北师大版八年级数学下册1.3 线段的垂直平分线课件（第2课时 30张）

1.3 线段的垂直平分线
（第2课时）
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知
A
B
C
D
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.线段的垂直平分线的作法.
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质.
2. 能够运用三角形三边的垂直平分线的性质解决实际问题.
素养目标
3. 能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形.
画一画：
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
知识点1
三角形三边的垂直平分线的性质
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
探究新知
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．

怎样证明这个结论呢？
探究新知
做一做：
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.
思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
结论证明：
探究新知
探究新知
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P也在AC的垂直平分线上，
且PA=PB=PC．
B
C
A
P
l
n
m
探究新知
证明：∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.
同理，PB=PC，∴ PA=PB=PC，
∴点P在BC的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的
垂直平分线上）.
即边AC的垂直平分线经过点P.
B
C
A
P
l
n
m
探究新知
文字语言：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
三角形三边的垂直平分线的性质
结论
几何语言：
∵点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴PA =PB=PC．
A
B
C
P
三角形三边的垂直平分线的性质
素养考点 1
探究新知
如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的
外部,那么这个三角形是 (　 　)
A.直角三角形　 　 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
例
C
巩固练习
变式训练
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
探究新知
做一做：
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
知识点2
尺规作图
探究新知
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
探究新知
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形有无数多个.
根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
探究新知
（3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
探究新知
已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.
已知：线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
a
h
N
M
D
C
B
A
作法：
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
探究新知
已知：直线 l 和 l 上一点P．
求作：PC⊥ l ．
尺规作图
素养考点
探究新知
作法：
①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B．
②作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
A
B
C
P
l
例
已知直线l和l上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
巩固练习
变式训练
已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
B
A
作法：
①先以点P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于点A，B.
②分别以A、B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作圆，相交于C、D两点.
③过两交点作直线 l ',此直线为
l 过点P的垂线.
P
C
D
连接中考
（2020·宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF=GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是（ ）
A
A. l是线段EH的垂直平分线
B. l是线段EQ的垂直平分线
C. l是线段FH的垂直平分线
D. EH是l的垂直平分线
1. 如图,等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° 　　B．70°
C．60° D．50°
C
B
A
D
E
C
课堂检测
基础巩固题
2. 已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.则下列结论一定成立的个数为(　 　)
①PA=PB=PC.
②点P在AC的垂直平分线上.
③∠BPC=90°+ ∠BAC.
④∠BAP=∠CAP.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
课堂检测
基础巩固题
3. 如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　 　)
A.AC,BC两边高线的交点处　
B.AC,BC两边垂直平分线的交点处　
C.AC,BC两边中线的交点处　
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
B
课堂检测
基础巩固题
4.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点,连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则∠CAE=____________(用含α的式子表示).?
　90°-2α　
课堂检测
基础巩固题
C
5.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为(　 　)
A.7 B.14
C.17 D.20
课堂检测
基础巩固题
1.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,
则AD垂直平分BC.
课堂检测
能力提升题
2.如图,在△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF.
证明:延长FD到G，使DG＝DF.连接EG、BG.
在△CDF和△BDG中，CD＝BD,∠CDF＝∠BDG,DF＝DG，
∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF.
∵DE⊥DF，DF＝DG，
∴EG＝EF.在△BEG中，BE＋BG＞EG，
∴BE＋CF＞EF.
课堂检测
能力提升题
如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边
的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F .
解：∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC,
∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC,
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm.
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
课堂检测
拓广探索题
解：∵MD⊥AC,NE⊥BC,∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,
∴∠A+∠B=70°,
∵MA=MC,NB=NC,∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,
∴∠MCN=40°.
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
课堂检测
课堂小结
线段的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线的性质
尺规作图
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等