北师大版八年级数学下册1.1 等腰三角形课件（第2课时 31在）

1.1 等腰三角形
（第2课时）
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
1.进一步学习等腰三角形的相关性质.
2.了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质.
素养目标
3.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．
探究新知
知识点 1
等腰三角形的重要线段的性质
想一想：
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线.
试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
探究新知
作图观察,我们可以猜想：
等腰三角形两底角的平分线相等；
等腰三角形两腰上的中线相等；
等腰三角形两腰上的高相等．
A
C
B
D
E
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
你能证明你的猜想吗？
探究新知
A
C
B
E
已知:
求证:
BD=CE.
如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线．
1
2
D
猜想证明：
等腰三角形两底角的平分线相等．
探究新知
∠2= ∠ACB(已知),
∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
证明：
又∵∠1= ∠ABC，
∴∠1=∠2(等式性质)．
在△BDC与△CEB中，
∠DCB=∠ EBC（已知），
BC=CB（公共边），
　∠1=∠2（已证），
∴
△BDC≌△CEB（ASA）．
∴
BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
A
C
B
E
1
2
D
探究新知
思考：如图，在等腰三角形ABC中，
（1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
（2）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
由此你得到什么结论?
在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
结论
A
C
B
E
D
探究新知
已知:
求证:
BM=CN.
如图, 在△ABC中, AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线．
猜想证明：
等腰三角形两腰上的中线相等．
A
C
B
M
N
探究新知
又∵CM= ，BN=　 ，
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
A
C
B
M
N
探究新知
已知:
求证:
BP=CQ.
如图, 在△ABC中, AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高．
猜想证明：
等腰三角形两腰上的高相等．
A
C
B
P
Q
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，
∴△BQC≌△CPB（AAS）．
∴BP=CQ.
探究新知
思考：如图，在等腰三角形ABC中，
（1）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
（2）如果AD= AC，AE= AB，那么BE=CE吗？
由此你得到什么结论?
在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，
AE= AB，那么BD=CE.
简述为：两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
结论
A
C
B
E
D
等腰三角形的重要线段的性质
素养考点 1
探究新知
例 如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求证:DE∥BC.
证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,
∴∠AEB=∠ADC=90°,
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD,
即∠EBC=∠DCB.
探究新知
在△BEC与△CDB中,
∴△BEC≌△CDB,∴BD=CE,
∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角,
∴∠ADE=∠ABC,
∴DE∥BC.
如图,已知AD,BE分别是△ABC的中线和高,且AB=AC,
∠EBC=20°,则∠BAD的度数为 (　 　)
A.18° B.20°　
C.22.5° D.25°
巩固练习
变式训练
B
巩固练习
变式训练
下列说法:
(1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
(2)等腰三角形的两腰上的中线长相等;
(3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;
(4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40.
其中不正确的个数是(　 　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
知识点 2
等边三角形的性质
想一想：
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
探究新知
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
思考： 怎样证明这一定理？
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
证明：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
探究新知
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
C
B
证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
探究新知
等边三角形的性质
素养考点 2
例 如图,△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）
A.25° B.60°　
C.85° D.95°
D
如图,等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
B
C
D
A
E
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 =(180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
巩固练习
变式训练
连接中考
（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°，则∠ACD=( 　 )
A.16°　　 B.28°
C.44°　　 D.45°
C
1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角的度数为 (　 　)
A.50°　　 B.80 ° C.100 ° 　　 D.130 °
B
课堂检测
2 .在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，BD=5，则CE= .
5
基础巩固题
3 .如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,
则AE=______.
3
基础巩固题
课堂检测
4. 若如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有___________.(填序号)?
①②③
课堂检测
基础巩固题
5. 如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O.求证:OB=OC.
证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线,
∴CD= AC,BE= AB,
∵AB=AC,∴CD=BE,∠EBC=∠DCB.
在△EBC和△DCB中,BE=CD,∠EBC=∠DCB,BC=CB,
∴△EBC≌△DCB(SAS),∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别是F,E.
求证:DE=DF.
能力提升题
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠BFD=∠CED=90°,
在△BDF和△CDE中，
BD=DC, ∠B=∠C， ∠BFD=∠CED，
∴△BDF≌△CDE（AAS）,∴DE=DF.
课堂检测
2. 如图, △ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边△CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由.
证明:AE∥BC,理由如下:
∵△ABC和△DEC是等边三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°,∠B=60°,
∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,即∠BCD=∠ACE,
课堂检测
能力提升题
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠EAC=∠B=60°,
∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
课堂检测
如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:△ABE≌△CAD.
证明:∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中,
∴△BAE≌△ACD（SAS）.
拓广探索题
课堂检测
(2)求∠PBQ的度数.
解:∵△BAE≌△ACD,
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BPQ为△ABP的外角,?
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD,
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°.
课堂检测
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
课堂小结
等腰三角形重要线段的性质
底角的两条角平分线相等
两条腰上的高相等
两条腰上的中线相等