北师大版八年级数学下册1.2 直角三角形（第1课时）课件（39张）

1.2 直角三角形
（第1课时）
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知
（2）直角三角形的定义是什么？
（3）三角形内角和的性质是什么？
有一个是直角的三角形叫直角三角形.
三角形内角和等于180°.
思考：（1）三角形的分类？
锐角三角形，直角三角形，钝角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
（4） 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
导入新知
1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定.
2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.
素养目标
3.结合具体事例理解互逆命题、互逆定理的概念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立.
探究新知
知识点 1
直角三角形的性质与判定
思考：
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
（2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
求证： △ABC是直角三角形.
在△ABC中，
∵ ∠A +∠B +∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
证明：
如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
证明：
探究新知
性质定理 直角三角形的两锐角互余.
直角三角形的性质与判定
结论
判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
探究新知
直角三角形的性质与判定
素养考点 1
探究新知
例 如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数是 (　 　)
A.85° B.90°
C.95° D.100°
C
巩固练习
变式训练
直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________.
30°
知识点 2
勾股定理与逆定理
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
a
c
b
勾
弦
股
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
探究新知
勾股定理的3种证明方法：
b
a
c
b
a
c
方法一：
探究新知
探究新知
方法二：
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
∴a2+b2=c2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 ；
(a+b)2
c2+
探究新知
探究新知
方法三：
c
∵ c2= +(b-a)2，
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　　　 ．
c2
+(b-a)2
c
a

c
a

c
b

a
a
b
b
b
探究新知
勾股定理的逆定理：
我们曾用度量的办法得出这个结论.
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
思考：这个命题是真命题吗？为什么？
是否还有其他方法？
探究新知
勾股定理的逆定理的证明：
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形．
分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？
A
B
C
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),
∴AB2=DF2，∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
D
F
E

┏
A
B
C
探究新知
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理与逆定理
结论
逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
探究新知
小结
直角三角形的性质定理:
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理:
1.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的性质与判定
探究新知
勾股定理与逆定理
素养考点 2
探究新知
例 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 (　 　)
A.30 B.60
C.78 D.不能确定
A
巩固练习
变式训练
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5cm，BC＝3cm，
由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4cm，
又S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
CD＝BC·AC÷AB＝2.4cm，
∴CD的长是2.4cm.
探究新知
知识点 3
互逆命题与互逆定理
观察：
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?
与同伴交流．
观察下面三组命题：
探究新知
探究新知
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
注意：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!
互逆命题：
探究新知
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
互逆定理：
注意：（1）逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
（2）每个定理都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理.
互逆命题与互逆定理
素养考点 3
探究新知
例 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
探究新知
条件：一个三角形是等边三角形.
结论：它的每个角都等于60°.
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
探究新知
条件：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.
(3)全等三角形的对应角相等.
巩固练习
变式训练
下列命题:
①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
②若a>b,则ac2>bc2;
③全等三角形对应角相等;
④直角三角形两锐角互余.
其中原命题与逆命题均为真命题的是(　 　)
A.①②④ B.①④
C.③④ D.④
B
连接中考
（2020·荆门）△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC= ，D为BC的中点，AE= AB，则△EBD的面积为（ ）
B
A. B.
C. D.
1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一
个锐角的度数是(　 　)
A.75° B.65° C.55° D.45°
C
课堂检测
基础巩固题
2. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
B
课堂检测
基础巩固题
3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 (　 　)
A.3,4,5 B.2,3,4
C.4,6,7 D.5,11,12
A
4.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形状是_________三角形.
直角
课堂检测
基础巩固题
5.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 (　 　)
A.互为逆命题 B.互逆定理　
C.公理 D.假命题
A
课堂检测
基础巩固题
1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上任一点.求证：BD2＋CD2＝2AD2.
证明：
过点A作AE⊥BC于E，
则在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝CE，
∵BD2＋CD2＝（BE－DE）2＋（CE＋DE）2
＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2，
即BD2＋CD2＝2AD2.
课堂检测
能力提升题
E
2、如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm,
AB=13 cm,过点C作CD⊥AB于点D.
解:(1)∵CD⊥AB(已知),
∴∠CDA=90°,∴∠A+∠1=90°,
∵∠1+∠2=90°,∴∠A=∠2.
同理可得,∠1=∠B.
(1)找出图中相等的锐角,并说明理由.
课堂检测
能力提升题
解:(2)点A到直线BC的距离为12 cm.
点C到直线AB的距离为线段CD的长度.
S△ABC= AC×BC= AB×CD.
∵AC=12 cm，BC=5 cm，AB=13 cm,
代入上式,解得CD= cm.
(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离.
课堂检测
如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.
求四边形ABCD的面积.
解：连接AC,
∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2 ,
∵AD=1,CD=3,
∴AD2+AC2=12+(2 )2=9,CD2=9,
课堂检测
拓广探索题
∴AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°,
在Rt△ABC中,S△ABC= BC·AB= ×2×2=2,
在Rt△ADC中,S△ADC= AD·AC= ×1×2 = ,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ .
课堂检测
课堂小结
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形
互逆命题与互逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
角的性质
边的性质
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
互逆命题
互逆定理