北师大版八年级数学下册1.3 线段的垂直平分线课件（第1课时 30张）

1.3 线段的垂直平分线
（第1课时）
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知
1.如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
P
N
M
点P是码头的位置
2.某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
导入新知
1.理解线段垂直平分线的概念.
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.
素养目标
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
探究新知
思考：
垂直底边，并且平分底边．
AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ．
等腰三角形顶角平分线有哪些性质？
垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
知识点1
线段垂直平分线的性质
A
B
C
∟
D
探究新知
观察：
已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
由上可知：
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探究发现：
探究新知
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
探究新知
你能验证这一结论吗？
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　又 AC =CB，PC =PC，
　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
猜想证明：
探究新知
文字语言：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理
结论
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
P
A
B
∟
探究新知
线段垂直平分线的性质定理
素养考点 1
探究新知
如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下
列结论不一定成立的是 (　 　)
例
A.AB=AD　　　
B.AC平分∠BCD
C.AB=BD
D.△BEC≌△DEC
C
巩固练习
变式训练
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边沿AD折叠,发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上,则∠C=_________.?
　30°　
思考：
知识点2
线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
探究新知
如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论
想一想：
探究新知
（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
证明：
探究新知
文字语言：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理
结论
几何语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
∟
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
探究新知
线段垂直平分线的判定定理
素养考点 2
探究新知
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
例
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
巩固练习
变式训练
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE
∴Rt△EDO≌Rt△ECO（HL）.
∴OD＝OC
∴O，E都在CD的垂直平分线上，
连接中考
（2020·益阳）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为（ ）
B
A.25° B.30 °
C.35 ° D.40 °
1. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是 (　 　)
A.8 B.9 C.10 D.11
C
课堂检测
基础巩固题
2. 如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,则∠C的大小为______.?
78°
课堂检测
基础巩固题
3. 如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
10cm
A
B
C
D
E
课堂检测
基础巩固题
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
课堂检测
基础巩固题
5.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O,下列判断正确的有　　　(填序号).
①AC⊥BD;②AC,BD互相平分;③CA平分∠BCD.
① ③
课堂检测
基础巩固题
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
(1)作边AB的垂直平分线MN.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图:
课堂检测
能力提升题
(2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的度数.
解: ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴AD=BD,
∵∠A=40°,∴∠ABD=∠A=40°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)=70°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
课堂检测
2.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.
求证:AB∥DF.
证明:∵EF垂直平分BD,
∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD,
∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF.
课堂检测
能力提升题
在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相
交所得到锐角为50°,则∠B等于　　　　.
解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角,分为两种情况:
①当∠A为锐角时,
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线
相交所得到锐角为50°,∴∠A=40°,
∴∠B= =70°;
课堂检测
拓广探索题
②当∠A为钝角时,
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,
∴∠1=40°,∴∠BAC=140°,
∴∠B=∠C= =20°.
综上所述，∴∠B等于70°或20°.
课堂检测
课堂小结
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上