第2讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动
[建体系·论要点]__________________________________知识串联__熟记核心要点
思维导图
要点熟记
1.掌握“两个磁场力”(1)安培力：F＝BIL(I⊥B)。(2)洛伦兹力：F＝qvB(v⊥B)。2.用准“两个定则”(1)对电流的磁场用安培定则。(2)对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用左手定则。3.明确“两个等效模型”(1)变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。(2)化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁铁，如图乙。4.画好“两个图”(1)对安培力作用下的静止、运动问题画好受力分析图。(2)对带电粒子的匀速圆周运动问题画好与圆有关的几何图形。5.记住“两个注意”(1)洛伦兹力永不做功。(2)安培力可以做正功，也可以做负功。6.灵活应用“两个关系式”带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式：R＝。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式：T＝＝。
[研考向·提能力]__________________________________考向研析__掌握应试技能
考向一 磁场的性质及磁场对电流的作用
1．电流磁场的合成
对于电流在空间某点的磁场，首先应用安培定则判出各电流在该点的磁场方向(磁场方向与该点和电流连线垂直)，然后应用平行四边形定则合成。
2．电流与电流的相互作用
通常画出一个电流的磁场方向，分析另一电流在该磁场中的受力，来判断电流的受力情况。
3．求解导体棒运动的方法
(1)分析：正确地对导体棒进行受力分析，应特别注意通电导体棒受到的安培力的方向，安培力与导体棒和磁感应强度组成的平面垂直。
(2)作图：必要时将立体图的受力分析图转化为平面受力分析图，即画出与导体棒垂直的平面内的受力分析图。
(3)求解：根据平衡条件或牛顿第二定律或动能定理列式分析求解。
[典例1] (多选)(2020·江西南昌二模)如图所示，三条长直导线a、b、c都通以垂直纸面的电流，其中a、b两根导线中电流方向垂直纸面向外。O点与a、b、c三条导线距离相等，且Oc⊥ab。现在O点垂直纸面放置一小段通电导线，电流方向垂直纸面向里，导线受力方向如图所示，则可以判断( )
A．O点处的磁感应强度的方向与F相同
B．长导线c中的电流方向垂直纸面向外
C．长导线a中电流I1小于b中电流I2
D．长导线c中电流I3小于b中电流I2
[解析] 由左手定则可知，O点处的磁感应强度方向与安培力F方向垂直且斜向右下方，故A错误；O点处的磁场方向可沿水平向右和竖直向下分解，长导线a和b在O点处产生的磁场方向均沿竖直方向，所以长导线c在O点处产生的磁场方向应水平向右，由右手螺旋定则可知，长导线c中的电流方向垂直纸面向外，长导线a在O点产生的磁场方向竖直向上，长导线b在O点产生的磁场方向竖直向下，所以长导线a中电流I1小于b中电流I2，由于不知道安培力的具体方向，所以无法确定长导线c中电流I3与b中电流I2的大小关系，故B、C正确，D错误。
[答案] BC
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接。已知导体棒MN受到的安培力大小为F，则线框LMN受到的安培力的大小为( )
A．2F
B．1.5F
C．0.5F
D．0
解析：设每根导体棒的电阻为R，长度为L，则电路中，上、下两支路电阻之比为R1∶R2＝2R∶R＝2∶1，上、下两支路电流之比I1∶I2＝1∶2。如图所示，由于上支路通电的导体受安培力的有效长度也为L，根据安培力计算公式F＝ILB，可知F′∶F＝I1∶I2＝1∶2，得F′＝0.5F，根据左手定则可知，两力方向相同，故线框LMN所受的合力大小为F＋F′＝1.5F，选项B正确。
答案：B
2．(2020·山东潍坊高三4月阶段检测)无限长载流直导线在其周围产生的磁场的磁感应强度B＝k，其中k＝2×10－7
N/A2，d是距离导线中心轴线的距离。两根无限长的直导线A、C相距L＝1
m，分别载有电流I1＝3
A和I2＝8
A，方向如图所示，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，则图中P点的磁感应强度大小为( )
A．1×10－6
T
B．2×10－6
T
C．3×10－6
T
D．×10－6
T
解析：作两电流在P点产生的磁感应强度如图所示，由题意，A在P点产生的磁感应强度B1＝k＝1×10－6
T，C在P点产生的磁感应强度B2＝k＝2×10－6
T，由平行四边形定则知P点的磁感应强度大小B＝eq
\r(B＋B)＝×10－6
T，选项D正确。
答案：D
3．(2020·福建泉州二中模拟)如图，光滑斜面上放置一根通有恒定电流的导体棒，空间有垂直斜面向上的匀强磁场B，导体棒处于静止状态。现将匀强磁场的方向沿图示方向缓慢旋转到水平方向，为了使导体棒始终保持静止状态，匀强磁场的磁感应强度应同步( )
A．增大
B．减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
解析：对导体棒进行受力分析如图所示，当磁场方向缓慢旋转到水平方向，安培力方向缓慢从沿斜面向上旋转到竖直向上，因光滑斜面对通电导体棒的支持力方向始终不变，导体棒的重力大小和方向也始终不变，初始时刻安培力沿斜面向上，与支持力方向垂直，此时安培力最小，所以随着磁场方向的改变，若使导体棒始终保持静止状态，安培力逐渐增大，直到等于导体棒的重力，而安培力F安＝BIL，所以磁感应强度一直增大，B、C、D错误，A正确。
答案：A
考向二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．常用公式
2．“一画、三确定、一注意”
(1)画轨迹：根据题意，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。
(2)圆心的确定：轨迹圆心O总是位于入射点A和出射点B所受洛伦兹力F洛作用线的交点上或AB弦的中垂线OO′与任一个F洛作用线的交点上，如图所示。
(3)半径的确定：利用平面几何关系，求出轨迹圆的半径，如r＝＝，然后再与半径公式r＝联系起来求解。
(4)时间的确定：t＝·T＝或t＝＝。
(5)注意圆周运动中的对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
[典例2] (2019·高考全国卷Ⅱ)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k，则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.kBl，kBl
B．kBl，kBl
C.kBl，kBl
D．kBl，kBl
[解析] 若电子从a点射出，运动轨迹如图线①，
有qvaB＝meq
\f(v,Ra)
Ra＝
解得va＝＝＝
若电子从d点射出，运动轨迹如图线②，
有qvdB＝meq
\f(v,Rd)
R＝(Rd－)2＋l2
解得vd＝＝＝
选项B正确．
[答案] B
规律总结
“四点、六线、三角”巧解运动轨迹
(以粒子沿径向射入圆形磁场为例)
……………………………………………………
(1)四点：入射点B、出射点C、轨迹圆圆心A、入射速度直线与出射速度直线的交点O。
(2)六线：圆弧两端点所在的轨迹半径r、入射速度直线OB和出射速度直线OC、入射点与出射点的连线BC、圆形磁场的圆心与轨迹圆圆心的连线AO。
(3)三角：速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC、弦切角∠OBC，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
4．(2020·四川广元市调研)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域，P点与直径cd间的距离为，质子M、N入射的速度大小之比为1∶2，ab是垂直cd的直径，质子M恰好从b点射出磁场。不计质子的重力和质子间的作用力，则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为( )
A．2∶1
B．3∶1
C．3∶2
D．3∶4
解析：由题意作出两质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，质子M在磁场中运动的半径为R，轨迹圆弧所对圆心角θ1＝120°；根据eBv＝m得r＝，则质子N的轨道半径为2R，再由几何关系得，轨迹圆弧所对圆心角θ2＝60°；质子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，运动的时间满足t＝T，解得t1∶t2＝2∶1，故A正确，B、C、D错误。
答案：A
5．(2020·高考全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.
B．
C.
D．
解析：粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示。圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，当ce与相切时，β最大，此时θ＝π，则t＝T＝，故选C。
答案：C
6．(2020·河北石家庄高三下学期5月二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感
应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点( )
A.
B．
C.
D．
解析：粒子带正电，且经过B点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，由此可知，只有v＝的粒子能通过B点，故A、B、C不符合题意，D符合题意。
答案：D
考向三 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值、多解问题
1．常用结论
(1)刚好能穿出磁场边界的条件是粒子轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，粒子在有界磁场中的运动时间越长。
(3)当速度大小v变化时，仍然是运动轨迹所对圆心角大的粒子在磁场中运动的时间长。
2．最小磁场区域面积的求解
在粒子运动过程分析(正确画出运动轨迹示意图)的基础上，借助几何关系先确定最小区域示意图，再利用几何关系求有界磁场区域的最小面积。注意对于圆形磁场区域：
(1)粒子射入、射出磁场边界时的速度的垂线的交点即轨迹圆圆心；
(2)所求最小圆形磁场区域的直径等于粒子运动轨迹的弦长。
3．动态圆模型
(1)从某点O向各个方向等速(异向)发射大量相同的粒子，画出某个方向粒子的轨迹圆，以O为轴“旋转”圆，从而找到临界条件，如图甲所示。
(2)从某点O向同一方向异速(同向)发射大量相同的粒子，按照半径从小到大的次序，画出不同速度粒子的轨迹圆，从而找到临界条件，如图乙所示。
(3)从不同点向同一方向等速(同向)发射大量相同的粒子，画出某个方向粒子的轨迹圆，将该圆平移，从而找到临界条件，如图丙所示。
[典例3] 如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于～a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求：
(1)最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度的大小；
(2)最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度方向与y轴正方向夹角的正弦值。
[思路点拨] 本题用到了处理临界问题的思维方法——定圆旋转法。具体思维过程如下：
[解析] (1)设粒子的发射速度大小为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得qvB＝m
①
由①式得R＝
②
当
设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意t＝，得∠OCA＝③
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得Rsin
α＝R－
④
Rsin
α＝a－Rcos
α
⑤
又sin2α＋cos2α＝1
⑥
由④⑤⑥式得R＝(2－)a
⑦
由②⑦式得v＝(2－)
⑧
(2)由④⑦式得sin
α＝
⑨
[答案] (1)(2－) (2)
易错警示
带电粒子在匀强磁场中运动临界问题的两点注意
……………………………………………………
(1)解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切，如例题中弧ODA恰好与磁场上边界相切。
7．(2020·高考全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.
B．
C.
D．
解析：磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，
根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立解得B＝。
答案：C
8．(2020·山东省实验中学第二次模拟)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为( )
A.≤v≤
B．≤v≤
C.≤v≤
D．≤v≤
解析：根据v＝可知，半径越大，速度越大，根据几何关系可知，使粒子轨迹与AD边相切时速度最大，如图所示，由几何关系可知r1＝(r1＋L)sin
45°，解得最大半径为r1＝(＋1)L，故最大速度为v1＝；
当粒子从C点出射时半径最小，为r2＝，故最小速度应为v2＝。
故v的取值范围为≤v≤，故C正确。
答案：C
9．如图所示，直线MN右侧分布着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。磁场中有一点P，距离O点为L，O、P连线与MN的夹角为θ。一群质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子，从MN上的O点以大小不同的速度沿纸面向各个方向射入磁场中。忽略所有粒子的重力和粒子间相互作用，求：
(1)能够通过P点的带电粒子的最小速度；
(2)带电粒子从O点到达P点所用最长时间。
解析：(1)根据牛顿运动定律有qvB＝m
解得粒子做圆周运动的半径r＝
可见，粒子的轨道半径跟速度大小成正比。根据题意，能够通过P点且速度最小的粒子，其轨迹一定是以OP为直径的圆周，故带电粒子对应的轨道半径
rmin＝
解得vmin＝。
(2)因带电粒子在磁场中运动的周期与速度无关，在所有能够到达P点的粒子中，运动中通过的圆弧所对圆心角最大的粒子所用时间最长，此圆心角即粒子从O点运动到P点的过程中速度的偏向角。分析粒子的运动轨迹可知，沿OM方向射入磁场的粒子过P点时圆弧所对圆心角最大，为
α＝2(π－θ)
粒子从O点到达P点的时间t＝T
粒子在磁场中运动的周期T＝
解得最长时间t＝。
答案：(1) (2)[限时练·通高考]__________________________________科学设题__拿下高考高分
(45分钟)
[基础题组专练]
1．(2020·河南周口4月调研)如图所示，完全相同的甲、乙两个环形电流同轴平行放置，甲的圆心为O1，乙的圆心为O2，在两环圆心的连线上有a、b、c三点，其中aO1＝O1b＝bO2＝O2c，此时a点的磁感应强度大小为B1，b点的磁感应强度大小为B2。当把环形电流乙撤去后，c点的磁感应强度大小为( )
A．B1－
B．B2－
C．B2－B1
D．
解析：对于图中单个环形电流，根据安培定则，其在中轴线上的磁场方向均是向左，故c点的磁场方向也是向左的。设aO1＝O1b＝bO2＝O2c＝r，单个环形电流在距离中点r位置的磁感应强度为B1r，在距离中点3r位置的磁感应强度为B3r，故a点磁感应强度B1＝B1r＋B3r；b点磁感应强度B2＝B1r＋B1r；当撤去环形电流乙后，c点磁感应强度Bc＝B3r＝B1－B2，故选A。
答案：A
2．(2020·浙江省名校联合体高三下学期3月第二次联考)如图所示，电阻均匀的圆环，固定于匀强磁场中，环平面与磁场方向垂直，M、N与直流电源相连，圆环的劣弧MGN对应的圆心角为90°，它所受的安培力大小为F，则整个圆环所受的安培力大小为( )
A．2F
B．(＋1)F
C.F
D．F
解析：由图知，圆环的劣弧MGN和圆环的其余部分是并联关系，两部分的长度之比为1∶3，电阻之比是1∶3，通过电流之比为3∶1，两部分在磁场中的等效长度相同，等效电流方向相同，则两部分所受安培力大小之比为3∶1，方向相同，所以整个圆环所受的安培力大小为F，故D项正确，A、B、C三项错误。
答案：D
3．(2020·山东泰安质量检测)如图所示，正方形区域abcd内存在磁感应强度为B的匀强磁场，e是ad的中点，f是cd的中点，在a点沿对角线方向以速率v射入一带负电的粒子(重力不计)，粒子恰好从e点射出。若磁场方向不变，磁感应强度变为，粒子的射入方向不变，速率变为2v，则粒子的射出点位于( )
A．e点
B．d点
C．df间
D．fc间
解析：当磁感应强度为B，粒子速度为v时，半径R＝；当磁感应强度变为，粒子速度变为2v时，半径R′＝＝4R。如图所示，过a点作速度v的垂线，与cd的延长线交于O点，由几何关系可知Oa＝4R，Od＝ad＝2ae＝2RR′，因此粒子出射点应在df间。
答案：C
4．(2020·湖北黄冈5月检测)如图，半径为R的半圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为－q且不计重力的粒子，以速度v沿与半径AO夹角θ＝30°的方向从A点垂直磁场射入，最后粒子从半圆弧上射出，则磁感应强度的大小不可能为( )
A.
B．
C.
D．
解析：
当粒子轨迹恰好与MN相切时为临界条件，粒子轨迹如图所示，根据几何知识可得，∠AO′B＝120°，∠OAB＝∠BAO′＝30°，故＝，r0＝，解得r0＝R，又r0＝＝R，解得B0＝，若使粒子从半圆弧上射出，有r≤R，即B≥，故应选B。
答案：B
5．(2020·广东汕头高三一模)如图，纸面内有一垂直于纸面向外的圆形匀强磁场区域，比荷为k1、k2的带电粒子A、B分别从P点以速率v1、v2垂直进入磁场，经过时间t1、t2从M点射出磁场。已知v1沿半径方向，v2与v1夹角为30°，∠POM＝120°。不计粒子重力，下列判断正确的是( )
A．若v1＝v2，则k1∶k2＝∶1
B．若v1＝v2，则t1∶t2＝∶2
C．若t1＝t2，则k1∶k2＝2∶1
D．若t1＝t2，则v1∶v2＝∶1
解析：设匀强磁场区域半径为R，带电粒子A、B的轨迹如图所示，由几何关系可得，粒子A的轨道半径r1＝Rtan
60°＝R，粒子B的轨道半径r2＝R，粒子A转过的圆心角为θ1＝60°，粒子B转过的圆心角为θ2＝120°。根据洛伦兹力提供向心力可得Bvq＝，故速度v＝，运动周期T＝＝，则运动时间t＝T＝。若v1＝v2，则k1∶k2＝r2∶r1＝1∶，故A错误；若v1＝v2，则t1∶t2＝∶＝θ1r1∶θ2r2＝∶2，故B正确；若t1＝t2，则k1∶k2＝θ1∶θ2＝1∶2，故C错误；若t1＝t2，则v1∶v2＝k1r1∶k2r2＝θ1r1∶θ2r2＝∶2，故D错误。
答案：B
6．如图所示，一根长为L的金属细杆通有电流I时，水平静止在倾角为θ的光滑绝缘固定斜面上，斜面处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B匀强磁场中。若电流和磁场的方向均不变，电流大小变为I，磁感应强度大小变为4B，重力加速度为g，则此时金属细杆( )
A．电流流向垂直纸面向外
B．受到的安培力大小为2BILsin
θ
C．对斜面压力大小变为原来的2倍
D．将沿斜面加速向上运动，加速度大小为gsin
θ
解析：金属细杆水平静止在斜面上时，对金属细杆受力分析，它受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力和水平向右的安培力，由左手定则知电流流向垂直纸面向里，故A错误；根据安培力公式可得，磁感应强度大小和电流大小改变时金属细杆受到的安培力大小为F安＝4B·IL＝2BIL，故B错误；金属细杆水平静止斜面上时，金属细杆受到重力、斜面的支持力和安培力而处于平衡状态，根据平衡条件可得FNcos
θ＝mg，FNsin
θ＝BIL，磁感应强度大小和电流大小改变时，根据受力分析和牛顿第二定律可得FN′＝mgcos
θ＋2BILsin
θ＝，a＝＝gsin
θ，加速度方向沿斜面向上，故C错误，D正确。
答案：D
7．(2020·贵州贵阳二模)如图所示，一边长为2R的正方形与半径为R的圆相切，两区域内有大小相等、方向相反的匀强磁场。M是正方形左边长的中点，O点是圆的圆心，M、O、N三点共线。若使比荷为、重力不计的两个带正电的粒子分别从M、N两点以速度v0沿MON直线相向进入磁场；它们在磁场中运动相同的时间，并以相同的方向离开磁场。若从N点进入磁场的带电粒子的速度大小变为2v0，并改变其速度方向，该粒子将从M点离开磁场。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)粒子从N点以2v0进入磁场运动到M点的总时间。
解析：(1)通过分析可知，只有当带电粒子在磁场中运动圆周时，两个粒子在磁场中运动相同的时间，并以相同的方向离开磁场，粒子在磁场中运动的向心力由洛伦兹力提供qv0B＝meq
\f(v,r)，由几何关系可知，带电粒子做匀速圆周运动的半径r＝R，所以B＝。
(2)当带电粒子在圆形磁场中从N进入从M点射出时，粒子运动轨迹如图所示，粒子在磁场中运动的向心力由洛伦兹力提供，有
q(2v0)B＝
解得r′＝2R
所以△MO2P和△PNO1都是正三角形，该粒子在两个磁场中运动的总时间t＝
粒子在磁场中运动的周期T＝
联立解得t＝。
答案：(1) (2)
[能力题组专练]
8．(2019·高考北京卷)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
解析：由运动轨迹和左手定则可判定该粒子带负电，A错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，故粒子在b点速率等于在a点速率，B错误；由qvB＝m得R＝，若仅减小磁感应强度，则R增大，如图，粒子将从b点右侧射出，故C正确；粒子运动周期T＝＝，若仅减小入射速率，则R减小，T不变，粒子运动轨迹所对应的圆心角θ变大，由t＝T可知，粒子运动时间将变长，故D错误。
答案：C
9．如图，在xOy平面内，虚线y＝x左上方存在范围足够大、磁感应强度为B的匀强磁场，在A(0，l)处有一个粒子源，可沿平面内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带电粒子，速率均为，粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A.
B．
C.
D．
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB＝，将题中的v值代入上式得r＝l，粒子运动的时间t最短时，粒子偏转的角度θ最小，则θ所对弦最短，过A点作虚线的垂线，交虚线于B点，AB即为最短的弦，假设粒子带负电，结合左手定则，根据几何关系有AB＝OAsin
60°＝l，则粒子偏转的角度θ＝60°，结合周期公式T＝，可知粒子在磁场中运动的最短时间为t＝＝，故C正确，A、B、D错误．
答案：C
10．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
解析：(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有
qU＝mv2
①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB＝m
②
由几何关系知
d＝r
③
联立①②③式得
＝
④
(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为
s＝＋rtan
30°
⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t＝
⑥
联立②④⑤⑥式得
t＝(＋)
⑦
答案：(1) (2)(＋)
11．(2020·高考全国卷Ⅱ)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
解析：(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有qv0B＝eq
\f(mv,R)
①
由此可得R＝
②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h
③
由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子的运动半径最大，由此得
Bm＝
④
(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝2h
⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系
sin
α＝＝
⑥
即α＝
⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
y＝2h(1－cos
α)⑧
联立⑦⑧式得y＝(2－)h
⑨
答案：(1)磁场方向垂直于纸面向里
(2) (2－)h(共51张PPT)
专题三
电场与磁场
第2讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动
[建体系·论要点]______________________知识串联__熟记核心要点
思维导图
考情分析
考向一 磁场的性质及磁场对电流的作用
1．电流磁场的合成
对于电流在空间某点的磁场，首先应用安培定则判出各电流在该点的磁场方向(磁场方向与该点和电流连线垂直)，然后应用平行四边形定则合成。
2．电流与电流的相互作用
通常画出一个电流的磁场方向，分析另一电流在该磁场中的受力，来判断电流的受力情况。
[研考向·提能力]_____________________考向研析__掌握应试技能
3．求解导体棒运动的方法
(1)分析：正确地对导体棒进行受力分析，应特别注意通电导体棒受到的安培力的方向，安培力与导体棒和磁感应强度组成的平面垂直。
(2)作图：必要时将立体图的受力分析图转化为平面受力分析图，即画出与导体棒垂直的平面内的受力分析图。
(3)求解：根据平衡条件或牛顿第二定律或动能定理列式分析求解。
[典例1] (多选)(2020·江西南昌二模)如图所示，三条长直导线a、b、c都通以垂直纸面的电流，其中a、b两根导线中电流方向垂直纸面向外。O点与a、b、c三条导线距离相等，且Oc⊥ab。现在O点垂直纸面放置一小段通电导线，电流方向垂直纸面向里，导线受力方向如图所示，则可
以判断( )
A．O点处的磁感应强度的方向与F相同
B．长导线c中的电流方向垂直纸面向外
C．长导线a中电流I1小于b中电流I2
D．长导线c中电流I3小于b中电流I2
BC
[解析] 由左手定则可知，O点处的磁感应强度方向与安培力F方向垂直且斜向右下方，故A错误；O点处的磁场方向可沿水平向右和竖直向下分解，长导线a和b在O点处产生的磁场方向均沿竖直方向，所以长导线c在O点处产生的磁场方向应水平向右，由右手螺旋定则可知，长导线c中的电流方向垂直纸面向外，长导线a在O点产生的磁场方向竖直向上，长导线b在O点产生的磁场方向竖直向下，所以长导线a中电流I1小于b中电流I2，由于不知道安培力的具体方向，所以无法确定长导线c中电流I3与b中电流I2的大小关系，故B、C正确，D错误。
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接。已知导体棒MN受到的安培力大小为
F，则线框LMN受到的安培力的大小为( )
A．2F
B．1.5F
C．0.5F
D．0
B
解析：设每根导体棒的电阻为R，长度为L，则电路中，上、下两支路电阻之比为R1∶R2＝2R∶R＝2∶1，上、下两支路电流之比I1∶I2＝1∶2。如图所示，由于上支路通电的导体受安培力的有效长度也为L，根据安培力计算公式F＝ILB，可知F′∶F＝I1∶I2＝1∶2，得F′＝0.5F，根据左手定则可知，两力方向相同，故线框LMN所受的合力大小为F＋F′＝1.5F，选项B正确。
D
3．(2020·福建泉州二中模拟)如图，光滑斜面上放置一根通有恒定电流的导体棒，空间有垂直斜面向上的匀强磁场B，导体棒处于静止状态。现将匀强磁场的方向沿图示方向缓慢旋转到水平方向，为了使导体棒始
终保持静止状态，匀强磁场的磁感应强度应同步( )
A．增大
B．减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
A
解析：对导体棒进行受力分析如图所示，当磁场
方向缓慢旋转到水平方向，安培力方向缓慢从沿
斜面向上旋转到竖直向上，因光滑斜面对通电导
体棒的支持力方向始终不变，导体棒的重力大小
和方向也始终不变，初始时刻安培力沿斜面向上，与支持力方向垂直，此时安培力最小，所以随着磁场方向的改变，若使导体棒始终保持静止状态，安培力逐渐增大，直到等于导体棒的重力，而安培力F安＝BIL，所以磁感应强度一直增大，B、C、D错误，A正确。
考向二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．常用公式
A
C
6．(2020·河北石家庄高三下学期5月二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点( )
考向三 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值、多解问题
1．常用结论
(1)刚好能穿出磁场边界的条件是粒子轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，粒子在有界磁场中的运动时间越长。
(3)当速度大小v变化时，仍然是运动轨迹所对圆心角大的粒子在磁场中运动的时间长。
2．最小磁场区域面积的求解
在粒子运动过程分析(正确画出运动轨迹示意图)的基础上，借助几何关系先确定最小区域示意图，再利用几何关系求有界磁场区域的最小面积。注意对于圆形磁场区域：
(1)粒子射入、射出磁场边界时的速度的垂线的交点即轨迹圆圆心；
(2)所求最小圆形磁场区域的直径等于粒子运动轨迹的弦长。
3．动态圆模型
(1)从某点O向各个方向等速(异向)发射大量相同的粒子，画出某个方向粒子的轨迹圆，以O为轴“旋转”圆，从而找到临界条件，如图甲所示。
(2)从某点O向同一方向异速(同向)发射大量相同的粒子，按照半径从小到大的次序，画出不同速度粒子的轨迹圆，从而找到临界条件，如图乙所示。
(3)从不同点向同一方向等速(同向)发射大量相同的粒子，画出某个方向粒子的轨迹圆，将该圆平移，从而找到临界条件，如图丙所示。
[思路点拨] 本题用到了处理临界问题的思维方法——定圆旋转法。具体思维过程如下：
易错警示
带电粒子在匀强磁场中运动临界问题的两点注意
…………………………………………………………………………………
(1)解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切，如例题中弧ODA恰好与磁场上边界相切。
C
C
9．如图所示，直线MN右侧分布着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。磁场中有一点P，距离O点为L，O、P连线与MN的夹角为θ。一群质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子，从MN上的O点以大小不同的速度沿纸面向各个方向射入磁场中。忽略所有粒子的重力和粒子间相互作用，求：
(1)能够通过P点的带电粒子的最小速度；
(2)带电粒子从O点到达P点所用最长时间。
限时练?通高考
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