据公式G＝m，可得va＝，vb＝，故线速度之比为1∶，A错误；根据公式G＝mω2r，可得ωa＝
，ωb＝
，故角速度之比为3∶2，根据T＝可得周期之比为2∶3，B正确，C错误；根据公式G＝ma，可得aa＝，ab＝，故加速度之比为3∶4，D错误。
[答案] B
规律总结
做圆周运动的卫星运行参量与轨道半径的四个关系
……………………………………………………
＝越高越慢
4.
(多选)2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。如图所示，地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B距地面高度均约为36
000
km，中圆轨道卫星C距地面高度约为21
500
km。已知地球静止轨道卫星A与中圆轨道卫星C质量相同，引力势能公式为Ep＝－。下列说法正确的是( )
A．A与B运行的周期相同
B．A与B受到的向心力大小相同
C．正常运行时A比C的动能小
D．正常运行时A比C的机械能大
解析：地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B距地面高度均约为36
000
km，两者轨道半径大小相等，根据开普勒第三定律得eq
\f(T,T)＝eq
\f(r,r)，可知A与B运行的周期相同，选项A正确；题述没有给出地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B的质量关系，由万有引力提供向心力得F向＝G，可知A与B受到的向心力大小不一定相同，选项B错误；地球静止轨道卫星A距地面高度约为36
000
km，中圆轨道卫星C距地面高度约为21
500
km，可知地球静止轨道卫星A的轨道半径大于中圆轨道卫星C的轨道半径，由万有引力提供向心力有＝，解得v＝，所以A比C运行的线速度小，根据动能公式Ek＝mv2，可知正常运行时A比C的动能小，卫星正常运行时的机械能E＝mv2＋Ep＝－＝－，则正常运行时A比C的机械能大，选项C、D正确。
答案：ACD
5．(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为
B．动能为
C．角速度为
D．向心加速度为
解析：探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有G＝m()2r，解得周期T＝
，A对；由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错；由G＝mrω2得，角速度ω＝，C错；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错。
答案：A
6．(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
解析：轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，A错误；由万有引力提供向心力，＝m，得v＝，得＝＝，B错误；由万有引力提供向心力，＝mω2r，得ω＝，所以＝eq
\r(\f(r,r))＝，C正确；由＝ma得a＝，得＝eq
\f(r,r)＝，D错误。
答案：C
7．(2020·山西大同十九中高三下学期3月线上模拟)已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
A.＝
B．＝()2
C.＝
D．＝
解析：地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a1＝ω2r，a2＝ω2R得＝，故A正确，B错误；对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到G＝meq
\f(v,r)，G＝meq
\f(v,R)，解得＝，故C、D错误。
答案：A
考向三 卫星变轨问题
1．变轨实质：卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有Gm，卫星将做向心运动。
2．五点注意
(1)卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。
(2)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。
(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆周轨道上的运行速度变化由v＝
判断。
(4)质量相同的航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(5)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
[典例3]
(多选)(2020·四川成都七中二诊)2020年3月9日我国成功发射第54颗北斗导航卫星，意味着北斗全球组网仅差一步之遥。人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从近地圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则( )
A．卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于7.9
km/s
B．卫星在轨道Ⅱ上稳定运行时，经过A点时的速率比过B点时小
C．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，则T1D．现欲将卫星由轨道Ⅱ变轨进入轨道Ⅲ，则需在B点通过点火减速来实现
[解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝，得v＝，可知卫星运动半径r越大，运行速度v越小，所以卫星绕近地轨道运行时速度最大，即地球的最大环绕速度(7.9
km/s)，则卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于7.9
km/s，选项A正确。卫星在轨道Ⅱ上从A向B运动过程中，万有引力对卫星做负功，动能逐渐减小，速率也逐渐减小，所以卫星在轨道Ⅱ上过A点时的速率比卫星在轨道Ⅱ上过B点时的速率大，选项B错误。设卫星在轨道Ⅰ上运行的轨道半径为r1、轨道Ⅱ的半长轴为r2、在轨道Ⅲ上运行的轨道半径为r3，根据图中几何关系可知r1[答案] AC
8.
(多选)(2020·福建龙岩高三上学期期末)2019年5月17日23时48分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭成功发射了第四十五颗北斗导航卫星。如图所示，先将卫星送入近地圆轨道Ⅰ，当卫星进入赤道上空P点时，控制火箭点火，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ，卫星到达远地点Q时，再次点火，卫星进入相对地球静止的轨道Ⅲ。下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ上的线速度大于在轨道Ⅲ上的线速度
B．卫星在轨道Ⅰ上的运动周期等于在轨道Ⅱ上的运动周期
C．卫星在轨道Ⅰ通过P点的加速度等于在轨道Ⅱ通过P点的加速度
D．卫星在轨道Ⅱ通过Q点的线速度小于在轨道Ⅲ通过Q点的线速度
解析：根据万有引力提供向心力可知＝m，解得线速度v＝
，轨道半径越大，线速度越小，所以卫星在轨道Ⅰ上的线速度大于在轨道Ⅲ上的线速度，故A正确；轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅱ半长轴的长度，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道Ⅰ上的运动周期小于在轨道Ⅱ上的运动周期，故B错误；卫星只受万有引力作用，同一位置，加速度相等，所以卫星在轨道Ⅰ通过P点的加速度等于在轨道Ⅱ通过P点的加速度，故C正确；卫星在轨道Ⅱ通过Q点时，加速变轨到轨道Ⅲ，所以卫星在轨道Ⅱ通过Q点的线速度小于在轨道Ⅲ通过Q点的线速度，故D正确。
答案：ACD
9．(多选)(2020·江西南昌安义中学月考)2019年1月3日10时26分，在反推发动机和着陆缓冲机构的“保驾护航”下，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面的预选着陆区。已知“嫦娥四号”的运行过程示意图如图所示，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”的发射速度可以小于第一宇宙速度
B．“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时必须减速
C．“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，周期减小
D．“嫦娥四号”在向月球着陆过程中始终处于失重状态
解析：第一宇宙速度是最小的发射速度，“嫦娥四号”的发射速度一定大于第一宇宙速度，故A错误；“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时，轨道半径减小，做近心运动，必须减速，故B正确；“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，根据开普勒第三定律＝k知，周期减小，故C正确；“嫦娥四号”在向月球着陆过程中，做减速运动，加速度向上，处于超重状态，故D错误。
答案：BC
10.中国航天的发展一直偏重应用，而在纯科学的空间天文与深空探测方面，过去长期是空白的，所以中国航天局计划于2020年左右进行第一次火星探测。之前美国已发射了凤凰号着陆器降落在火星北极进行勘察，如图为凤凰号着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS(已知轨道Ⅱ为圆轨道)。关于着陆器，下列说法正确的是( )
A．在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速
B．在轨道Ⅱ上S点的速度小于在轨道Ⅲ上Q点的速度
C．在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点受到的万有引力相同
D．在轨道Ⅱ上由P到S的时间是其在轨道Ⅲ上由P到Q时间的2倍
解析：在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需点火减速，选项A错误；在椭圆轨道Ⅲ上Q点的速度比近火星圆轨道卫星的速度大，由G＝m可得v＝
，即近火星圆轨道卫星的速度大于在圆轨道Ⅱ上的速度，所以在轨道Ⅱ上S点的速度小于在轨道Ⅲ上Q点的速度，选项B正确；在S和P两点受到的万有引力大小相等，方向不同，选项C错误；由P到S的时间与从P到Q的时间都是在各自轨道运动周期的一半，由开普勒第三定律可得eq
\f(（\f(PQ＋QS,2)）3,T)＝eq
\f(（\f(PQ,2)）3,T)，因为PQ＝2QS，解得TⅡ＝TⅢ，选项D错误。
答案：B[限时练·通高考]__________________________________科学设题__拿下高考高分
(45分钟)
[基础题组专练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
解析：由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
答案：D
2．(2020·高考全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：在地球表面有G＝mg，“嫦娥四号”绕月球运动时有G＝m′，根据已知条件有R＝PR月，M地＝QM月。联立以上各式解得v＝。
答案：D
3．假定太阳系中一颗质量均匀、可看作球体的小行星，其自转原来可以忽略。若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A.
B．
C.
D．
解析：忽略行星的自转影响时，有G＝mg，自转角速度为ω时，G＝mg＋mω2R，行星的密度ρ＝，解得ρ＝，故选C。
答案：C
4．(多选)(2020·高考江苏卷)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
解析：人造卫星绕地球做圆周运动时有G＝m，即v＝，因此甲的速度是乙的，A错误；由G＝ma得a＝，故甲的向心加速度是乙的，B错误；由F＝G知甲的向心力是乙的，C正确；由在开普勒第三定律＝k中绕同一天体运动k值不变可知，甲的周期是乙的2倍，D正确。
答案：CD
5．有一颗行星，其近地卫星的线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上做实验，宇航员站在正以加速度a匀加速上升的电梯中，用弹簧测力计悬挂质量为m的物体时，看到弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G，则这颗行星的质量是( )
A.
B．
C.
D．
解析：宇航员用弹簧测力计竖直悬挂质量为m的物体向上加速时，弹簧测力计的示数为F，
则有F－mg＝ma
可得g＝①
卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，根据万有引力等于重力得mg＝②
又由重力充当向心力有m＝mg③
由①②③式可得M＝，故A、B、C错误，D正确。
答案：D
6.
(多选)(2020·全国百强名校高三领军考试)如图所示，卫星a没有发射而停放在地球的赤道上随地球自转；卫星b发射成功在地球赤道上空贴着地表做匀速圆周运动，认为重力近似等于万有引力。两卫星的质量相等。下列说法正确的是( )
A．a、b做匀速圆周运动所需的向心力大小相等
B．b做匀速圆周运动的向心加速度等于重力加速度g
C．a、b做匀速圆周运动的线速度大小相等，都等于第一宇宙速度
D．a做匀速圆周运动的周期等于地球同步卫星的周期
解析：两卫星的质量相等，到地心的距离相等，所以受到地球的万有引力相等。卫星a在赤道上随地球自转而做圆周运动，万有引力的一部分充当自转的向心力，卫星b在赤道上空贴着地表做匀速圆周运动，万有引力全部用来充当公转的向心力，因此a、b做匀速圆周运动所需的向心力大小不相等，A错误；对卫星b，重力近似等于万有引力，万有引力全部用来充当公转的向心力，所以向心加速度等于重力加速度g，B正确；卫星b在赤道上空贴着地表做匀速圆周运动，其公转速度就是最大的环绕速度，也是第一宇宙速度，卫星a在赤道上随地球自转而做圆周运动，自转的向心力小于卫星b的公转向心力，根据牛顿第二定律，卫星a的线速度小于b的线速度，即a的线速度小于第一宇宙速度，C错误；a在赤道上随地球自转而做圆周运动，自转周期等于地球的自转周期，同步卫星的周期也等于地球的自转周期，所以a做匀速圆周运动的周期等于地球同步卫星的周期，D正确。
答案：BD
7．(2020·福建永安一中高三上学期限时训练)近年科学界经过论证认定：肉眼无法从太空看长城，但遥感卫星可以“看”到长城。已知某遥感卫星在离地面高度约为300
km圆轨道上运行，地球半径约为6
400
km，地球同步卫星离地面高度约为地球半径的5.6倍，则以下说法正确的是( )
A．遥感卫星的发射速度不超过第一宇宙速度
B．遥感卫星运行速度约为8.1
km/s
C．地球同步卫星运行速度约为3.1
km/s
D．遥感卫星只需加速，即可追上同轨道运行的其他卫星
解析：第一宇宙速度是最小发射速度也是最大环绕速度，遥感卫星在离地球约300
km的轨道上运行，轨道半径大于近地卫星的轨道半径，因此发射速度要大于第一宇宙速度，故A错误；由G＝m，可得v＝
，且满足黄金代换公式GM＝R2g表，g表＝9.8m/s2，r＝6
700
km，解得卫星的线速度v≈7.7
km/s，同理r同＝6.6×6
400
km＝42
240
km，解得v同≈3.1
km/s，故B错误，C正确；遥感卫星要追上同轨道卫星需要先减速做向心运动再加速做离线运动，D错误。
答案：C
8．(2020·陕西榆林第三次测试)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。下列说法正确的是( )
A．同步卫星运动的周期为2π
B．同步卫星运行的线速度为
C．同步轨道处的重力加速度为()2g
D．地球的平均密度为
解析：地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m，在地球表面附近，重力等于万有引力，有mg＝，故同步卫星运动的周期为T＝2π，故A错误；根据万有引力提供向心力，有＝m，解得同步卫星运行的线速度为v＝，故B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝mg′，解得g′＝()2g，故C正确；由mg＝得M＝，故地球的平均密度为ρ＝＝，故D错误。
答案：C
[能力题组专练]
9．(2020·高考山东卷)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．m(0.4g－)
B．m(0.4g＋)
C．m(0.2g－)
D．m(0.2g＋)
解析：着陆器向下做匀减速运动时的加速度大小a＝＝。在天体表面附近，有mg＝G，则＝×()2，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，着陆器运动时F－mg火＝ma，则制动力F＝m(0.4g＋)，选项B正确。
答案：B
10.假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为RA和RB。两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(T2)的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期，则( )
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A卫星的向心加速度大于行星B卫星的向心加速度
解析：根据万有引力提供向心力得G＝mr，则M＝·，根据图像可知，行星A的比行星B的大，所以行星A的质量大于行星B的质量，故A错误；根据图像可知，在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相同，密度ρ＝＝＝eq
\f(\f(4π2,G)·\f(R3,T),\f(4,3)πR3)＝eq
\f(3π,GT)，所以行星A的密度等于行星B的密度，故B错误；第一宇宙速度v＝，A的半径大于B的半径，卫星环绕行星表面运行的周期相同，则行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度，故C错误；根据G＝ma得a＝G，当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的质量大于行星B的质量，则行星A卫星的向心加速度大于行星B卫星的向心加速度，故D正确。
答案：D
11．如图，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9
km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2
km/s对应的脱离轨道。a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则( )
A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍
B．卫星经过a点的速率为经过b点的
倍
C．卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍
D．质量相同的卫星在b点的机械能等于在c点的机械能
解析：由开普勒第三定律可得eq
\f(a,T)＝eq
\f(R,T)，解得＝，A错误；va＝
，因在b点做向心运动，所以vb＜
，则va＞vb，B错误；由公式a＝可知，卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍，C正确；在b点做向心运动，在c点做离心运动，则c点的速度大于b点的速度，又重力势能相等，故卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，D错误。
答案：C
12．(多选)(2020·山东济南章丘四中高三模拟)如图所示，地球和行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和行星做匀速圆周运动的半径之比为1∶4，不计地球和行星直接的相互影响，此时地球和行星距离最近。下列说法正确的是( )
A．行星绕太阳做圆周运动的周期为8年
B．地球和行星的线速度大小之比为1∶2
C．至少经过年，地球和行星距离再次最近
D．经过相同时间，地球、行星圆周运动半径扫过的面积之比为1∶2
解析：根据万有引力提供圆周运动的向心力，有G＝m()2r，可得周期T＝2π，所以＝eq
\r(\f(r,r))＝＝8，因为地球公转周期为1年，所以行星公转周期为8年，故A正确；根据万有引力提供圆周运动的向心力，有G＝m，可得线速度v＝，所以＝＝＝，故B错误；地球周期短，故当地球比行星多公转一周时，地球将再次位于太阳和行星之间，即(－)t＝2π，则时间为t＝＝年，故C正确；行星与太阳连线扫过的面积S＝·πr2＝·πr2＝·πr2，故有＝·()2＝·()2＝，故D正确。
答案：ACD
13．如图所示，“嫦娥一号”卫星在飞向月球的过程中，经“地月转移轨道”到达近月点Q，为了被月球捕获成为月球的卫星，需要在Q点进行制动(减速)。制动之后进入轨道Ⅲ，随后在Q点再经过两次制动，最终进入环绕月球的圆形轨道Ⅰ。已知“嫦娥一号”卫星在轨道Ⅰ上运动时，卫星距离月球的高度为h，月球的质量M月，月球的半径r月，万有引力常量为G。忽略月球自转，求：
(1)“嫦娥一号”在Q点的加速度a；
(2)“嫦娥一号”在轨道Ⅰ上绕月球做圆周运动的线速度；
(3)若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep＝－，式中G为引力常量。为使“嫦娥一号”卫星在Q点进行第一次制动后能成为月球的卫星，同时在随后的运动过程其高度都不小于轨道Ⅰ的高度h，试计算卫星第一次制动后的速度大小应满足什么条件？
解析：(1)根据万有引力定律和向心力公式有
＝ma，
解得a＝
。
(2)根据万有引力定律和向心力公式有
＝m，
解得v＝。
(3)“嫦娥一号”在轨道Ⅰ上绕月球做圆周运动的线速度为制动后的最小速度v＝
若恰能挣脱月球的引力束缚，此时的速度为制动后的最大速度，根据机械能守恒定律得mv－＝0
解得vm＝
所以速度范围为
答案：(1) (2)
(3)
