北师大版八年级数学下册4.1 因式分解课件（29张）

4.1 因式分解
北师大版 八年级 数学 下册
1. 630可以被哪些整数整除？
导入新知
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
????????????=????×????????×????×????
?
（1）单项式×单项式:3a?4b= .
（2）单项式×多项式:am+n= .
（3）多项式×多项式:a+bm+n= .
?
2.整式乘法类型
导入新知
12ab
?
am+an
?
am+an+bm+bn
?
（1）平方差公式: (a+b)(a?b?) = .
（2）完全平方公式: (a±b)2= .
?
3.特殊的整式乘法公式
a2±2ab+b2
a2－b2
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
素养目标
1.?????????????????????能被100整除吗？
?
探究新知
知识点 1
因式分解的定义
小明是这样做的：
??????????????????????????
=????????×?????????????????????×????
=?????????????????????????
=????????×????????????????
=????????×????????×????????????.
所以，?????????????????????能被100整除.
?
你知道每一步的依据吗？
??????????????????????????
=????????×?????????????????????×????
=?????????????????????????
=????????×????????????????
=????????×????????×????????????.
所以，?????????????????????能被100整除.
?
?????????????????????还能被哪些正整数整除？
?
还能被98,99整除
探究新知
在这里，解决问题的关键是把一个数式
化成了几个数的积的形式.

2.将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
探究新知
用a表示任意一个大于1的整数，则：
=????×?????????????
=????×?????????????
=????×????+????×?????????
= ?????????×????×????+????
?
?????????????
?
上面的式子化成了几个整式乘积的形式.
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（1）
探究新知
m
m
m
m
a
b
c
a+b+c
＝ .
m(a+b+c)
?
am+bm+cm
?
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
探究新知
x
x
x+1
1
x+1
＝ .
x
x
1
1
1
(????+????)????
?
????????+????????+????
?
4.大家观察，这几个式子的变形有什么特点？
?????????????=????(????+????)(?????????),
????????+????????+????????=????(????+????+????),
????????+????????+????=(????+????)????.
?
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.也可称为分解因式.
①分解的对象必须是多项式；
②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，且每个因式的次数不能高于原来多项式的次数；
③必须分解到每个多项式都不能再分解为止.
结论
探究新知
注意：
例1????????????????????????????????????????能被45整除吗？
?
探究新知
解：??????????????????????????????????????
=(????????)?????(????????)?????(????????)????????
=??????????????????????????????????????
=????????????(??????????????????)
=?????????????????
=??????????????????????
=?????????????????????
?
∴ ??????????????????????????????????????能被45整除.
?
利用因式分解判断能否整除
素养考点 1
当n为整数时，
证明：(????????+????)?????(?????????????)????是8的倍数.
?
解：(????????+????)?????(?????????????)????
=(????????+????+?????????????)(????????+?????????????+????)
=?????????????
=????????
∴ (????????+????)?????(?????????????)????是8的倍数.
?
巩固练习
变式训练
A. ????????+????+????=????????+????????+????????
B. ????????+????????=????(????+????)
C. ????????+????????+????=????????+????+????
D. ????????+????=????(????+????????)
?
B
探究新知
下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）
例2?
?
考查因式分解的概念
素养考点 2
判断下列等式从左到右的变形是否为因式分解？
（1）????+?????????????=?????????????
?
（2）????????????????????=?????????????????????????????????
?
（3）?????????????????????????=(????+????????????????)(?????????????????????)
?
（4） ????????????????=????????????????+????????????????
?
（5） ?????????????????=(????+????)(?????????????)
?
不是
不是
不是
不是
巩固练习
变式训练
不是
完成下列题目：
?????????????= .
????+?????????????= .
(????+????)????= .
?
探究新知
知识点 2
因式分解与整式乘法的关系
根据左面算式，解决下列问题：
?????????????????= (????????)(??????????????).
?????????????????= (????????????)(?????????????).
????????+????????+????= (????????????)????.
?
?????????????????
?
?????????????????
?
????????+????????+????
?
????
?
?????????
?
????+????
?
?????????
?
????+????
?
观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
探究新知
联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.
区别：左边一栏是整式乘法，右边一栏是因式分解，
他们的运算是相反的.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
????+?????????????
?
?????????????????
?
整式乘法
因式分解
是互逆的恒等变形，即
例 (1)若多项式????????+????????+????分解因式的结果为
(????+????)(?????????),则????+????的值为 .
(2)若????????+????+????=(????+????)????,则????= ,
????= .
?
探究新知
-3
14
?
12
?
因式分解与整式乘法的关系的应用
素养考点 3
已知2x2+4x-b的一个因式为x-1,则b=_____.
6
巩固练习
变式训练
解析：由题意知x-1是2x2+4x-b的一个因式，
即x=1时， 2x2+4x-b=0
将x=1代入上式，得2+4-b=0，解得b=6.
（2020?丹阳）下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是（ 　　）
A. ????+?????????????=?????????????
B. ?????????+?????????????=?(?????????)????
C. ????????+????????+????=????????+????+????
D. ????????????+????????=(????????+????)(?????????)
?
连接中考
B
1. 下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A. ?????????????????????+????=(?????????????)????
B. ?????????????????+????=?????????????+????
C. ?????????????????=?????????????????????????
D. ????+????????=????+????+????????
?
A
课堂检测
基础巩固题
2. 如果多项式????????????????????+?????????????????????????????????????的一个因式是????????????????,那么另一个因式是（ ）
A. c?b+5ac B.c+b?5ac
C. 15ac D.15ac
?
B
课堂检测
基础巩固题
3. 若多项式????????+????????+????（????、????是常数）分解因式后，有一个因式是????+????，则?????????的值为 .
?
1
课堂检测
基础巩固题
4. 已知????,????,????是△ABC的三边，且?????????+????????????+??????????????????????????????+????=????，试判断△ABC的形状.
?
解：∵?????????+????????????+??????????????????????????????+????=????，
∴ ?????????+????????????+?????????????????????=????，
即 ?????????+????(?????????)????=????.
根据三角形三边关系可知?????????+????>????，∴ ?????????=????，
∴ ????=????，∴△ABC为等腰三角形.
?
课堂检测
基础巩固题
（1）求被墨水污染的一次式；
解：被墨水污染的一次式为
?????????????????+?????????????????+?????????????
=????????????+????????????????????????????????????????????????+????
=??????????????
?
1.下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了：????????????+?????????????+????????????????????=(?????????)(????????+????).
?
课堂检测
能力提升题
（2）若被污染的一次式的值不小于2，求????的取值范围.
?
解：根据题意得：??????????????≥????，
解得：????≤?????，
即????的取值范围是????≤?????.
?
课堂检测
2.已知????,????,????是△ABC的三边，试判断(????????+?????????????????)?????????????????????????的正负性.
?
解：(????????+?????????????????)?????????????????????????
=(????????+?????????????????)?????(????????????)????
=????????+?????????????????+????????????????????+??????????????????????????????
=(????+????)?????????????(?????????)?????????????
=????+????+????????+??????????????????+??????????????????
?
课堂检测
∵ ????,????,????是△ABC的三边，
∴ ????+????+????>????，????+?????????>????，?????????+????>????，??????????????∴原式?
能力提升题
代数基本定理告诉我们，对于形如????????+?????????????????????+…+?????????????????+????????=????（其中????????，????????，…，????????为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是?????????的约数.
例如方程????????+?????????????????????????+????=????的整数根只可能为±????，±????，代入检验得????=????时等式成立，故????????+?????????????????????????+?????含有因式?????????，所以原方程可转化为：?????????????????+?????????????=????，进而可求得方程的所有解．
根据以上阅读材料，请你解方程????????+??????????????????????????=????
?
课堂检测
拓广探索题
解：取????=±????,±????代入方程，得到????=????适合方程，
则原方程可以分解为?????????????????+????????+????=????,
解得????=????或????=?????+????或????=??????????.
?
课堂检测
因式分解
定 义
与整式乘法运算的关系
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.
课堂小结
因式分解
整式乘法
多项式化为整式乘积
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形.
整式乘积化为多项式