北师大版八年级数学下册1.1 等腰三角形课件（第1课时 33张）

1.1 等腰三角形
（第1课时）
北师大版 八年级 数学 下册
1、图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
导入新知
2、在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？
①两点确定一条直线；
②两点之间线段最短；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④同位角相等，两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等.
导入新知
1. 回顾全等三角形的判定和性质.
2. 理解并掌握等腰三角形的性质及其推论.
素养目标
3. 能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题．
探究新知
知识点 1
全等三角形的判定和性质
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
在“平行线的证明”这一章中，我们学了8条基本事实定理.运用这些基本事实和已学习的定理，你能证明有关三角形全等的一些结论吗？
比如：
探究新知
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
思考：证明命题的步骤是什么？
探究新知
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.
探究新知
结论
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
结论
全等三角形的判定与性质
素养考点 1
探究新知
例 如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　 )
A.∠B=∠C　　 B.AD=AE
C.BD=CE　　 D.BE=CD
D
方法总结
判定两个三角形全等的一般方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.
注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角
形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角
必须是两边的夹角.
探究新知
巩固练习
变式训练
如图,在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是(　 )
A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=BC
C. ∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD
D. ∠B=∠C， BD=DC
D
如图,点B,E,C,F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= .
6
巩固练习
变式训练
探究新知
知识点 2
等腰三角形的性质定理及其推论
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合.
思考2:你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等.
思考1:
探究新知
已知：如图,在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明定理：等腰三角形的两个底角相等.
A
B
C
思考：如何证明两个角相等呢？
在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？
探究新知
可以作一条辅助线，运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
思考：如何构造两个全等的三角形？
探究新知
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中，
方法一：作底边上的中线
探究新知
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 )，
∠BAD=∠CAD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中，
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
探究新知
结论
定理 等腰三角形的两个底角相等.
这一定理可简述为：“等边对等角”.
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？
探究新知
∵△BAD≌ △CAD，
∴由全等三角形的性质易得
BD=CD,
∠BAD=∠CAD，
∠ADB=∠ADC，
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90°.
A
B
C
D
AD是底边BC上的中线
AD是顶角∠BAC的
角平分线
AD是底边BC上
的高线
3、线段AD的性质
探究新知
结论
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).
(1)∵AB=AC,AD⊥BC
∴ (三线合一)
(2)∵AB=AC,BD=CD
∴_________________________(三线合一)
(3)∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD
∴____________________ (三线合一)
BD=CD,∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC ,BD=CD
D
C
B
A
等腰三角形的性质定理
素养考点 1
探究新知
例1 (1)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________.?
(2)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=_______°.
36°
70
如图,已知∠AOB=10°，且OC=CD=DE=EF=FG=GH，则∠BGH= (　 )
A.50°　　 B.60°
C.70°　　 D.80°
B
巩固练习
变式训练
等腰三角形性质定理的推论
素养考点 2
探究新知
例2 如图,△ABC中，AB=AC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= .
35°
巩固练习
变式训练
如图, 在△ABC中，AC=BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于 点G，若∠BCG=50°，则∠A的度数为 (　 )
A.40°　　 B.45°
C.50°　　 D.60°
A
连接中考
（2020·呼伦贝尔）如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C=65°，则∠DBC的度数是 (　 )
A.25°　 　 B.20°
C.30°　　 D.15°
D
1.一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是(　 　)
A
A.65° B.70° C.75° D.100°
课堂检测
基础巩固题
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，则∠BCD=(　 　)
D
A.40° B.50° C.60° D.70°
3.如图,已知AD=BC,∠1=∠2,则下列说法正确的是 (　 　)
A.BD=AC B.∠D=∠C　
C.∠DAB=∠CBA D.以上说法都不对
D
课堂检测
基础巩固题
4.如图所示，F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF.若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是 .
AC＝DF
课堂检测
基础巩固题
基础巩固题
5.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE，若∠D=70°，则∠B=(　 　)
A
A.70° B.30° C.40° D.20°
课堂检测
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与
BE相交于点F,若BF=AC,∠CAD=25°,则∠ABE的度
数为(　 )
A.30° B.15° C.25° D.20°
D
课堂检测
能力提升题
能力提升题
2.如图,在△ABC中,AB=AC，∠A=30°，直线m∥n，顶点C在直线n上，直线m交AB于点D，交AC于点E，若∠1=150°，则∠2的度数是(　 　)
A.45° B.40° C.35° D.30°
A
课堂检测
拓广探索题
如图,在△ABC中,AB=AC，∠C=2∠A，BD是AC边上的高，求∠A和∠DBC的度数.
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠C=2∠A， 设∠A=x，则∠ABC=∠C=2x，
由x+2x+2x=180°得x=36°，
∴∠A=36°，∠C=72°，
∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°-∠C=18°.
课堂检测
等腰三角形
性质
等边对等角
课堂小结
推论
三线合一
全等三角形
判定
SSS,SAS,ASA,AAS
性质
对应边相等，对应角相等
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.